Технологическая карта теоретического и практического занятия
учебно-методический материал по математике

КЯХТИНСКИЙ ФИЛИАЛ

ГАПОУ   «БАЙКАЛЬСКИЙ БАЗОВЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ КОЛЛЕДЖ

МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РЕСПУБЛИКИ БУРЯТИЯ»

ЦМК  Общепрофессиональных дисциплин

Методическое обеспечение темы

Тема «Дифференцирование функции»

                                      Учебная дисциплина: Математика

                                      Раздел: Начала математического анализа

                                      Специальность:    Сестринское дело

                                         Составила

                                                                                 Преподаватель: Дашеева Т.В.

Рассмотрено на заседании ЦМК________

Протокол №___ от «__»______20___г

Председатель  ЦМК________/___/

Кяхта,

2018

Содержание

1. Технологическая карта теоретического занятия:

- структура и содержание комбинированного занятия

- план изложения теоретического материала

- конспект лекционного материала

- контрольные вопросы по теме

- карточки для индивидуального письменного опроса

2. Технологическая карта практического занятия:

- структура и содержание практического занятия

3. Методические указания  для аудиторной СРС к практическому занятию

4. Тесты для рубежного контроля знаний

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ  КАРТА ТЕОРЕТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ №1

УД, раздел: Математика, начала математического анализа

Тема: Дифференцирование функции  

Вид занятия: лекция

Цели занятия:

- обучающая: изучить понятие физического смысла производной и закрепить его при решении упражнений; сформировать начальное представление об истории развития математического анализа. Учить работать с теоретическими вопросами учебника;

- развивающая: способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания;

- воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные способности (культуру общения, умение работать в парах, элементы ораторского искусства); способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Формируемые компетенции: ОК1; ОК2, ОК4, ОК8.

Интеграционные связи: физика

Оснащение занятия: проектор, доска,, учебники, тетради, плакаты, тренажёры для устного счёта.

         Литература:

Основная литература: 

1. Башмаков М.И. Математика. М.: «Высшая школа», 2014.

2.Омельченко В.П.Практикум по медицинской информатике. Ростов-на Дону, «Феникс», 2001.

Дополнительная литература: 

1. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч.Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордкович. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 400с.
2. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений/ [А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 384с.
3. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования/ И.Д. Пехлецкий. – 6-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 304с.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО ЗАНЯТИЯ

Лекция № 1

Дифференцирование функции.

План
1.Функция и ее свойства производной
2.Скорость движения            
3.Определение производной
4.Механический и геометрический смысл
5.Правила вычисления производной

1.Функция и ее свойства

Пусть даны две переменные Х и Y.  Функция – такая зависимость между переменными Х и Y, которая позволяет для каждого значения Х однозначно определить значение Y.
При этом используют следующую форму записи Y= f(х).
Аргумент – это независимая переменная или х. Y – зависимая переменная или функция.

Примеры функций:

1) у = 12х – 45             2) у = 5х2                 3) у = 1/х, Х>0
В каждом из этих примеров указана формула, позволяющая для каждого значения переменной Х однозначно вычислить значение переменной Y.
Пусть задана функция f с областью определения D. Рассмотрим плоскость с декартовой системой координат. По оси абсцисс будем откладывать значение аргумента, а по оси ординат – значение функции. Для каждого числа Х, принадлежащего области определения функции ( D ) вычислим у= f(х) и поставим точку с координатами (х, f(х)) -  рис.1.

Множество таких точек образует кривую, называемую графиком функции  f в заданной системе координат.
График функции F – множество точек плоскости  с координатами (х, f(х)), где Х принадлежит области    определения функции.

Изображения графиков функций  Y=1/х;  Y=х2

Область определения функции – это множество всех возможных  значений переменной х. Область определения функции обозначается латинской буквой D.

Область изменения функции – множество всех значений переменной Y.

  Рассмотрим понятие сложной  функции .Для понимания, что собой представляет сложная функция берутся 2 функции: Y1 = f1(x)и  Y2 = f2(x)
Сложной функцией (или суперпозиции функций Y1 и Y2 )  называется функция,  значения которой вычисляются по правилуG(х) =  Y2(Y1 (х))
Составим суперпозицию из 2-х функций: Y= sinx и   Y=24-5х2. Получим
Y= sin(24-5х2). При этом  функции , состоящие из нескольких слагаемых, например  Y= sinx + 24-5х2сложными  не являются, также как и функции полученные в результате деления или умножения нескольких функций, например  Y= (24-5х2)*sinx  или Y= (24-5х2)/SinХ

2.Скорость движения

        Рассмотрим движение некоторого тела, например движение камня, брошенного вертикально вверх. Отвлекаясь от конкретных размеров и формы тела мы будем в дальнейшем представлять его в виде движущейся точки М. Расстояние S движущейся точки будет функцией от времени t.
S = f(t) Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка М находилась на расстоянии S от исходной точки отсчета, а в некоторый следующий момент времени t+Δt точка оказалась на расстоянии S+ΔS от начального положения. Таким образом за промежуток времени Δt расстояние S изменилось на величину ΔS или другими словами получило приращение ΔS

Рассмотрим отношение ΔS. Оно показывает среднюю скорость движения точки за время Δt: Δtvср = ΔSΔt

Средняя скорость не может во всех случаях точно дать характеристику быстроты перемещения точки М в момент времени t. Например, если тело в начале промежутка Δt перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, очевидно, что средняя скорость не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать нам точное представление об истинной скорости движения тела. Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток времени Δt. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент времени t то предел, к которому стремится средняя скорость при Δt стремящемся к нулю т.е.

v = LimΔS
                        Δt→0  Δt

Таким образом скоростью движения в данный момент называется предел отношения приращения пути к приращению времени, когда приращение времени стремится к нулю.

3.Определение производной

Рассмотрим два значения аргумента х1 и х2 некоторой функции у = f(x). Приращение  аргумента определяется формулой ΔХ = Х2 – Х. Т.е. это разность между последующим и предыдущим значением х. При вычислении значений функции в этих точках получим значения Y1 и Y2. Приращение функции определяется формулой

     ΔY = Y2 – Y1  =f(х2) – f(х1)

Производной функции  у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю.

Производная определяется формулой:

Limf(х2)-f(х1)=f’(x)
Δх→0     х2 – х1

Операция нахождения производной от функции f(x) называется дифференцированием этой функции

4.Механический и геометрический смысл производной

Механический смысл производной: если задана функция, определяющая путь, пройденный телом, то производная от данной функции определяет скорость движения тела. Прямая, проходящая через одну точку графика функции называется касательной. Пусть касательная пересекает график функции f(х) в точке х0.

 Геометрический смысл производной: значение производной  f’(x) в точке х0 равно тангенсу угла наклона касательной

f’(x)=tgα
Проведем более подробные рассуждения:

Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где   - угол наклона секущей AB.       Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой  коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

 Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A(x0, f(x0)). В  общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f’(x0)  имеет вид: Y = f’(x0) · x + b

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:
f( x0) = f’( x0 )· x0 + b ,

отсюда,  b =  f (x0) – f ’(x0) · x0 , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной: Y= f(x0) +  f’(x0 ) ·(x – x0)

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x(t) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 +   точка перемещается на расстояние:  x(t0 +  ) -  x (t0) =  , а её средняя скорость равна:  va =  /  . При 0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  

v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t0 ) = x’ ( t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты  по  времени. В этом и состоит   механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  

a = v’ ( t )

5.Правила вычисления производных функций

Правило вычисления сложной функции. Примеры сложных функций

Рассмотрим  две функции :         Y1 = f1(x) и  Y2 = f2(x)
Формула сложной функции :      G(х) =  Y2(Y1 (х))
Суперпозицией из 2-х функций: Y1= sinx  и   Y2=24-5х2      будет
Y= sin(24-5х2)
Функции не являющиеся сложными :
Y= sinx + 24-5х2
Y= (24-5х2)*sinx  
Y= (24-5х2)/SinХ

Условные обозначения в пункте «Скорость движения»

 М          - движущаяся точка
S           – расстояние движущейся точки

 t            – время

S = f(t)   - расстояние S движущейся точки будет функцией от времени t
t+Δt        - следующий момент времени
S+ΔS      - расстояние, пройденное за промежуток времени t+Δt

vср = ΔS  - средняя  скорость движения точки за время Δt
         Δt
v = LimΔS   предел, к которому стремится средняя скорость при Δt                      
Δt→0          Δt    стремящемся к нулю

Формулы и условные обозначения в пункте «Определение производной»

х1 и х2                                                          значения аргумента
ΔХ = Х2 – Х1                                        формула приращения  аргумента
Y1 и Y2                                    значений функции

ΔY = Y2 – Y1  =f(х2) – f(х1)    формула приращения функции
Lim  f(х2)- f(х1)  = f’(x)         формула, определяющая производную  
 Δх→0     х2 – х1

Графическое изображение геометрического смысла производной

                                                           
 Формулы и условные обозначения пункта « Механический и геометрический смысл         производной»

уравнение касательной   Y = f’(x0) · x + b              

нахождение  b:                f( x0) = f’( x0 )· x0 + b ,

                                          b =  f (x0) – f ’(x0) · x0 

интервал времени перемещения точки  - от t0  до  t0 +  
перемещение на расстояние  x(t0 +  ) -  x (t0) =
средняя скорость перемещения точки va =  /  

мгновенная скорость перемещения точки v ( t0 )

определение скорости через производную v ( t0 ) = x’ ( t0 )
определение ускорения через производную  a = v’ ( t )

ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ  КАРТА  ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ №1

Тема занятия:  Дифференцирование функции

Цели занятия:

- обучающая: изучить понятие физического смысла производной и закрепить его при решении упражнений; сформировать начальное представление об истории развития математического анализа. Учить работать с теоретическими вопросами учебника;

- развивающая: способствовать развитию общения как метода научного познания, смысловой памяти и произвольного внимания;

- воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные способности (культуру общения, умение работать в парах, элементы ораторского искусства); способствовать развитию творческой деятельности учащихся, потребности к самообразованию.

Формируемые компетенции: ОК1; ОК2, ОК4, ОК8.

Интеграционные связи: физика

Оснащение занятия: проектор, доска,, учебники, тетради, плакаты, тренажёры для устного счёта.

         Литература:

Основная литература: 

1. Башмаков М.И. Математика. М.: «Высшая школа», 2014.

2.Омельченко В.П.Практикум по медицинской информатике. Ростов-на Дону, «Феникс», 2001.

Дополнительная литература: 

4. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. В 2 ч.Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень)/ А.Г. Мордкович. – 13-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2012. – 400с.
5. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений/ [А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2011. – 384с.
6. Пехлецкий, И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования/ И.Д. Пехлецкий. – 6-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2010. – 304с.

СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКОГО ЗАНЯТИЯ

5. Выполнить задания по вариантам.

Вариант 1

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 2

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 3

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 4

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 5

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Вариант 6

1.Найти производную функции .

2.Найти производную третьего порядка функции .

3.Написать уравнение касательной к графику функции  в точке с абсциссой , .

4.Материальная точка движется по закону . Найти скорость и ускорение в момент времени t=5 с. (Перемещение измеряется в метрах.)

Время на выполнение: 40 мин.

Критерии оценивания:

«отлично» - верно выполнено 4 задания;

«хорошо» - верно выполнено 3 задания;

«удовлетворительно» - верно выполнено  2 задания;

        «неудовлетворительно» - верно выполнено  менее 2 заданий.

Тема: Производная и ее приложения

1. Предел отношения приращения функции в точке х к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю называется…

     а)  производной функции

     б)  неопределенным интегралом

     в)  пределом функции

     г)   первообразной  

2.  Если материальная точка движется по закону  S(t), то первая производная от пути по времени есть…

      а)  угловой коэффициент

      б)  ускорение движения

      в)  скорость в данный момент времени

      г)  нет верного ответа

3.  Геометрический смысл производной состоит в том, что …

      а) она равна пределу функции

      б) она равна всегда нулю

      в) она равна угловому коэффициенту касательной

      г) она равна максимальному значению функции     

4.    Дифференцирование – это…

      а) вычисление предела

      б) вычисление приращения функции

      в) нахождение производной от данной функции

      г) составление уравнения нормали

5. Эта формула выражает

             А) первый замечательный предел;

             Б) первообразную

В) угловой коэффициент касательной

Г) максимальному значению функции     

6.  Уравнение касательной к данной линии в точке М имеет вид…

      а) y-y0=y/(х)(х-х0)

      б) y= y/(х)(х-х0)

      в) y-y0=х-х0

          г) y=y*х  

7.  Производная постоянной величины равна…

      а) единице

      б) самой постоянной

      в) не существует

      г) нулю

8.  При вычислении производной  постоянный множитель можно…

       а) возводить в квадрат

       б) выносить за знак производной

       в) не принимать во внимание

       г) принять за нуль

9.  Ускорение прямолинейного движения  равно…

       а) скорости от пути по времени

       б) первой производной от пути по времени

       в) второй производной от пути по времени

       г) нулю

10. Функция возрастает на заданном промежутке, если…

       а) первая производная положительна

       б) вторая производная положительна

       в) первая производная отрицательна

       г) первая производная равна нулю

           11.     Найти:  

                 а) не существует; б) 0;  в); г) 

         12.        Найти  

             а) 1; б) 0; в) -1;г)

       13.           Найти              

               а) не существует; б) 0 ;в) ;г) 5

        14. Найти:

                    а) е2; б) е ; в) 1 ;г)

15. Найдите производную функции y=x3+cosx.

а) y/=3x2 – sin x        б) y/=x3 – sin x        в) y/=3x2 + sin x        г) y/=x3ln3 + sin x

16. Найдите производную функции y=2x – sin x.

а) y/= x2 – cos x        б) y/=x2 – sin x        в)y/=2 - cos x                г) y/= 1 + cos x

17.. Найдите производную функции y=2x + 1.

а)y/=          б) y/=        в) y/=        г) y/=

18.  Найдите производную функции y= -ex + 3x3.

а) y/=ex + 3x                 б) y/=-xex + 9x2         в) y/=-ex +9x2    г) y/=-ex-1 +9x3.

19. Найдите производную функции y=e2x – ln(3x – 5)

а) y/=2e2x -                  б) y/=2e2x -                  в) y/=e2x -

г) y/=e2x -

20. Вторая производная (x) функции y(x)=4-2x имеет вид

а)y//=4;   б)y”=8 ;  в)y//=6 ;  г)y//=7