"Проблематика решений уравнений в 5-7 классах"
статья по математике (5, 6, 7 класс)

УДК

ПРОБЛЕМАТИКА РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ В 5-7 КЛАССАХ.

В.А. Егорова
ГБОУ СОШ №411 «Гармония» с углубленным изучением английского языка Петродворцового района Санкт-Петербурга, Санкт-Петербург 
E-mail: EgorovaVika96@mail.ru

Ключевые слова: уравнение, линейное уравнение, корень, неизвестное, правила, перенос, знаки, равенство, сумма, разность, вычитаемое, уменьшаемое, делитель, делимое, множитель, произведение, частное, слагаемое.

Аннотация. В работе рассмотрены проблемы решений уравнений в пятых, шестых и седьмых классах. Описаны необходимые знания, умения, навыки. Рассказано об особенностях уравнений в каждом из классов. Описана сложность адаптации детей к уравнениям в седьмых классах. Предложен способ объяснения «переноса» через знак равенства. Решены примеры уравнений самими обучающимися. Проведен анализ системы решения уравнений по траектории пятых-седьмых классов.

Уравнения всегда занимали ведущую роль в курсе изучения математики в школе, не даром на них отводят много учебного времени. Известно всем, если ребёнка научить решать уравнения, то большинство задач для него станут по силам. Даже те задачи, которые вызывали сложности в понимании и решении, с уравнением принимают облегченное значение. Но прежде, чем переходить к задачам, необходимо сформировать навык решения линейных уравнений.

Уравнения – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Корень – число, при подстановке которого в уравнение, получаем верное равенство. Поиск корня уравнения является решением уравнения. Удивительно, но эти определения учащиеся узнают в первом классе, последующие четыре года, закрепляют полученные знания. В итоге, мы получаем, что курс математики в пятых и шестых классах вновь повторяет изученные правила для поиска корней уравнения. Единственное отличие, это сложность самих уравнений. Получается, чтобы решать уравнения необходимо и достаточно знать около шести правил для нахождения неизвестного (слагаемого, вычитаемого, уменьшаемого, делителя, делимого, множителя). В помощь детям на данном этапе нам нужно предложить следующие схемы:

К сожалению, опытным путем известно, дети, которые отлично выучили правила, не могут их применять при отсутствии понимания расположения объектов в уравнении и их названиях. В целом для пятого класса достаточно знать правил и «названия» чисел в примерах.

        Шестой класс добавляет сложности в решений уравнений тем, что появляются отрицательные числа. Необходимо чёткое понимание знаков перед числами. Нужно добиться запоминания, что перед числом всегда есть свой знак  или Здесь сразу встает вопрос перед преподавателем, как теперь строить решение уравнений. Через уже известные правила или начинать объяснять детям перенос чисел за знак равенства. Так как появление отрицательных чисел уже само по себе является стрессом для учеников, то путь наименьшего сопротивления – вернуться к известным правилам. (Заметим, что всё зависит от способностей учеников. Нельзя предлагать другие способы решения, если дети не в силах их освоить.) Но возвращение к правилам вызовут трудности в старшем классе с пониманием «переноса числа через знак», поэтому важным является момент обсуждения другого способа решения. Возможно, уже в шестом классе ученики возьмут этот способ на вооружение!

        Рассмотрим пример .  Ученики пятых/шестых классов скажут:

•  является неизвестным уменьшаемым;
• Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое;

•  – неизвестный множитель;
• Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель;

Ученики решают уравнения через правила, они не заметят, что у числа 25 знак при переносе через знак «равно» поменялся на противоположный. На это стоит обращать внимание уже в шестом классе, чтобы в последующем им было легче ориентироваться.

        Седьмой класс несет новые усложнения материала. Самым главным является то, к примеру неизвестное () уже может стоять в обеих частях уравнения и на данном этапе воспользоваться правилами у учеников нет возможности. Появляется перенос чисел через знак равенства, появляются ошибки. Чтобы ошибок было меньше необходимо работать с ними больше, если начинать говорить о переносе раньше, чем в седьмом классе, то осознание действия происходит раньше.

        Рассмотрим уравнение:  Как можно заметить, тут несколько неизвестных и применить правило пятого/шестого класса достаточно проблематично. Здесь, как две аксиомы даются советы учителей:

1. Неизвестные в одну сторону уравнения, известные в другую.
2. При переносе числа через знак равенства его знак меняется на противоположный.

Представим ход решения глазами учеников:

• Переношу неизвестные влево, известные вправо.  необходимо перенести влево,  вправо.

•  неизвестный множитель, чтобы его найти надо произведение разделить на известный множитель.

Видим, что на последнем этапе ученики седьмых классов всё же используют правила, которые изучали до этого. Если они не доведены до автоматизма, то необходимо вновь их выучить.

        Есть интересный способ объяснения переноса через знак равенства через «уравнивание» частей. Важным здесь является то, что надо объяснить главный смысл уравнения. Уравнение — значит равенство левой и правой части, а если мы прибавляем к левой части какое-то число, то обязаны прибавить его же и к правой! Рассмотрим уравнение, но постараемся подвести мысль к «уравниванию» частей.

У детей сформировано понятие уравнения вида: , где  число. То есть, они привыкли что слева (с одной стороны) должно оставаться неизвестное. Что сейчас мешает нам? Конечно, . А что необходимо сделать, чтобы этого числа не было в левой части? Прибавить ему противоположное, а если мы прибавляем к левой части, то обязаны прибавить и к правой части уравнение тоже самое число.

Этот ход для учеников более понятен и математически обоснован. Его можно сравнить с чашами весов. Где мы добавляем гирю на одну сторону и, чтобы привести весы в равновесие, нам необходимо столько же прибавить и на вторую сторону. И когда этот механизм уже осознан, можно говорить о сокращении записи и подметить тот факт, что справа число 25 отличается тем, что имеет перед собой знак . А значит перенос через знак равенства меняет знак перед числом на противоположный.

        Как мы с вами могли заметить, уравнения идут красной нитью по всем классам. С каждым годом усложняя какую-то часть. Необходимо знать о сложностях в изучении данной темы, чтобы знать обходы и способы избегания ошибок. Самое главное в любом классе — это объяснение материала, основанное уже на изученном материале или общеизвестных фактах, подкрепленных экспериментами. Всегда необходимо давать немного больше для размышления ученикам, немного больше, чем предусмотрено программой. Тогда в будущем будет легче самим детям, не говоря уже о преподавателях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Петерсон Л.Г. Учебник «Математика. 1 класс» Издательство «С-инфо».  
2. Программы для общеобразовательных учреждений. Алгебра 7 – 9 классы. Составитель Бурмистрова Т.А. – М: Просвещение, 2008.
3. Алгебра 7 класс. 12 сентября. Решение линейных уравнений #2. Развивающее обучение на уроках математики и во внеклассной работе. Андреев Андрей Андреевич. Режим доступа: https://www.youtube.com/watch?v=a0Yd0tejekg
4. Математика. Рабочие программы. Предметная линия учебников «Сферы». 5–6 классы : пособие для учителей общеобразоват. организаций / [Е.А. Бунимович, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.]. — 3-е изд. — М. : Просвещение, 2014.
5. Федеральный компонент государственного стандарта основного общего образования по математике