Урок-защита проектов "Решение уравнений высших степеней" 9 класс
творческая работа учащихся по алгебре (9 класс) по теме
Конспект урока по алгебре в 9 классе "Решение уравнений высших степеней", на котором учащиеся защищали свои проекты.
Презентации учащихся: Решение биквадратных уравнений, Решение возвратных уравнений, Решение уравнений с помощью теоремы Безу, Графический способ решения уравнений, Нестандартные решения уравнений.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 конспект урока-защиты проектов "Решение уравнений высших степеней" | 162.28 КБ |
 Решение биквадратных уравнений | 294.11 КБ |
| Решение возвратных уравнений | 390.37 КБ |
| Решение уравнений с помощью теоремы Безу | 489.71 КБ |
| Различные способы решения уранений 3 степени | 279.92 КБ |
| Нестандартные решения уравнений высших степеней | 232.61 КБ |
| Зарождение алгебры | 733.71 КБ |
Предварительный просмотр:
Урок - защита проектов по теме
«Решение уравнений высших степеней»
Цели:
- сформировать представление о методах и способах решения нестандартных задач и алгебраических уравнений на уровне, превышающем уровень государственных образовательных стандартов;
- Совершенствовать навыки работы с информацией: поиск, обработка и применение.
- Развивать коммуникативные навыки учащихся: умение работать в группах, защищать свои проекты.
Эпиграф к уроку:
Большинство жизненных задач решаются как алгебраические уравнения: приведением их к самому простому виду.
Л.Н.Толстой.
Учитель:
Я знаю: каждый в классе гений,
Но без труда талант не впрок
Из ваших знаний и умений
Мы вместе сочиним урок.
Сегодня на уроке вы представите свои проекты по теме:»Решение уравнений высших степеней». Вы работали в группах по различным темам. Итогом вашей работы явились проекты,оформленные в виде презентаций. Чтобы материал, представленный на слайдах, был более понятен, предлагаю, некоторые способы решения уравнений воспроизводить на доске, с последующей записью в тетрадях.
Хочу напомнить, что решение некоторых рассматриваемых типов уравнений не входит в программу обычной школы.
Работая над проектами вы рассмотрели следующие группы уравнений:
А начнем нашу защиту с проекта «Зарождение алгебры», ведь недаром говорят, чтоалгебра– искусство решать уравнения.(см. на диске в папке «Проекты 2010г»).
Следующий проект: Решения биквадратных уравнений.
Такие уравнения мы решали на уроках алгебры. Большое спасибо ребятам за огромное количество рассмотренных уравнений. Их можно использовать как дидактический материал для других классов.
Следующая группа ребят расскажет о решении возвратных уравнений.
Попробуем решить следующее уравнение:х4-5х3+6х2-5х+1=0
Ребята показывают решение на доске, остальные записывают.
А следующий проект «Решение уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу.
После просмотра презентации демонстрируется на доске решение уравнения с помощью теоремы Безу:
А одна из учениц рассмотрела решение уравнений 3 степени различными способами.
Одно уравнение можно решить несколькими способами:
Самые способные ученики вашего класса подготовили проект «Нестандартные решения уравнений высших степеней». Им пришлось очень долго и упорно собирать материал, решить все найденные уравнения.
Представьте нам одно из решений уравнения.
Спасибо, за демонстрацию своих работ.
А теперь, пока учителя, присутствующие на уроке заполняют оценочные листы, у меня к вам несколько вопросов:
• Появились ли у вас новые знания, умения в процессе работы над проектом?
• Что в работе над проектом было наиболее интересным?
• Каковы были основные трудности и как вы их преодолевали?
• Какие можете сделать себе замечания и предложения на будущее?
Давайте поблагодарим всех ребят, разработавших и представивших на наш суд свои проекты.
Вручаем дипломы:
• Лучшему разработчику
• Лучшему научному руководителю
• Лучшему организатору
• Лучшему дизайнеру и т. д.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ЦЕЛИ ПРОЕКТА: 1. СОВЕРШЕНСТВОВАТЬ НАВЫКИ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ. 2. НАУЧИТЬСЯ РАБОТАТЬ С ИНФОРМАЦИЕЙ ИЗ ИНТЕРНЕТА. 3. УМЕТЬ СОЗДАВАТЬ ПРЕЗЕНТАЦИИ, ИСПОЛЬЗУЯ СОБРАННЫЙ МАТЕРИАЛ.
НЕМНОГО ИСТОРИИ… Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ. . НАХОЖДЕНИЕ ПЛОЩАДИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР. ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Нахождение объёма ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Задачи баллистики ПРИВОДИТ К РЕШЕНИЮ КВАДРАТНЫХ, КУБИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ.
Решение уравнений четвертой и пятой степени Кристаллография
Полёт самолёта Решение квадратного и кубического уравнения
В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи ». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Уравнения, приводимые к квадратным (биквадратные) К квадратным уравнениям сводятся уравнения четвертой степени: ax 4 + bx 2 + c = 0, называемые биквадратными, причем, а ≠ 0. Достаточно положить в этом уравнении х 2 = y , следовательно, ay ² + by + c = 0 найдём корни полученного квадратного уравнения y 1,2 = заменим y на x и получим
x ⁴ - 25x² + 144 = 0 x ⁴ - 25x² + 144 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 25y + 144 = 0 D = 25² - 4 • 1 • 144 = 625 - 576 = 49 y ₁ = 16 y ₂ = 9 значит, x ² = 16; x ² = 9 Ответ: x ₁ = 4; x ₂ = -4; x ₃ = 3; x ₄ = -3
x ⁴ - 4x² + 4 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 4y + 4 = 0 D = 4² - 4 • 1 • 4 = 16 - 16 = 0 значит, y = 2 Ответ: x ₁,₂ = ±√
x ⁴ - 2x² - 3 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 2y - 3 = 0 D = 2² - 4 • 1 • (-3) = 4 - (-12) = 16 y ₁ = 3 y₂= -1 значит, x ² = 3; x ² = -1 Ответ: x ₁,₂=±√3;
9x⁴ - 9x² + 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 9y² - 9y + 2 = 0 D = 9² - 4 • 9 • 2 = 81 - 72 = 9 значит, y ₁ =2/3; y₂=1/3 x ² = 2/3 ; x ² = 1/3 Ответ: x ₁,₂=±√6/3 x ₃,₄=±√3/3
4 x ⁴ - 5 x ² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 4 y ² - 5 y + 1 = 0 D = 5² - 4 • 4 • 1 = 25 - 16 = 9 y₁ = 1 y₂ = 0,25 значит, x² = 1; x² = 0,25 Ответ: x₁ = 1; x₂ = -1; x₃ = 0,5; x₄ = -0,5
5x⁴ - 5x² + 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 5y² - 5y + 2 = 0 D = 5² - 4 • 5 • 2 = 25 - 40 = -15 Ответ: нет корней
x ⁴ + 5x² - 36 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 5y - 36 = 0 D = 5² - 4 • 1 • (-36) = 25 - (-144) = 169 y ₁ = 4 y ₂ =-9 значит, x ² = 4; x ² = -9 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2
x ⁴ - 6x² + 8 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 6y + 8 = 0 D = 6² - 4 • 1 • 8 = 36 - 32 = 4 y ₁ = 4 y ₂ =2 значит, x ² = 4; x ² = 2 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2 ; x₃ = √ 2 ; x₄ = - √ 2
x ⁴ + 10x² + 25 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 10y + 25 = 0 D = 10² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0 y = -10 ± 0 / 2 • 1 = -10 / 2 = -5 Ответ: нет корней
x ⁴ + x ² - 2 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + y - 2 = 0 D = 1² - 4 • 1 • (-2) = 1 - (-8) = 9 y ₁ = 1 y ₂ = -2 значит, x ² = 1; x ² = -2 Ответ: x ₁ = 1; x ₂ = -1
x ⁴ - 8x² - 9 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 8y - 9 = 0 D = 8² - 4 • 1 • (-9) = 64 - (-36) = 100 y ₁ = 9 y ₂ =-1 значит, x ² = 9; x ² = -1 Ответ: x ₁ = 3; x ₂ = -3
x ⁴ - 7x² - 144 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 7y - 144 = 0 D = 7² - 4 • 1 • (-144) = 49 - (-576) = 625 y ₁ = 16 y ₂ =-9 значит, x ² = 16; x ² = -9 Ответ: x ₁ = 4; x ₂ = -4
36x⁴ - 3x² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 36y² - 3y + 1 = 0 D = 3² - 4 • 36 • 1 = 9 - 144 = -135 Ответ: нет корней, так как дискрим и нант отрицательный!
16x⁴ + 10x² + 1 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 16y² + 10y + 1 = 0 D = 10² - 4 • 16 • 1 = 100 - 64 = 36 y ₁ = -0,125 y ₂ = -0,5 значит, x ² = -0,125; x ² = -0,5 Ответ: нет корней
x ⁴ - 8x² + 16 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 8y + 16 = 0 D = 8² - 4 • 1 • 16 = 64 - 64 = 0 y = 8 / 2 = 4 Ответ: x = 2; х ₂= -2
x ⁴ - 25x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 25y = 0 y ₁ = 25 y ₂ = 0 значит, x ² = 25; x ² = 0 Ответ: x ₁ = 0; x ₂ = 5; x ₃ = -5
x ⁴ + 15x² + 50 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 15y + 50 = 0 D = 15² - 4 • 1 • 50 = 225 - 200 = 25 y ₁ = -5 y ₂ = -10 значит, x ² = -5; x ² = -10 Ответ: нет корней
x ⁴ - 5x² - 36 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 5y - 36 = 0 D = 5² - 4 • 1 • (-36) = 25 - (-144) = 169 y ₁ =9 y ₂ = -4 Значит, x ² = 9; x ² = -4 Ответ: x ₁ = 3; x ₂ = -3
x ⁴ + 10x² + 25 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 10y + 25 = 0 D = 10² - 4 • 1 • 25 = 100 - 100 = 0 y = -5 Ответ: нет корней
x ⁴ - 6x² + 8 = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² - 6y + 8 = 0 D = 6² - 4 • 1 • 8 = 36 - 32 = 4 y ₁ = 4 y ₂ = 2 Значит, x ² = 4; x ² = 2 Ответ: x ₁ = 2; x ₂ = -2; x ₃ = √2; x ₄ =-√2
5x⁴ - 5x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение 5y² - 5y = 0 y ₁ = 1 y ₂ = 0 Значит, x ² = 1; x ² = 0 Ответ: x ₁ = 0; x ₂ = 1; x ₃ = -1
x ⁴ + 6x² = 0 сделаем замену x ² = y получим квадратное уравнение y ² + 6y = 0 y ₁ = 0 y ₂ = -6 Значит, x ² = 0; x ² = -6 Ответ: x = 0
(5 X +1)² +6(5 X +1)-7 =0 Замена: 5 X +1= y. Получим уравнение: y²+6y-7=0 D =36+28=64 y₁=1 ; y₂= -7 ; 5X+1=1 5X+1= -7 5X=0 5 X =-8 X=0 ; X = -1,6
( X² -9) ² -8( X² -9)+7=0 Замена: X² -9= y. Получим уравнение: y ²-8y+7=0 D =64-28=36 y₁=7 ; y₂=1 X² -9= 7 или X² -9=1 X=±4 x=±√10
(2х 2 +3х) 2 -7(2х 2 +3х)=-10
12 февраля 1535 года между Фиори и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи. В нашей презентации всего 25 уравнений. Попробуйте решить их за урок!!! Н. Тарталья
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели проекта: Познакомиться с методами решения возвратных уравнений. Совершенствовать навыки решения уравнений. Овладеть способами сбора и хранения информации (создать презентацию)
Возвратные уравнения Возвратное уравнение – алгебраическое уравнение а 0 х n + a 1 x n – 1 + … + a n – 1 x + a n =0, в котором а к = a n – k , где k = 0, 1, 2 … n , причем, а ≠ 0. Задачу нахождения корней возвратного уравнения сводят к задаче нахождения решений алгебраического уравнения меньшей степени. Термин возвратные уравнения был введён Л. Эйлером.
Уравнения, у которых коэффициенты членов, равноудаленных от «начала» и «конца» уравнения, равны между собой, называются симметричными . 6х 4 -35х 3 +62х 2 -35х+6=0 Симметричные уравнения четвертой степени. 1)Если m = 1, то это симметричное уравнение первого рода, имеющее вид ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой y = 2) Если m = -1, то это симметричное уравнение второго рода, имеющее вид ax 4 + bx 3 + cx 2 - bx + a = 0 и решающееся новой подстановкой y =
Алгоритм решения уравнений
х 4 – 5х 3 + 8х 2 – 5х + 1 = 0
Х 4 +х 3 -4х 2 +х +1=0
х 4 -5х 3 +6х 2 -5х+1=0
3х 4 + 5х 3 – 14х 2 -10х + 12=0
5х 3 + 21х 2 +21х + 5=0 симметрическое уравнение
6х 4 -3х 3 + 12х 2 – 6х = 0
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели ПРОЕКТА: 1. овладеть способом решения уравнений высших степеней с помощью теоремы Безу. 2. использовать ресурсы интернета. 3. создать презентацию, используя собранный материал
Только в 11 веке таджикский поэт и ученый Омар Хаям впервые решил уравнение III степени. Установить, существует ли формула для нахождения корней любого уравнения, пытались многие. Но в конце 18 века французский ученый Луи Лагранж пытался доказать невозможность алгоритма общих уравнений, а вначале 19 века француз Галуа развил идею Лагранжа. С тех пор математика пошла другим путем. Ученые стали искать другие методы решения уравнений высших степеней . Одним из них является метод разложения многочлена на множители с использованием теоремы Безу.
Этьен Безу Французский ученый-математик, член Парижской Академии наук. Годы жизни: 1733-1783гг. Изучал системы алгебраических уравнений высших степеней;
Этьен Безу Установил общие методы решения уравнений высших степеней; Знаменитость ему принесла теорема. Алгебраические работы Безу опубликованы в мемуарах Академии
Теорема Безу:
х 4 +4х 3 -18х 2 -12х+9=0 Р(-1)=1-4-18+12+9=-22+22=0. Вывод: «-1»– корень уравнения. Найдем делители свободного члена и выясним, при каком из них левая часть равна нулю. Делители:-1;1;-3;3;-9;9. Р(-1)= Р(1)= Р(-3)= Р(3)= и т.д.
х 4 +4х 3 -18х 2 -12х+9=0
х 4 +4х 3 -18х 2 -12х+9=0 Значит, данное уравнение можно разложить на следующие множители
как решают эти уравнения: х 4 -2х 3 -7х 2 +4х+4=0 Делители 4 :1; -1; 2; -2; 4; -4 Р (1) = 1-2-7+4+4=0 (х-1)(х 3 -х 2 -8х-4)=0 Делители 4 :1; -1; 2; -2; 4; -4 Р(-2)= -8-4+16-4=0 (х-1)(х+2)(х 2 -3х-2)=0 х-1=0 или х+2=0 или х 2 -3х-2=0 х₁=1 х₂=-2 D=9+8=17 х₃= х ₄= Ответ: х ₁= 1; х ₂= -2; х ₃= ; х₄=
Ответ: х ₁=4, х₂,₃=1± Делители 8: 1; -1 ; 2 ; -2; 4; -4; 8; -8; Р (4)=64-96+24+8=0 (х-4)(х 2 -2х-2)=0 х-4=0 или х 2 -2х-2=0 х ₁=4 Д=4+8=12 х₂,₃= 1± х 3 -6х 2 +6х+8=0
х 3 -8х 2 +13х-2=0 Делители 2 : -1; 1; -2; 2 Р (2)=8-32+26-2=0 (х-2)(х 2 -6х+1)=0 х-2=0 или х 2 -6х+1=о х ₁ =2 D=36-4=32 х ₂,₃= 3 ± 2 √2 Ответы: х ₁=2, х₂,₃=3±2√2
х 3 -4х 2 +3х+2=0 Делители 2 : -1; 1; -2; 2 Р(2)=8-16+6+2=0 (х-2)(х 2 -2х-1)= 0 Х – 2=0 или х ² - 2х – 1=0 Х ₁ =2 D=4+4=8 х ₂.₃= 1±√2 Ответ : х₁=2, х₂.₃= 1±√2
х 3 +2х 2 +3х+2=0 Делители 2 : -1; 1; -2; 2 Р (-1)=-1+2-3+2=0 (х+1)(х 2 +х+2)=0 х+1=0 или х 2 +х+2=0 х ₁= - 1 Д= - 7 корней нет Ответ: х ₁= -1.
х 3 +4х 2 +х-6=0 Делители 6 : 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6 Р(1)=1+4+1-6=0 (х-1)(х 2 +5х+6)=0 Х-1=0 или х 2 +5х+6=0 Х ₁ =1 D=25-24=1 х ₂= - 2, х₃= - 3 Ответ : -3, -2 ; 1.
х 3 +6х 2 -х-6=0 Делители 6: 1; -1; 2; -2; 3; -3; 6; -6 Р (1)=1+6-1-6=0 (х-1)(х 2 +7х+6)=0 х-1=0 или х 2 +7х+6=0 х ₁ =1 D=49-24=25 х ₂ =-6 х ₃ =-1 Ответ:-6; -1; 1.
х 3 +4х 2 -9х-36=0 Делители 36 : 1; -1; 2; -2; 3; -4; 6; -6; 9; -9; 12; -12; 18; -18; 36; -36 Р(-3)=27-36-27+36=0 х+3=0 или х 2 +х-12=0 х ₁ =-3 D=1+48=49 х ₂=3 х₃= -4 (х+3)(х 2 +х-12)=0 Ответ: -4;-3; 3.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цель проекта: Совершенствовать свои умения и навыки при решении уравнений; Познакомиться с историческими сведениями о решении уравнений; Представить материал в виде презентации.
Омар Хайям ( ок . 1048- ок . 1123) Описал всевозможные виды уравнений третьей степени и рассмотрел сложные и красивые способы геометрических построений для отыскания их решения.
В начале XVI века в крупных торговых городах Северной Италии были популярны математические состязания. Математики публично вызывали соперников на поединок, причем на победителя обычно делались денежные ставки. В это время быстро распространялось преподавание арифметики, необходимой в торговле, и публичные состязания обеспечивали соперничающим преподавателям известность и привлекали учеников. Задачи формулировались для числовых значений, но иногда требовали решения алгебраических уравнений более высокого порядка. Результаты состязаний обнародовались, но методы решения математических задач — оружие в борьбе за репутацию и доходы — каждый из участников противоборства предпочитал держать в секрете.
Николо Тарталья (ребёнок из очень бедной семьи, мать не могла платить за образование, поэтому мальчик в школе узнал только половину азбуки, всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно). В 6 лет он получил удар мечом в гортань от французского воина и с тех пор говорил с трудом, отсюда и прозвище Тарталья (заика). Он вывел формулы для решения уравнений 3-ей степени, но своё открытие держал в тайне. Никколо Тарталья (1499-1557)
Джероламо Кардано (медик) занимался астрологией, составлял гороскопы. Кардано неоднократно обращался к Тарталье с просьбой сообщить ему формулу для решения кубических уравнений и обещал хранить её в секрете. Он не сдержал слово и опубликовал формулу, указав, что Тарталье принадлежит честь открытия «такого прекрасного и удивительного, превосходящего все таланты человеческого духа». Джероламо Кардано (1501-1576)
x³-3x-2 =0 1) Разложение на множители: x³-3x-2=x³+x²-x²-x-2x-2=0 x²(x+1)-x(x+1)-2(x+1)=0 (x+1)(x²-x-2)=0 x=-1 D=1+8=9 x₁=2 x₂=-1 Ответ: -1; 2.
2) Решение с помощью теоремы Безу: x³-3x-2=0 x³-3x-2=0 (-1)³ -3(-1)-2=0 x=-1 x³-3x-2 x+1 x³+x² x²-x-2 -x²-3x -x²-x -2x-2 -2x-2 0 x³-3x-2 =(x+1)(x²-x-2)=0 Ответ: -1; 2.
3) Графический способ решения: x³-3x-2=0 Ответ: -1; 2.
x³-7x+6=0 1) Разложение на множители: x³-7x+6=0 x(x²-1)-6(x-1)=0 x(x-1)(x+1)-6(x-1)=0 (x²+x-6)(x-1)=0 D=1+24=25 x-1=0 x₁=2 x=1 x₂=3 Ответ: -3; 1; 2.
2) Решение с помощью теоремы Безу: 1³-7+6=0 1³-7+6=0 x³-7x+6 x-1 x³-x² x²+x-6 x²-7x -x²+x -6x+6 -6x+6 0 x³-7x+6=(x-1)(x²+x-6) x=1 x²+x-6=0 D=1+24=25 x₁=2 x₂=-3 Ответ: -3; 1; 2.
3) Графический способ решения: Ответ: -3; 1; 2.
x³-13x+12=0 1) Разложение на множители: x³-13x+12=0 x³-x-12x+12=0 x(x²-1)-12(x-1)=0 x(x-1)(x+1)-12(x-1)=0 (x²+x-12)(x-1)=0 D=1+48=49 x=1 x₁=3 x₂=-4 Ответ: -4 ; 1; 3.
2) Решение с помощью теоремы Безу: x³-13x+12=0 x³-13x+12=0 1-13+12=0 x=1 x³-13x+12 x-1 x³-x² x²+x-12 x²-13x x²-x -12x+12 -12x+12 0 x³-13x+12=(x-1)(x²+x-12)=0 x=1 D=1+48=49 x₁=3 x₂=-4 Ответ: -4; 1; 3.
3) Графический способ решения: Ответ: -4; 1; 3.
2x³+x²-3=0 1) Разложение на множители: 2x³+x²-3=0 3x³-x³+x²-3=0 3(x³-1)-x²(x-1)=0 3(x-1)(x²+x+1)-x²(x-1)=0 (x-1)(3x²+3x+3-x²)=0 (x-1)(2x²+3x+3)=0 x=1 2x²+3x+3=0 D=9-24=-15 Ответ: 1.
2) Решение с помощью теоремы Безу: 2x³+x²-3=0 2x³+x²-3 x-1 2x³-2x² 2x²+3x+3 3x²-3 3x²-3x 3x-3 3x-3 0 (x-1)(2x²+3x+3)=0 x=1 или 2x²+3x+3=0 D=9-24=-15 Ответ: 1.
3) Графический способ решения: Ответ: 1.
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели проекта: 1. Совершенствовать навыки решения уравнении высших степеней нестандартными способами. 2. Оформить решение уравнений на слайдах в презентации .
(x+1)(x+2)(x+4)(x+5)=40 (x 2 +6x+5)(x 2 +6x+8)=40 Сделаем замену: x 2 +6x=t (t+5)(t+8)=40 t 2 +13t=0 t(t+13)=0 t 1 =0 t 2 = - 13 Получим уравнения: x 2 +6x=0 x(x+6)=0 x =0 x =-6 Ответ: x 1 =0 ; х 2 =- 6 x 2 +6 x =-13 x 2 +6 x +13=0 Д=36-52=-16 нет решений
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=-15 Ответ: х₁=-2; х₂=-6; х₃,₄=-4 ±
x(x+1)(x+2)(x+3)=24 Ответ: x 1 =1; х 2 =-4
(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)=360 (x 2 +5x+4)(x 2 +5x+6)=360 x 2 +5x=t (t+4)(t+6)=360 t 2 +10t+24=360 t 2 +10t+336=0 Д =100+1344=1444 Ответ: x 1 =2; х 2 = -7
(x-1)(x-3)(x-5)(x-7)=105 (x 2 -8x+7)(x 2 -8x+15)=105 x 2 -8x=t (t+7)(t+15)=105 t 2 +22t+105=105 t 2 +22t=0 t(t+22)=0 t=0 t=-22 x 2 -8 x =0 x ( x -8)=0 x =0 x =8 Ответ: x 1 =0; х 2 =8 x 2 -8 x =-22 x 2 -8 x +22=0 Д=64-88=-24 нет решений
(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)=840 Ответ: х 1 =8; х 2 =-3
(x+1)(x+3)(x+5)(x+7)=945 Ответ: х 1 =2; х 2 =-10
( x +1)( x +2)( x +4)( x +3)=15
( x -4)( x 2 +15 x +50)( x -2)=18 x 2 Ответ: х 1 =-4; х 2 =5; х 3,4 =-5 ± 3
( x 2 +3 x +3)( x 2 -2 x +3)=24 x 2
= Ответ: х 1,2 = 7 ±
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Цели проекта: Познакомиться с информацией о решении уравнений в процессе формирования науки алгебры . Совершенствовать навыки работы с образовательными ресурсами в Интернете. Уметь оформлять полученные результаты в виде презентации.
Алгебра-часть математики, которая изучает общие свойства действий над величинами и решение уравнений, связанных с этими действиями. Слово «алгебра» возникло после появления трактата « Китаб аль-ждебр валь-мукабала » хорезмского математика и астронома Мухаммеда Бен Мусса аль-Хорезми (787-850г.г.) В этом труде он описал краткое сочинение о вычислениях посредством « аль-ждебр валь-мукабала », понимая под этим метод решения уравнений. Метод этот сводился к двум операциям : перенос членов из одной части в другую ( аль-ждебр ) и приведение подобных членов ( валь-мукабала ).
Диофант жил в четвертом веке до нашей эры. ученый отошел от традиционных в греческой математике геометрических проблем и занялся алгеброй. Основное его произведение «Арифметика». Сохранилось 6 томов из предполагаемых 13; в них содержится 189 уравнений с решениями. Автор интересуется только одним решением: положительным и рациональным. Диофант не применял общих методов решения уравнений: методы у него меняются от одного уравнения к другому. При выборе коэффициентов уравнений, чтобы получить желаемое рациональное и положительное решение, Диофант применяет много остроумных приемов.
«Путник! Здесь прах погребен Диофанта. И числа поведать могут, о чудо, сколь долог был век его жизни. Часть шестую его представляло детство. Двенадцатая часть протекла еще жизни – покрылся пухом тогда подбородок. Седьмую в бездетном браке провел Диофант. Прошло пятилетие; он был осчастливлен рожденьем прекрасного первенца сына, коему рок половину лишь жизни прекрасной и светлой дал на земле по сравненью с отцом. И в печали глубокой старец земного удела конец воспринял, переживши года четыре с тех пор, как сына лишился. Скажи, сколько лет жизни достигнув, смерть воспринял Диофант?»
Решение: X лет - продолжительность жизни Диофанта Надпись на могиле приводит нас к уравнению первой степени, решив которое, находим, что Диофант прожил 84 года.
Мухаммед ибн Муса ал-Хорезми – крупнейший ученый первой половины IX века, труды которого сыграли огромную роль в развитии математики и естествознания вначале в обширном регионе азиатской культуре, а затем начиная с XII века, и в Европе. Сейчас установлено, что ал-Хорезми был автором следующих сочинений: 1) «Книга об индийской арифметике» 2) «Краткая книга об исчислении алгебры и алмукабалы »; 3) «Астрономические таблицы ( зидж )»; 4) «Книга картины Земли »; 5) «Книга о построении астролябии»; 6) «Книга о действиях с помощью астролябии»; 7) «Книга о солнечных часах »; 8) «Трактат об определении эры евреев и их праздниках»; 9) «Книга истории». Предполагают, что он родился в городе Хиве, о его жизни почти ничего не известно. Научной работой аль-Хорезми в основном занимался в Багдаде. Его труды в течение нескольких веков оказывали сильное влияние на ученых Востока и Запада.
Учебник математики Ал-Хорезми , выпущенный им около 830 года под заглавием „ Китаб мухтасар аль-джебр ва ал- мукабала " , посвящен в основном решению уравнений первой и второй степени. Этот математик уравнения решает также геометрически. Вот пример, ставший знаменитым, из «Алгебры» ал - Хорезми: х 2 +10х = 39 . В оригинале эта задача формулируется следующим образом: « Квадрат и десять корней равны 39».
Китаб - книга мухтасар – краткая аль - артикль джебр - восстановление ва – союз «и» ал-мукабала - противопоставление
При решении уравнения Если в части одной, Безразлично какой, Встретится член отрицательный, Мы к обеим частям, С этим членом сличив, Равный член придадим, Только с знаком другим, - И найдем результат нам желательный Ал-джабра
Ал-мукабала Дальше смотрим в уравнение, Можно ль сделать приведенье, Если члены в нем подобны, Сопоставить их удобно, Вычтя равный член из них, К одному приводим их.
6х -13 2х -5 = 13 -2х 4х = 8 2 = х Ал-джабра Ал-мукабала Решить уравнение: 6х-13=2х-5
Узбекский математик, поэт и врач Омар Хайям уже в IX веке систематически изучил уравнения третьей степени, дал их классификацию, выяснил условия их разрешимости (в смысле существования положительных корней). Хайям в своём алгебраическом трактате говорит, что он много занимался поисками точного решения уравнений третьей степени В 8 лет знал Коран по памяти, глубоко занимался математикой, астрономией, философией. В 12 лет Омар стал учеником Нишапурского медресе . Он блестяще закончил курс по мусульманскому праву и медицине, получив квалификацию хакима , то есть врача. Но медицинская практика мало интересовала Омара. Он изучал сочинения известного математика и астронома Сабита ибн Курры , труды греческих математиков.
Однажды во время чтения «Книги об исцелении» Абу Али ибн Сины Хайям почувствовал приближение смерти (а было тогда ему уже за восемьдесят). Остановился он в чтении на разделе, посвященном труднейшему метафизическому вопросу и озаглавленному «Единое во множественном», заложил между листов золотую зубочистку, которую держал в руке, и закрыл фолиант. Затем он позвал своих близких и учеников, составил завещание и после этого уже не принимал ни пищи, ни питья. Исполнив молитву на сон грядущий, он положил земной поклон и, стоя на коленях, произнёс: «Боже! По мере своих сил я старался познать Тебя. Прости меня! Поскольку я познал Тебя, постольку я к Тебе приблизился». С этими словами на устах Хайям и умер.
Джероламо Кардано ( 1501 - 1576 ) – врач, философ, математик и механик – в своей книге, посвященной алгебре, указал «формулу Кардано » - формулу для нахождения корня уравнения третьей степени: С 1534 года Кардано начал чтение лекций по математике и медицине в Миланском университете. . Работы Кардано сыграли большую роль в развитии алгебры; одним из первых в Европе он стал допускать отрицательные корни уравнений. С именем Кардано связывают формулу решения неполного кубического уравнения. Одиннадцать лет спустя он издал свой значительный труд по математике, озаглавленный „ Artis magnae sive de regulis algebraicis liber unus ". Именно этот труд обусловил выдающееся место Кардано в истории развития математики .
Согласно легенде, Кардано предсказал день своей смерти и, чтобы оправдать своё предсказание, покончил с собой. С юности Джероламо обуревала жажда славы. На склоне лет он писал в своей автобиографии: Цель, к которой я стремился, заключалась в увековечении моего имени, поскольку я мог этого достигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти. Учился в университетах Павии и Падуи . Занимался сначала исключительно медициной, но в 1534 стал профессором математики в Милане , позже — в Болонье , хотя доходное врачебное занятие не бросил и завоевал репутацию одного из лучших европейских врачей. Подрабатывал также составлением астрологических альманахов и гороскопов . За составление и публикацию гороскопа Иисуса Христа был обвинён в ереси ( 1570 ), провёл несколько месяцев в тюрьме и был вынужден уехать в Рим просить у Папы отпущение грехов. Женился в 1531 году . Старший сын Кардано был осуждён за убийство изменницы-жены и казнён ( 1560 ), из-за чего Кардано и переехал в Болонью . Младший сын стал игроком и воровал деньги у отца.
Никколо Тарталья (1499-1557) – учитель математики - заново открыл метод Даль Ферро. Итальянский математик Тарталья Труды посвящены вопросам математики, механики, баллистики, геодезии, фортификации и др. В сочинении "Новая наука" (1537г.) он показал, что траектория полёта снаряда на всём протяжении есть кривая линия (парабола) и что наибольшая дальность полёта снаряда соответствует углу в 45°. Другая его важная работа - "Общий трактат о числе и мере" (части 1-6, 1556-60г.), который содержит обширный материал по вопросам арифметики, алгебры и геометрии. Имя Тарталья, наряду с именем Дж. Кардано , связано с разработкой способа решения кубических уравнений .
12 февраля 1535 года между Фиори и Н.Тартальей состоялся научный поединок, на котором Тарталья одержал блестящую победу. Он за два часа решил все предложенные Фиори 30 задач, в то время как сам Фиори не решил ни одной задачи Тартальи.
Вначале Декарт готовился к военной карьере, но увлекся математикой, которая привлекла его достоверностью своих выводов. Но и ему не было условий для научной работы. Иезуиты выступают против учения Декарта, угрожают ему расправой и заставляют покинуть Францию. Двадцать лет он живет в Голландии, последние два года жизни он провел в Швеции, создавая Академию наук. Климат Швеции подорвал здоровье ученого, и он умирает вдали от родины от воспаления легких. Декарт внес большой вклад в геометрию, алгебру. С его именем связаны такие понятия, как координаты, произведение, парабола, овал и другие. Декарт всю жизнь опасался неодобрения со стороны могущественного ордена иезуитов. Декарт был мишенью для яростных нападок церковников. Впоследствии произведения Декарта были присуждены к сожжению как еретически
Франсуа Виет (1540-1603) – «отец алгебры» - открыл несколько способов решения уравнений четвертой и пятой степени. Франсуа Виет по образованию юрист. Он много занимался адвокатской деятельностью, а с 1571 по 1584 г. Был советником королей Генриха III , а после его смерти – Генриха IX
Благодаря трудам Виета открылась возможность выражения свойств уравнений и их корней общими формулами. Виет нашел общие методы решений уравнений второй, третьей и четвертой степени, унифицировал методы, найденные раннее Ферро и Феррари, а также вывел общеизвестные теперь формулы суммы и произведения корней квадратного уравнения (формулы Виета). Впервые свои исследования по математике Виет опубликовал в книге "Математический канон" в 1574 году. Эта книга печаталась за счет Виета и поэтому вышла очень небольшим тиражом. Его работы были написаны столь трудным для понимания математическим языком, что не нашли такого распространения, которого заслуживали. Все свои математические труды Виет опубликовал в 1591 году в книге „ Isagoge in artem analiti - cam ". Они свидетельствовали о всесторонности его знаний. Спустя 40 лет после смерти Виета его произведения были изданы под общим заглавием “Opera mathematica ”.
Голландский ученый Андриан Ромен вызвал на поединок всех математиков мира, предложив им решить уравнение 45 степени. Коэффициенты были очень большими числами, один из них был равен 488494125. 53-летний Виет указал 23 корня уравнения, остальные 22 корня были отрицательные, а Виет отрицательных чисел на признавал. Как к Виету пришла слава
Теорема, выражающая связь между коэффициентам и квадратного уравнения и его корнями, носящая имя Виета, была им сформулирована впервые в 1591 г. «Если В + D , умноженное на А минус А 2 , равно BD , то А равно В и равно D ».
Другие научные заслуги Виета: знаменитые « формулы Виета » для коэффициентов многочлена как функций его корней ; новый тригонометрический метод решения неприводимого кубического уравнения , применимый также для трисекции угла; первый пример бесконечного произведения: полное аналитическое изложение теории уравнений первых четырёх степеней; идея применения трансцендентных функций к решению алгебраических уравнений; оригинальный метод приближённого решения алгебраических уравнений с числовыми коэффициентами; частичное решение задачи Аполлония о построении круга, касающегося трёх данных, в сочинении Apollonius Gallus (1600). Решение Виета не проходит для случая внешних касаний. [2]
« Алгебраические обозначения получают усовершенствование у Виета и Декарта ; начиная с Декарта алгебраическая запись мало чем отличается от современной » . Андронов А.А., советский математик
«Люди, незнакомые с алгеброй, не могут представить себе тех удивительных вещей, которых можно достигнуть … при помощи названной науки.» Г.В. Лейбниц
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Урок-защита проекта «Письмо Огиньскому». Музыка. 7 класс.
Урок-защита проекта «Письмо Огиньскому». Музыка. 7 класс....
Способы решения уравнений высших степеней. 8 класс
Данную презентацию использую при решении уравнений высших степеней в 8 классе. Решать квадратные уравнения школьники научились по формулам, а если уравнение выше второй степени? Есть ли алгоритм...
Конспект урока. Тема: "Решение уравнений высших степеней" 8 класс
Полное описание урока. Как решать уравнения выше второго порядка? Есть ли алгоритм решения? На эти и другие вопросы отвечает данный материал....
Презентация программы элективного курса для 9-х классов "В мире уравнений высших степеней"
Это презентация поможет сформировать программу элективного курса для предпрофильной подготовки девятиклассников по теме "В мире уравнений высших степеней"....
Урок математики в 9 классе на тему "Способы решения уравнений высших степеней"
Данная тема является актуальной и важной при изучении математики, так как уравнения высших степеней составляют часть выпускных экзаменов, встречаются на вступительных экзаменах в вузы и являются неотъ...
Контрольная работа по алгебре по теме: "Многочлены. Уравнения и системы уравнений высших степеней. Теорема Безу. Повторение". 9 класс ( углубленный уровень).
В контрольной работе содержится подборка заданий углубленного уровня по теме "Многочлены. Теорема Безу. Деление с остатком. Повторение". Для сильных ребят в этой теме необходимо рассмотреть ...