Урок:  «Способы решения уравнений высших степеней»

Алгебра 9 класс

Автор урока: Берсенева Светлана Павловна,

учитель математики МАОУ «Гимназия №2» г.Пермь

Тип урока: Урок систематизации знаний

Цель урока:

Систематизация знаний по теме «Способы решения уравнений».

Задачи:

1. Повторить способы решения уравнений 1-й, 2-й и высших степеней.
2. Подготовить учащихся к будущей контрольной работе.
3. На исторических примерах побудить к самостоятельным поискам решения уравнений высших степеней.
4. Воспитание инициативности и уважения друг к другу.

Оборудование:

5. карточки с домашним заданием (с  предыдущего урока)
6. презентация
7. раздаточный материал для вклейки в тетрадь
8. карточки с контрольной работой (для следующего урока).

Краткий ход урока:

На предыдущем уроке учащимся были выданы карточки с домашним заданием, состоящие из 3 групп: уравнения 1-й, 2-ой и уравнения высших степеней. При проверке домашнего задания учитель обращает внимание на способы решения данных уравнений.    

И возникает вопрос, можно ли уравнения высших порядков решать по формуле? Есть ли обобщенный  способ решения таких уравнений? На исторических примерах Джероламо Кардано, Нильса Абеля  и Эвариста Галуа рассказывается как решали этот вопрос математики других веков.

Учитель подводит учащихся к выводу, что обобщенного способа решения для уравнений порядка, выше второго, нет.

Далее решаются симметричные уравнения высших порядков из «Сборника задач по алгебре 8-9 »(М.Л.Галицкий и др.).

Подводятся итоги. Задается домашнее задание.        

Подробный конспект  урока:

Здравствуйте, садитесь.

Откройте тетради. Тема нашего сегодняшнего урока:

«Способы решение уравнений с одной переменной»

На этом уроке мы с вами должны  систематизировать все те знания, которые вы получили в области решения уравнений  до сегодняшнего дня.

Мы будем говорить о решении уравнений, а

- Что значит решить уравнение?

Проверим домашнее задание.

1) 5х – 4 = 7                                        Ответ: х=2,2

2) 6( х – 1 ) = 9,4 – 1,7х                        Ответ: х=2

1. Как можно назвать такие уравнения?    ( уравнения 1-й степени)
2. Как они решаются?   ( при помощи формулы х=-в/а)

3) 3х2 – 2х = 5                                      Ответ: х=-1;х=1

4) 10х = х2                                              Ответ: х=0;х=10

1. 9х2 + 6х + 1 = 0                                 Ответ: х= 1/3

1. Как можно назвать такие уравнения?    ( уравнения 2-й степени)
2. Какими методами вы их решали?     (формулой, разложением

                                                              на множители, графически)

6)   8х3-6х2+3х–1 = 0                             Ответ: х=1/2            

1. Каким методом решили?                   (разложением на множители)

7)  (х2+ 5х)(х2-3х-28) = (х3-16х)(х2-2х-35 )      Ответ: х=-5,-4,0,5,7.

2. Каким методом решили?                  (разложением на множители)

8)   (х2+)+7(х-)+10 = 0                     Ответ: -2±;

3. Каким методом решили?                     (замена переменного)

1. 9х2+2 = 20 -12х                        Ответ: х=2/3; х=-2  

4. Каким методом решили?                     (замена переменного)

10) -2х - х3 – 3 = 0                                   Ответ: х=-1              

5. Каким методом решили?                    (графическим )

Поставьте себе оценки:

«5» – 10баллов

«4» -   9,8 баллов

«3» -  7,6 баллов

6. Как можно назвать последние 5 уравнений?

 (уравнения высших  степеней)

7. А не задавали ли вы себе  вопрос: «Можно ли решить уравнение п-й степени по формуле?»

 Одна из формул для решения уравнений 3-й степени вывел Джероламо Кардано (1501-1576)

Что сложная формула?

Посмотрите пример решения по ней.

И в последующие века ученые бились над созданием формул

 решения уравнений высших порядков. Перед вами

Представьте себе, что в середине января вас посылают  в лес за грибами…И хотя вы отлично знаете, в каком именно лесу надо искать грибы, что нужно с собой взять, вы все же в лес не пойдете - точно знаете , что их в лесу нет. Сразу возникает вопрос, а откуда вы это знаете? Из опыта.

Точно так же и здесь, прежде чем пытаться отыскать формулу, нужно попытаться выяснить, может ли она существовать.

А вот этим вопросом занялись вплотную норвежец Нильс Абель  и Эварист Галуа.

Абель впервые доказал неразрешимость в радикалах уравнений 5-й степени, а Галуа нашел необходимое и достаточное условие разрешимости в радикалах,

т.е. по этому условию получается, что формулы существуют только для уравнений 2-й,3-й,4-й степеней.

  Трагичны судьбы этих математиков.

 Посмотрите на годы их жизни. Абель умер от туберкулеза в 26 лет. И он, конечно же, не мог даже предполагать, что студенты 20 века всех университетов мира будут изучать абелевы группы, теорему Абеля, формулы Абеля и абелевы интегралы.

Галуа погиб в возрасте 21 года на дуэли. Причем, в ночь перед дуэлью, он успел, будучи в тюрьме дописать свой труд о разрешимости уравнений и передать его через жандармов.

Интересен и тот факт, что он был второгодником в лицее (гуманитарного профиля) и оставшись на второй год, он параллельно стал посещать математический класс. Математика его захватила.

В 17 лет он поступает в Политехническую школу. На вступительном экзамене экзаменатор предложил ему решить очень трудное уравнение. Галуа за несколько минут набросал оригинальное решение. Не поняв способа решения, преподаватель засмеялся. Отчаявшись убедить учителя в правильности решения, Эварист швыряет в него губку, т.е. в политехническую школу он не попал.

Образование его так и осталось до конца дней лицейским. Причем, только в протоколе о смерти он был назван математиком. И, конечно, 20 летний гений не предполагал, что 60 стр., на которых умещается его труд, послужит основой теории, которую нынче называют теорией Галуа.

Коли нет общих формул для решения уравнений высших степеней, нам придется в каждом конкретном случае искать свой путь решения.

На данный период мы с вами знаем лишь три способа решения таких уравнений:

1. Метод замены переменной
2. Метод разложения на множители
3. Графический метод

Что ж, придется решать уравнения только этими способами.

Учебник Галицкого

1)  № 9.24 а) стр.113

х4 – 7х3+14х2 – 7х + 1 = 0

8. Уравнение какой степени здесь записано?
9. Сколько корней может иметь это уравнение?
10. Обратите внимание на коэффициент высшей степени и на коэффициент нулевой степени, т.е. на свободный член. А сейчас на коэффициент при х3 степени и на коэффициент при х.
11. Что замечаете? (они попарно равны).

Такие уравнения называются симметричными.

И вот вам ещё один прием решения уравнений высших степеней.

В данных уравнениях поступают так. Делят все слагаемые на х в четной степени.

 Разделим данное уравнение на х2 и получим

х2 – 7х + 14 -   +  = 0

Группируем и выносим за скобки общий множитель, где это возможно.

(+) - 7()+14 = 0

Пусть  = у, тогда уравнение примет вид

у2 – 2 – 7у + 14 = 0

у2  – 7у + 12 = 0

Д = 1

у1= 4;  у2 = 3

Возвращаясь к нашей замене, получим

 - 4 = 0   или    - 3 = 0

д = 12                  д = 5

х1,2 =2±          х3,4 =

Ответ: х1,2 =2±; х3,4 =

1. № 9.17 в)

х4 + х2 + 4|х2 - х| = 2х3 + 12

х4 – 2х3 + х2 + 4|х2 - х|  - 12 = 0

Пусть |х2 – х| = а

а2+ 4а – 12 = 0

д = 64

а1,2= -6, 2

Возвращаемся к замене:

|х2 – х| = -6 или |х2 – х| = 2

Нет решения  х2 – х - 2= 0 или х2 – х + 2= 0

д=9                        д<0

х1,2=-1,2 нет решения

Сделав проверку, получаем ответ

 Ответ: х1,2=-1,2

2. № 9.5 а)

х3 – 3х2 –6х + 8 = 0  

сгруппируем

(х3 + 8) – 3х(х +2) = 0

(х + 2)( х2 – 2х + 4) – 3х(х +2) = 0

(х + 2)( х2 – 2х + 4 – 3х) = 0

(х + 2)( х2 – 5х + 4) = 0

Два множителя =0, если хотя бы один из них =0, а другой при этом не теряет смысла.

х2 – 5х + 4 = 0 или х + 2 = 0

д = 9 х 3= -2

х1,2=1;4

Ответ: х = -2;1;4

4)Решить уравнение:  х3 -  2х- 4 = 0

Данное уравнение лучше решить графически, построив график, находим точку пересечения

Ответ : х = 2

Подведем итог урока.

9. Что вы узнали нового на сегодняшнем уроке?

Домашнее задание:

Из «Сборника задач по алгебре 8-9 »(М.Л.Галицкий и др.)

№ 9.24(б,в,г)

№ 9.10

№9.11(а,б)

Из учебника «Алгебра-9» (под редакцией С.А. Теляковского)

№ 291

№ 297 9(а,б)