Урок по теории вероятностей и статистике в 7 классе
план-конспект урока по математике (7 класс)

Урок по теории вероятностей и статистике в 7 классе

Тема "Отклонения. Дисперсия". 7-й класс

Цель: сформировать у учащихся представление о понятиях “отклонение” и “дисперсия” и навыки их применения в реальных статистических исследованиях

Задачи урока:

• образовательные – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• развивающие– формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• воспитательные – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, применять вводимые понятия в практической жизни.

Планируемые результаты:

• знать, что такое отклонение от среднего арифметического и дисперсия;
• уметь вычислять отклонения, квадраты отклонений и дисперсию на коротких наборах;
• уметь применять понятия квадратов отклонений и дисперсии при анализе реальных ситуаций;

Оборудование:

• мультимедийный проектор, экран.

Дидактические материалы:

• карточки с таблицами.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему и цели урока. (Слайд 1).

II. Актуализация знаний учащихся

На предыдущих уроках мы рассмотрели так называемые средние характеристики числового ряда, позволяющие оценить его поведение “в среднем”. Повторим их определения и способы нахождения.

Слайд 2 – задание на повторение (комментарии учителя, проверка ответов учеников с помощью слайда).

Задание. Дан числовой набор.

Найти среднее арифметическое и медиану, определить, какая из характеристик лучше характеризует числовой набор и почему?

III. Изучение нового материала, формирование знаний, умений и навыков

Слайд 3 - характеристики числового ряда (комментарии учителя).

Средние характеристики числового ряда (среднее арифметическое, медиана), позволяют оценить поведение ряда “в среднем”. Но это не всегда наиболее полно характеризуют выборку. Чтобы получить полное представление о поведении числового ряда, помимо средних характеристик надо знать характеристики разброса, показывающие, насколько сильно значения ряда отличаются друг от друга, как сильно они разбросаны вокруг средних.

Рассмотрим следующий пример ( раздать карточки с таблицами, которых нужно заполнять по ходу урока)

Слайд 4-5 – задание 1 (комментарий учителя).

   Международные спортивные игры "Дети Азии" получили свое начало в 1996 г. по инициативе первого Президента Республики Саха (Якутия) М.Е.Николаева и были посвящены 100-летию олимпийского движения. С тех пор они проводятся совместно с Олимпийским комитетом России, Росспортом, Министерством иностранных дел Министерством образования и науки Российской Федерации. Летом 2012 года будет V международная спортивная игра «Дети Азии».

     Для участия в V международных спортивных играх «Дети Азии» нужно выбрать лучших футболистов республики. На одно место футболиста претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных играх. Результаты спортсменов представлены в таблице

Вопрос: кого из футболистов предпочтительнее взять на спортивные игры?

Рассчитаем, сколько голов забил каждый из футболистов за 5 сезонов.

Вывод: количество голов одинаково.

Рассчитаем, сколько голов в сезон забивал в среднем каждый футболист. Для этого найдём среднее арифметическое числовых наборов Х и Y.

Среднее арифметическое у обоих футболистов тоже одинаковое.

На данном примере мы увидели, что с помощью средних характеристик сравнение выполнить не всегда возможно.

Как поступить?

В данном случае критерием сравнения может выступать стабильность игры– у какого футболиста количество забитых им голов в сезон менее отличается друг от друга, тот играет стабильнее.

Если количество забитых в сезон голов сильно разнится, то в какой-то сезон футболист играет не в полную силу, забивает меньше голов, а в какой-то сезон навёрстывает упущенное, а это всегда сказывается на качестве игры.

Стабильность можно оценивать с помощью отклонений элементов числового набора от среднего значения (отклонение – это разность между числом из данного набора и средним арифметическим этого набора)

Слайд 6 – пример вычисления отклонений (комментарии учителя).

Отклонение – разность между средним значением и числом набора

Набор отклонений:

Логично предположить, что чем меньше будет разброс (отклонения от среднего значения) – тем стабильнее играет футболист.

Но когда набор чисел велик, рассматривать отклонения практически неудобно, нужно описать разнообразие чисел в наборе одним числом.

Попробуем найти сумму отклонений.

Слайд 6 – пример вычисления суммы отклонений (комментарии учителя, вывод).

-2-4+0+2+4=0

В сумме получилось 0 (т.к. при вычислении “среднего разброса” часть отклонений входит в сумму со знаком “+”, часть со знаком “-” и в сумме всегда получается 0). Следовательно сумма отклонений не может нести информацию о разбросе.

Какой же выход?

Можно суммировать квадраты отклонений (они всегда неотрицательны).

Слайд 7 – пример вычисления квадратов отклонений (комментарии учителя)

Набор квадратов отклонений:

Сумма квадратов отклонений:

4+16+0+4+16 = 40

Чем меньше сумма квадратов отклонений, тем меньше разброс чисел относительно среднего значения, тем более стабилен набор.

Итак, рассчитаем сумму квадратов отклонений для нашего примера.

Вывод: второй футболист играет более стабильно, у него меньше сумма квадратов отклонений. Вероятно, тренер предпочтёт взять на соревнование его.

В данном примере футболисты играли одинаковое количество сезонов. А если они количество сезонов неодинаково?

Тогда стабильность игры каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического квадратов отклонений от среднего значения – дисперсии.

Слайд 8 – пример вычисления дисперсии (комментарии учителя).

Дисперсия - среднее арифметическое квадратов отклонений:

Dx= (4+16+0+4+16)/5 = 40/5 = 8

Дисперсия – характеристика разброса, мера стабильности.

Чем больше дисперсия, тем ниже стабильность

Рассмотрим следующий пример.

Слайд 9 – задание 2 (комментарии учителя).

(Ученикам открыть лист “Задание 2” файла с заданиями).

Аналогично заданию 1 рассчитаем, сколько голов забил каждый футболист и сумму квадратов отклонений.

Т.к. футболисты играли разное количество сезонов, рассчитаем и сравним дисперсии числовых наборов X и Y.

Вывод: первый футболист играет стабильнее второго.

3. Самостоятельная практическая работа.

Слайд 10 - задание 3.

С 28 марта по 2 апреля в Южной Якутии пройдёт II Спартакиада зимних видов спорта Республики Саха (Якутия). Примут её опять Алдан и Нерюнгри.

     Для участия в II Спартакиаде зимних видов спорта Республики Саха (Якутия)нужно выбрать лучших лыжников района. На одно место претендуют двое. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были участвовать в отборных соревнованиях. Результаты спортсменов на 10 км.представлены в таблице

Вопрос: кого из спортсменов предпочтительнее взять на спартакиаду?

Подвести итог самостоятельной работы.

4. Итог урока.

Слайд 11 – выводы (комментарии учителя).

Слайд 12 – вопросы (ответы учеников).