Решение задач с параметрами.
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике на тему

 Решение задач ЕГЭ

1. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение  имеет хотя бы один корень.

Решение. Заметим, что выражение, стоящее в левой части уравнения, задает неубывающую функцию f(x), кусочно-заданную линейными функциями с неотрицательными угловыми коэффициентами.

Если значение f(-2) неотрицательно, то ее график имеет хотя бы одну общую точку с графиком функции g(x), заданной правой частью уравнения. Если же это значение отрицательно, то и при x-2, где  f(x)<0, и при x>-2, где f(x)<7х+14 (поскольку упомянутые выше угловые коэффициенты линейных функций, составляющих f(x) меньше 7) график функции f(x) располагается под графиком g(x). Таким образом, для наличия корня должно быть : , , ,  или , что невозможно.

Можно было перенести все в одну часть равенства  и заметить, что при x<-2 непрерывная функция  убывает, поскольку на любом из ее линейных кусочков угловой коэффициент отрицателен, а при  она возрастает. Отсюда ясно, что для выполнения требования задачи должно быть .

Ответ: .

2. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения неравенств  и  являются решениями неравенства .

Решение. Другими словами, нужно найти все значения а, при которых решение системы двух первых неравенств является подмножеством решений третьего неравенства.

Перепишем неравенства в виде ,  и . Неравенствам удовлетворяют точки координатной плоскости, расположенные на и над прямыми у=а-2х, у=2а+х и над прямой . Значит, третья прямая должна проходить через точку пересечения двух первых или под ней. Найдем координаты этой точки.

При  должно быть , т.е.

Ответ: 

1. Найдите все значения а, при каждом из которых функция

 принимает только неотрицательные значения.

Решение. Рассмотрим эту функцию на интервалах, на которых можно снять знак модуля.

На промежутках  и  должно быть . Свое наименьшее значение квадратный трехчлен, стоящий в левой части неравенства, принимает при , принадлежащем множеству  Это значение должно быть неотрицательным  .

На промежутке -0,5<x<2 должно быть . В силу возрастания функция  принимает на данном промежутке значения большие, чем f (0,5)= -5,5+2-2а= -3,5-2а, значит,

Должны выполняться оба ограничения на а:

Ответ: 

4. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система неравенств

имеет решения.

 Решение. Первое неравенство задает на координатной плоскости круг радиуса  с центром в точке (2а; а). Второе неравенство задает полуплоскость с границей х=2у+1.

Система имеет решения, если круг и полуплоскость имеют общие точки; для этого расстояние от центра до прямой х=2у+1 должно быть не больше радиуса круга. Это расстояние между параллельными прямыми х=2у и х=2у+1. Рассмотрим треугольник с вершинами (0;0), (1;0), . Его катеты равны 1 и ; следовательно, высота, опущенная на гипотенузу, равна  Значит, система имеет решения при  Решая это неравенство, получаем: , т.е.  или .

 Ответ: , .

5. Найти все пары (х;у), , удовлетворяющие системе

где f –периодическая функция с периодом Т=2, определенная на всей числовой прямой, причем .

    Решение. 

Как видно из первого уравнения, , значит,

Так как  и Т=2,

х=1+2n, n=0,1,2,3…

   Так как f (x)=10,

Так как  и Т=2, имеем

, к=0,1,2,3…

     Ответ: x=1+2n,

        , n, к=0,1,2,3…

     6.  Найдите все значения параметра а, при каждом из которых общие решения  неравенств  и  содержат только одно целое решение.

    Решение.

     Сперва посмотрим при каких а эти неравенства вообще имеют решения.

    При этом, если а=1, то первое неравенство имеет одно решение х=3, а второе имеет решение  и х=3 попадает в этот промежуток и будет единственным целым совместным решением.

    Аналогично и для случая а=3.

    1) Рассмотрим случай a<1, т.е. у первого неравенства решений нет. Тогда для второго получаем

    Решение неравенства будет содержать только одно целое число, если        

что невозможно при а<1.

    2) Рассмотрим случай a>3, т.е. у второго неравенства решений нет. Тогда для первого получаем:

     Решение неравенства будет содержать только одно целое число, если

что невозможно при a>3.

    3) Значит, возможен только случай, когда решения имеют оба неравенства.

    Вершины парабол находятся в точках 3 и 4, т.е. каждая из этих точек входит в решение каждого неравенства. Между 3 и 4 целых чисел нет, поэтому единственным целым решением может быть только или 3, или 4.

    Введем функции  и

    Если расстояние между нулями функции f будет больше 2, а у функции g – меньше 2, то единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам – это 4.

    Если расстояние между нулями функции f будет меньше 2, а у функции g – больше 2, то единственная точка, удовлетворяющая обоим неравенствам – это 3.

    Получаем:

    С учетом всех описанных выше ограничений получаем .

    Ответ: .

1. Найти все значения параметра а, при которых система

имеет хотя бы одно решение. Найдите эти решения.

    Решение.

    Немного преобразуем первое уравнение:

    Наименьшее значение выражения, стоящего в правой части равно 169. Если удастся доказать, что наибольшее значение левой части тоже 169, то задача будет решена «в момент».

    Тогда .

    Преобразуем

    Видим, что ,  а в силу второго уравнения

    Тогда можно представить полученные дроби в виде тригонометрических функций (как видим, для них выполняется основное тригонометрическое тождество).

    Тогда

    Таким образом, доказано, что наибольшее значение выражения в левой части первого уравнения равно 169, и задача решена.

    Ответ: .

    8. При каких значениях а уравнение  имеет хотя бы одно решение?

    Решение.

    Сначала очевидное условие

    Теперь само уравнение. Т.к.  то

     Если внимательно посмотреть на полученное соотношение, то можно увидеть, что  значит для углов из полученного промежутка неравенство  имеет решение . Т.е. .

    Ответ: 

9. При каких значениях параметра а система уравнений

имеет единственное решение?

    Решение.

    Прежде всего заметим, что если выразить из второго уравнения у и подставить в первое, то получим там четную относительно х функцию. Как известно, эта функция может иметь нечетное количество нулей, только если один из этих нулей х=0.

    Тогда

    Теперь надо посмотреть, чтоб было не просто нечетное число нулей, а именно один единственный.

    В случае  все просто.

      при  получаем еще два корня, значит это значение параметра не подходит.

    Если

    Если , то  Если корней не будет при , то в силу четности их не будет и при

    При   функция в левой части равенства монотонно возрастает. Функция в правой части:

    ; имеет максимум на рассматриваемом промежутке при , наибольшее значение равно , и это значение меньше, чем значение левой части в этой точке. Значит, других корней, кроме х=0 нет.

    Ответ:

10. Найдите все значения параметра  b, при каждом из которых для любого а неравенство  имеет хотя бы одно целочисленное решение (х,у).

    Решение. Область решений нашего неравенства будет открытым кругом радиуса . Именно эта величина будет ключевой в решении.

    Потому, что именно эта величина равна половине диагонали квадрата с вершинами в соседних точках с целочисленными координатами.

    На рисунке показано единственное положение нашего круга, при котором ни одна точка с целочисленными координатами не попадет внутрь круга. Стоит кругу хоть чуть-чуть сдвинуться из этого положения, и тогда хотя бы одна такая точка неминуемо попадает внутрь.

    Если центр круга (a+2b;3a+b)) находится, как показано на рисунке, ровно посередине между двумя соседними точками с целочисленными координатами, то можно записать:

    , где (n;m) – целочисленные координаты произвольно взятой точки. Получаем:

    Понятно, что условию задачи удовлетворяют все значения b, для которых не выполняется записанное выше условие.

    Ответ: .