Текстовые задачи, 5-6 класс
статья по математике (5, 6 класс) на тему

                                       Методологические особенности обучения школьников  

                                           решению текстовых задач в 5,6 классах.

     Решение текстовых задач является наиболее трудной частью деятельности учащихся при изучении математики и занимает одно из главных мест в общем процессе обучения. Школьников обучают математике за тем чтобы свои знания они могли эффективно использовать в своей дальнейшей жизни для решения разнообразных задач, возникающих в практической деятельности.

  Кроме этого, умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития ученика, глубины освоения учебного материала. Поэтому любой экзамен по математике, любая проверка знаний содержит в качестве основной, и, пожалуй, наиболее трудной части решение текстовых задач. Так в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи, предлагаются задачи на дроби и проценты (смеси и сплавы, изменение цен и банковских вкладов), на равномерное движение, совместную работу.  Как правило, с текстовыми задачами справляются около 40% экзаменуемых.

    Почему же это происходит? За время обучения в школе каждый ученик решает огромное число задач, порядка несколько десятков тысяч. При этом некоторые ученики овладевают общими умениями решения задач, а многие, встретившись с задачей незнакомого, малознакомого вида, теряются и не знают, как к ней подступиться. Это происходит потому, что одни ученики вникают в процесс решения задач, стараются понять, в чём состоят приёмы и методы решения задач, изучают задачи. Другие же, не задумываясь над этим, стараются лишь как можно быстрее решить заданные задачи. Эти учащиеся не анализируют в должной степени решаемые задачи  и не выделяют из решения общие приёмы и способы. Задачи зачастую решаются лишь ради получения ответа.

   Поэтому вот уже на протяжении нескольких лет мною используются разнообразные приёмы, методы, способствующие формированию умений решения текстовых задач. Так как убеждена, что умение решать задачи самостоятельно, без посторонней помощи формируется автоматически, непроизвольно лишь у небольшой части учащихся. Для большинства же требуется специальная работа учителя в этом направлении. Более того, работая в школе более двадцати лет, я пришла к выводу, что ученики, усвоив методы решения тестовых задач в начальной школе, в 5 и 6 классах, переходя в старшие классы, затрудняются в решении этих же задач, имеющих аналогичные зависимости между величинами, но с более сложным условием, а в отдельных случаях и с простыми условиями.

    Как же помочь ученику научиться решать текстовые задачи с различным уровнем сложности? Тем более, ныне действующая программа по математике не предусматривает изучение каких-либо теоретических основ о задачах и их решении. А они необходимы учащимся для того, чтобы решать разнообразные задачи сознательно и целенаправленно, а не только лишь на основе подражания, по аналогии с ранее решенными задачами.

    Обучению учащихся решению задач посвящены специальные исследования и методические рекомендации Д.Пойя, Л.М.Фридмана и Е.Н.Турецкого, Г.И.Саранцева, Т.П. Григорьевой, Т.А.Ивановой и др. Именно эти исследования мною используются в обучении учащихся решению текстовых, а также и других типов задач.

   Решая текстовую задачу, учащиеся некие житейские, производственные, экономические и иные связи зашифровывают с помощью математических символов, придавая им абстрактную математическую форму, исследуя её, и переносят все результаты исследования на изучаемую реальную ситуацию, предложенную задачей.

       Чтобы научить школьников решать текстовые задачи, необходимо у них формировать общие представления по выполнению процесса решения задачи. Учащиеся должны понимать, что процесс решения задачи – это процесс, начинающийся с момента получения задачи до момента полного завершения её решения. Он состоит из нескольких этапов.

  Рассмотрим основные этапы выполнения процесса решения текстовых задач.

     1. Решение задачи начинаем с её анализа. Очень важно знать, понял ли ученик смысл задачи. Анализ включает в себя следующие умения (элементарные действия), которые необходимо формировать у учеников:

• устанавливать количество ситуаций (элементов), имеющихся в задаче;
• выделять величины в тексте;
• выделять предложения, выражающие функциональные связи (зависимости) между величинами, и фиксировать эти связи;
• выделять и фиксировать искомые величины.

   Если ученики затрудняются в выполнении этих действий, то можно предложить учащимся выполнить задания следующего типа:

Установить количество ситуаций (элементов) имеющихся в следующих задачах:

1.«Кит длиннее, чем акула, на 20 м. какова длина акулы, если длина кита 33 м?

2. Первая бригада может посадить 300 деревьев за 10 ч, а второй бригаде на выполнение такого задания потребуется на 5 ч больше. Сколько времени потребуется двум бригадам, чтобы выполнить то же задание при совместной работе?

-О чём говорится в задаче?

-Из каких частей она состоит?

-Какие величины характеризуют эти части?

-Что известно об этих величинах?

-В каких взаимосвязях находятся эти величины?

-Что необходимо найти?

      Хотя задачи разного типа, но вопросы стараюсь задавать ученикам одни и те же. Ученики привыкают к этим вопросам, а в дальнейшем могут сами формулировать эти вопросы к решаемой самостоятельно задачи.  Эти вопросы  общего характера организуют работу учеников на первой основной фазе решения – на анализе ситуации. Они отличаются от традиционных:

 Кто знает, как решать эту задачу?

Как мы будем решать эту задачу?

   Таким образом, мы с учениками выполняем анализ задачи, он завершается тем, что необходимо составить схематическую запись. Но если в классе есть ученики, которые умеют проводить анализ задачи самостоятельно, им можно предложить составить сразу схему к задаче. Но иногда ученики решают задачу сразу же, без схемы, а лишь выполнив её анализ.

2.Схематическая запись задачи.

     При схематизации задачи краткие записи условия в виде таблиц, рисунков, графиков, диаграмм выполняют ориентировочную роль, поскольку дают возможность одновременно видеть все связи между данными.  

Схему к задаче можно изображать различными способами, основные из них:

• таблицы;
• отрезок с составляющими его частями;
• линейчатая или столбчатая диаграмма;
• отрезок или луч с положением на нём движущихся объектов в различные моменты времени и др.

  У учащихся надо формировать умения составлять схемы различных видов, так как при решении той или иной задачи ученик должен самостоятельно выбрать ту схему, которая помогает выявить взаимосвязи и наметить план решения задачи. Одна из трудностей, поджидающих ученика, заключается в необходимости так представить условие задачи в знаково-символической форме, чтобы она оказалась предельно понятной. Лучшему и быстрому осознанию сути явления, зафиксированного в схеме, помогает уменьшение количества перекодировок, которые потребуется делать при сопоставлении схемы с реальной ситуацией. Поэтому применяемая схема должна быть разумно сокращённой и упрощенной по сравнению с реальным явлением и в то же время наиболее естественной для каждой задачи.

     При этом нельзя пренебрегать образами, которые возникают у детей при чтении задачи, так как это может привести к тому, что сам учитель подтолкнёт детей к такой схеме, которая чужда их видению. Тогда ученики начинают полагать, что математика есть искусство оформлять простые вещи сложным языком.

 Задача 1.4.1. В магазин привезли лук. В первый день продали 75 кг, во второй день в 3 раза меньше, чем в первый, а в третий на 23 кг больше, чем во второй день. Сколько кг лука продали всего?

    Анализируя эту задачу, ученик должен осознать следующее: в задаче идёт речь об одной ситуации (продажа лука), в которой действуют три величины. Обозначим их на естественном языке: I д., II д.,III д.( количество лука проданного в 1, 2, 3 дни). По условию известно, что в I д. продали 75 кг лука, во II д. - меньше, чем в. I д в 3 раза, а в III д.- на 25 кг больше, чем во второй  день. Искомая величина – количество проданного лука, проданного за эти три дня. Это условие можно записать в виде следующей схемы:

Первый вид.

I  д.   – 75 кг                                                                      

     IIд. – в 3 раза меньше                                                  ?

     III  -  на 25 кг больше                                                  

                                                                Рис. 1                                                                 

Второй вид: Линейчатая диаграмма. В столбчатой диаграмме те же отрезки, но расположенные вертикально.

                            Линейчатые и столбчатые диаграммы дают возможность быстро решить задачи на части.

Задача 1.4.2. Тетрадей в клетку купили на 60 больше, чем тетрадей в линейку. Тетрадей в клетку было в 3 раза больше, чем тетрадей в линейку. Сколько купили тетрадей в линейку?

                          В клетку

Рис.4

   Вопросы учителя ученикам :

-Пусть тетради в линейку составляют одну часть. Сколько таких частей составляют тетради в клетку? (подпишите на рисунке 1 часть, 3 части).

- Сколько частей приходится на 60 тетрадей?

- Сколько тетрадей приходится на одну часть?

Задача 1.4.4. С двух станций, расстояние между которыми 720 км вышли одновременно навстречу друг другу два поезда. Скорость первого поезда 75 км/ч, а скорость второго на 10 км/ч больше. На каком расстоянии друг от друга будут поезда через 4 часа?

  В этой задаче речь идёт о двух ситуациях (о двух движущихся объектах), каждая из которых характеризуется тремя величинами (s, v, t) находящимися в пропорциональной зависимости s= vt. В задачах на движение на схеме обычно показывают отрезок или луч и на них положения движущихся тел в различные моменты времени. В этой задаче это выглядит, как показано на рисунке.

                                                               ? км через 4 часа

                                                                 720 км

                                                                Рис.6

         Задача1.4.5.(Математика-5, Виленкин №1169,2006) Из двух пунктов, расстояние между которыми 7 км 500 м, одновременно в одном направлении вышел пешеход со скоростью 6 км/ч и выехал автобус. Определите скорость автобуса, если он догнал пешехода через 15 минут.

Схема к задаче:

 А                                  В                                                                         С

           7км500м

                                                   Рис.7

 Кроме схемы, к задаче можно составить краткую запись её условия. Краткая запись условия – важное звено в процессе работы над задачей, так как она тоже помогает выбрать способ решения.

К этой задаче краткое условие можно записать в виде таблицы:

    Таким образом,  в работе над задачей можно использовать разные виды схематической записи условия задачи и её требований.

  Обычно, ученики при переходе из начальной школы в 5 класс умеют записывать условие задачи в форме таблицы, которая имеет построчную запись. Труднее им выполнять столбчатую диаграмму, чертёж отрезка с положением на нём движущихся объектов в различные моменты времени. Эти умения  мною  формируются на уроках, при этом предлагаю выполнить к задачам схематическую запись разного вида.

         При этом нельзя пренебрегать образами, которые возникают у детей при чтении задачи, так как это может привести к тому, что сам учитель подтолкнёт детей к такой схеме, которая чужда их видению. Тогда ученики начинают полагать, что математика есть искусство оформлять простые вещи сложным языком.

Например:

Задача 1.4.6. Отрезок АВ на 7 см больше отрезка СD и равен 18 см. какова длина отрезка СD?

 В методической литературе можно встретить рекомендацию записывать кратко данное условие следующим образом:

АВ – 18 см                                                                            

                                                   На 7 см больше

СD - ?

                                              Рис.8

Но ученику кажется естественнее оформить условие так, как оно видится при чтении

   А                                                   18 см                                                       В

                                                                                  7 см

   С                                                       D              Рис.9

      Такая схематизация более адекватна условию, позволяет совершить меньшее число перекодировок, точнее выражает связи между данными, чего нельзя сказать о первой схеме. В самом деле, переводя первую схему на язык соотношений между величинами, ребёнок, может ошибиться, найдя длину отрезка СD как сумму (18+7) см.

  Ученика надо учить мыслить свёрнутыми формами, не загромождать схему излишними знаками, ненужными подробностями.

   Если ученик владеет методами решения простых задач, то краткая запись вообще не нужна. Например:

Задача 1.4.7. Школьники помогали в уборке моркови и работали 4 дня. В первый день они собрали на 230 кг больше, чем во второй, и на 150 кг больше, чем в третий день. В третий день они собрали на 250 кг меньше, чем в четвёртый. Сколько килограммов собрали школьники за все 4 дня, если в первый день они собрали 650 кг?

    Задача сильным учеником практически решается устно, но это осознаётся только после прочтения последней фразы. Оказывается, результат первого дня уборки известен, тогда сразу можно найти, сколько собрано во второй день, сколько в третий, а затем и в четвёртый день. Но некоторые учащиеся не дочитывают условие до конца и торопятся загрузить себя составлением бесполезной схемы или таблицы. Хотя, если ученик слабый, то ему необходимо составить схему, чтобы чётко представить, что известно, в какой взаимосвязи находятся величины, и как выполнить решение задачи. тем более условие задачи громоздкое, и у некоторых учеников от большого текста задачи возникает панический страх. Они уверены, что эта задача им не под силу. И тут важна психологическая поддержка учителя. Необходимо  такому ученику дать совет составить схему к задаче, тогда заметив все взаимосвязи между величинами, он сможет решить задачу правильно.

3. Поиск плана решения задачи.

     Переход от анализа текста задачи к поиску плана решения состоит в составлении элементарных задач, в переводе естественных отношений зависимостей между величинами на формальный математический язык, в получении математической модели задачи. Обучение моделированию реальных явлений при решении текстовых задач является одной из важнейших целей преподавания.

  Моделирование есть метод опосредованного познания с использованием искусственного или естественного языка (знаков, слов), сохраняющего  некоторые особенности объекта исследования и дающего возможность представить его и получить о нём новые знания.

  Использование современного математического языка, его символики позволяет решать задачи в большей общности. Осваивая этот язык, ученики учатся обобщать, учатся видеть за одной моделью разные явления.

  В наших учебниках математики 5, 6 классов имеются текстовые задачи, которые аналогичны друг другу по связям между данными и по структуре решения. Такие задачи служат материалом для обучения умению видеть общее. К сожалению, зачастую эти задачи хаотично разбросаны по учебнику, что мешает обнаружить их общность. Но с целью исправления этого положения мои ученики заносят решение таких задач в отдельную тетрадь, которая к тому  же разделена на части соответственно основным типам задач, методам решения. Чаще всего такие задачи рассматриваются на одном уроке.

 (Приложение №1. План урока математики в 5 классе по теме «Задачи на проценты»)

 В результате, в тетради создаётся учениками обобщённая таблица по типам задач и по методам решения.

Приведу два примера из учебника: Виленкин Н.Я. и др. Математика 5.

Задача 1.5.1. По дороге движутся навстречу друг другу пешеход и велосипедист. Сейчас расстояние между ними 52 км. Скорость пешехода 4 км/ч, а скорость велосипедиста 9 км/ч. Через сколько часов пешеход и велосипедист встретятся?

Схематизируем данные в виде рис.10

                       4км/ч                                                                 9км/ч

                                                           52 км

                                                         Рис.10

Время t сближения (до встречи) можно найти, разделив первоначальное расстояние между велосипедистом и пешеходом на скорость их сближения:  t = 52: (4+9).

Задача 1.5.2. Столяр и его помощник должны сделать 217 рам. Столяр в день делает 18 рам, а его помощник – 13. За сколько дней столяр и его помощник изготовят все рамы?

И в этом случае данные можно отобразить так, как в предыдущей задаче (см. рис.11), чтобы ученик увидел их сходство.

                                 18 рам в д.                                                 13 рам в д.

                                                                   217 рам

                                                                   Рис.11

Решение выглядит аналогично предыдущему:

                       t = 217 : (18+ 13).

С шестиклассниками следует подметить сходство задач 1 и 2 со следующей.

Задача 1.5.3.Первый рабочий может выкопать яму за 4 ч, а второй – за 6 ч. За сколько часов они выкопают яму, работая вместе?

Производительность (скорость копания) первого рабочего равна 1/4 ямы в час, а производительность второго – 1/6 ямы в час ( нужно научить ученика видеть это уже при чтении условия). Поэтому к задаче можно применить схему на рис.12.

                                 1/4 ямы в час.                                                 1/6 ямы в час

                                                                   1 яма

                                                                   Рис.12

Решение: t = 1: (1/4 + 1/6).

   Необходимо показывать ученикам  различные приёмы решения задач, поскольку поиск плана решения задачи процесс творческий, в котором используются и наблюдения, и опыт, и аналогия (Приложение №3). Именно на их основе начинается обучение учащихся анализу и синтезу. Но ещё в поиске решения задачи велика и роль интуиции.

    Таким образом, процесс решения задач имеет неограниченные возможности  для формирования как алгоритмических, так и эвристических приёмов умственной деятельности учащихся. Всё это способствует развитию гибкости, устойчивости и самостоятельности ума.   4.После того, как был найден план решения задачи, ученики выполняют следующий,

 этап: осуществление решения.

5.После получения значения искомой величины необходимо формировать у учащихся умение проверки правильности решения задачи,    т. е. осуществляется – проверка решения. Многие ученики затрудняются выполнить проверку. Большей частью проверка решения проводится попутно по мере осуществления решения, и, как правило, она производится устно. В этом случае проверка является формой самоконтроля за своими действиями со стороны ученика. При этом сами ученики даже не осознают, что производят проверку-самоконтроль. Но это тогда, когда имеется прочная привычка к такому самоконтролю и хороший навык к тому. У тех же учащихся, у которых таких навыков нет, я советую производить проверку решения следующим образом.

  Для этого, в условие задачи подставляются все неизвестные и найденные величины и проверяем, выполняются ли зависимости между величинами, которые определены задачей. Например, в задаче №1.4.2 с тетрадями:

Тетрадей в клетку купили на 60 больше, чем в линейку. В линейку купили 30 тетрадей. А в клетку тогда 30+60=90. Проверим во сколько раз больше тетрадей в клетку, чем тетрадей в линейку 90:30=3.

Все взаимосвязи в задаче выполнены и соответствуют данному условию задачи.

      Этап рефлексии в решении задач очень важен. Он даёт возможность ученику самому проверить верно ли решена задача.

6. Исследование задачи.

      При решении некоторых задач, кроме проверки, необходимо ещё произвести исследование задачи, а именно установить, при каких условиях задача имеет решение, и при том, сколько различных решений в каждом отдельном случае; при каких условиях задача вообще не имеет решения и т.д.

 Но, как правило, текстовые задачи учебника математики составлены таким образом, что при заданных условиях задача всегда имеет решение.

  С целью формирования исследовательских навыков можно предложить учащимся такие задания, которые предполагают исследовательскую деятельность.

Например:

А) Задачи, когда в условии недостаточно данных, т.е. неопределённые задачи.

Задача 1.7.1..Игорь купил книжку за 140 руб., а потом ещё два одинаковых блокнота, сколько денег у него осталось?

Каких данных недостаёт в условии? Переформулировать задачу, дабавив недостающие данные.

Легко понять, что здесь недостаёт двух данных:

- цены одного блокнота

- первоначальной суммы денег у Игоря.

Б) Задачи, когда в условии лишние данные.

Задача 1.7.2. Привезли 12 ящиков яблок по 30 кг в каждом, 8 ящиков груш, по 40 кг в каждом, 5 ящиков помидор, по 20 кг в каждом. Сколько кг фруктов привезли в магазин?

Ученики заметят, что здесь лишнее условие о помидорах.

    7. В завершении процесса решения задачи, убедившись в правильности решения и, если нужно, произведя исследование задачи, необходимо чётко сформулировать ответ задачи, - это будет очередной этап процесса решения.

8.В учебных и познавательных целях полезно также произвести анализ выполненного решения, в частности установить, нет ли другого, более рационального способа решения, нельзя ли обобщить задачу, какие выводы можно сделать из этого решения и т. д. Д.Пойа заметил: «Выискивайте в вашей задаче то, что может пригодиться при решении других задач… старайтесь обнаружить общий метод. Применённая единожды идея – это искусственный приём, применённая дважды и трижды, она становится методом» Всё это составляет последний заключительный этап решения задачи.

Таким образом, свою цель в обучении решению текстовых задач я вижу в следующем: научить детей :

• распознавать объекты;
• выделять условие, его элементы и требование задачи и его элементы;
• конструировать графические, символические, схематические и т. п. модели содержания задачи;
• переводить содержание задачи на язык определённой теории;
• выводить следствия из элементов условия (заменить термин определением понятия)
• интерпретировать символические записи;
• соотносить с условием и требованием задачи свои мыслительные действия с чертежом;
• видеть различные пути решения задачи;
• строить цепочки умозаключений методом синтеза;
• строить цепочки умозаключений методом анализа.

                                                           СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 5, 6 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.:Мнемозина, 2006.
2. Григорьева Т.П., Иванова Т.А. Основы технологии развивающего обучения математике.- Нижний Новгород, 1997.
3. Дорофеев Г.В., Шарыгин И.Ф. Математика.5 кл. Учебник для общеобразовательных учреждений.-М.: Просвещение,1994.
4. Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика, 5 кл.Учебник.- М.: Ювента,2005.
5. Зайкин М.И.,. Арюткина С.В. Хрестоматия по методике математики: Обучение через задачи: Пособие для студентов, аспирантов и преподавателей математических специальностей педагогических вузов, учителей математики общеобразовательных учреждений. Арзамас: АГПИ, 2005.
6. Закон Российской Федерации об образовании. 4 издание.- М: Дрофа,2004.
7. Зубарева И.И. Ещё раз о процентах // Математика в школе.-2006.-№10
8. Климченко Д.В. Задачи по математике для любознательных. Книга для учащихся 5-6 классов средней школы. – М.: Просвещение,1992
9. Окунев А.А. Спасибо за урок, дети! Книга для учителя.-М.: Просвещение, 1988.
10. Олехних С.Н. Старинные занимательные задачи. М.: Наука,1985.
11. Педагогический энциклопедический словарь. М.: Научное издательство «Большая российская энциклопедия», 2002.
12. Пойя Д. Как решать задачу. Львов, журнал «Квантор»,1991.
13. Сборник нормативных документов, федеральный государственный стандарт. Федеральный учебный план. Математика.-М.: Дрофа, 2004.
14. Слепкань З.И. Психолого-педагогические основы обучения математике. Методическое пособие. –Киев: Радянська школа,1983
15. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н.  Как научиться решать задачи. Книга для учащихся., М.: Просвещение,1984.
16. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.Учителю математики о педагогической психологии. М.% Просвещение,1983
17. Шеврин Л.Н. и др. Учебник-собеседник для 5-6 классов средней школы. М.: Просвещение,1989.