Конференция по математике «Загадочный беспорядок: история фракталов и области их применения» (6-7 класс)
методическая разработка по математике (6, 7 класс) на тему

Математическая конференция

«Загадочный беспорядок: история фракталов

и области их применения»

Цели мероприятия: расширить познания учащихся, развивать интерес к математике, показать связь математики с другими науками и с окружающим миром.

Сценарий мероприятия

Фильм №1.

СЛАЙД 1

1. Ведущий: Фракталы – уникальные объекты, порожденные непредсказуемыми движениями хаотического мира. Их находят в местах таких малых, как клеточная мембрана, и таких огромных, как Солнечная система. Учёные, от древних времен до современности, программисты и специалисты в области компьютерной графики зачарованы фракталами. Открытие фракталов было открытием новой эстетики искусства и науки. Что же такое фракталы?

Об этом нам расскажет ______________________________________

СЛАЙД 2-3

Доклад №1

Математические формы, известные как фракталы, принадлежат гениальному ученому Бенуа Мандельброту. В  1977 г. Он опубликовал научные труды, посвященные изучению «фрактальной геометрии природы». Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые подобны целому.

СЛАЙД 4

Бенуа Мандельброт уделил большое внимание интересному свойству, которым обладают многие фракталы. Дело в том, что часто фрактал можно разбить на сколь угодно малые части так, что каждая часть окажется просто уменьшенной копией целого. Иначе говоря, если мы будем смотреть на фрактал в микроскоп, то с удивлением увидим ту же самую картину, что и без микроскопа. Это свойство самоподобия резко отличает фракталы от объектов классической геометрии.

СЛАЙД 5

2. Ведущий:  Существуют различные классификации фракталов. О них нам расскажет ______________________________________

СЛАЙД 6

Доклад №2

Основной классификацией фракталов является разделение их на геометрические и алгебраические.

Геометрические фракталы обладают точным самоподобием, алгебраические – приближённым.

Существует также разделение на рукотворные и природные фракталы.

 К рукотворным относятся те фракталы, которые были придуманы учёными, они при любом масштабе обладают фрактальными свойствами.

СЛАЙД 7

3. Ведущий: Самыми простыми фракталами являются геометрические фракталы. Подробнее о них расскажет __________________________________________________

СЛАЙД 8

Доклад  №3

Именно с этого вида фракталов началась история  фракталов. Этот тип фракталов получается путем простых геометрических построений. Обычно при построении этих фракталов  поступают так: берется набор отрезков, на основании которых будет строиться фрактал. Далее к ним применяют набор правил, который преобразует их в какую-либо геометрическую фигуру. Далее к каждой части этой фигуры применяют опять тот же набор правил. С каждым шагом фигура будет становиться все сложнее и сложнее, и если мы проведем бесконечное количество преобразований, то получим геометрический фрактал.

СЛАЙД 9-13

Наиболее известные геометрические фракталы являются: кривая Коха, кривая Минковского, кривая дракона, салфетка Серпинского, ковёр Серпинского.

СЛАЙД 14

4. Ведущая: Рассмотрим построение некоторых геометрических фракталов. Приглашаем ____________________________________

СЛАЙД 15

Доклад №4

Из геометрических фракталов очень интересным и довольно хорошо известным является снежинка Коха. Она была изобретена в 1904 году немецким математиком по имени Хельге фон Кох.

Для её построения берется единичный отрезок, делится на три равные части и среднее звено заменяется равносторонним треугольником без этого звена. На следующем шаге повторяем операцию для каждого из четырёх получившихся отрезков. В результате бесконечного повторения данной процедуры получается фрактальная кривая.

СЛАЙД 16.

Посмотрите на экран, как создается Снежинка Коха.

СЛАЙД 17-18

В 1915 году польский математик Вацлав Серпинский придумал занимательный объект. Называется «Салфетка Серпинского». Для его построения берётся сплошной равносторонний треугольник. На первом шаге из центра удаляется перевернутый равносторонний треугольник. На втором шаге удаляется три перевернутых треугольника из трёх оставшихся треугольников и т.д.

СЛАЙД 19

Посмотрите на экран, как создается Салфетка Серпинского.

СЛАЙД 20

Дракон Хартера, впервые исследовал физик Вильям Хартер. Каждый из отрезков прямой на следующем шаге заменяется на два отрезка, образующих боковые стороны равнобедренного прямоугольного треугольника. В результате отрезок прогибается под прямым углом. Направление прогиба чередуется. Первый отрезок прогибается вправо, второй - влево, третий - опять вправо и т.д. В результате получается интересная фрактальная кривая, которая называется «Дракон Хартера».

СЛАЙД 21

Посмотрите на экран, как создается данный фрактал.

СЛАЙД 22

5. Ведущий: Вторая большая группа фракталов - алгебраические. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. Подробнее о них расскажет________________________________________________

СЛАЙД 23

Доклад №5

Сложные алгебраические фракталы невозможно создать без помощи компьютера. Свое название они получили за то, что их строят на основе алгебраических формул. В результате математической обработки данной формулы на экран выводится точка определенного цвета. Результатом оказывается странная фигура, в которой прямые линии переходят в кривые, появляются эффекты самоподобия на различных масштабных уровнях. Практически каждая точка на экране компьютера как отдельный фрактал.

СЛАЙД 24-26

Наиболее известные алгебраические фракталы: множества Мандельброта и множество Жюлиа, бассейны Ньютона.

СЛАЙД 27

6. Ведущий: Конец ХХ века ознаменовался не только открытием поразительно красивых и бесконечно разнообразных структур, названных фракталами, но и осознанием фрактального характера природы. Окружающий нас мир очень разнообразен. Подробнее о фракталах, которые находятся вокруг нас, расскажет ___________________________________________________.

СЛАЙД 28-35

Доклад  №6

В природе фрактальными свойствами обладают многие объекты, например: кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная системы человека и животных, кристаллы, снежинки.

Растения нашей планеты – древнейшие природные фракталы. Эта фрактальность особенно ярко выражена в листе папоротника.   Форма листа папоротника является классическим примером    фрактала.

Строение кроны деревьев и корневой системы не оставляют сомнений в своей фрактальной природе. Деревья – это не только природные фракталы, это еще и легкие нашей планеты.

Очевидно фрактальное строение тела осьминога и присосок на всех восьми щупальцах. Осьминоги – хищники. Своими фрактальными щупальцами они удерживают жертву: моллюсков и ракообразных.

   Коралл с полной уверенностью можно назвать фракталом из морского царства. В природе известно свыше 3500 разновидностей кораллов, в палитре которых различают до 350 цветовых оттенков.

       Когда смотришь на это спиралевидное образование беспозвоночных моллюсков, нет никаких сомнений в его фрактальной природе.

      Среди огромного разнообразия овощей красуются и фракталы. Первые упоминания о капусте романеску пришли из Италии  в 16 веке. Романеску, или романская брокколи, цветная коралловая капуста.

      Лук - фрактал незамысловатый, состоит из обычных окружностей.

    СЛАЙД 36

8. Ведущий: Интересно поговорить о фрактальной музыке.

На сцену приглашаем _____________________________________.

Доклад № 7.  Существуют программы, моделируют сочинение музыки на основе фрактальных объектов. Одну из наиболее известных программ разработал Ларс Киндерман. Модули программы позволяют делать выбор голосов, устанавливать темп композиции, задавать сценарий, который позволяет изменять параметры синтеза музыки в процессе исполнения композиции. Можно выбрать характер звучания, панораму и громкость голоса. Давайте послушаем такую музыку.

ФИЛЬМ 2

Вашему вниманию предлагается пример еще одной более мелодичной фрактальной музыки.

ФИЛЬМ 3

9. Ведущий:  В настоящее время большой популярностью пользуются фрактальные картины. Они производят совершенно фантастическое впечатление. Множество тонких линий, образующих одно целое, сплетающиеся в единую картину. Посмотрите, пожалуйста, на экране примеры таких картин.

СЛАЙД 37-42

10. Ведущий: Фракталы еще не исчерпали себя, фрактальные объекты находят все в новых областях науки. Их применяют физики, биологи, социологи, экономисты. Фракталы не изучены до конца, им находят все новое применение, изменяющие наше отношение, как к самим фракталам, так и к Природе.

 Все внимание на экран.

ФИЛЬМ 4

Список литературы

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: “Институт компьютерных исследований”, 2002. – 656 с.
2. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. Н.Новгород: Изд-во Нижегород. ун-та 1999 г. – 140 с.
3. Пайтген Х.-О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. — М.: “Мир”, 1993. – 176 с.
4. Тихоплав В.Ю., Тихоплав Т.С. Гармония хаоса, или фрактальная реальность. — С.-Петербург: ИД “Весь”, 2003. – 340 с.
5. Федер Е. Фракталы. — М: “Мир”, 1991. – 254 с.
6. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. — Ижевск: “РХД”, 2001. – 528 с.

Список сайтов о фракталах

1. http://www.fractals.nsu.ru
2. http://www.fractalworld.xaoc.ru
3. http://www.multifractal.narod.ru
4. http://algolist.manual.ru