обучающие карточки для учащихся 5,6 классов
тренажёр по математике (5, 6 класс) на тему

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Чтобы сложить обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями нужно сложить их числители и результат записать в числителе, а знаменатель оставить без изменения.

Чтобы вычесть обыкновенные дроби с одинаковыми знаменателями нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и записать в числителе, а знаменатель оставить без изменения.

Выполни сложение и вычитание обыкновенных дробей:

а) ;                     в) ;

б) ;                     г) .

Сложение и вычитание обыкновенных дробей с разными знаменателями.

Чтобы сложить или вычесть обыкновенные дроби с разными знаменателями нужно привести их к общему (одинаковому) знаменателю и затем выполнить действие по правилу сложения или вычитания обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями.

Общим знаменателем нескольких обыкновенных дробей является число, которое делиться на каждый из знаменателей.

Выполни сложение и вычитание обыкновенных дробей:

а) ;                     д) ;

б) ;                     е) ;

в) ;                     ж) ;

г) ;                     з) .

Сравнение дробей

Сравнение по числителю:

Из двух дробей с одинаковыми знаменателями та больше, у которой числитель больше

, т.к. 7 > 5.

Сравнение по знаменателю:

Из двух дробей с одинаковыми числителями та больше, у которой знаменатель меньше.

, т.к. 8 > 6.

Чтобы сравнить обыкновенные дроби с разными числителями и знаменателями нужно привести дроби к одинаковому знаменателю и сравнить по числителю, или привести дроби к одинаковому числителю и сравнить  по знаменателю.

Сравните дроби:

а)  и                       д)  и

б)  и ;                       е)  и ;

в)  и ;                     ж)  и ;

г)  и ;                       з)  и

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Умножение  и деление обыкновенных дробей

Чтобы умножить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь нужно перемножить числители и результат записать в числителе, перемножить знаменатели и результат записать в знаменателе.

Пример:    

Чтобы разделить обыкновенную дробь на обыкновенную дробь нужно делимое умножить на дробь, обратную делителю.

Выполни умножение и деление обыкновенных дробей:

а) ;         д) ;

б) ;        е) ;

в) ;        ж) ;

г) ;        з) .

Смешанные числа

Смешанное число – это число, состоящее из целой части и дробной части, представленной правильной обыкновенной дробью, например:  .

Смешанное число можно получить из неправильной дроби путем выделения ее целой части.

Чтобы выделить целую часть неправильной дроби нужно числитель разделить на знаменатель: неполное частное – это целая часть смешанного числа, остаток от деления – это числитель дробной части, а знаменатель оставить без изменения.

, т.к. 38:7=5(ост3), где 5 – это неполное частное, 3 – остаток, 7 – знаменатель.

Представьте в виде смешанного числа неправильные дроби (выделите целую часть неправильной дроби):

       а) ;          в) ;      

        б) ;          г) ;          

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби нужно целую часть умножить на знаменатель дроби и прибавить к этому произведению числитель, результат записать в числителе, знаменатель оставить без изменения.

Представьте в виде неправильной дроби смешанные числа

а) ;          в) ;          

б) ;        г) ;          

Сложение и вычитание смешанных чисел

Чтобы сложить смешанные числа нужно сложить их целые части, а затем их дробные части.

Пример:

Если в дробной части смешанных чисел дроби имеют разные знаменатели, то нужно их привести к общему знаменателю, а потом сложить.

Если в дробной части в результате сложения получается неправильная дробь, то нужно выделить ее целую часть и прибавить к целой части самой смешанной дроби.

Выполнить действия:

а) ;  

б) ;

в) ;      

 г) ;

Вычитание  смешанных чисел выполняется по тем же правилам что и их сложение.

НО!   Если при вычитании одного смешанного числа из другого дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то в уменьшаемом нужно занять 1 у целой части и добавить ее к дробной части, затем вычесть.

а) ;      

 б) ;

в) ;        

г) .

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Десятичная запись числа

Числа 10, 100, 1000, 10000 и т.д. называются разрядными единицами, например 10-разрядная единица десятков, 100- разрядная единица сотен и т.д.

Десятичная дробь – это новый способ записи числа, в котором целую часть от дробной части  отделяют запятой.  В  дробной части записывают только числитель, знаменатель такой дроби является какой-либо разрядной единицей, т.е. 10, 100, 1000, 10000 и т.д., но его не записывают. Как понять какой знаменатель у десятичной дроби: 10, 100, 1000 и т.д.? Для этого надо посчитать сколько цифр после запятой : если одна цифра, то знаменатель равен 10, если две цифры, то знаменатель равен 100 и т.д., т.е. сколько цифр стоит после запятой, столько нулей стоит после 1 в знаменателе.

   ;  ;    ;   ;    

Если в числителе цифр меньше чем нулей у разрядной единицы в знаменателе (10, 100, 1000 и т.д.), то в десятичной записи числа после запятой перед числителем нужно поставить  нули, чтобы после запятой стояло такое же количество цифр, что и нулей в знаменателе после 1.

Пример:    ;     ;  

Представьте в ивде десятичной дроби:

а) ;             д) ;

б) ;     е) ;

в) ;       ж) ;

г) ;      з) .

 Представьте в виде обыкновенной дроби или смешанного числа:

а) 0,68;             д) 0,03;

б) 0,206;           е) 3,0064;

в) 7,5;               ж) 0,007;

г) 4,05;              з) 00021.

Обыкновенную дробь или смешанное число можно представить в виде десятичной дроби двумя способами:

1 способ: умножить числитель и знаменатель обыкновенной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась разрядная единица (10, 100, 1000 и т.д.)

Пример:   ;     или         

2 способ: числитель дроби разделить на знаменатель (не всегда можно применить)

Пример:                                    _  10         2          

                                                                10    0,5  

                                                                 0

Пр2едставьте в виде десятичной дроби двумя способами:

       а) ;          в) ;      

        б) ;          г) ;  

 Сложение и вычитание десятичных дробей

Сложение и вычитание десятичных дробей выполняется поразрядно.

При выполнении сложения (вычитания) десятичных дробей в столбик слагаемые записываются так, чтобы цифры, стоящие в  одноименных разрядах, оказались друг под другом, при этом запятая должна оказаться под запятой

                + 38, 321

                     1, 56

                   39, 881

Выполните сложение

а)  272,35 + 34,15;  

б) 99,33 + 0,0777

в)  45,548 + 259,452;      

г)  47,35 + 2,65;

д) 47,57 – 18,4;

е) 74,38 – 56,08;

ж) 0,17 – 0,092;

з) 34 – 12,084.  

Умножение и деление десятичных дробей

Чтобы умножить десятичную дробь на разрядную единицу (10, 100. 1000 и т.д.), надо запятую перенести вправо на столько цифр, сколько нулей в разрядной единице; если цифр не хватает, приписать справа нули.

Пример: 0,043×100 = 4,3;       5,056×1000 = 5056;          41,03×1000 = 41030

Чтобы разделить десятичную дробь на разрядную единицу (10, 100. 1000 и т.д.), надо запятую перенести влево на столько цифр, сколько нулей в разрядной единице; если цифр не хватает, приписать слева нули.

Пример:   1,02 : 10 = 0,102;     125,6 : 100  = 1,256;     42,008 : 1000 = 0,042008.

Выполнить действия:

а)   27,67×10;  

б)   38,6×100;

в)   0,678×1000;      

 г)   0,008×;10000;

д) 6,32 :10000;

е) 4,72 : 1000;

ж) 864 : 100

з) 5,009 : 1000

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Умножение десятичных дробей.

При умножении десятичных дробей сначала надо выполнить умножение, не обращая внимания на запятую, а затем в произведении отделить запятой справа столько знаков, сколько их имеется после запятой в обоих множителях вместе.

   х 3,56             х1,076            х   62,5

       3,4                   8,1            0,074

   1424              1076           2500

 1068              8608           4375

12,104              8,7156         4,6250

Числа,  произведение которых равно 1, называют взаимно-обратными числами.

   х 1,25               х   2,5          х   6,25

       0,8                   0,4             0,16

  1,000               1,00        1,0000

Выполните умножение:

а)  31,54×32;

б) 61×3,245;

в) 3,005×44,44;

г) 6,05×4,8;

д) 71,7×9,01;

е) 45,34×20,01;

ж) 3,125×0,32;

з) 0,15625×6,4;

Деление десятичных дробей.

Деление десятичной дроби на десятичную дробь заменяется делением на натуральное число для этого нужно и в делимом и в делителе перенести запятую на столько знаков вправо, сколько их содержится после запятой в делителе. Деление нужно выполнить в следующем порядке:  разделить целую часть на натуральное число, после чего в частном поставить запятую, затем продолжить деление

Пример: _ 47,9       5                             _240,72     3,4

                    45       9,58                             238         7,08

                    _29                                           _272

                    25                                         272

                    _40                                           0

                      40

                        0

Выполните деление:

а)  1,836 : 0,204

б)  12,4 : 0,031

в)  60,952 : 7,6

г)  0,2091 : 4,1

д)  247,8 :0,35

е)  16,92 : 4,23

ж)  0,2701 : 0,073

з)  7230 : 5000

 Округление  десятичных дробей

При округлении десятичной дроби до разряда единиц, десятых, сотых и т.д. все цифры последующих разрядов отбрасываются.

При округлении десятичной дроби до разряда, старше разряда единиц (до десятков, сотен и т.д.) цифры последующих разрядов целой части числа заменяются нулями, цифры дробной части отбрасываются.

Цифра разряда, до которого выполняется округление, остается без изменения, если в округляемом числе за ней следовала одна из цифр: 0,1,2,3,4. 

Если в округляемом числе за ней следовала одна из цифр: 5,6,7,8,9, то к цифре разряда, до которого выполняется округление, прибавляется 1.

Пример:  округлить до сотен 173,15≈200,   до десятых  50,24≈50,2

до тысячных  7,10853≈7,109

Выполните округление

а)  до десятков:  62,56;   107,02;  24,95;

б) до десятых:  1,12;   4,193;  14,057;  25,415.

в) до сотых: 75,343;  22,038;  0,685;  0,00098;  7,008.

г) до тысячных:  0,0156;  12,5062;  547,26099; 2,70046    

Сравнение десятичных дробей

Сравнение десятичных дробей производится также как и сравнение натуральных чисел – по разрядно.

Сначала сравнивают целые части, а затем дробные части.

5001, 954 > 501, 954, т.к. цифр в целой части во первом числе больше.

24,851 > 24,792, т.к. десятых долей в первом числе больше

Выполните сравнение:

а)   27,67     241,1;  

б)   38,6       38,59;

в)   0,678      0,675;      

 г)   0,008     0,08;

д)    6,32        63,2;

е)    4,72        21,002;

ж)   864         863,98

з)    5,009      6,0019

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Степень числа.

Выражение an называют степенью числа а, где а – это основание степени, а     n -показатель степени.

an = а×а×а×…×а            a2 = а×а;      a3 = а×а×а     a4 = а×а×а×а   и т.д.

                      n  раз

Пример:  52 = 5×5 = 25;           23 = 2×2×2 = 8;            44 = 4×4×4×4 = 256

операция вычисления степени числа называют «возведение числа в степень»

Возведите числа в степень:

а)  24;

б) 63;

в) 35;

г) 1,22;

д) 0,73;

е) 4,53;

ж) 0,25;

з) 1,52.

Среднее арифметическое

Средним арифметическим чисел называют сумму этих чисел, деленную на число слагаемых.

Пример: среднее арифметическое чисел 9,5; 9,7; 9,4; 9,6; 9,7 равно

  (9,5+ 9,7+9,4+ 9,6+9,7) : 5  = 9,58

Найдите среднее арифметическое чисел:

а)  6,3; 5,4; 7,2; 4,9; 3,8.

б)  12,4; 14,5; 18,7; 13,6.

в)  0,16; 0,09; 0,54; 0,22; 0,53

г)  245; 189; 204; 496.          

 Процент.

Процент – это одна сотая часть числа.       

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо её умножить на 100.

Переведите проценты в десятичную дробь:

2%; 6%;  49%;  129%; 3.9%;  0.8%.

Переведите десятичную дробь в проценты:

0.87;  1.46;  0,907; 3.456; 0,54; 8,55; 0,26.

Чтобы найти процент от числа, нужно число разделить на 100 и умножить на  процент:                                 а : 100% × n %

Пример:      найти 12 % от 25       РЕШЕНИЕ:  25 : 100×12 = 3

Чтобы найти процент от числа, нужно процент перевести в десятичную  или обыкновенную дробь и умножить на число.

Пример:    найти  20% от 35         РЕШЕНИЕ:  20% - 0,20=0,2

                                                                               35 × 0,2 = 7

Найдите процент от числа разными способами:

а)   24% от  150;  

б)  15% от  80;

в)   55% от  164;      

г)   87% от  24;

д)    140% от  500;

Чтобы найти число (целое)  по проценту, представленный данным числом, нужно данное число разделить на процент и умножить на 100:

                                                а : n % × 100%

Пример: найти число, если 40% его равно 12.    РЕШЕНИЕ: 12 : 40×100 = 30

Чтобы найти число по его проценту, нужно выразить процент десятичной или обыкновенной дробью и разделить на эту дробь данное число.

Пример:   найти число, если 25% его равно18  

РЕШЕНИЕ:   25% - 0,25        18 : 0,25 = 72

Найдите число по проценту разными способами:

а)   24% его равно 150;  

б)  16% его равно  80;

в)   41% его равно164;      

г)   8% его равно  24;

д)   125% его равно  500;

Чтобы найти, сколько процентов составляет первое число от второго, нужно разделить первое число на второе и результат умножить на 100%.

                                        а : b × 100%

Пример:   найти сколько составляет число 35 от 80    

РЕШЕНИЕ:    35 : 80×100% = 43,75

Найти процентное отношение двух чисел:

а)   24 от 150;  

б)  16 от  80;

в)   41 от 164;      

г)   8  от  24;

д)   125 от  500;

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Задачи на проценты подразделяются на три типа:

1. На нахождение процента от числа;
2. На нахождение числа по проценту;
3. На нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы решить задачу на проценты, нужно определить тип задачи и воспользоваться соответствующей формулой.

Задачи на нахождение процента от числа

этот тип задач решается по формуле: а : 100% × n %   или   процент переводится в десятичную  или обыкновенную дробь и умножается на число.

Например:  В классе 25 учеников. 20% из них занимаются в кружке юного художника. Сколько учеников в классе занимаются в кружке юного художника?

Решение. Так как 20%=0,2, то умножая число 25 на дробь 0,2 получаем: 0,2·25=5.

ОТВЕТ:    5 человек занимаются в кружке юного художника.

Решите задачи:

1. Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?
2. В классе 28 учеников. 75% из них занимаются спортом. Сколько учеников в классе занимаются спортом?

Задачи на нахождение числа по проценту

этот тип задач решается по формуле: а : n % × 100%   или   выразить процент десятичной или обыкновенной дробью и разделить на эту дробь данное число.

Например: В классе 6 отличников, что составляет 30%   от числа всех учеников в классе. Сколько учеников в классе?

РЕШЕНИЕ: так как 30% =0,3, то разделив 6 на 0,3 поучаем  6 : 0,3 = 20

ОТВЕТ: в классе 20 учеников

Обратите внимание на ключевые слова «ЧТО СОСТАВЛЯЕТ». Если они присутствуют в условии задачи, то эта задача на нахождение числа по проценту            

Решите задачи:

1. Купив 1,5 кг груш, девочка истратила 50% своих денег. Сколько кг груш могла бы купить девочка на все деньги?
2. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?

Задачи на нахождение процентного отношение чисел

этот тип задач решается по формуле:    а : b × 100%

Например: сколько процентов составляет число 24 от числа 96?

РЕШЕНИЕ:    24 : 96 × 100 = 25 %

ОТВЕТ:    25 % составляет число 24 от числа 96.

Решите задачи:

1. Автобус должен проехать от одного города до другого 50 км. Проехав 30 км, он сделал остановку. Сколько процентов пути он проехал?
2. Сколько процентов число 36 составляет от 48?

Определите тип задачи и решите ее:

1. Билеты в театр стоили 300 рублей, потом их цена увеличилась на 12%. На сколько рублей увеличилась цена билета?
2. В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 % написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок, троек и двоек получил класс?
3. Токарю нужно было сделать 120 деталей, но он перевыполнил план на 10%. Сколько деталей изготовил токарь?
4. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму нужно выполнить заказ, чтобы заработать 2000 рублей?
5. После уценки на 10% цена холодильника стала 11430 рублей. Какова была цена холодильника  до уценки?
6. За 1 час станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка?
7. В школьной библиотеке 3400 книг, из них 2890 учебников. Сколько процентов всех книг составляют учебники?
8. Автотуристы в первый день проехали 36% всего пути, во второй день 39% всего пути, а в третий день — оставшиеся 200 км. Каков весь путь?
9. Цена товара понизилась на 30%, а потом ещё на 15%. На сколько процентов понизилась цена товара по сравнению с первоначальной? Сколько стал стоить товар, если его первоначальная стоимость была 3000 рублей?
10. Таня ест пирожок. После первого откусывания масса пирожка уменьшилась на 20%, после второго откусывания, масса пирожка уменьшилась ещё на 20% и стала 128 г. Сколько весил пирожок в начале?
11. Арбуз массой 24 кг содержит 98% воды. Когда он немного сох, содержание воды в нём уменьшилось до 97%. Какова теперь масса арбуза?
12. В 280 г воды растворили 70 г соли. Какова концентрация полученного раствора?

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Положительные и отрицательные числа

Числа, расположенные справа от точки О (0), называют положительными, а слева – отрицательными..

                                      Координатная прямая                                  ось Х

      - 7      - 6    - 5     - 4    - 3    - 2     - 1      0        1      2       3       4        5        6         7       8          

                      Отрицательные число     начало             Положительные числа

                                                                отсчета

Число 0 не является ни положительным, ни отрицательным числом.

Любое положительное число больше 0.

Любое отрицательное число меньше 0.

Любое положительное число больше любого отрицательного числа.

1. Сравните числа:

а) 2,5 и -78;      д) 28 и  - 28;      

б) 0,3 и 0;         е)  -75 и 11;

в) -5 и 2;          ж) 44 и 0;

г)  0 и -16;       з) – 33 и 0,5

2. Найдите модуль чисел::

а) │- 9│;           г) │- 128│;

б) │32│;           д) │86│;          

в) │- 0,56│;       е) ││;.

3. Вычислите:

а) │- 9│+ │- 128│;

б) │32│– │0,143│;

в) │86│+│- 0,56│

г) ││+│- │;.

Модуль числа.

Расстояние от точки А (а) до начала отсчета точки О (0) называют модулем числа и обозначается  │а│

Например:  │8│=8 – это означает, что расстояние от точки с координатой 8 до точки 0 равно 8 единичным отрезкам,   │- 4│= 4– это означает, что расстояние от точки с координатой   - 4 до точки 0 равно 4 единичным отрезкам,

│-25│= 25 – это означает, что расстояние от точки с координатой   - 25 до точки 0 равно 25 единичным отрезкам,   │42│= 42– это означает, что расстояние от точки с координатой  45 до точки 0 равно 45 единичным отрезкам.

Алгебраическая сумма

Алгебраическая  сумма – это выражение, содержащие числа, знаки «+» и « – », можно представить в виде суммы положительных и отрицательных чисел. Такие выражения называют.

Например:  -24 + 33 – 8 – 12 = (- 24) + 33 + (– 8) + (– 12)

Правило вычисления значения алгебраической суммы:

Если слагаемые имеют одинаковые знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемые, а модуль суммы равен сумме модулей.

Проще говоря: чтобы сложить числа с одинаковыми знаками, нужно сложить их модули и поставить в ответе знак слагаемых.

Например:   (– 8) + (– 12) = – (│–8│+│–12│) = – (8 + 12) = – 20   или

(– 8) + (– 12) = – (8 + 12) = – 20  

Если слагаемые имеют разные знаки, то сумма имеет тот же знак, что и слагаемое с большим модулем, а модуль суммы равен разности модулей слагаемых при условии, что из большего модуля вычитается меньший..

Проще говоря: чтобы сложить числа с разными знаками, нужно из большего по модулю вычесть меньший по модулю и поставить в ответе знак числа, большего по модулю.

Например:   (– 8) +  12 = + (│12│– │–8│) = + (12 – 8) = + 4 = 4   или

                        (– 8) + 12 = + (12 –  8) = + 4 = 4

Например:     8 + (– 12) = – (│–12│–│8│) = – (12 – 8) = – 4   или

                       8 + (– 12) = – (12 – 8) = – 4  

Представьте выражение в виде алгебраической суммы и найдите ее значение:

а) – 25 – 34 + 12 – 66;                        

б) – 18 + 3 + 15 – 17;                    

в) 78 – 42 – 18 + 52;

г) 19 – 87 + 41 – 13;                    

д) – 78 + 20 + 26 – 100 – 22;

Вычислите:

а) 0,12 + (– 0,05) + 3,4 – (– 6);                        

б) –1,018 – 4,29 – (– 0,5) +

+ (– 4);                    

в) 0546 + (– 1,2) – (– 12,8) –

 –7,09;

г) 6,208 – 2,73 – (– 3,792) –

–4,65;                    

д) – 13 + (29– 45);

ЗАПОМНИ!       – (– а) = а        а + (–а) = 0                  Например:   – (– 8) = 8       – (–0,24) = 0,24    – (– 75) = 75    

                                                                                                                 – 8+ 8 = 0       –0,24 + 0,24 = 0    –75 + 75 = 0                

Умножение и деление положительных и отрицательных чисел

При умножении чисел с разными знаками в результате получается отрицательное число, модуль которого равен произведению модулей множителей:                         – × + = –  или  + × – = –

Например:  25 × (– 4) = – (│25│×│– 4│) = – (25 × 4) = – 100

                    – 18 × 5 = – (│–18│×│5│) = – (18 × 5) = – 90

При умножении чисел с одинаковыми знаками получается положительной число. модуль которого равен произведению модулей множителей:      – × –  = + или  + × + = +

Например: 25 ×  4 = + (│25│×│4│) = + 100 = 100

                    – 18 × (– 5) = + (│–18│×│– 5│) = + (18 × 5) = + 90 = 90

При делении чисел с разными знаками и с одинаковыми знаками знак частного определяют так же, как и при умножении.

Вычислите:

а) 2,5 × (–78);      

б) – 1,25× (–72);        

в) -5 ×12,5;          

г)  – 7,1 × 0,5;      

д) – 25 × (– 44)

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Делители и кратные

Если одно натуральное число а нацело делится на другое натуральное число b, то первое число а называют кратным числу b, второе число b называют делителем числа а.

Например:    45 : 9 = 5   Число 45 кратное числу 9, а число 9 – делитель числа 45

Запишите все делители чисел:

а)  60;    б) 48;     в) 84;

г) 65;     д) 120;   е) 150.

Запишите три числа, кратных числам:

а) 12;   б) 17;   в) 31;   г) 29

Разложение числа на простые множители

Натуральные числа, имеющие только два  делителя, называют простыми.

Например: 17 – простое число, т.к. 17 делится на 1 и 17, т.е всего два делителя.

Натуральные числа, имеющие более двух делителей называются составными.

Например:  4 – составное число, т.к. 4 делится на 1, 4,  и 2, т.е. имеет три делителя.

Чтобы представить число в виде произведения простых множителей, нужно разложить это число на простые множители, поиск которых можно оформить следующим образом:  (начинать лучше всего с самых маленьких простых чисел)      126  2             126 = 2×3×3×7 = 2×32×7

                   63  3

                   21  3

                     7  7

                     1

Представьте числа в виде произведения простых множителей:

а)  60;    б) 48;     в) 84;

г) 75;     д) 112;   е) 150.

Наибольший общий делитель    (НОД)

Числа, которые одновременно являются делителями нескольких чисел, называют их общими делителями.

Например: 45 : 9 = 5,    27 : 9  = 3,   99 : 9  =11,    Число 9 является общим делителем чисел  45, 27, 99., т.к. все эти числа делятся на 9.

Наибольшим общим делителем чисел а и b называют число, большее из всех общих делителей.

Например: общие делители чисел 48, 64, 80 являются числа 2,4,8,16, из них наибольшим общим делителем является число 16

Запишите общие делители чисел и укажите наибольший общий делитель:

а)  52 и 39;    

б)  48 и 60

в)  45 и 90

г)  21, 56 и 84          

 Правило отыскания НОД нескольких натуральных чисел:

1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые одновременно входят в каждое из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наименьшим  из показателей степени, с которыми они входят в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.

Например:   Найти НОД (40; 100)

РЕШЕНИЕ:  40 = 23×51        100 = 22×52     НОД (40;100) = 22×51 = 20

Найдите НОД чисел:

а) 350 и 756;   б) 900 и 1183;

в) 198 и 1452;   г) 525 и 2205

Наименьшее общее кратное    (НОК)

Числа, которые одновременно являются кратными нескольким числам, называются их общими кратными.

Например: 45 : 9 = 5,    45 : 15  = 3    Число 45 является общим кратным чисел  9 и 15, так оно делится и на 9, и на 15.

Наименьшим общим кратным чисел а и b называют число, меньшее из всех общих кратных.

Например: общие кратные чисел 5, 8, 4 являются числа 40, 80, 120 и т.д., из них наименьшим среди общих кратных является число 40.

Запишите три общих кратных чисел и укажите наименьшее общее кратное:

а)  12 и 18;    

б)  15 и 9;

в)  45 и 90;

г)  16 и 24;

Правило отыскания НОК нескольких натуральных чисел:

1. Разложить данные числа на простые множители.
2. Выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений.
3. Каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим  из показателей степени, с которыми они входят в разложения данных чисел.
4. Записать произведение полученных степеней.

Например:   Найти НОК (40; 100)

РЕШЕНИЕ:  40 = 23×51        100 = 22×52     НОД (40;100) = 23×52 = 200

Найдите НОК чисел:

а) 28 и 42;   б) 12, 18 и 20;

в) 90, 35;   г) 60, 75.

Взаимно простые числа

Числа, наибольший общий делитель которых равен 1, называют взаимно простыми.

Если  числа а и b взаимно простые, то НОД (а и b) = 1,

                                                 а НОК (а и b) = а × b

Определите, какие из пар чисел являются взаимно простыми и найдите их НОК:

а) 15 и 22;   б) 26 и 27;

в) 30 и 77;   г) 33 и 64.

Наименьшим общим знаменателем двух или нескольких дробей является наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей.

 1. Приведите дроби к наименьшему общему знаменателю:

а)  и ;      б)  и ;    в)  и ;   г)  и .

2. Вычислите:  а)  –   ;      б)  + ;    в)  + ;   г)  – .

Теоретический материал и примеры решения

Задания для самостоятельного выполнения

Отношение двух чисел

В математике рассматривают отношение только для положительных чисел.

Отношение двух чисел – это частное от деления одного из них на другое.

Отношение записывается при помощи знака деления:      а : b =

Например:    3 : 2 = 6 : 4 = 9 : 6 = 15 : 10 = 30 : 20 = 60 : 40.

Дробная черта – это тоже знак деления, поэтому отношения можно записывать в виде дроби:  

Заметим, что  3 : 2 = 1,5, также 1,5 равно каждое из выше указанных отношений:  6 : 4 = 1,5;  9 : 6 = 1,5;    15 : 10  = 1,5

Отношение не изменится, если его члены умножить или разделить на одно и то же число, отличное от нуля.:  

Отношение двух  чисел показывает:

• Во сколько раз одно число больше другого;
• Какую часть одно число составляет от другого.

Например, отношение числа 8 к числу 3 равно 8/3 и показывает, что 8 больше, чем 3 в 2⅔ раза. А отношение числа 3 к числу 8 равно 3/8 и выражает часть, которую 3 составляет от 8.

Примеры отношения величин.

- скорость (отношение пройденного пути ко времени, за которое путь был пройден);

- производительность труда (отношение объема работы ко времени, за которое выполняется работа);

- цена ( отношение стоимости товара к количеству единиц);

- масштаб (отношение длины отрезка на карте к расстоянию между соответствующими точками на местности);

- урожайность (отношение массы собранного урожая к общей площади полей, с которой был собран урожай).

Запишите отношения в виде обыкновенной дроби и, если возможно, сократите ее:

а) 15 : 27;        г) 45 : 25;

б) 8 : 26:         д) 49 : 84;

в) 36 : 225;     е) 54 : 129  

 Укажите равные отношения

а) 25 : 75;        г) 45 : 15;

б) 8 : 24:         д) 17 : 85;

в) 36 : 22;     е) 54 : 162  

Задачи на отношения:

Задача 1.  Папа, мама и сын поехали навестить бабушку. Общее расстояние, которое им надо проехать 1300 километров. Через 325 км они остановились перекусить в придорожном кафе. Какую часть пути им осталось проехать? 

РЕШЕНИЕ:  1300 – 325 = 975 км осталось проехать

                       975 : 1300 =

Ответ:  пути осталось проехать.

Задача 2.  На ремонт стены помещения истратили 3,6 кг штукатурки. Это составляет 4⁄9 всей штукатурки, выделенной на ремонт. Сколько штукатурки было выделено на ремонт?

РЕШЕНИЕ:  3,6 : 4 × 9 = 8,1 кг штукатурки было выделено на ремонт.

Задача 3.

Решите задачи:

1. В компьютерной игре Сталкер 3 карты. На каждой карте 70 заданий. Мальчик выполнил 147 заданий. Какую часть игры он прошел? Ответ десятичная дробь. 
2. В книге 325 страниц. Прочитано 75 страниц. Какую часть книги осталось прочитать?    
3. Трубу разрезали на два куска. Длина первого куска равна 0,8 метра, а дина второго равна 2,4. Найдите, какую часть всей трубы составляет первый кусок, и какую часть всей трубы составляет вторая часть. Какую часть от длины второй части составляет длина куска первой части?