Программа элективного курса по математике "Элементы дискретной математики" для учащихся 8 -11 классов
рабочая программа по математике (11 класс) на тему

МОУ «Лицей №4» г.о. Саранск

при поддержке Мордовского Республиканского Института Образования

                                                                                        На правах рукописи

Программа элективного курса по математике

для учащихся 8-11 классов

«Элементы дискретной математики»

Саранск

2012 год

Программа разработана на основе образовательного стандарта для углубленного изучения математики

Программа прошла экспертную оценку и апробацию в МОУ «Лицей №4» г. Саранска и утверждена Мордовским Республиканским Институтом Образования

Разработчики:

Бодрикова С. В. – учитель математики МОУ «Лицей №4» г. Саранска

Малышкина Н. В. - заместитель директора МОУ «Лицей №4» г. Саранска

Научные консультанты:

Амутнова С. П.- кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики ФГ БОУ ВПО «Мордовский государственный педагогический институт им. М.Е. Евсевьева»

Костров О. Г.- кандидат физико – математических наук, доцент кафедры математического анализа ГОУ ВПО «МГУ им. Н.П.Огарева»

            Методисты:

                        Богомолова Г.А. – методист кафедры естественнонаучного образования

ГБОУ ДПО (ПК) С МРИО

                        Куканов М.А. - доцент кафедры естественно-научного образования

ГБОУ ДПО (ПК) С МРИО, кандидат физико- математических  наук         

Оглавление

1.Введение                                                                                        4

1.1 Пояснительная записка.                                                                4

1.1.1 Актуальность программы и ее новизна                                        4

                  1.1.2 Цель и задачи обучения                                                        4

                  1.1.3 Организация обучения и контроля в лицее                                5

2.Содержание курса                                                                        6

2.1 Элементы комбинаторики                                                        6

2.2 Неупорядоченное разбиение множеств

2.3 Полиномиальная формула. Бином Ньютона                                        6

2.4 Правило включения и исключения                                                7

3.Примерный тематический план                                                        8

4 Учебно-методические комплексы                                                        9

4.1 Перечень вопросов по теоретическому материалу                                9

4.2 Упражнения к разделам программы                                                10

4.3 Задания для самопроверки                                                        14

4.4 Итоговый тест                                                                        15

5 Список рекомендуемой литературы                                                        16

5.1 Основная литература                                                                16

5.2 Дополнительная литература                                                        16

1.Введение

1.1. Пояснительная записка

1.1.1 Актуальность программы и ее новизна

В условиях существования разных типов школ возникла необходимость создания программ, с одной стороны, ориентированных на новые цели обучения, с другой стороны, учитывающих особенности обучения в каждом образовательном учреждении.

В программу элективного курса внесены наиболее важные в математическом плане вопросы, углубляющие основные направления общего курса математики.

Разработанная программа по математике является актуальной для лицеев, так как на сегодняшний день не существуют учебных программ для проведения факультативов, предлагаемых министерством образования для данного типа образовательных учреждений.

Программа элективного курса «Элементы дискретной математики» составлена на основании авторской рабочей программы «Элементы комбинаторики» учителей математики кафедры естественно-математического цикла МОУ «Лицей №4». В вышеуказанную программу были включены дополнительные задачи на использование формул комбинаторики, а также следующие разделы: «Полиномиальная формула», «Неупорядоченное разбиение множества», «Правило включения и исключения». Данная программа ориентирована на развитие личностных, метапредметных и предметных результатов.

Программа элективного курса «Элементы дискретной математики» основана на комплексе требований к содержанию обучения и уровню подготовленности учащихся, обучающихся в классах с углубленным изучением математики, зафиксированном в образовательном стандарте, и учитывает особенности обучения в лицеях. Она отражает изменения в содержании обучения математике в лицеях, выразившиеся в ориентации на становление функционально грамотной личности, формирование прочной математической базы, на углубление знаний по основному курсу, развитие умений решать более трудные и разнообразные задачи.

Программа «Элементы дискретной математики» построена с учетом используемых в лицее альтернативных учебно-методических комплексов и инновационных технологий обучения. Таким образом, можно выделить основные компоненты, ориентированные на новые цели обучения:

 - на первый план выдвигается развивающая функция обучения, обеспечивающая становление функционально грамотной личности;

 - формирование прочной математической базы, математической грамотности, творческого мышления, устойчивого интереса к математике;

 - новая система контроля знаний, умений и навыков, основанная на тестовой методике с использованием компьютерной технологии, на технологии обучения, ориентированной на деятельностный подход в преподавании математики.

1.1.2 Цели и задачи обучения

Основной целью элективного курса является развитие личностных, метапредметных и предметных результатов такого раздела современной науки, как дискретная математика.

Программа элективного курса «Дискретная математика» предусматривает также достижение следующих целей:

 - довести изучение материала до уровня, на котором учащемуся становится ясной его принципиальная математическая значимость;

 - показать непосредственные выходы школьной математики в сферы серьезной науки и ее применений;

 - показать учащимся как из материала школьного курса математики возникают общие концепции, обладающие теоретической и практической ценностью.

Элективный курс для 8 - 11классов рассчитан на учащихся, проявляющих устойчивый интерес к математике. Материал курса позволяет с общих позиций взглянуть на школьную математику и усмотреть единство предмета и метода математической науки.

Занятия элективного курса соотносятся с основным курсом математики. Распределение часов по темам дано из расчета 17 часов в полугодие - 1 час в неделю.

1.1.3 Организация обучения и контроля в лицее

Настоящая программа разработана с учетом современных требований к обучению математике и в своих методических рекомендациях основывается на последних достижениях методической науки в нашей стране. При описании задач изучения математики, выборе структуры и содержания программы учитывался опыт создания образовательного стандарта по углубленному изучению математики. Программа элективного курса разработана для школ и лицеев, где математика изучается углубленно.

Решить поставленные программой задачи возможно лишь в процессе активной мыслительной и познавательной активности ученика, при его активном  взаимодействии с учителем и товарищами по классу. Основными формами организации работы на занятиях элективного курса являются работа в группах, работа в парах. Очень большое значение при этом имеет организация учебного процесса, предусматривающая деятельностный подход.

Программа предусматривает использование системы контроля уровня знаний в виде устных опросов, зачетов, контрольных письменных работ, тестирования. При этом компьютерные технологии являются составляющей частью обучения.

Основная форма обучения – внеурочная и самостоятельная работа учащихся. Внеурочная форма осуществляется в пределах сетки часов, отводимых в учебном плане на элективные курсы, установленной для данного типа заведения: 1 час в неделю. Обучение проводится в виде занятий во второй половине дня (без деления на группы) в кабинетах математики с использованием учебников, наглядных пособий, дидактического материала. Самостоятельная деятельность осуществляется как дома, так и в процессе занятий. Направленные на развитие самостоятельности, они могут носить как индивидуальный, так и коллективный характер. Проверка уровня сформированности действий и приемов, адекватных материалу элективного курса осуществляется в форме текущего промежуточного и итогового контроля в соответствии с критериями оценок, изложенными в «Образовательном стандарте по математике».

Текущий контроль проводится на каждом занятии и имеет целью проверить уровень владения математическим материалом или степень сформированности соответствующих навыков. Текущий контроль помогает учителю внести определенную коррекцию в тактику обучения, он служит также значительным мотивационным фактором.

Промежуточный контроль учитель может проводить к концу какого-либо цикла занятий. Он призван проверить уровень сформированности личностных, метапредметных и предметных результатов обучения.

Итоговый контроль проводится по окончанию изучения материала элективного курса. Путем итогового контроля проверяется уровень владения математическими знаниями. Проверке и контролю подлежат не только знания по теории, но и умение их применять на практике. Основной формой контроля являются тестовые методики.

2. Содержание курса

2.1 Правила и формулы комбинаторики

        Введение в комбинаторику. Предмет и методы комбинаторики. Правило умножения и правило сложения. Схемы без повторения и с повторением. Основные комбинаторные конструкции: размещения, сочетания и перестановки в схемах без повторений и с повторением.

В результате изучения данной темы учащиеся должны знать:

 - формулировки правила сложения и правила умножения;

 - определения размещения, сочетания и перестановки;

 - формулы для вычисления количества размещений, сочетаний и перестановок.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

 - различать схемы с повторением и без повторения;

 - применять правила комбинаторики при решении задач;

 - проводить вычисления с использованием формул комбинаторики.

Основные термины: правило сложения, правило умножения, размещение, сочетание, перестановка.

2.2 Разбиения множества

Разбиение множества на непересекающиеся подмножества. Упорядоченное и неупорядоченное разбиение множества на подмножества. Формула для вычисления количества упорядоченных разбиений множества. Формула для вычисления количества неупорядоченных разбиений множества.

В результате изучения данной темы учащиеся должны знать:

 - определение упорядоченного и неупорядоченного разбиения множества на подмножества;

 - формулы для вычисления количества упорядоченных и неупорядоченных разбиений множества на подмножества.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

 - вычислять количество упорядоченных разбиений множества на подмножества;

- вычислять количество неупорядоченных разбиений множества на подмножества.

Основные термины: упорядоченное разбиение множества на подмножества, неупорядоченное разбиение множества на подмножества.

2.3 Полиномиальная формула

        Полиномиальная формула. Нахождение полиномиальных коэффициентов. Бином Ньютона как частный случай полиномиальной формулы. Биномиальные коэффициенты. Свойства биномиальных коэффициентов. Применение свойств биномиальных коэффициентов при решении задач.

В результате изучения данной темы учащиеся должны знать:

 - полиномиальную формулу;

 - формулу бинома Ньютона;

 - формулу для вычисления коэффициента при одночлене;

 - свойства биномиальных коэффициентов.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

 - вычислять коэффициенты в полиномиальной формуле;

 - вычислять биномиальные коэффициенты;

 - использовать свойства биномиальных коэффициентов при решении задач.

Основные термины: полиномиальная формула, Бином Ньютона, биномиальные коэффициенты.

2.4 Правило включения и исключения

        Нахождение количества элементов, не обладающих ни одним из свойств. Нахождение количества элементов, обладающих ровно m свойствами. Задача о беспорядках.

В результате изучения данной темы учащиеся должны знать:

 - формулу для подсчета количества элементов, не обладающих ни одним из свойств;

 - формулу для подсчета количества элементов, обладающих ровно m свойствами;

 - общую формулировку задачи о беспорядках.

В результате изучения данной темы учащиеся должны уметь:

 - выделять свойства, которыми обладают (не обладают) элементы;

 - вычислять количество элементов, не обладающих ни одним из свойств;

 - вычислять количество элементов, обладающих ровно m свойствами.

Основные термины: задача о беспорядках.

3. Примерный тематический план

4. Учебно-методические комплексы

Весьма существенное место на занятиях отводится задачам. Учитывая выход задачников по математике в сериях издательства  «Просвещение», а так же наличие значительного количества задачной литературы, мы включили лишь подборку наиболее существенной части заданий. Осуществляя целенаправленное обучение решению задач с помощью специально подобранных упражнений, ставится цель учить их наблюдать, пользоваться аналогией, индукцией, сравнением и делать соответствующие выводы, «открывать» математические факты, а так же прививать учащимся не только навыки логического рассуждения, но и прочные навыки эвристического мышления. Набор упражнений по каждому разделу можно использовать на занятиях совместно с заданиями, предлагаемыми в соответствующей литературе, приведенной в оглавлении.  Задания для самоопределения и самопроверки по темам, рассматриваемым в ходе изучения элективного курса, служат для проверки усвоения изученного материала. Тестирование можно проводить с использованием компьютерных технологий. Каждый из учащихся по окончанию изучения темы, заложенной в программе, сдает учителю зачет.

4.1 Перечень вопросов по теоретическому материалу

4.1.1 Правила комбинаторики. Формулы комбинаторики.

1. Сформулируйте правило произведения

2. Сформулируйте правило суммы.

3. Приведите пример задачи, решаемой с помощью правила произведения и решите ее.

4. Приведите пример задачи, решаемой с помощью правила суммы и решите ее.

5. Сформулируйте определение размещения. Запишите формулы для вычисления числа размещений в схеме без повторения и в схеме с повторением.

6. Приведите пример задачи, решаемой с помощью формулы для вычисления числа размещений и решите ее.

7. Сформулируйте определение сочетания.

8. Запишите формулы для вычисления сочетаний в схемах с повторением и без повторения.

9. Приведите пример задачи, решаемой с помощью формулы для вычисления числа сочетаний и решите ее.

10. Сформулируйте определение перестановки.

11. Запишите формулы для вычисления числа перестановок в схемах без повторения и с повторением.

12. Приведите пример задачи, решаемой с помощью формулы для вычисления количества перестановок и решите ее.

4.1.2 Упорядоченное и неупорядоченное разбиение множества.

1. Запишите формулу для подсчета количества упорядоченных разбиений множеств.

2. Приведите пример задачи с упорядоченным разбиением множеств и решите ее.

3. Запишите формулу для подсчета количества неупорядоченных разбиений множеств.

4. Приведите пример задачи с неупорядоченным разбиением множеств и решите ее.

4.1.3 Полиномиальная формула. Бином Ньютона.

1. Запишите полиномиальную формулу.

2. Запишите формулу для вычисления коэффициента при одночлене в случае, когда коэффициенты при переменных равны 1.

3. Запишите формулу для вычисления коэффициента при одночлене в случае, когда коэффициенты при переменных не равны 1.

4. Запишите бином Ньютона.

5. Сформулируйте свойства биномиальных коэффициентов.

6. Приведите пример задачи с использованием бинома Ньютона и решите ее.

4.1.4 Правило включения и исключения.

1. Запишите формулу для подсчета количества элементов, не обладающих ни одним из свойств.

2. Запишите формулу для подсчета количества элементов, обладающих ровно m свойствами.

3. Как подсчитать количество элементов, обладающих хотя бы одним свойством?

4.2 Упражнения к разделам программы

1 Правила комбинаторики

1.1 Из города А в город В ведут 7 дорог, а из города В в город С-3 дороги. Сколько возможных маршрутов ведут из А в С через город В?

1.2 Сколькими способами можно указать на шахматной доске 2n×2n два квадрата-белый и черный?

1.3 В правление избрано m человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя председателя, секретаря и казначея. Сколькими способами можно это сделать?

1.4 Двадцать учащихся обмениваются фотокарточками. Сколько фотокарточек понадобилось для этого?

1.5 Сколько различных трехзначных чисел состоит только из четных цифр?

1.6 Сколькими способами можно указать на шахматной доске размера 2n×2n два квадрата-белый и черный, не лежащие на одной горизонтали и вертикали?

1.7 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, 7, если:

        1) цифры не повторяются;

        2) цифры повторяются.

1.8 Сколько чисел, содержащих не менее трех попарно различных чисел, можно составить из цифр 2, 4, 6, 8, 9?

1.9 Игрок бросает сначала белую игральную кость, потом черную. Сколько может быть случаев, когда число очков, появившихся на белой кости, больше числа очков, появившихся на черной?

1.10 В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Сколькими способами можно извлечь 2 шара разных цветов?

2. Формулы комбинаторики

2.1 Группа шахматистов сыграла между собой 28 партий. Каждые два из них встречались между собой один раз. Сколько шахматистов участвовали в соревновании?

2.2 Пять человек вошли в лифт на первом этаже девятиэтажного дома. Сколькими способами пассажиры могут выйти из лифта на нужных этажах?

2.3 Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы второй и четвертый вагоны шли через один?

2.4 Нужно послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если любое письмо можно передать с любым из трех курьеров?

2.5 У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если ему дают не более тех имен, а общее число имен равно m?

2.6 Сколькими способами можно расставить белые фигуры:2 коня, 2 слона, 2 2 ладьи, ферзя и короля на первой линии шахматной доски?

2.7 На школьном вечере присутствуют 12 девушек и 15 юношей. Сколькими способами можно выбрать из них 4 пары?

2.8 Хор состоит из 10 участников. Сколькими способами можно в течении трех дней выбирать по 6 участников, так, чтобы каждый день были различные составы хоров?

2.9 Сколькими способами можно распределить 9 различных предметов так, чтобы каждый получил по три предмета?

2.10 Сколькими способами можно распределить 36 игральных карт поровну между четырьмя игроками?

2.11 Сколько различных комбинаций из 6 карт содержат 3 дамы, 2 короля и 1 туз?

2.12 На книжной полке расположено 6 томов. Сколькими способами их можно расставить так, чтобы при этом первый и второй тома не стояли рядом?

2.13 Сколько чисел, меньших 1000000 можно записать с помощью цифр 8 и 9?

2.14 В колоде 52 карты. В скольких случаях при выборе из колоды 10карт среди них окажутся:

        а) ровно 1 туз;

        б) хотя бы один туз?

        в) не менее двух тузов;

        г) ровно два туза?

2.15 Сколькими способами в бригаде из 6 операторов можно распределить 3 путевки в санаторий, на турбазу и в дом отдыха?

2.16 Сколько существует различных шестизначных телефонных номеров?

2.17 Сколько «слов» можно получить из слова «грамматика»?

2.18 Сколько различных трехзначных номеров автомобилей можно составить в одной серии?

2.19 На книжной полке уставлено 7 книг. Сколькими способами можно взять с полки 3 книги, при условии, что не стоят рядом?

2.20 Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. найти число таких номеров, если используются 24 буквы русского алфавита и 10 цифр (0,1…,9).

2.21 В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Сколькими способами можно распределить билеты так, чтобы 2 из них достались женщинам?

2.22 Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 4 бракованных. Сколькими способами можно выбрать комплект из 5 деталей, среди которых две бракованные?

3. Неупорядоченное разбиение множеств

3.1 Сколькими способами можно разбить на две группы 6 мальчиков? На две группы по 3 мальчика?

3.2 Сколькими способами можно разместить в двух комнатах 9 различных предметов?

3.3 Сколькими способами из группы в 17 человек можно сформировать 6 групп по 2 человека и 1 группу из 5 человек?

3.4 Сколькими способами можно разбить 15 рабочих:

а) на 3 бригады по 5 человек;

б) на 5 групп по 3 человека?

3.5 Сколькими способами можно разложить 9 книг в 4 бандероли по 2 книги и в 1 бандероль 1 книгу (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

3.6 Сколькими способами можно разделить 9 книг в 3 бандероли по три книги в каждую (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

4. Полиномиальная формула

4.1 Определить коэффициент  в одночлене  после разложения выражения  и приведения подобных членов?

4.2 Определить коэффициент  в одночлене  после разложения выражения  и приведения подобных членов?

4.3 Определить коэффициент  в одночлене  после разложения выражения  и приведения подобных членов?

4.4 Представить в виде многочлена .

4.5 Представить в виде многочлена .

5 Бином Ньютона

5.1 Сумма биномиальных коэффициентов разложения  равна 64. Определить слагаемое, не содержащее .

5.2 При каких значениях  четвертое слагаемое разложения  больше двух соседних с ним слагаемых?

5.3 Каков наибольший коэффициент разложения , если сумма всех коэффициентов равна 4096?

5.4 Известно, что в разложении  имеется член, содержащий . Найти этот член.

5.5 Сумма коэффициентов второго и третьего слагаемых разложения  равна 25,5. Написать член, не содержащий.

5.6 При каком значении  четвертое слагаемое разложения  в 20 раз больше , если биномиальный коэффициент четвертого слагаемого относится к биномиальному коэффициенту второго слагаемого как 5:1?

5.7 Определить , если пятое слагаемое разложения  не зависит от .

5.8 В какую натуральную степень следует возвести бином, чтобы отношение четвертого слагаемого разложения к третьему было равно ?

6. Правило включения и исключения

6.1 Секретарь факультета составил отчет, в котором сказано, что из 100 абитуриентов английский язык в школе изучали 50 человек, немецкий – 23, а французский – 30. С английским и французским языками знакомы 8 абитуриентов, с французским и немецким – 10, а с английским и немецким – 20. все три языка изучали 5 абитуриентов.

        1) Почему секретарь получил выговор за этот отчет? Докажите, что в отчете имеется ошибка.

        2) Как выяснилось, что при обработке данных произошла потеря информации? Исправьте допущенную ошибку.

6.2 Из 100 студентов факультета программирования 42 посещают спортивные секции, 30 – занятия научного студенческого общества (НСО), 28 – кружки художественной самодеятельности. На занятия НСО и спортом успевают ходить 5 студентов, спортом и художественной самодеятельностью занимаются 10, посещают НСО и занимаются художественной самодеятельностью – 8, а сразу все три увлечения имеют три студента. Сколько студентов:

        1) не посещают ни одно из этих объединений по интересам;

        2) занимаются только спортом;

        3) занимаются либо в НСО, либо художественной самодеятельностью;

        4) занимаются либо спортом, либо художественной самодеятельностью, но не в НСО;

        5) занимаются или в НСО, или художественной самодеятельностью, но не спортом?

6.3 Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 7 и 11?

6.4 Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 9 и 12?

6.5 Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 3, 5 и 7?

6.6 Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 4, 6 и 9?

6.7 При обследовании читательских вкусов студентов оказалось, что 60% читают журнал А, 50% - журнал В, 50% - журнал С, 30% - журналы А и В, 20% - журналы В и С, 40% - журналы А и С, 10% - журналы А, В и С. Сколько процентов студентов:

        1) не читают ни одного из журналов;

        2) читают в точности два журнала;

        3) читают не менее двух журналов?

6.8 На одной из кафедр университета работают 13 человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык. Десять человек знают английский, 7 – немецкий, 6 – французский. Пятеро знают английский и немецкий, 3 – немецкий и французский, 4 – английский и французский. Сколько человек знают:

        1) все три языка;

        2) ровно два языка;

        3) только английский язык?

6.9 Имеется 6 различных шаров и 4 различные корзины. Сколькими способами можно разместить предметы по корзинам, если пустые корзины не допускаются?

6.10 Найти число способов разложения 8 шаров по 5 корзинам так, чтобы 2 корзины оставались пустыми.

6.11 Имеем 5 различных шаров  и столько же различных корзин . Сколькими способами можно разместить предметы по корзинам так, чтобы никакой предмет  не попал в корзину  (допускаются пустые корзины)?

6.12 (Задача о беспорядках). Имеем 5 различных шаров  и столько же различных корзин . Сколькими способами можно разместить предметы по корзинам так, чтобы никакой предмет  не попал в корзину  (пустые корзины не допускаются)?

6.13 Найти число перестановок 8 шаров, в которых ровно 3 элемента остаются на месте.

6.14 (Задача о рыцарских переговорах). К обеду за круглым столом приглашены 4 пары враждующих рыцарей. Требуется рассадить их так, чтобы никакие два врага не сидели рядом.

4.3 Задания для самопроверки

4.3.1. Из города А в город В ведут 5 дорог, а из города В в город С-4 дороги. Сколько возможных маршрутов ведут из А в С через город В?

4.3.2 Сколько различных трехзначных чисел состоит только из нечетных цифр?

4.3.3 Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 5, если:

        1) цифры не повторяются;

        2) цифры повторяются.

4.3.4 В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Сколькими способами можно извлечь 2 шара одинакового цвета?

4.3.5 Сколькими способами можно сформировать железнодорожный состав из 9 вагонов так, чтобы второй и четвертый вагоны шли друг за другом ?

4.3.6 Сколько существует различных пятизначных телефонных номеров?

4.3.7 Сколькими способами можно разложить 10 книг в 3 бандероли по 2 книги и в 2 бандероли по 2 книги в каждой (порядок бандеролей не принимается во внимание)?

4.3.8 Определить коэффициент  в одночлене  после разложения выражения  и приведения подобных членов?

4.3.9 Определить коэффициент  в одночлене  после разложения выражения  и приведения подобных членов?

        4.3.10 Записать в виде многочлена .

4.3.11 Найти количество целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 5 и 11?

4.3.12 Найти число целых положительных чисел, не превосходящих 1000, которые не делятся ни на одно из чисел 6 и 8?

4.4 Итоговый тест

1. Найти число маршрутов из пункта А в пункт С через пункт В, если из А в В ведут 3 дороги, а из С в В – 5 дорог.

2.Нужно послать 6 срочных писем в течение некоторого времени. Сколькими способами можно это сделать, если каждое письмо можно послать с любым из 3 курьеров.

3.В турнире разыгрывается 3 медали (золотая, серебряная, бронзовая) среди 17 команд. Сколькими способами можно их разыграть.

4. Сколькими способами можно выбрать 10 различных книг из 15 возможных.

5. Трое студентов делят 15 одинаковых тетрадей. Сколькими способами они могут это сделать, чтобы у каждого была хотя бы 1 тетрадь.

6. Сколькими способами можно 17 человек разбить на 3 группы: 2 по 5 и 1 по 7 человек?

7. Сколько существует перестановок из слова «Колобок»

8. Найдите коэффициент при Х12 * Х22 * Х32  при разложении (Х1+4Х2+Х3)6

9.У мамы 5 яблок, 7 груш, 3 апельсина. Каждый день она выделяет сыну по 1 фрукту. Сколькими способами она может это сделать.

10.Сколькими способами можно расставить на шахматной доске (8х8) 8 ладей так, чтобы никакие 2 ладьи не угрожали друг другу

11. Какое количество таблиц можно составить из 5 строк и 4 столбцов из элементов 1, 2, 3?.

12. Из 220 учащихся старших классов 163 играют в баскетбол, 175 – в футбол, 24 не играют в эти игры. Сколько старшеклассников одновременно играют в баскетбол и футбол.

13. Найти число целых чисел, не превосходящих 1000 и не делящихся ни на одно из чисел 2, 3, 5?

5 Литература

5.1 Основная литература

1. Иванов Б.Н. Дискретная математика. Алгоритмы и программы: Учеб. Пособие. –  М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 288 с.

2. Спирина М.С. Дискретная математика: Учебник для студ. учреждениий сред. проф. образования./М.С.Спирина, П.А.Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2004. – 368 с.

5.2 Дополнительная литература

        1. Логика и комбинаторика / Составитель А. А. Егоров – М.: Бюро Квантум, 2002. – 128 с. – (Прил. к журналу «Квант» №5/2002)

        2. Логика и комбинаторика / Составитель А. А. Егоров – М.: Бюро Квантум, 2003. – 128 с. – (Прил. к журналу «Квант» №1/2003)

        3. Лунгу К. Н., Норин В. П. и др. Сборник задач по высшей математике. 2 курс / под. ред. С. Н. Федина. М.: Айрис-пресс, 2004. – 592 с.

        4. Журнал «Математика в школе»

        5. Газета «Математика», Издательский дом «1 сентября»