Экзаменационные материалы по математике за 10 класс
учебно-методический материал по математике (10 класс) на тему

Экзаменационные материалы по математике

за 10 класс

Устный экзамен

Билет № 1

1. Действительные числа. Иррациональные числа. Арифметический корень натуральной степени и его свойства.
2. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с аксиомами планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве.
3. Решить задачу:

Билет № 2

1. Степень с рациональным показателем и ее свойства. Упрощение выражений, содержащих степени и корни.
2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Теорема о скрещивающихся прямых.
3. Решить задачу:

Билет № 3

1. Радиан. Радианное измерение дуг и углов. Тригонометрические функции числового аргумента: sin, cos, tg, ctg. Основное тригонометрическое тождество. Применение тождеств.

2. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Теоремы о линиях пересечения плоскостей .

3. Решить задачу:

Билет № 4

1. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Преобразование тригонометрических выражений.
2. Теорема о параллельных прямых. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Теорема о параллельности прямых.
3. Решить задачу:

Билет № 5

1. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Формулы приведения и их применение для упрощения выражений.
2. Углы с сонаправленными сторонами. Теорема об углах с сонаправленными сторонами. Угол между пересекающимися прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми.
3. Решить задачу:

Билет № 6

1. Степенная функция, ее свойства и график при разных показателях.
2. Взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей. Свойства параллельных плоскостей.
3. Решить задачу:

Билет № 7

1. Иррациональные уравнения и способ их решения.
2. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости.
3. Решить задачу:

Билет № 8

1. Тригонометрические уравнения. Простейшие тригонометрические уравнения и их решения.
2. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
3. Решить задачу:

Билет № 9

1. Показательная функция, ее свойства и график. Показательные неравенства.
2. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
3. Решить задачу:

Билет № 10

1. Показательные уравнения и способы их решения.
2.  Векторы в пространстве. Равенство векторов. Сложение, вычитание векторов. Умножение вектора на число (законы).
3. Решить задачу:

Билет № 11

1. Определение и свойства логарифмов. Применение их для упрощения выражений.
2.  Компланарность  векторов. Колинеарность и компланарность векторов. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
3. Решить задачу:

Билет № 12

1. Свойства и график логарифмической функции. Применение свойств для решения логарифмических  неравенств.
2. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.
3. Решить задачу:

Билет № 13

1. Логарифмические уравнения и способы их решения.
2. Параллелепипед. Прямоугольный параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда.
3. Решить задачу:

Билет № 14

1. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Преобразование тригонометрических выражений.
2. Понятие призмы. Прямая призма, правильная призма. Площадь боковой поверхности.
3. Решить задачу:

Билет № 15

1.  Тригонометрические уравнения. Основные методы решения тригонометрических уравнений
2. Пирамида. Правильная пирамида. Апофема. Площадь боковой поверхности пирамиды.. Усеченная пирамида.
3. Решить задачу:

Вопросы по стереометрии  

1. Основные понятия и аксиомы стереометрии. Их связь с аксиомами планиметрии. Понятие о фигуре в пространстве.
2. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Признак скрещивающихся прямых. Теорема о скрещивающихся прямых.
3. Теорема о параллельных прямых. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми. Теорема о параллельности прямых (транзитивность).
4. Взаимное расположение прямой и плоскости. Признак параллельности прямой и плоскости. Теоремы о линиях пересечения плоскостей (три).
5. Параллельное проектирование. Свойства параллельного проектирования. Изображение пространственных фигур на плоскости (Рыжик стр. 34-40). Ортогональное проектирование (Рыжик стр. 94-97).
6. Углы с сонаправленными сторонами. Теорема об углах с сонаправленными сторонами. Угол между пересекающимися прямыми. Угол между скрещивающимися прямыми.
7. Взаимное расположение плоскостей. Признак параллельности двух плоскостей. Свойства параллельных плоскостей.
8. Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярности к плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной плоскости.
9. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между параллельными плоскостями. Расстояние от прямой до параллельной ей плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Расстояние между фигурами (Рыжик стр. 106).
10. Проекция точки на плоскость. Проекция фигуры на плоскость. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Перпендикулярные плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
11. Расстояние между скрещивающимися прямыми. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых (Рыжик стр. 109). Определение расстояния между скрещивающимися прямыми векторным методом. Геометрический  подход к определению расстояния между скрещивающимися прямыми (теорема, тетрадь).
12. Векторы в пространстве. Равенство векторов. Сложение, вычитание векторов. Умножение вектора на число (законы). Правило ломанной. Правило параллелепипеда. Соотношения, используемые при решении задач векторными методами (тетрадь).
13. Компланарность  векторов. Колинеарность и компланарность векторов. Базис в пространстве. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам (существование и единственность).
14. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения. Скалярное произведение в ортонормированном базисе.
15. Векторный метод определения угла между прямой и плоскостью и расстояния от плоскости до прямой.
16. Пространственная область. Геометрическое тело. Многогранники и их элементы. Правильные многогранники. Теорема Эйлера (тетрадь).
17. Тетраэдр, параллелепипед, призма. Прямоугольный параллелепипед. Свойства прямоугольного параллелепипеда. Прямая призма, правильная призма. Площадь боковой поверхности.
18. Пирамида. Правильная пирамида. Апофема. Площадь боковой поверхности пирамиды. Свойство параллельных сечений пирамиды. Усеченная пирамида.
19. Понятие объема (тетрадь). Объем прямоугольного параллелепипеда. Объем прямой призмы, пирамиды.
20. Прямоугольная система координат в пространстве. Расстояние между двумя точками. Задание фигур уравнениями и неравенствами. Применение метода координат к решению задач по стереометрии (Рыжик стр. 350-359, 361).
21. Уравнения прямой и плоскости в пространстве (в векторной и координатной форме) (Рыжик стр. 331-333, 359-360, 366-367).

Примеры задач.

Задача № 1

На рисунке точки M, F и E - середины отрезков CD, BC и AB соответственно.

1. Построить линии пересечения плоскости MFE с плоскостями ABC, CDB, ADC и ADB.
2. Найдите угол между прямыми AC и DB, если AC=10, BD=20, а площадь четырехугольника, образованного построенными линиями пересечения равна  .

Задача № 2

Дана наклонная призма . M лежит в плоскости . Через точку М проведена плоскость, параллельная плоскости . Постройте линию пересечения этой плоскости с плоскостью .

Задача № 3

Дан куб , ребро которого равно 4 см. Диагонали оснований  и  пересекаются в точках О и О1 соответственно. Р - середина AD,  а T  - середина CD. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки P, T и середину отрезка ОО1 и найдите площадь сечения.

Задача № 4

В тетраэдре DABC  AC=12;  DB=9;  O - точка пересечения медиан треугольника ABC. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, которая проходит через точку О и параллельна прямым AC и  DB. Найдите площадь сечения, если угол между прямыми  AC  и DB равен .