О ФОРМИРОВАНИИ У УЧАЩИХСЯ УМЕНИЙ ОБОБЩАТЬ И СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ
статья по математике (7 класс) по теме

О ФОРМИРОВАНИИ У УЧАЩИХСЯ  УМЕНИЙ ОБОБЩАТЬ И СИСТЕМАТИЗИРОВАТЬ ПРИ ИЗУЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ

Останов К. (СамГУ, Самарканд, Узбекистан),

Сформировать обобщение способов решения уравнений и неравенств осуществляется в несколько этапов. Эти этапы характеризуются следующими характерными признаками:

• решение простейших уравнений и неравенств;
• анализ учебных действий, требуемых для их решения;
• вывод алгоритма (формулы, правила) решения;
• решение несложных уравнений и неравенств, не являющихся простейшими;
• анализ учебных действий, требуемых для их решения;
• выделение частного способа решения;
• использовангие данного способа по образцу, в вариативных  ситуациях;
•  аналогичная поэтапная работа для следующих видов уравнений и неравенств;
• сравнение получаемых частных способов, выделение общих учебных действий и обоснование обобщенного способа;
• использование обобщенного способа  в аналогичных ситуациях, перенос и создание на его основе новых частных способов  для других видов уравнений.

В этом процессе руководящую роль играет преподаватель, который своей  деятельностью  направляет учащихся к созданию ситуаций (условий) для реализации  данной  схемы  при поэтапном формировании способов: подбор задач и упражнений  для диагностики контроля, оказание своевременной  помощи учащимся в овладении умениямит осознавать алгоритмом  решения, его формулировки, применения.

Процесс формирования  обобщенных способов решения уравнений различных видов можно осуществить по следующей схеме:

1.Выяснить является ли уравнение простейшим:

- определить порядко осуществления тождественных и равносильных преобразований для приведения его к простейшему: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенеос членов из одной части к другому, приведение подобных членов, разложение на множители, замена переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной системой уравнений и неравенств;

- применяя подходящих преобразований привести данное уравнение к простейшему;

2. Решить простейшее уравнение

3. Проверка и исследование полученного решения

4. Оформление решения и запись ответа.

Используя   данную схему к решению уравнений первой степени с одной переменной можно получить следующий обобщенный способ решения в виде алгоритма:

1) выяснить, является ли уравнение (неравенство) линейным; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) определить, какие тождественные  и равносильные преобразования необходимо использовать для приведения  уравнения к линейному: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенос членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) применяя подходящих преобразований привести данное уравнение к простейшему линейному  уравнение ах=b;

4) найти  при а≠0 (  при а><0);

5) если неоюходимо, сделать проверку и  исследование решения:

6) записать ответ ( изобразить его на числовой оси).

Здесь же целесообразно повторить и закрепить  обобщенный способ решения задач с помощью линейных уравнений:

1. обозначить неизвестное число буквой;

2) учитывая условие задачи, составлять уравнение;

3) решить  уравнение;

4) интрепретировать  полученный числовой  результат в соответствии с условием задачи.

При таком виде оба способа решения задач  полезно  повторить и систематизировать  учитывая определения основных понятий (уравнения, корня, равносильности, линейного уравнения).

При формировании  различных способов  решения квадратных уравнений различных видов  учебники по алгебре сначала  объясняют на примерах. Потом  закрепив  частных  сплособов решения неполных квадратных уравнений и по дискриминанту, целесообразно  сформулировать обобщенный способ решения квадратного уравнения  (по аналогии со способом решения линейного уравнения):

1) выяснить, является ли уравнение простейшим (неполным или полным) квадратным уравнением; если «да», то п. 4, если «нет» — п. 2;

2) определить,  какие тождественные  и равносильные преобразования необходимо использовать для приведения  уравнения простейшему : раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенос членов из одной части в другую, приведение подобных;

3) применяя выбранных преобразований уравнение к квадратному уравнению ах2 +bх+с=0, где а>0;

4) проверить равенство коэффициентов b и c нулю; если b=0 или c=0, то п. 5, если b≠с≠0, то п. 6;

5) найти решение учитывая условия:

а) при b=c=0  х1,2=0;  б) при с=0 и b≠0

в)при b=0 и c<0 при с>0 решений нет;

6) найти дискриминант: D=b2—4ac;

7) найти решение по формуле: при D>0    при D=0

 при D<0 решений нет;

8) если необходимо, сделать проверку и исслдедование;

9) записать ответ.

Такая систематическая работa с учащимися не только помогает им овладеть способом решения квадратных уравнений, но и вырабатывает у них умений обобщать  способов учебной деятельности при решении уравнений. Расмотренный способ целесообразно применять и при решении задач с помощью квадратных уравнений, где  используется  перенос умений  решать  известным способом  на умения решавть  задач с помощью уравнений первой степени.

Школьные учебные программы по математике предусматривает также ознакомление  учащихся  с другими общими для всех видов уравнений сособами преобразования уравнений к простейшим (разложение левой части на множители и замена переменной), графическим способом решения уравнений, решения систем уравнений второй степени, решения задач с помощью систем уравнений на примерах.

Нужно отметить, что разложение левой части на множители и замена  переменной при решении уравнений является  очередным расширением  мнложества преобразований уравнений к простейшим. Поэтому обобщенный способ алгебраического решения уравнений можно предстваить в виде следующего алгоритма:

1) выяснить, является ли данное уравнение простейшим уравнением какого-нибудь вида; если «да», выполнять п. 4, если «нет» — п. 2 ;

2) определить,   какие в каком порядке тождественные  и равносильные преобразования необходимо использовать для приведения  уравнения к простейшим данного вида: раскрытие скобок, приведение к общему знаменателю, перенос членов из одной части в другую, приведение подобных члденов, разложение на множители,  замена пременной переменной, возведение обеих частей в степень, замена уравнения равносильной ему системой уравнений;

3) привести уравнение к простейшим с помощью выбранных преобразований;

4) решить известным способом простейшее уравнение;

5) сделать проверку и  исследование решения;

6) оформлениея решения и запись ответа.

При изучения школьной теории уравнений основное внимание необходимо  обратить  к организации имеющихся у учащихся знаний и опыта решения уравнений в единую, целостную систему. Поэтому  требуется предлагать учащимся  более сложные задания, в которых ведущую  роль играет такие компоненты мыслительной  деятельности, такие как распознавание возможности сведения задания к одному из типовых классов, организация процесса решения. В курсе алгебры такая систематическая работа с учащимися происходит  при изучении  последних тем курса и  итоговом повторении; где  формируется общая картина связей изученных классов уравнений, неравенств и их систем. Для уравнений и систем уравнений ее можно изобразить в виде  аналогичной предложенной схемы.

Литература:

1. В. В. Вавилов и др. “Задачи по математике. Уравнения и неравенства”.-М.: Наука, 1987г.
2. В. С. Крамор “Обобщаем и систематизируем школьный курс алгебры”.- М.: Просвещение, 1990.- 416с.