Устный счет как развитие вычислительных навыков учащихся 5-6-х классов
методическая разработка по математике (5, 6 класс) на тему

Министерство образования Республики Саха (Якутия)

 Муниципальное казенное учреждение «Муниципальный орган управления образования» администрации МР “Сунтарский улус (район)”

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Кюкяйская средняя школа имени А.К.Акимова

Устный счет как формирование вычислительных навыков учащихся 6 классов

(Методический семинар)

Автор:Львова Туяра Львовна

«Кюкяйской СОШ им. А.К.Акимова»

2015

ПЛАН СЕМИНАРА:

ВВЕДЕНИЕ

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ : ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ   АСПЕКТЫ   ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ

(Раздается на электронных носителях)

1.Устный счет как средство формирования вычислительных навыков у    учащихся

2. Этапы формирования вычислительных навыков учащихся

3. Роль устных упражнений в развитии вычислительных навыков у учащихся

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ: МЕТОДИКА УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

1  Основные приемы и методика проведения устных вычислений на уроках математики в 5 классе

2 Разработка системы упражнений по формированию устных вычислительных навыков

3 Опытно-экспериментальное исследование эффективности устного счета в развитии вычислительных навыков учащихся

РЕФЛЕКЦИЯ

ПРИЛОЖЕНИЯ

ВВЕДЕНИЕ

Математика есть часть общего образования. Ныне ни одна область человеческой деятельности не может обходиться без математики - как без конкретных математических знаний, так и интеллектуальных качеств развивающихся в ходе овладения этим учебным предметом.

Школьное математическое образование способствует овладению конкретными знаниями, приобретению навыков логического и алгоритмического мышления, формирования мировоззрения,  освоению этических принципов человеческого общежития, обогащению запаса историка - научных знаний.

Всем известно, какую роль в школьном курсе обучения имеют вычислительные навыки. Ни один пример, ни одну задачу по математике, физике, химии, черчению и т.д. нельзя решить, не обладая навыками элементарных способов вычисления. Нетрудно представить, что у учащихся с прочными вычислительными навыками гораздо меньше проблем с математикой.

Для формирования у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков многие учителя используют различные методические приемы и формы, такой как, устный счет.

Выбор темы доклада обусловлен тем, что в настоящее время бурный научно-технический прогресс, который характеризует современный этап развития человечества, общеобразовательная школа ощущает через быстрый рост количества научной информации, и это ставит перед ней большие задачи, отраженные в действующих программах. Они связаны с формированием прочных знаний основ наук, в том числе и математики, на уроках которой просто невозможно обойтись без устных вычислений. Практика показывает, несмотря на то, что на каждом уроке математики преобладает этап устного счета, многие учащиеся не владеют прочными  вычислительными  навыками, допускают различные ошибки  в вычислениях.

Исходя из этого, считаю, что выбранная тема «Устный счет как средство развития вычислительных навыков учащихся 6 класса» является актуальным.

Проблема: развитие вычислительных навыков учащихся.

Объект исследования: процесс обучения математике учащихся 5 класса.

Предмет исследования: устный счет в курсе математики 5 класса.

Гипотеза исследовательской работы: если систематически включать устные упражнения на уроки математики в 6-ом  классе, то это способствует формированию прочных вычислительных навыков.

Цель: выявление эффективности использования устных упражнений на уроках математики как средства формирования вычислительных навыков учащихся 5-го класса.

Достижение цели предполагает решение задач:

• изучение психолого – педагогических, методических аспектов формирования вычислительных навыков учащихся 6 класса;
• экспериментально выявить эффективности устных упражнений для формирования вычислительных навыков учащихся 6 класса;
• на   основе   полученных   данных   разработать   систему   устных упражнений для учащихся 5 класса.

Методы исследования:

• изучение и теоретический анализ психолого - педагогической, методической литературы по исследуемой проблеме;
• наблюдение за учебным процессом в 6 классе;
• беседы с учащимися, анкетирование учащихся;
• экспериментальное обучение  и обработка полученных результатов на основе математических методов исследования.

Практическая значимость: работа может быть использована учителем математики и студентами педагогических учебных заведений в качестве методического пособия.

Организация исследования: опытно-экспериментальная работа проводилась в Кюкяйской средней общеобразовательной школе им. А.К.Акимова Сунтарского улуса. В эксперименте участвовала 8 учащихся 5-го класса.

Структура исследования: работа состоит из введения, двух глав, 6 параграфов, заключения, библиографии, приложений.

 МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ

 Основные приемы и методика проведения устных вычислений на уроках математики в 6 классе

Приемы устных вычислений помогают глубже усвоить теорию курса математики. Они основаны на законах и свойствах арифметических действий, свойствах изменения результатов действий в зависимости от изменения компонентов, свойствах дробей, формулах сокращенного умножения, т. е. на теоретическом материале школьной программы.

Рассмотрим основные из этих приемов.

Сложение.

I. Замена нескольких слагаемых их суммой (сочетательный закон).

1. 187+247=187+(247+153) (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем, на основании сочетательного закона) = 187+400=587

2.

3. 16,53+4,47+9,84=( 16,53+4,47)+9,84=21+9,84=30,84.

4. а+b+с=а+(b+с).

II. Перестановка слагаемых (переместительный закон).

1. 238+487+362=238+362+487 (делаем перестановку слагаемых, применяя переместительный закон, чтобы получить круглое число при сложении)=(238+362)+487 (группу слагаемых заключаем в скобки и складываем на основании закона сочетательности)=600+487=1087.

2.

3.   3,57+4,68+6,43=3,57+6,43+4,68=(3,57+6,43)+4,68=14,68.

4.   а+b+с+d=(а+d)+(b+с).[22]

III. Прибавление суммы к числу.

1. 384+(416+548)=384+416+548 (на основании следствия сочетательного закона)=(384+416)+548 (сочетательный закон)=800+548 (правило порядка действий)=1348.

Итак, правило прибавления суммы можно сформулировать следующим образом: чтобы прибавить к числу сумму, достаточно прибавить к нему одно за другим все слагаемые. [23]

2.

3. 3,64+(4,36+9,78)=3,64+4,36+9,78=(3,64+4,36)+9,78=8+9,78=17,78.

4. а+(b+с)=а+b+с.[22]

IV. Прибавление числа к сумме.

1. (337+488)+663=663+(337+488) (переместительный закон) =663+337+488 (правило прибавления суммы) =(663+337)+488 (сочетательный закон) =1000+488=1488.

Примененное здесь свойство сложения формулируется так: чтобы к сумме чисел прибавить число, достаточно прибавить его к одному из слагаемых.

2.

3. (4,55+6,89)+5,45=(4,55+5,45)+6,89=10+6,89=16,89.

4. (а+b)+с=(а+с)+b.

Умножение.

I.      Замена      нескольких      сомножителей      их      произведением

(сочетательный закон умножения).

1. 17 · 25 · 4 = 17 · (25 · 4) (сочетательный закон умножения) = 17 · 100 = 1700.

 Чтобы    перемножить    несколько    чисел,    достаточно    отдельные сомножители соединить в группы, произвести умножение по группам, а затем перемножить полученные произведения.

            2.  

3. 6,9∙0,5∙0,2∙12,58=6,9 (0,5∙0,2)(12,58)=6,9∙0,1∙100=69.

4. abcd=(ab)∙(cd).

II. Перестановка сомножителей (переместительный и сочетательный законы умножения).

1. 4·8·3·25·125=4·25·8·125·3 (переместительный закон умножения) =100· 1000·3 (сочетательный закон умножения)=300000.

Чтобы перемножить несколько чисел, можно поменять местами отдельные сомножители, соединить их в группы, затем произвести умножение по группам и перемножить полученные произведения.

2. .

3. 0,2·7·0,5·0,25·4=0,2·0,5·0,25·4·7=(0,2·0,5) · (0,25·4) ·7=0,1·1·7

=0,7

4. a·b·c·m·n=(ac) · (bn) ·m

III. Перестановка сомножителей (переместительный и сочетательный законы умножения).

1. 4·8·3·25·125=4·25·8·125·3 (переместительный закон умножения) =100·1000·3 (сочетательный закон умножения) = 300000

Чтобы перемножить несколько чисел, можно поменять местами отдельные сомножители, соединить их в группы, затем произвести умножение по группам и перемножить полученные произведения.

2.

3.         0,2·7·0,5 ·0,25· 4=0,2·0,5·0,25·4·7=(0,2 ·0,5) · (0,25·4) ·7=0,1·1·7=0,7.

4. abcmn=(ас) · (bn) ·m.[23]

Умножение, сложение, вычитание.

I. Распредительный закон умножения по отношению к сложению (умножение суммы чисел на число).

1. (36+48) ·25=36·25+48·25=900+1200=2100.

2.

3. (12,5+3,6) · 10=12,5· 10+3,6·10=125+36=161.

Чтобы умножить сумму нескольких чисел на данное число, достаточно умножить каждое слагаемое на это число и полученные произведения сложить. [22]

4.    (а+b) · с=ас+bс; ас+bс=(а+b) · с.

II. Распределительный закон умножения по отношению к вычитанию (умножение разности чисел на число).

1. (25-7) ·4=25·4- 7·4=100-28=72.

Чтобы умножить разность чисел на какое-нибудь число, достаточно умножить на это число отдельно уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

2.  

3. (3,75 - 0,125) · 8=3,75 · 8 - 0,125·8=30-1=29.

4. (a-b)c=ac-bc; ac-bc=c(a-b).

Деление, сложение и вычитание

III. Деление суммы на число.

1. (63028+14049):7=(63028+14049) ·  (чтобы разделить одно число на другое, достаточно делимое умножить на число, обратное делителю)

=63028·+14049· (распределительный закон умножения)  =63028:7+14049:7

(замена умножения делением) =9004+2007 (порядок действий)=11011.

Чтобы разделить сумму чисел на число, достаточно разделить на него каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

2

3. (640,48+1280,16):8=640,48:8+1280,16:8=80,06+160,02=240,08.

4. (а+b):с=а:с+b:с.

IV.     Деление разности на число.

1. (36042 - 18024):6 = (36042 - 18024) · (чтобы разделить одно число   на   другое,   достаточно   делимое   умножить   на   число,   обратное делителю) =36042·-18024· (умножение разности на число) =36042:6 -18024 : 6 (замена умножения делением) =6007 - 3004 (порядок действий) = 3003.

Чтобы разделить разность чисел на число, достаточно разделить на него уменьшаемое, затем вычитаемое и из первого частного вычесть второе частное.

2.

3. (81,054 - 36,018):9=81,054:9 - 36,018:9=9,006 - 4,002=5,004.

4. (a-b):c=a:с-b:с.[23]

Развитие вычислительных умений учащихся зависит от содержания соответствующего материала в учебниках, а также от используемых методических приемов.

Как правило, в учебнике показываются разные приемы выполнения одного и того же действия, и ученик знает, что он имеет право выбрать тот из них, который ему понятнее и удобнее. Так, при изучении трудного вопроса - вычитание смешанных дробей - говорится, что можно пользоваться общим приемом: смешанные дроби заменить неправильными дробями и дальше действовать по правилу вычитания дробей. Некоторые ученики так и делают. Но далее в учебнике говорится, что вычисления можно упростить, если воспользоваться некоторыми приемами.

Рассмотрим некоторые методические решения, которые реализуются в существующих учебных пособиях и методической литературе при формировании вычислительных умений.

Найдите разность чисел 9  и 3.

Сначала вычтем из 9  число 3, получим

9- 3=6-

Продолжить вычисления можно так. «Займем» единицу в целой части уменьшаемого:

6=5+1+=5+

Тогда  6- = 5+-  =5 +  = 5

Еще пример. Традиционно при изучении действия деления десятичных дробей особый акцент делается на деление «уголком», и соответствующим образом подбирается система упражнений. Ситуация отягощается еще и тем, что практически параллельно с этим ставится вопрос о бесконечной десятичной дроби. В результате учащиеся оказываются абсолютно дезориентированным. И в тех случаях, когда им нужно, например, вычислить частное 6,5:0,3 или решить уравнение 3·х=2, приводят приближенный ответ. [18]

Принятые в учебниках решения позволяют преодолеть традиционные затруднения. В учебнике явно показано, что частное десятичных дробей часто нельзя записать в виде десятичной дроби, Но его всегда можно найти, перейдя к обыкновенным дробям, например, так:

0,05:0,3=.

Показано также, что порой вычислять удобнее, если записать частное в виде дроби, и преобразовывать эту дробь как, чтобы в числителе и знаменателе оказались натуральные числа:

0,05:0,3=

Внутри числовой линии курса математики, отчетливо выделяется направление, связанное с развитием у учащихся потребности и умения проконтролировать себя. В связи с этим уже при систематизации знаний учащихся о натуральных числах предлагаются специальные серии упражнений, направленные на формирование приемов беглой проверки результата вычисления. Например, такие:

1. Найдите приближенное значение произведения, округлив множители до старшего разряда: а) 48·23; 6)275·209.

2.    Определите последнюю цифру результата: а) 215·33; б) 520·107.

3.  Задание с выбором ответа. Из четырех равенств только одно верное. Найдите его, не выполняя вычислений.

а) 915·25=22870         б) 735:35=201

в) 4860:45=108           г) 206·42=852

Важно уделять внимание проверке полученного числового результата на правдоподобие. С этой целью в систему текстовых задач включены такие, ответ к которым может быть дан только после соотнесения результата с условием. Приведем примеры:

1. Сколько трехлитровых банок понадобиться, чтобы перелить весь     сок из полного 50-литрового бидона?
2. Для перевязки одной посылки требуется 2-м веревки. Сколько таких посылок  можно  перевязать,  используя  клубок,  в  котором   17  м веревки?
3. Для оклейки комнаты требуется 77,7 м обоев. Сколько рулонов обоев надо купить, если длина каждого рулона 10,5 м?

Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата. В основе этого умение лежит умение округлять числа. Поэтому вопросу округления чисел в курсе уделяется достаточное внимание. Отметим существенный момент: до изучения правила округления натуральных чисел учащимся довольно долго разрешается пользоваться округлением по смыслу. С помощью упражнений закрепляется в сознании учащихся суть употребления основных терминов: «примерно», «приближенное равенство», «округление» и пр.

Важный класс задач, способствующих развитию вычислительных умений учащихся, базируется на использовании идеи сравнения. Например, в ряде случаев используется оценка суммы с опорой на умение сравнивать компоненты действия с некоторыми «рубежными» числами. [10]

Особое значение в линии вычислений занимает преобразование числовых выражений. Нужно помочь учащимся постепенно овладеть возможностями использования математических знаний для рационализации выражений. Планируя ход вычислений, полезно, например, задавать вопросы: «Как проще вычислить?», «Нельзя ли выполнить вычисления по другому?», «Существует ли более удобный способ вычисления?».

Обратим внимание, что зачастую простой иллюстрации какого-либо вычислительного приема достаточно, чтобы он был воспринят учащимися, остался в памяти и использовался в более широком диапазоне применения.

 Разработка системы упражнений по формированию устных вычислительных навыков по теме «Десятичные дроби»

Формирование вычислительных навыков - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в школе. Школа всегда уделяла большое внимание проблеме формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков. Программы по математике включают большой интересный материал по проблеме формирования прочных навыков вычислений, однако, по-прежнему некоторые вопросы понимания и отработки навыка арифметических вычислений являются для школьников довольно сложными.

Изучив теоретические материалы по формированию устных вычислительных навыков, автором работы была разработана система заданий и упражнений (см. приложение №10-18). Эти разнообразные задания позволяют развивать математическую речь ученика, гибкость мышления, возможность находить свой способ решения. Они дают возможность каждому ребенку проявить активность в поисковой работе, активизируют мыслительную деятельность, умение находить какие-то особенности в решении различных видов примеров. Вместе с тем количество упражнений и заданий достаточно для формирования прочных вычислительных навыков.

На уроках математики используются следующие приемы, направленные на преодоление причин возникновения ошибок:

1) игры, игровые моменты и занимательные задачи;

2) тесты «Проверь себя сам»;

3) математические диктанты;

4) исследовательские работы;

5) творческие задания и конкурсы.

Часть приемов может применяться при работе со всем классом, часть, направленная на развитие внимания, памяти и мышления, может подбираться для группы учеников по результатам тестирования.

В своей работе учителя придерживаются определенных принципов. Один из них (наиболее важный) можно сформулировать следующим образом: работа в классе на каждом уроке должна выполняться всем классом, а не учителем и группой успевающих учеников. То есть необходимо создать такую ситуацию – ситуацию «успеха», при которой каждый ученик смог бы почувствовать себя полноценным участником учебного процесса. Ведь одна из задач учителя заключается не в доказательстве незнания или слабого знания ученика, а во вселении веры в ребенка, что он может учиться лучше, что у него получается. Нужно помочь ребенку поверить в собственные силы, мотивировать его на учебу.

В целях выполнения этой задачи на уроках математики часто используются игры. Еще известный французский ученый Луи де Броль утверждал, что все игры (даже самые простые) имеют много общих элементов с работой ученого. В игре привлекает поставленная задача и трудности, которые надо преодолеть, а затем радость открытия и ощущение преодоленного препятствия. Еще Л. С. Выготский отмечал, что игра сама по себе – «источник развития и создает зону ближайшего развития».

Применение игр в первую очередь предназначено для того, чтобы заинтересовать наиболее пассивную часть класса, редко принимающую участие в работе на уроке при традиционном его проведении. Поэтому на начальном этапе, при введении в практику урока дидактических игр, представляется целесообразным применять игры, не требующие глубокого знания и даже понимания текущего материала. В этом случае назначение дидактических игр – в развитии познавательного интереса, способствующего накоплению знаний, умений, навыков, в придании уроку более неформального характера, в привлечении внимания учащихся к проводящейся работе.

Постепенно назначение дидактических игр изменяется. Они начинают применяться для проверки полученных знаний посредством решения нестандартных задач в привлекательной, интересной для детей форме. При этом во время игры в группе главным действующим лицом на уроке становятся сами дети, а не учитель.

В качестве иллюстрации приведем несколько видов игр, направленных на развитие тех или иных способностей учащихся.

1. «Запомни числа». Цель игры: развитие внимания, памяти учащихся и коммунальных способностей. (см.приложение №19-20)

2. «Пропусти число». Цель игры: развитие внимания учащихся и оценка знаний, полученных на предыдущих уроках. ( см.приложение №19-20)

3. «Исправляем ошибки». Цель игры: развитие критичности мышления, самоконтроля, внимания, умения обосновывать свою точку зрения. (см. приложение №19-20)

Следующим приемом является математический диктант – одна из форм контроля знаний. Первая цель при использовании данного вида работы – проверка уровня готовности учащихся к дальнейшей работе. Каждый учитель знает, как трудно дети воспринимают язык математики на слух у учащихся 5 – 6 классов основным является наглядно-образное мышление. Слышать и слушать учащихся нужно учить. Следовательно, вторая цель: научить детей слышать и понимать язык математики. Надо отметить, что такую работу нужно проводить систематически.

Составление математического диктанта:

• составляется текст диктанта (с ответами на все задания), дается обоснование содержания;
• указывается, на какое время рассчитан диктант;
• описывается методика проведения (слуховой, зрительно-слуховой, зрительный, использование карточек, кодопозитивов, запись на магнитофон, использование переносных досок, индивидуальных досок и т. д.);
• дается пример выполнения работы учеником.

Для иллюстрации приведем пример математического диктанта по теме «Десятичная запись дробных чисел».

1. Запишите в виде десятичной дроби:

;    ;    ;    ;    .

2. Запишите в виде обыкновенной дроби или смешанного числа: 3,5;   18,04;  0,57;   0,005.

3. Запишите десятичную дробь 1,032. Сколько единиц в разряде сотых этой дроби?

4. Запишите десятичную дробь 135,19. Сколько единиц в разряде единиц этой дроби?

При такой форме работы можно использовать метод «закрытой доски»: доска закрыта; сидящие за партами должны выполнить задание самостоятельно; по окончании работы доска открывается, ученики проверяют свою работу и сами оценивают ее.

Исследовательские работы. Если проанализировать работу детей на уроках, то становится заметной общая тенденция: ученики почти не задают вопросов. Почему? В первую очередь потому, что им просто не интересно. Становится очевидным, что процесс обучения нужно сделать интересным для учеников. Нужно искусственно создать такую ситуацию, при которой ученики вовлекаются в процесс самостоятельного поиска и открытий новых знаний, даже если для этого придется использовать дополнительную литературу. Естественно, что на первом этапе эта работа направляется и контролируется учителем. Только такое обучение ведет к развитию творческих способностей детей и его можно назвать развивающим обучением.

Целью исследовательских работ является освоение системы и пути получения знаний посредством формирования познавательной деятельности ученика и развития его творческих способностей.

При выполнении исследовательских работ дети учатся ставить вопросы и находить на них ответы, сотрудничать с другими учениками, одновременно сохраняя свою индивидуальность, выходить из нестандартных ситуаций и многое другое.

Творческие задания и конкурсы – это написание сказок, задач, сценарием КВН и т. д. Цель этих задании заключается в формировании интереса к математике, развитии творческого мышления.

Далеко не все в учебном материале интересно для учащихся. Важным стимулом познавательного интереса является процесс творчества. При этом в процессе обучения школьник находит привлекательные стороны, сам процесс обучения несет в себе положительный заряд.

Хочется отметить, что выполняя творческие задания, дети проявляют большую изобретательность, пишут многостраничные рефераты, математические фокусы, сценарии сказок и КВН-ов, математические кроссворды, наглядные пособия и т. д. Примеры таких заданий имеются в учебнике «Математика» 5 класс, публикуются в газете «Математика».

Чем чаще проверяется и оценивается работа школьника, тем интереснее ему работать. Третий принцип можно сформулировать так: любая работа должна быть оценена.

Для этого устраиваются специальные уроки, на которых решаются задачи и разгадываются кроссворды, созданные учениками, организуются конкурсы работ. Дети высказывают свои впечатления, пишут рецензии. Лучшие работы (по мнению детей и учителей) вывешиваются на стенд. [10,6]

Еще одним средством формирования устных вычислительных навыков являются упражнения. Устные упражнения являются одной из важнейших составляющих развивающего обучения. Именно во время устной работы пятиклассник эффективно учится устанавливать связи между объектами, явлениями, сравнивать, обобщать их, развивает память, наряду с этим развивает и гибкость мышления, учится контролировать свои рассуждения. [25,128]

Рассмотрим основные виды устных упражнений.

Нахождение значений математических выражений. Предлагается в той или иной форме математическое выражение, требуется найти его значение. Эти упражнения имеют много вариантов.

Можно предлагать числовые математические выражения и буквенные (выражение с переменной), при этом буквам придают числовые значения и находят числовое значение полученного выражения. Например:

1) Найдите разность чисел 8,5-7,2.

2) Найдите значение выражения а+b, если а=0,06, b=0,92.

Выражения могут предлагаться в разной словесной форме: из 8,5 вычесть 7,2;  8,5 минус 7,2; уменьшаемое 8,5, вычитаемое 7,2, найти разность; найти разность чисел 8,5 и 7,2; уменьшить 8,5 на 7,2 и т. д. Эти формулировки использует не только учитель, но и ученики.

Выражения могут включать одно действие и более чем одно действие.

Основное назначение упражнений на нахождение значений выражений – выработать у учащихся твердые вычислительные навыки. Вместе с тем упражнения на нахождение значений выражений способствуют и усвоению вопросов теории арифметических действий.

Сравнение десятичных дробей. Эти упражнения имеют ряд вариантов. Могут быть даны два выражения, а надо установить, равны ли их значения, а если не равны, то какое из них больше или меньше. Например, предлагается сравнить выражения и вместо звездочки поставить знак «>», «>» или «=»:

2,7+0,9 * 0,9+2,7                                         55,7+7,6 * 55,7+0,3

0,5·10 * 0,7·15                                            2,4·9+2,4 * 2,4·10

При этом выбор знака отношения может быть выполнен либо на основе нахождения значений данных выражений и их сравнения (0,5·10<0,7·15, т. к. 5<10,5), либо на основе применения соответствующих знаний: переместительного свойства сложения 2,7+0,9 * 0,9+2,7, изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов 55,7+7,6 * 55,7+0,3 и др.

Могут предлагаться упражнения, у которых уже дан знак отношения и одно из выражений, а другое выражение надо составить либо дополнить. Например, предлагается закончить запись: 8,1·(1,3+0,2)=8,1·1,3+…

Можно предлагать упражнения на сравнение выражений с переменной: например,  а-1,7* а-1,2.

Главная роль таких упражнений – способствовать усвоению теоретических знаний об арифметических действиях, их свойствах, о равенствах, неравенствах и др. Кроме того, упражнения на сравнение выражений помогают и выработке вычислительных навыков.

Решение уравнений. Уравнения можно предлагать в разных формах:

1) Из какого числа надо вычесть 10,4, чтобы получить 4,7?

2) Найдите неизвестное число: 7,3-х=7,3-1,8.

3) Я задумала число, умножила его на 1,2 и получила 3,6. Какое число я задумала?

Назначение таких упражнений – выработать умение решать уравнения, помочь усвоить связи между компонентами и результатами арифметических действий, способствовать выработке вычислительных навыков.

Решение задач. Предлагаются задачи как простые, так и составные.

1) Периметр квадрата 9,6 . Найдите его сторону.

2) Во сколько раз 4,8 больше 1,2?

3) Какое число меньше 3,3 в 3 раза?

4) Периметр квадрата 0,64 . Определите какова длина его стороны.

Цель данных упражнений выработка умений решать задачи, усвоение теоретических знаний, выработка вычислительных навыков.

В практике школы данные виды устных упражнений изменяются и дополняются самими учителями. Разнообразие упражнений возбуждает интерес у детей, активизирует их мыслительную деятельность.[3,166]

Данная система рассматривает основные вопросы по теме “Десятичные дроби”, изучаемые в 5-ом классе:

• Десятичная запись дробных чисел;
• Сравнение десятичных дробей;
• Сложение десятичных дробей;
• Вычитание десятичных дробей;
• Приближенные значения чисел. Округление десятичных дробей;
• Умножение десятичных дробей на натуральные числа;
• Деление десятичных дробей на натуральные числа;
• Умножение десятичных дробей;
• Деление десятичных дробей.

Основная цель устных упражнений в данной системе – научить всех учеников производить в уме арифметические действия в пределах сложности примеров на сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей. Задача учителя при этом – наряду с усвоением новых понятий и разделов математики сохранить трепетное отношение к числу, учить рациональным приемам счета, иногда дополняя материал учебника рассмотрение свойств действий (вычитание числа из суммы, вычитание суммы из числа, делимость произведения на число, делимость числа на произведение и т. д.).

Для того чтобы доказать или опровергнуть, что использование устных упражнений на уроках математики формирует вычислительный навык, автором работы была проведена практическая работа по использованию серии упражнений в 5-ом классе МБОУ «Кюкяйская средняя общеобразовательная школа»

Приведем фрагмент проведенного урока с использованием различных видов устных упражнений.

Урок в 5 классе МБОУ «Кюкяйской средней школы».

Тема: Десятичная запись дробных чисел

Цели: научить читать и записывать десятичные дроби, переводить обыкновенную дробь со знаменателем 10, 100, 1000 и т. д. в десятичную дробь и наоборот; развивать вычислительные навыки, память, математическую речь, воспитывать интерес к математике и географии.

Оборудование: «вычислительные машины» у каждого ученика (в виде прямоугольного листочка бумаги с 4 кружочками), картинка или иллюстрация с изображениями планет.

I.  Организационной момент

Сегодня наш урок будет необычным. Мы отправимся в путешествие в другую планету.

II. Устные упражнения

- Ребята, какие планеты вы знаете? Вообще существуют 9 планет: Земля, Марс, Юпитер, Венера, Сатурн, Нептун, Уран, Плутон, Меркурий. Мы с вами живем на планете Земля, но сегодня на уроке некоторые из вас отправятся на планету Юпитер (показываю эту планету на иллюстрации).Что же нужно сделать, чтобы попасть на эту планету?

Во-первых, у вас на партах у каждого лежит вычислительная машина. В эту машину вы после каждого задания устного счета будете записывать число. В конце у каждого на вычислительной машине появится код. С помощью этого кода мы проверим, кто отправился в путешествие, а кто остался в классе. Итак, за работу!

1. Найдите в каком номере пропущена ошибка, номер примера поставьте в первом кружочке вычислительной машины.

          1) 15:5·13=39;

          2) 17·5-11=64;

          3) 33+27:3=20

2. Найдите верное утверждение и поставьте его номер во второй кружок вычислительной машины: Чтобы найти уменьшаемое, надо:

1) к разности прибавить вычитаемое;

          2) из вычитаемого вычесть разность.

3. Назовите целую и дробную часть чисел: 1; 2; 7; 1; . Запишите в третьем кружке машины натуральное число в ряде данных чисел.

4. Решите задачу, ответ запишите в последний кружок машины: Если 16 человек купили мороженное по цене 6 руб., то стоимость их покупки составил ... рублей.

- Теперь проверим, какой код получился у вас, и узнаем, кто может спокойно лететь на Юпитер, а кому еще нужно внимательно слушать учителя и больше заниматься математикой.

III. Объяснение нового материала

IV. Первичное закрепление материала

5. Итог урока: игра «Математическая эстафета»

Ученики, сидящие за первыми партами, жюри. Ученики с последних парт выходят к доске, выполняют задание и передают мел следующему. Задание: записать в виде десятичной дроби числа:

Анализ урока

Тип урока – урок изучения нового материала. Цели и задачи урока выполнены. Изучение темы начинается с организационного момента. Все учащиеся были хорошо подготовлены к уроку. Была осуществлена связь с географией (межпредметная связь). Этап отработки вычислительных навыков проводится в виде игры – путешествия в другую планету, так как именно игра является одним из средств формирования устных вычислительных навыков учащихся. Используя на уроке игру-путешествие в планету Юпитер, смогла заинтересовать учащихся с самого начала урока. Все этапы урока взаимосвязаны, каждый этап заканчивался микрообобщением. Время было распределено рационально, все учащиеся были вовлечены в работу.

Опытно-экспериментальное исследование эффективности устного счета в развитии вычислительных навыков учащихся в условиях реализации ФГОС

Формирование вычислительных навыков – одна из главных задач работы учителя. Добиться успеха в формировании вычислительных навыков можно только в том случае, если четко соблюдать некоторые требования к проведению устных упражнений:

• четкое объяснение учителем цели задания;
• исключение факторов, травмирующих учеников при организации работы;
• наличие наглядности, художественного слова, дополнительного материала;
• учет времени;
• подведение итога устных упражнений микрообобщением или оценивание детей за хорошие успехи.

Исследование проходило на базе Кюкяйской школы Сунтарского улуса. Был взят 6 класс и разделен на две группы. Класс занимается по учебнику «Математика 6» Виленкина Н. Я., Жохова А. С. при   5-ти часах в неделю.

В экспериментальной группе всего было 4 учащихся: 2 мальчика и 2 девочки. В группе есть учащиеся, которые отличаются высокой работоспособностью и активностью на уроках (Фефелов А., Николаева А.), остальные ученики средней активности, редко участвуют при обсуждении новой темы, при решении задач.

В контрольной группе 4 учащихся: 3 мальчика и 1 девочки. Задания также выполняются в тетрадях, которые систематически проверяются. В группе есть дети, которые отличаются высокой работоспособностью и активностью (Спиридонов С., Тимофеева Л.), и дети, которые не поднимают руку, не участвуют в коллективной работе.

Таким образом, данные группы по уровню развития примерно одинаковы.

Для эксперимента была выбрана тема «Десятичные дроби», которая рассчитана на 10 часов.

По тематическому планированию данная тема включает вопросы:

Тема 1. Десятичная запись дробных чисел (1 ч.)

Тема 2. Сравнение десятичных дробей (1 ч.)

Тема 3. Сложение и вычитание десятичных дробей (1 ч.)

Тема 4. Приближенные значения чисел. Округление десятичных дробей (1 ч.)

Контрольная работа (1 ч.)

Тема 5. Умножение десятичных дробей на натуральные числа (1 ч.)

Тема 6. Деление десятичных дробей на натуральные числа(1 ч.)

Контрольная работа (1 ч.)

Тема 7. Умножение десятичных дробей (1 ч.)

Тема 8. Деление десятичных дробей (1 ч.)

Тема 9. Среднее арифметическое (1 ч.)

Контрольная работа (1 ч.)

Исследование проводилось в 3 этапа:

• констатирующий;
• формирующий;
• контрольный.

1. Констатирующий этап:

Цель: выявить, насколько сформированы устные вычислительные навыки у учащихся 5 класса на уроках математики на исходном этапе эксперимента.

Для этого были использованы следующие методы: анкетирование учащихся и  беседа с учащимися, математический диктант.

1) Анкетирование учащихся.

Цель: проверить отношение учащихся к устным вычислениям.

Учащимся была предложена следующая анкета:

1) Фамилия, имя

2) Любишь ли ты устный счет?

3) Какие задания ты любишь выполнять на уроках математики? (решать выражения,   задачи,   устные упражнения,...)

4) Ты быстрее решаешь устно или письменно?

Данные экспериментальной группы, которые отображены в таблице № 1  (см. приложение № 1), позволили получить следующие результаты: 50% детей любят устный счет, больше всего им нравится находить значения выражений, упражнения в виде игры. Но быстрее они решают письменно, чем устно.  

Подобная анкета проводилась и в контрольной группе. Результаты исследования по данным контрольной группы такие: 66,7% ребят любят устный счет. На уроках математики им нравится находить значения выражений, вычислять по цепочке, игровые моменты. 66,7% детей данной группы предпочитают решать письменно, чем устно.

Исходя из результатов анкет, есть основание полагать, что дети не стремятся к устному выполнению вычислений. В связи с этим в контрольной и экспериментальной группах была проведена беседа по теме «Устный счет – гимнастика ума», в ходе которой выяснялась роль устных вычислений, ее важность в изучении математики.

2. Математический диктант № 1.

Цель: выявить уровень сформированности вычислительных навыков у учащихся 5 класса.

Учащимся для этого был предложен математический диктант по теме «Обыкновенные дроби». На ее выполнение отводилось 10-12 минут. Учащиеся получают бланк для записи ответов. Учитель диктует задания, а учащиеся для каждого из них вписывают в соответствующую клетку бланка только ответ (если ученик не знает ответа, он ставит прочерк).

Математический диктант по теме «Обыкновенные дроби»

1.  и . Какая из двух дробей больше?
2. Запишите сумму дробей и .
3. Результат уменьшите на  .          
4. Чему равна разность чисел 1 и .
5. Запишите сумму получившейся дроби и дроби .
6. Запишите число 4 в виде дроби со знаменателем 5.
7. Задача: Из помидоров массой  кг и огурцов массой  кг сделали салат. Какова масса салата?
8. Запишите неправильную дробь   в виде смешанного числа.
9. Найдите сумму чисел и
10. Запишите число  в виде неправильной дроби

Оценка результатов работы производилась следующим способом:

10 баллов - очень высокий уровень;

8-9 баллов - высокий уровень;

5-7 баллов - средний уровень;

1-4 баллов - низкий уровень.

Таким образом, при проведении констатирующего эксперимента группа учащихся экспериментальной группы (6 человек) показала следующие результаты: 16,7% детей имеет высокий уровень устных вычислительных навыков, 33,3% -средний вычислительных уровень, 50% -низкий уровень.

Подобный математический диктант проводился и в контрольной группе. Результаты исследования по данным контрольной группы: никто не имеет высокий уровень устных вычислительных навыков, 2 ученика (33,4%) - имеет средний вычислительных уровень, 2 ученика (66,6%) - низкий уровень.

 Таким образом, в результате сравнения полученных данных математического диктанта выяснилось, что группы находятся примерно на одинаковом уровне сформированности вычислительных навыков.

На основании анкетирования, беседы и математического диктанта можно сделать вывод о том, что уровень сформированности вычислительных навыков в экспериментальной и контрольной группах существенно не отличаются. В основном у учащихся 5-го класса недостаточно развиты вычислительные навыки.

Таким образом, констатирующий эксперимент показал, что:

1) группы примерно равны по уровню развития вычислительных навыков;

2)  в обеих группах дети охотнее решают письменно, чем устно;

3)  у учащихся недостаточно развиты устные вычислительные навыки.

На основе констатирующего эксперимента выяснилось, что необходима работа, направленная на формирование устных вычислительных навыков. Для этого в экспериментальной группе были проведены дополнительные уроки во внеурочное время с систематическим использованием устных упражнений в различных формах и на разных этапах урока с целью повышения уровня вычислительных навыков учащихся. В контрольной группе обучение проводилось в традиционной форме без устных упражнений.

2. Формирующий этап

Цель: формировать вычислительные навыки учащихся экспериментальной группы по теме «Десятичные дроби».

В ходе данного эксперимента автором работы была разработана система заданий и упражнений для проведения устного счета по основным темам раздела «Десятичные дроби» по формированию вычислительных навыков, которые описаны выше.

Изложенные в работе упражнения включались на каждый урок математики в экспериментальной группе. Чаще всего они проводились в начале урока с целью подготовки ребят к усвоению материала,  или в конце урока с целью проверки знаний, умений и навыков учащихся. Во время эксперимента ученики выполняли все задания учителя. Они с нетерпением ждали устные упражнения, активно работали на уроках. Более доступными для детей были задания в занимательной форме.

В итоге было выявлено, что устные упражнения повлияли на формирование вычислительных навыков, результаты которых можно увидеть в ходе контрольного эксперимента.

3. Контрольный эксперимент

Цель: проверить уровень сформированности устных вычислительных навыков у учащихся экспериментальной и контрольной групп.

Контрольный срез проводился в форме математического диктанта в экспериментальной и контрольной  группах по теме «Десятичные дроби». На ее выполнение отводилось 10-12 мин.

Математический диктант № 2 по теме «Десятичные дроби»

1.Запишите в виде десятичной дроби число 2,0101.

2.Что больше: 30,07 или 30,11?

3.Запишите результат суммы чисел 2 и 1,5.

4.Результат уменьшите на 1,2.

5.Округлите число 26,71 до десятых.

6.Запишите любое число, расположенное на координатном луче между числами 0,1 и 0,2.

7. Найдите периметр квадрата, если его сторона равна 3,5 см.

8. Запишите результат разности чисел 3 и 0,4.

9. Чему равно произведение чисел 2,87 и 10.

10. Во сколько раз число 8,4 больше 2?

Проанализировав результаты работ контрольного эксперимента обоих групп показывает, что уровень вычислительных навыков у учащихся различен. Как видно на диаграмме, результаты работ экспериментальной группы стали выше, чем результаты контрольной группы, т. е. уровень сформированности устных вычислительных навыков значительно повысился. Это обусловлено тем, что в экспериментальной группе проводилась систематическая работа с устными упражнениями по формированию вычислительных навыков, что явилось основанием для доказательства правильности выдвинутой гипотезы.

Таким образом, данная система упражнений по формированию устных вычислительных навыков доказала свою эффективность. Как показала практика, используя различные устные упражнения, дети лучше усваивают тему урока, быстрее считают (причем устно), активнее идут на контакт с учителем, воспринимают материал более осмысленно, занимаются с увлечением. С помощью устных упражнений учителю легче работать с отстающими детьми, осуществлять индивидуальный подход к ребенку, обеспечивать нужное количество повторений на разнообразном материале (в данном случае при изучении темы «Десятичные дроби» в 5-ом классе), постоянно поддерживая сохранять положительное отношение к математическому заданию. Особенно в игровой обстановке ребенок не боится отвечать на вопрос, даже если не знает правильного ответа. Именно поэтому систематическое использование устных упражнений на уроках математики положительно влияет на формирование вычислительных навыков учащихся.

В результате проведения эксперимента мы приходим к выводу, что для формирования вычислительных навыков учащихся учителю математики необходимо систематически проводить устный счет на уроках математики в различной форме и на различном этапе урока.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Вычислять быстро, подчас на ходу – это требование времени. Числа окружают нас повсюду, а выполнение арифметических действий над ними приводит к результату, на основании которого мы принимаем то или иное решение. Понятно, что без вычислений не обойтись как в повседневной жизни, так и во время учебы в школе. Этим, кстати, объясняется столь стремительное развитие удобных калькуляторов. Тем не менее калькулятор не может обеспечить ответ на все возникающие вопросы. Он не всегда имеется под рукой и бывает достаточно определить лишь примерный результат.

В данной работе рассмотрена проблема формирования устных вычислительных навыков учащихся 5-го класса и эффективность применения устных упражнений. На первый взгляд кажется, что тема проста и доступна любому, но изучив литературу, понимаешь  новизну и ее актуальность.

Работая над этой темой, приходишь к выводу, что формирование устных вычислительных навыков у учащихся в процессе изучения ими математики – это длительный процесс, и является одной из актуальных задач, стоящих перед преподавателем математики в современной школе.

Основным средством такого формирования устных вычислительных навыков учащихся являются устные упражнения. Устные упражнения важны тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; и при их выполнении у детей развивается память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции. В сочетании с другими формами работы устные упражнения позволяют создать условия, при мышление, речь, моторика. Устные упражнения в этом комплексе имеют большое  значение.

В данной работе предложена система устных упражнений, направленные на формирование устных вычислительных навыков. Данные устные упражнения можно использовать на разных этапах урока.

Используя их на практике, было интересно узнать, влияют ли они на формирования вычислительных навыков. Результаты исследования указывают на то, что применение устных упражнений не только обоснованно, но и необходимо с целью формирования вычислительных навыков пятиклассников. Проведенное исследования дает обоснование считать гипотезу, выдвинутую в начале работы, подтвердившихся, цели и задачи работы выполненными.

 В целом экспериментальная работа прошла плодотворно. Из результата работы можно сделать вывод, что уровень сформированности устных вычислительных навыков детей значительно повысился и это свидетельствует о том, что предложенная система устных упражнений оказалась эффективной. Данный результат  не считается конечным. Необходимо и далее разрабатывать и совершенствовать приемы и методы формирования вычислительных навыков в зависимости от индивидуальных свойств и особенностей каждого отдельно взятого ученика. Многое также будет зависеть от педагога - предметника, а именно от того, будет ли он учитывать особенности познавательных процессов школьников и применять приемы активизации знаний, умении и навыков в ходе объяснения и закрепления материала и от многих других факторов.

Данная работа может стать методическим пособием для учителей математики, преподающие в средней школе, которые стремятся формировать устный вычислительный навык при изучении предмета, используя для этого разные виды устных упражнений.

ПРИЛОЖЕНИЕ1

(Раздаточный материал на электронном носителе)

 ПСИХОЛОГО-ПЕДАГОГИЧЕСКИЕ   АСПЕКТЫ   ФОРМИРОВАНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ НАВЫКОВ УЧАЩИХСЯ

1.1. Понятие «вычислительный навык» в психолого - педагогической литературе

Формирование вычислительных умений и навыков традиционно считается одной из самых «трудоемких» тем. Вопрос о значимости формирования устных вычислительных навыков на сегодняшний день является весьма дискуссионным в методическом плане. Широкое распространение калькуляторов ставит необходимость «жестокой» отработки этих умений под сомнение, поэтому многие не связывают хорошее овладение арифметическими вычислениями с математическими способностями и математической одаренностью. Однако внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В связи с этим значительная часть заданий всех существующих сегодня учебников математики направлена на формирование устных  вычислительных умений и навыков [4 , 44]. Остановимся на некоторых определениях понятий.

Навык – это действие, сформированное путем повторения, характерное высокой степенью освоения и отсутствием поэлементарной сознательной регуляции и контроля.

Вычислительный навык – это высокая степень овладения вычислительными приемами.

Приобрести вычислительные навыки – значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро.

Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций. В зависимости от степени овладения учеником учебными действиями, оно выступает как умение или навык, характеризующийся такими качествами, как правильность, осознанность, рациональность, обобщенность, автоматизм и прочность.

Правильность – ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами, т. е. правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием.

Осознанность – ученик осознает, на основе каких знаний выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Это для ученика своего рода доказательство правильности выбора системы операции. Осознанность проявляется в том, что ученик в любой момент может объяснить, как он решал пример и почему можно так решать. Это, конечно, не значит, что ученик всегда должен объяснять решение каждого примера. В процессе овладения навыков объяснение должно постепенно свертываться.

Рациональность – ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный прием, т. е. выбирает те из возможных операции, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Разумеется, что это качество навыка может проявляться тогда, когда для данного случая существуют различные приемы нахождения результата, и ученик, используя различные знания, может сконструировать несколько приемов и выбрать более рациональный. Как видим, рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

Обобщенность – ученик может применить прием вычисления к большему числу случаев, т. е. он способен перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность так же, как и рациональность, теснейшим образом связана с осознанностью вычислительного навыка, поскольку общим для различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.

Автоматизм (свернутость) – ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свернутом виде, но всегда может вернуться к объяснению выбора системы операции. Осознанность и автоматизм вычислительных навыков не являются противоречивыми качествами. Они всегда выступают в единстве: при свернутом выполнении операции осознанность сохраняется, но обоснование выбора системы операции происходит свернуто в плане внутренней речи. Благодаря этому ученик может в любой момент дать развернутое обоснование выбора системы операции.

Прочность – ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Формирование вычислительных навыков, обладающих названными качествами, обеспечивается построением курса математики и использованием соответствующих методических приемов.[2, 38]

Вместе с тем, ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом – системой операций. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Умение осознано контролировать выполняемые операции позволяет формировать вычислительные навыки более высокого уровня, чем без наличия этого умения.

Выполнение вычислительного приёма – мыслительный процесс, следовательно, овладение вычислительным приёмом и умение осуществлять  контроль за его выполнением, должно происходить одновременно в процессе обучения.

Отличительным признаком навыка, как одного из видов деятельности человека, является автоматизированный характер этой деятельности, тогда как умение представляет собой сознательное действие.

Однако навык вырабатывается при участии сознания, которое первоначально направляет действие к определенной цели при помощи осмысленных способов его выполнения и контролирует его. Советский психолог С. А. Рубинштейн пишет: «Высшие формы навыка у человека, функционирующие автоматически, вырабатываются сознательно и являются сознательными действиями, которые стали навыками; на каждом шагу – в частности при затруднениях – они вновь становятся сознательными действиями; навык, взятый в его становлении, является не только автоматическим, но и сознательным актом; единство автоматизма и сознательности заключено в какой – то мере в нем самом».

Например, воспроизведение табличных результатов умножения выполняется автоматически; на вопрос, чему равняется произведение чисел 5 и 6, ученик сразу дает ответ 30. Однако первоначально ученик сознательно вычисляет сумму шести одинаковых слагаемых, каждое из которых равно 5, а затем, выполняя упражнения и заучивая таблицу, запоминает результаты. В том случае, если ученик забудет нужный результат, он знает, как его получить: он может взять число 5 слагаемым 6 раз, или умножить 5 на 3, а полученный результат умножить на 2, или 5 умножить на 5 и прибавить еще раз 5 и т. д.

Умение же является, как сказано выше, сознательно выполняемым действием, в котором используются такие мыслительные операции, как анализ и синтез, сравнение, аналогия, и которое опирается на приобретенные ранее знания и навыки.

«…В любую форму деятельности навыки входят необходимой составной частью; только благодаря тому, что некоторые действия закрепляются в качестве навыков и как бы спускаются в план автоматизированных актов, сознательная деятельность человека, разгружаясь от регулирования относительно элементарных актов, может направляться на разрешение более сложных задач».[9, 32]

Вычислительные навыки достигают высшего уровня своего развития лишь в результате длительного процесса целенаправленного их формирования. Формирование у школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Психология много внимания уделяет проблеме механизмов формирования навыков, имеющей большое практическое значение. Доказано, что механическое заучивание гораздо менее эффективно, чем заучивание при участии сознания. Полезен практический принцип «повторение без повторения», когда при отработке навыка не затверживается одно и то же действие, но постоянно варьируется в поисках оптимальной формулы движения. При этом осознанию принадлежит очень важная роль. [14, 394]

Формирование вычислительных умений и навыков – это сложный длительный процесс, его эффективность зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности школьников, которые способствуют не только формированию прочных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности необходимо ориентироваться на развивающий характер работы, отдавать предпочтение обучающим заданиям. Используемые вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических), что позволяет учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, предметно-действенное и наглядно-образное мышление и постепенно водить ребенка в мир математических понятий, терминов и символов.

Устные вычисления имеют большое образовательное, воспитательное и практическое и чисто методическое значение. Помимо того практического значения, которое имеет для каждого человека, умение быстро и правильно произвести несложные вычисления «в уме», устный счет всегда рассматривался методистами как одно из лучших средств углубления приобретаемых детьми на уроках математики теоретических знаний.

Устный счет способствует формированию основных математических понятий, более глубокому ознакомлению с составом чисел из слагаемых и сомножителей, лучшему усвоению законов арифметических действий и др.

Упражнениям в устном счете всегда придавалось также воспитательное значение: считалось, что они способствуют развитию у детей находчивости, сообразительности, внимания, развитию памяти детей, активности, быстроты, гибкости и самостоятельности мышления.[8,91]

Устные вычисления развивают логическое мышление учащихся, творческие начала и волевые качества, наблюдательность и математическую зоркость, способствуют развитию речи учащихся, если с самого начала обучения вводить в тексты заданий и использовать при обсуждении упражнений математические термины.

Устный счет способствует математическому развитию детей. Оперируя при устных вычислениях сравнительно небольшими числами, учащиеся яснее представляют себе состав чисел, быстрее схватывают зависимость между данными и результатами действий, законы и свойства действий. Так, при делении 35 на 7 зависимость между данным и результатом деления выступает перед учащимся гораздо отчетливее, чем при письменном делении, скажем, 36750 на 125.

Профессор Московского университета С. А. Рачинский (1836 – 1902) обращал внимание на то, что способность к устному счету полезна и в практическом отношении, и как средство для здоровой умственной гимнастики. Он учил детей решать задачи быстро, оригинально, учил видеть неожиданные, особые свойства чисел и соотношений между ними.

Прививая любовь к устным вычислениям,  учитель помогает ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждает у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, заменяя менее рациональные более современными. А это важнейшее условие сознательного освоения материала.

Устный счет имеет широкое применение в обыденной жизни; он развивает сообразительность учащихся, ставя их перед необходимостью подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет облегчает письменные вычисления.

В настоящее время во всех областях жизни громадное значение имеют письменные вычисления, но и в то же время повседневная практика на заводе, в совхозе, в колхозе, а также военное дело требуют умения производить необходимый расчет быстро, точно, подчас на ходу.

Беглость в устных вычислениях достигается достаточным количеством упражнений. Ввиду этого в школе почти каждый урок начинается с устного счета ( в течение 7 – 10 минут ) и, кроме того, устный счет применяется во всех подходящих случаях не только на небольших числах, но также и на больших, но удобных для устного счета (например,18000:2, 15000:4 и т. п.). [8,157] В большинстве случаев продолжительность устных вычислений определяет сам учитель, т. к. время, отводимое на устный счет, зависит от многих причин: активности и подготовки учащихся, характера материала.

Отмечая большое значение устных вычислений, следует в то же время признать исключительно важным создание у учащихся правильных и устойчивых навыков письменных вычислений. Успешная выработка таких навыков возможна лишь на базе хороших навыков устных вычислений.

Таким образом, на уроке математики формирование устных вычислительных навыков занимает большое место. Одной из форм работы по формированию вычислительных навыков являются устные упражнения. Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение:

• образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий, а также лучше понять письменные приемы;
• воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности;
• практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным (например, при технических расчетах у станка, в поле, при покупке и продаже).

ПРИЛОЖЕНИЕ2

(Раздаточный материал на электронном носителе)

Этапы формирования вычислительных умений учащихся

Система работы по совершенствованию вычислительных навыков состоит из следующих этапов.

 I. Этап вводного контроля

1. На этом этапе в начале работы с классом (независимо от того, пятый это класс или девятый), проводится проверка знаний таблиц сложения, умножения, вычитания и деления. Форма проверки - устный счет по карточкам и таблицам. Задания из таблицы могут быть представлены на карточках (в двух вариантах) или на кодоскопе. Результаты заносятся в ведомость. Учащимся допустившим ошибки, предлагаются сборники таблиц или отдельные таблицы за начальную школу для отработки навыков, и в течение определенного времени эти учащиеся повторно проверяются 9при устном или письменном опросе в ходе уроков и при выполнении самостоятельных и контрольных работ).

2. Далее на этом этапе проводится проверка знаний по всем темам арифметики в форме устного счета, небольших письменных работ; отдельных заданий при выполнении текущих самостоятельных работ. При этом особое внимание обращается на решение простейших уравнений, нахождение компонентов действий и на порядок действий с натуральными числами.

При этом индивидуальная работа с неуспевающими учениками ведется как на уроках, так и вне уроков, учащимся выдаются на дом таблицы для отработки навыков.

II. Этап текущей работы по формированию вычислительных навыков. К этому этапу готовятся серии таблиц следующих видов.

1.Таблицы для отработки отдельного навыка в определенном классе (например, действия с десятичными дробями - в 5-м классе, формулы сокращенного умножения — в 7-м классе, значение тригонометрических функций некоторых углов - в 9-м классе, нахождение производных функций - в 10-м классе и т.д.).

2. Сводные таблицы по отработке нескольких навыков при обобщающем повторение (например, действия с натуральными числами, целыми, дробными числами - в 9-м классе, решение простейших тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений в 11-м классе и т.д.).

Данные таблицы размножаются и выдаются на руки каждому ученику. Такой же компонент таблиц имеется в каждом классе и у учителя.

На этом этапе используются следующие формы работы:

1.Устный фронтальный опрос по карточкам (на два варианта), проводимый как учителем, так и учащимися.

2.Письменный опрос (с записью ответа) по подготовленным таблицам.

3.Письменная самостоятельная работа с последующим анализом и работой над ошибками.

4. Решение у доски во время опроса.

5. Решение за первой партой.

6. Разбор образцов решений заданий и их оформления.

7. Отработка алгоритмов (правил) вычислений.

8. Рассмотрение примеров на использование рациональных способов решения.

При этом учитывается, что:

• на каждом уроке надо работать не с классом вообще, а конкретно с каждым учеником. Для этого учитель должен выбрать формы работы и материал так, чтобы каждый ученик был занят делом, и его работу всегда можно проконтролировать. Например, каждому ученику, работающему за первой партой, выдается карточка с таким заданием, чтобы он мог ликвидировать свои пробелы в знаниях. А при подготовке к уроку в планах указывается, кого и по какому вопросу нужно спросить, при этом в отдельной тетради ведется учет овладения вычислительными навыками каждым ученикам;
• при изучении нового материала желательно обращать внимание учащихся на тот материал, где наиболее часто допускаются ошибки;
• полезно новый материал изучать в сравнении с ранее изученным, уже знакомым материалом;
• при объяснении нового материала необходимо, чтобы ученики сами составляли алгоритмы выполнения того или иного действия, затем сверяли с учебником и выбирали оптимальный для себя вариант. Такая работа приучает учащихся к четкости, конкретности. В дальнейшем они могут без суеты и волнений выполнить любое задание;
•  необходимо воспитывать осознанное отношение к выполнению любого задания, чтобы ученик вдумался в смысл задания, установил закономерности, связывающие величины, наметил пути решения проблемы и только после этого приступал к выполнению задания. Необходимо учить школьников при выполнении работы пользователя методом «пристального взгляда» (вначале визуально оценивать все задание, методы, способы решения, и лишь после этого приступать к его решению);

• очень важно научить школьников самоконтролю, т.е. умению контролировать решение, действия, а в результате и свои поступки, применяя при этом следующие критерии самооценки:

а) соотношение результата с действительностью;

б) соотношение результата с данными по условиям задания;

в) проведение выкладок в обратном порядке;

г) решение различными способами;

д) исследование результата в предельных ситуациях;

• только при выполнении самостоятельной работы наиболее прочно усваивается изучаемый материал. Поэтому учащиеся привлекаются не только к выполнению готовых заданий, но и к составлению заданий (особенно заданий на рациональный счет). Задания, составленные учащимися, систематизируются;
• для более глубокого понимания материала удобна, порой, не запись самого примера, а его схема.
• для формирования устойчивого внимания желательно подбирать соответствующие упражнения (психологический тренинг) или задания следующего характера:

а) найдите в решении ошибку;

б) выбери правильный ответ;

в) оцените правильность данной формулировки и т.д.

Текущий  контроль,  проводимый  на этом  этапе  учителем,  может заключаться в фиксировании:

а) количества верно выполненных примеров за 1 минуту, 2 минуты и т.д. каждым ученикам (результаты вносятся в свободную ведомость класса);

б) времени, необходимого для безошибочного решения определенного количества примеров;

в) ошибок, допускаемых каждым учеником.

Используется различные формы контроля вычислительных навыков учащихся. Наиболее характерные из них — самостоятельные работы и контрольные работы, проводимые учителем по своему плану. При регулярном проведении самостоятельных работ существует реальная возможность выяснить на ранней стадии пробелы в вычислениях и скорректировать дальнейшую работу.

Важной частью работы на данном этапе является коррекционная работа над ошибками. Мы ее проводим в следующих формах:

• после проведения контрольного мероприятия учитель указывает на технические ошибки в работах учащихся, а каждый ученик ищет в своей тетради. Затем учитель вместе с учениками анализирует методы решения и приводит образцы решения (чаще всего - через кодоскоп), рассматривает вариантность решения в зависимость от изменения условия, отвечает на вопросы учащихся. Через определенное время учащиеся вновь выполняют примеры, в которых были допущены ошибки;
• после раздачи тетрадей с проверенной работой учащимся дается время (оно зависит от сложности материала и количества допущенных ошибок) на то, чтобы они разобрали ошибку друг с другом или в своей группе, или проконсультировались с учителем. Эта работа проводится при необходимости на уроке, иногда — самостоятельно. После этого вновь проводиться самостоятельная работа. Учитель в тетради учета навыков вычислительной культуры ставит соответствующую оценку (другим цветом);
• после проведения контрольного мероприятия в классе (на доске написано задание, содержащее 16-20 примеров в несколько действий в двух вариантах), учитель при проверке ставит на полях знак «+», если пример выполнен, верно; знак «» если в примере недочет; знак «-», если пример выполнен неверно. На следующем уроке эти же примеры записаны на доске. Учащиеся выполняют задания, в которых они допустили ошибки. Учитель при проверке фиксирует результаты каждого ученика и примеры, в которых были допущены ошибки. Имея набор подобных примеров на карточках, учитель далее работает с учеником индивидуально, предлагая задания из данного набора карточек.

При такой форме работы ни один ученик не остается вне поля зрения учителя.

III. Этап итогового контроля

Итоговый контроль проводится или в форме контрольной работы, или в форме устно — письменного зачета. К уроку - зачету учитель готовит систему карточек - заданий по теме. На зачете учащиеся отвечают теорию, решают задания, содержащиеся в карточке, иногда еще показывают тетради с выполненными примерами. На таких уроках - зачетах часть учеников одновременно получают консультацию и учителя, и старшеклассников, принимающих зачет. Итоговые оценки выставляются в журнал.

Многолетний опыт работы позволяет утверждать, что рассмотренные выше формы и методы работы по совершенствованию вычислительной культуры учащихся применимы не только при выработке вычислительных навыков, но и при изучении и контроле за формированием многих общеучебных навыков по разным предметам. [10]

ПРИЛОЖЕНИЕ3

(Раздаточный материал на электронном носителе)

 Роль устных упражнений в развитии вычислительных навыков учащихся

Счет в уме является самым древним и простым способом вычисления. Знание упрощенных приемов устных вычислений остаются необходимым даже при полной механизации всех наиболее трудоемких вычислительных процессов. Недаром С.А.Рачинский писал: «Способность - эта (к умственному счету) полезна и в отношении практическом, и как средство для здоровой умственной гимнастики».

Известным русским художником Богданова - Бельским была написана картина «Устный счет» (1896 г.). На ней изображен эпизод из детства самого художника и его школьный наставник - известный педагог и просветитель С.А.Рачинский. Именно С.А.Рачинский является одним из основателей устного счета.

Сергей Александрович Рачинский родился 2 мая 1832 г. В родовом поместье Татево Бельского уезда Смоленской губернии. В 1875 году построил школу в своем родовом поместье. Слава о школе Рачинского разнеслась далеко за пределы села Татево. Крестьяне говорили, что нигде так не учат и нигде не умеют так хорошо и быстро считать как в школе Сергея Александровича.

Сергей Александрович не только с интересом занимался изучением математики, но и почувствовал необходимость поделиться своими мыслями по этому предмету со своими коллегами - учителями сельских школ. В 1891 г. Была издана его книга «1001 задача для умственного счета». Это был первый в России задачник по устному счету. В предисловии своей книги С.А.Рачинский писал: «в течение пятнадцати зим я каждый вечер упражнял учеников двух старших групп моей школы ... в умственном счете. При этом я почти не пользовался печатными задачниками, но постоянно импровизировал задачи возрастающей сложности, сообразные с силами учеников и с характеристиками тех задач, которые утром решались письменно или которые предстояло решить решать на досках в следующие дни. Импровизация эта не стоила мне ни малейшего труда и вероятно, придавала этим урокам то необыкновенное оживление, которое поражало всех посетителей моей школы. Умственный счет - любимое занятие моих ребят, и многое из них приобретают в нем немалую ловкость».

Обращая, особое внимание на устный счет и являясь одним из первых педагогов России, придававших этому важному вопросу огромное значение, Рачинский часто говорил своим ученикам: «С поля за бумагой и карандашом не побежишь. Задачи надо решать в уме».

В настоящее время во всех областях жизни громадное значение имеют (наряду с письменными вычислениями) вычисления на счетных приборах, но в то же время повседневная жизнь практика в обыденной жизни требует умения производить необходимые расчеты быстро, точно, иногда на ходу, т.е. считать устно.[17]

Устные вычисления имеют и методическое значение. Выработка прочных навыков письменных вычислений возможно только при хороших навыках устного счета.

Устные вычисления вносят разнообразие в преподавание математики, закрепляют знания учащихся, дают возможность быстро проверить их знания, активизируют работу класса, повышают работу класса, повышают ее эффективность.

Не приходится доказывать, что систематическое проведение устных вычислений вызывает интерес к математике и дисциплинирует учащихся, позволяет экономить время, развивает внимание, наблюдательность; смекалку, повышает культуру математических вычислений.[7]

Анализируя программу по математике в 5-ом классе, видим, что важнейшими вычислительными умениями и навыками являются:

• умение выполнять все арифметические действия с натуральными (многозначными) числами;
• выполнять основные действия с десятичными числами;
• применять законы сложения и умножения к упрощению выражений;
• использовать признаки делимости на 10, 2, 5, 3 и 9;
• округлять числа до любого разряда;
• определять порядок действий при вычислении значения выражения[6,3]

Большое количество учащихся не владеют данными вычислительными навыками, допускают различные ошибки в вычислениях. Среди причин невысокой вычислительной культуры учащихся можно назвать:

• низкий уровень мыслительной деятельности;
• отсутствие соответствующей подготовки и воспитания со стороны семьи и детских дошкольных учреждений;
• отсутствие надлежащего контроля за детьми при подготовке домашних заданий со стороны родителей;
• неразвитое внимание и память учащихся;
• недостаточная подготовка учащихся по математике за курс начальной школы;
• отсутствие системы в работе над вычислительными навыками и в контроле за овладением данными навыками в период обучения.[7,9]

 Все это говорит о том, как важно в процессе обучения математике в 5-6 классах формировать, а в 7-9 классах развивать у учащихся:

• опыт и сноровку в простых вычислениях наряду с обработкой навыков письменных и инструментальных вычислений, умение выбрать наиболее подходящий способ получения результата;
• умение пользоваться приемами проверки и интерпретации ответа;
• предвидение возможностей использования математических знаний для рационализации вычислений. [10]

В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления.  К устным относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100 ( например прием для случая 900∙7 будет устным, так как он сводится к приему для случая 9∙7). К письменным, относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100.

Устная работа на уроках математики в начальной школе, а особенно в первом классе, имеет большое значение — это и беседы учителя с классом или отдельными учениками, и рассуждения учащихся при выполнении тех или иных заданий и т.п. Среди этих видов устной работы можно выделить так называемые устные упражнения. Ранее они сводились в основном к вычислениям, поэтому за ними закрепилось название "устный счет". И хотя в современных программах содержание устных упражнений весьма разнообразно и велико, за счет введения алгебраического и геометрического материала, а также за счет большого внимания к свойствам действий над числами и величинами и других вопросов, название "устный счет" по отношению к устной форме проведения упражнений сохранилось до сих пор. Это по мнению В.С. Кравченко, приводит к некоторым неудобствам, так как термин "устный счёт" используется, кроме того, и в своём естественном смысле, то есть вычисления, производимые устно, в уме, без записей. В связи с этим вместо термина "устный счёт", удобнее пользоваться термином "устные упражнения".

Как пишет опытный педагог Зайцева О.П. в своей статье "Роль устного счета в формировании вычислительных навыков и развития личности ребенка" [11]: важность и необходимость устных упражнений доказывать не приходится. Значение их велико в формировании вычислительных навыков и в совершенствовании знаний по нумерации, и в развитии личностных качеств ребёнка. Создание определённой системы повторения ранее изученного материала дает учащимся возможность усвоения знаний на уровне автоматического навыка. Устные вычисления не могут быть случайным этапом урока, а должны находиться в методической связи с основной темой и носить проблемный характер.

Для достижения правильности и беглости устных вычислений в течении всех трех, четырех лет обучения на каждом уроке математики необходимо выделять 5-10 минут для проведения упражнений в устных вычислениях, предусмотренных программой каждого класса.

Устные упражнения проводятся в вопросно-ответной форме, все учащиеся класса выполняют одновременно одни и те же упражнения. Устные упражнения важны и ещё и тем, что они активизируют мыслительную деятельность учащихся; при их выполнении активизируется, развивается память, речь, внимание, способность воспринимать сказанное на слух, быстрота реакции.[11]

В сочетании с другими формами работы, устные упражнения позволяют создать условия, при которых активизируются различные виды деятельности учащихся: мышление, речь, моторика. И устные упражнения в этом комплекте имеют большое значение.

Так как устные упражнения или устный счёт это этап урока, то он имеет свои задачи:

1) Воспроизводство и корректировка определённых ЗУН учащихся, необходимых для их самостоятельной деятельности на уроке или осознанного восприятия объяснения учителя.

2) Контроль учителя за состоянием знаний учащихся.

3) Психологическая подготовка учащихся к восприятию нового материала

Так как уроки математики в начальных классах как правило имеют кроме основной задачи, связанной с изучением текущего материала, еще ряд задач относящихся к закреплению пройденного материала и подготовке к новым вопросам, а в нашем случае к повышению познавательного интереса, то с этой точки зрения и подбираются упражнения к уроку, продумывается вид устных упражнений.

Для   эффективного   использования   устных   упражнений,   нужно правильно определить их место в системе формирования понятий и навыков.

ПРИЛОЖЕНИЕ4

(Раздаточный материал на электронном носителе)

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Абросимова Т. Обобщающие уроки по теме «Действия с десятичными дробями» //Математика в школе.- 2001. - №19. - С. 17-18.
2. Бантова М. А. Система формирования вычислительных навыков // Начальная школа. - 1993. - №11. - С. 38-43.
3. Бантова М. А., Бельтюкова Г. В. Методика преподавания математики в нач. классах: Учеб. пособие для уч-ся школ. отд-ний пед. уч-щ / Под ред. М. А. Бантовой. - 3-е изд. - М.: Просвещение,1984. - 335 с.
4. Белошистая А. В. Прием формирования устных вычислительных умении //Начальная школа.- 2001.- №7.- С. 44-49.
5. Корзанова К. Урок по теме «Сложение и вычитание десятичныхдробей». - 2004.- №17.- С. 6-8.
6. Мартынов И. И. Устный счет для школьника что гаммы для музыканта // Начальная школа. 2003.- №12.- С. 59-61.
7. Мельникова Н. Развитие вычислительной культуры учащихся. 5-8 классы//Первое сентября.-2001.-№18.-С.9-14.
8. Менчинская Н. А., Моро М. И. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах.- М.: Просвещение, 1965.- 224 с.
9. Методика начального обучения математике: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по спец-ти «Педагогика и методика начального обучения» / Под ред. Л. Н. Скаткина.- М.: просвещение, 1972.- 320с.
10. Минаева С. Формирование вычислительных умений в основной школе//Первое сентября.-2006.-№2.С.З-5.
11. Нагорнова Л. Устный счет при изучении десятичных дробей //Первое сентября.-2000.-№20.-С.14-15.
12. Ралко Т. Урок по теме «Деление десятичных дробей» // Математика в школе.- 2003.- №4.
13. Санько С. Урок теме «Сложение и вычитание десятичных дробей» // Математика в школе. - 2003.- №6.
14. Словарь психолога-практика / Сост. С. Ю. Головин.- 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Харьест, 2003.-565 с.
15. Судаева С., Урок по теме «Умножение десятичных дробей» // Математика в школе. - 2003. - № 3.
16. Устный счет /Сост. П.М.Камаев.-М.:Чистые пруды, 2007.-32с.-(Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып.3(15)).
17. Фаермарк Д.С. Задача пришла с картины.-М.:Наука, 1974.
18. Федотова Л. Повышение вычислительной культуры учащихся (5-9 классы)//Первое сентября.-2004.-№35.-С.З-7;№36.-С.2-3.
19. Федотова Л., Повышение вычислительной культуры учащихся // Математика в школе. - 2004. - №35. - С. 3-7.
20. Филиппов Г. Устный счет - гимнастика ума//Первое сентября.-2001 .-№4.-С.4-8.
21. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе.-М.:Просвещение,1983.
22. Чекмарев Я. Ф. Снигирев В. Т. Методика преподавания арифметики: Пособие для педучилищ – доп., изд 14-е. - М.:Просвещение, 1968. - 357 с.
23. Чекмарев Я.Ф. Методика преподавания арифметики в 5 и 6 классах.-М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1962.-147 с.
24. Чекмарев Я.Ф. Методика устных вычислений.-М.:Просвещение, 1970.-с. 35-54
25. Щекунова Т. Урок по теме «Умножение десятичных дробей» // Математика в школе. - 2000. - №12. - С. 5-6.