ДИАГНОСТИКА УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ
статья по математике на тему

ДИАГНОСТИКА УМЕНИЯ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ.

                      Сибгатуллина М.Д - учитель математики                                                                                                                                                                       МБОУ «Большекайбицкая СОШ»

     Математическое образование в системе общего среднего образования занимает одно из ведущих мест. При этом приоритетными направлениями совершенствования математического образования являются: дифференциация, позволяющая на всем протяжении обучения получать математическую подготовку разного уровня в соответствии с их индивидуальными особенностями (уровневая дифференциация).

     Для дифференцированного обучения учащихся математике важно научиться диагностировать уровни их обученности.

     Умение решать задачи разными способами является одним из показателей обучаемости учащихся математике, свидетельствующим о сформированности такого основного компонента обучаемости, как гибкость ума. Данное умение способствует формированию обобщенных приемов умственной деятельности, так как при поиске различных способов решения задачи учащимся приходится вспоминать факты из разных разделов математики, сопоставлять, обобщать найденные решения. С каждым новым способом решения той или иной задачи увеличивается объем примененного материала, выявляются скрытые зависимости между данными.

     Решение задач несколькими способами способствует:

• экономии учебного времени на изучение условия задачи и ознакомление с заданной геометрической ситуацией;

• более глубокому и всестороннему изучению геометрической конфигурации, соответствующей условию задачи;

• индивидуализации учебной работы учащихся и дифференциации учебного процесса;

• более успешному формированию интереса к изучению математики;

• развитию самостоятелъности ума;

• развитию умений контролировать правильность выбранного пути решения, сравнения решений и выбора наиболее рациоңального.

     При решений задачи разными способами ученику приходится переходить с одного пути решения на другой. Он начинает понимать специфику того или иного способа, его преимущества и недостатки. Главной целью становится не нахождение ответа, а поиск всевозможных способов решения задачи, выбор из них оптимального, оригинального, красивого, экономичного.

     Для развития обучаемости особое внимание надо уделять последнему этапу работы над задачей — обсуждению найденного решения. Рассматривая разные способы решения той или иной задачи, необходимо обсуждать с учащимися их сильные и слабые стороны. Для поиска различных способов решения задач можно использовать следующие эвристические приемы:                                                                                   - анализ условия задачи — выделяются условие, требование, известные и неизвестные величины, выявляются отношения между ними;                                                                               - обсуждение заданных зависимостей в условии задачи — выделяются величины, входящие в условие задачи, и устанавливаются зависимости между ними;                                                                                                                                                - замена данных задачи на аналогичные;                                                                                                                      - решение задачи в практическом плане — ситуация, описанная в задаче, представляется как реально жизненная, ведется поиск практического способа ее решения;                                                                                                                                                                -конкретизация условия задачи — в условие вводится дополнительная информация, которая позволяет обнаружить новые способы решения;                                                                                                                           - превращение текста в модель.                                                                                                           Для развития умения решать задачи разными способами учитель может использовать специальный набор задач по каждой теме школьного курса математики. Рассмотрим примеры подобных заданий.                                                Задание 1. Докажите, что треугольник, в котором медиана равна половине стороны, к которой она проведена, является прямоугольным.

     Способ№ 1. Задача решается в четыре шага.

1. A +АВD + DВС+С= 180°.

2. А = АВD, С=DВС.                                                                                               3. А + АВD + DВС + С = 2АВD + 2DВС = 2(АВD + DВС) =  =2АВС= 180°.                                                                                                                4. АВС= 90°, а значит, АВС прямоугольный.                                                   Вывод. Использовались теорема о сумме углов треугольника и свойство углов при основании равнобедренного треугольника                                                                                     1. Рассмотрим треугольник ABD. ВDС= А + АВD.                                                 2. Рассмотрим треугольник DВС. АDВ = С + DВС.                                               3. В треугольнике АВD А = АВD.                                                                                4. В треугольнике DВС С = ВС.                                                                         5.АDВ + ВDС=180°.                                                                                                        6. АВ + ВDС = А + АВD + С + DВС = 2(АВD + DВС) = 180°.                    А значит, АВ + DВС= В = 90°.                                                                                         Вывод. Использовались теорема о внешнем угле треугольника, свойство углов при основании равнобедренного треугольника, теорема о смежных углах.

     Способ № 3. Задача решается в четыре шага.

1FВС=А + С.

2.А = АВD, С = DВС.

3. FВС= АВD + DВС=АВС.

4.  FВС + АВС = 180°, FВС = АВС, следовательне АВС = 90°.

     Вывод. Применялись те же суждения, что и во втором способе, но в других комбинациях.

     Задание 2.   Найдите площади фигуры, образованной линиями соединяющими середины сторон квадрата. Сторона квадрата равна 10.

(Для решения этой задачи нужно знать формулы площади круга, квадрата и свойства площади фигуры.)                

Способ №1.

 S=102-2(S1+ S2) ,

 S1= ¼(100-25π)=25-25π/4,

 S2= ¼*25π=25π/4,

 S=10 2-2(25-25π/4+25π/4)=50.

Способ №2.

S=102-(5√2)2=50      

 Способ №3.

S = 102:2=50  или  S = 2*52 = 50.                       

Способ №4.

S=2*52=50.

     Так как умение решать задачи несколькими способами является показателем обучаемости, в частности раскрывает суть такого компонента обучаемости, как гибкость ума. Рaссмотрим, как можно диагностировать данный показатель.

     Представим пример диагностики данного показателя применительно к курсу геометрия 7 класса. Задачу учащиеся могут решить как на уроке, так и на внеклассном мероприятии или дома.

     Задание 3. Высоты треугольника, проведенные из вершин А и С, пересекаются в точке М. Найдите угол АМС, если А = 70°,С=80°.

     Способ № 1. Рассмотрим прямоугольные треугольники АКС и АNС. Из треугольника АКС находим КСА = 90° - 70° = 20°. Из

треугольника АNС находим NАС- 90° - 80° = 10°. Рассмотрим треугольник AМС и найдем АМС= 180° - (20° + 10°) = 150°.

     Способ № 2. Рассмотрим треугольник ABС. В = 180° - (80° + 70°) = 30°.  

Из треугольника КСВ находим КСВ=90° - 30° = 60°. Из треугольника МNС находим NМС = 90° - 60° = 30°. Так как углы NMС и AMС смежные, то АМС= 180° - 30° = 150°.

     Способ № 3. Из треугольника АВС находим В = 30°. Из треугольника

 находим ВАN= 90° - 30° = 60°. Из треугольника АKM находим

 КМА = 90° - 60° = 30°. Так как углы КМА и АМС смежные, то АМС= 150°.

     Способ № 4. Из треугольника АВС находим В = 30°. Так как КBN+ BNМ+ МК+МКВ = 360° (данный факт легко доказывается, если провести диагональ в четырехугольнике КBNМ), то КМN= 360° - 90° - 90° - 30° = 150°. А так как углы и AMC вертикальные, то АМС= 150°.

     Как можно провести диагностику и какие виды помощи для нахождения разных способов можно предложить учащимся в случае решения задачи на уроке или внеклассном мероприятии:

 -каҗдый найденный способ решения задачи оценивается исходя из 3 баллов. Для нахождения каждого из способов ученик получает по две подсказки: если после первой подсказки он находит верный способ решения, ему ставится - 2 балла; если после второй — 1 балл, если способ не был найден — 0 баллов    Предлагаем использовать следующие подсказки:                                                                   Способ№1:1) найдите искомый угол из треугольника АМС;                                                                                       2) для нахоҗдения двух углов треугольника АМС рассмотрите прямоугольные треугольники АКС, АNС.

     Способ №2:

1) найдите угол В;

2) рассмотрите последовательно треугольники КСВ и МNС

     Способ №3:

1) найдите угол B;

2) рассмотрите последовательно треугольники АВN и АКМ.

     Способ № 4:

1) найдите угол В;

2)  подумайте, как найти сумму углов четырехугольника КВNМ, зная сумму углов треугольника.

    Оценка сформированности умения решать задачи разными способами:

•  превосходный уровень —10—12 баллов (ученик находит самостоятельно не менее двух способов решения задачи, а другие — с небольшой помощью учителя);

•  высокий уровень — 8—9 баллов;

•  хороший уровень — 6—7 баллов;

•  удовлетворителъный уровень — 4—5 баллов;

•  низкий уровень - 0—3 балла (ученик не может найти болыпе одного способа решения задачи).

     В зависимости от уровня сформированности умения решать задачи разными способами, можно проводит индивидуальную работу с учашимися, показавшими низкие результаты, включая в задания на уроке и дома подобные задачи.