Материал для занятий с обучающимися 6-7 класса, проявляющими интерес к математике
материал по математике (6 класс) на тему

ЛИСТ №1

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. На рисунке изображено по 3 развёртки двух по-разному раскрашенных кубов. Найдите развёртки

каждого из этих кубов.

   1                                                      2

      3                                                          4

                5                                       6

2. Подумай и сверни куб. Определи какая грань будет верхняя, если нижняя - красная. 

ЛИСТ № 2

ЗАДАЧИ НА ВНИМАНИЕ И СМЕКАЛКУ

1. Какая из букв не вписывается в общий ряд?

А, Е, И, Ю, Г, Я, Э

2. Какое из чисел не обладает свойством, которое

имеют другие числа?

837, 612, 549, 426, 343

3.Какое из слов не вписывается в общий ряд?

горизонт, плоскость, круг, стол, треугольник

4.Какой рисунок в последней фигуре?

6.Какой из флажков лишний и почему?

ЛИСТ № 3

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КОМБИНАТОРИКА

1.Сколько треугольников изображено на рисунке?

2.Сколько отрезков изображено?

3.Сколько разных прямоугольников изображено на рисунке?

4. Сколько дуг изображено на рисунке?

5. В какой окружности больше дуг и на сколько?

ЛИСТ 4

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ

Если натуральное число не имеет других делителей, кроме себя и единицы, то оно называется ПРОСТЫМ числом.

Остальные числа называются СОСТАВНЫМИ

Примеры простых чисел: 2, 5, 37, 1987, …

составных:4, 88, 92, 6475, …

Число 1 не принадлежит ни к простым, ни к составным.

Основная теорема арифметики: любое натуральное число, кроме 1, может быть представлено единственным образом в виде произведения простых чисел.

1.Во всех вагонах пассажирского поезда поровну

разместили 737 туристов. Сколько было вагонов и

сколько туристов в каждом вагоне?

Решение. Число 737 необходимо представить в виде произведения двух простых множителей, где

один будет означать количество вагонов, а другой-

количество туристов в каждом вагоне.

Ответ:11 вагонов по 67 туристов в вагоне.

2.Ученики двух шестых классов изготовили в школьных мастерских 123 лопаты. Сколько работало учеников и сколько лопат изготовил каждый ученик, если лопат изготовили поровну.

3.Капитан Врунгель сообщил, что ему удалось найти такое натуральное число, произведение всех

цифр которого в десятичной записи равно 6552.

Докажите, что и в этот раз он сказал ложь.

4.Теплоход имеет а спасательных плота, b спаса-

тельные шлюпки. Он вышел в рейс n-го числа, k-го

месяца,1990+р-го года. На борт он мог принять с пассажиров. Произведение этих шести чисел a, b, c, n, k, p уменьшенное на число, куб которого - это возраст капитана в годах, равно 7712558.Найдите неизвестные

5.Может ли сумма четырёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

ЛИСТ 5

ПРИНЦИП   ДИРИХЛЕ

Для понимания принципа Дирихле сформулируем его в шуточном виде: "Если в n клетках сидят не меньше, чем (n+1) кроликов, то в какой-то клетке сидит не меньше, чем два кролика".

Обратите внимание на расплывчатость высказываний-"в какой-то клетке", "не меньше, чем". Это есть,        наверное, отличительная черта этого принципа, что иногда приводит к возможности неожиданных выводов на основании, казалось бы, совсем недостаточных сведений.

1.Имеется 25 коробок конфет трёх сортов. Докажите, что среди них найдутся 9 коробок конфет одного        сорта.

Доказательство. Допустим, что коробок конфет одного сорта меньше, чем 9. Тогда общее количество коробок будет меньше, чем 25. Например, если даже всех сортов по 8 коробок, то всего будет 24 коробки. Тогда коробка, которая осталась - это 9-тая коробка конфет одного из сортов. Что и требовалось доказать.

2.Семь учеников собрали 100 грибов, при чем каждый - разное количество. Докажите, что среди них всегда существует три ученика, которые собрали вместе меньше, чем 50 грибов.

3.В одном из домов живут 30 учеников из одной школы. Докажите, что среди этих учеников имеются хотя бы два ученика из одного класса, если в школе 28 классов.                                

4.В коробке лежат одинаковые флажки: 20 красных, 15 белых,10 жёлтых. Какое наименьшее число флажков нужно взять наугад, чтобы среди них было не меньше, чем три а)-красных; б)-одного цвета; в)-разных цветов?

 5.В тёмной комнате стоит шкаф, в ящике которого лежат 24 красных и 24 синих носка. Какое наименьшее количество носков нужно взять, чтобы из них можно было составить одну пару носков одного цвета?

ЛИСТ 6

ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ЧИСЛА

Для записи и действий над числами мы используем

десятичную позиционную систему счисления. Любое число мы представляем в виде:

abc=a 100+b 10+c;301=3 100+0 10+1;

2457=2 1000+4 100+5 10+7

(Запись abc обозначает трёхзначное число, а запись abc - произведение чисел a,b,c)

1.Если к двухзначному числу слева и права приписать по единице, то оно увеличится в 21 раз. Найдите это число.

Решение. Пусть ab-искомое число. Тогда 1ab1=21ab или 1 1000+a 100+b 10+1=21(a 10+b).

Приведём подобные слагаемые:

1001=210а-100а+21b-10b

1001=110a+11b, 91=10a+b, тогда ab =91

2.Трёхзначное число оканчивается цифрой 3. Если

эту цифру поместить в начало числа, то новое число будет на единицу больше утроенного первоначального числа. Найдите первоначальное число.

3.Трёхзначное число оканчивается цифрой 7. Если

эту цифру переставить на первое место, то получим число, которое в два раза и на 21 единицу больше, чем первоначальное. Найдите первоначальное число.

ЛИСТ 7

ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ

1. Вычислить: 99-97+95-93+…+3-1.

Решение.  Сгруппируем слагаемые

(99-97)+( 95-93 )+…+( 3-1 )=2 25=50.

2.Найдите сумму

Решение.

3.Вычислить: 1+2-3-4+5+6-7-8+…+301+302

4.Докажите, что

5.Найдите сумму

6.Найти сумму

7.Найдите сумму чётных чисел от 2 до 100

8.Найдите сумму нечётных чисел от 1 до 99

9.Вычислите

(100-1 2 )( 100 - 2 2 )( 100 - 3 2 )…( 100 - 25 2 )

ЛИСТ 8

ЗАДАЧИ НА ЧЁТНОСТЬ

1,3,5, …-НЕЧЁТНЫЕ ЧИСЛА

2,4,6, …-ЧЁТНЫЕ ЧИСЛА

Сумма двух чётных чисел - чётное число, сумма

двух нечётных чисел - также чётное число.

1.Можно ли 30 яблок разложить на три кучки так,

чтобы число яблок в каждой кучке было нечётным?

Ответ. Нельзя, так как если в трёх кучках нечётное

число яблок, то их сумма нечётная. А 30 - чётное

число.

2.Можно ли 10 карандашей разложить на две кучки

так, чтобы число карандашей в каждой кучке было

нечётным? А на три кучки?

3.Можно ли разменять 25 рублей с помощью десяти купюр достоинством в 1, 3, 5 рублей?

Решение. Десять купюр по 1, 3, 5 рублей дают сумму равную чётному числу рублей, а 25 – нечётное число. Тогда ,25 рублей нельзя разменять так, как предлагают в условии задачи.

4.Можно ли 16 копеек заплатить с помощью пяти

монет достоинством в 1 коп.,3 коп,5 коп.?

5. Можно ли доску размером 5Х5 заполнить доминошками размером 1Х2?

6. Имеется 10 листов бумаги. Некоторые из них раз-

резали на 7 или 5 частей. Все полученные части

смешали и некоторые из них снова разрезали на

7 или 5 частей и так далее. Можно ли после нескольких таких операций получить 2005 частей?

Задания

для подготовки учащихся 6-х классов к участию в олимпиадах и конкурсных программах по математике. Формат предусматривает изготовление раздаточного материала для организации работы в парах и для самостоятельной работы в классе и дома.