Подготовка учащихся 7 классов к олимпиадам и конкурсам по математике
олимпиадные задания по математике (7 класс) на тему

                     Подготовка к олимпиаде по математике 7 класс

1. Дан угол в . Постройте угол в .

Решение:

Построим угол , разделив прямой угол пополам. Затем построим  и . Построим разность , наложив на больший угол меньший. Умножив последний угол на 5, получим .

2. Путник шёл в гору со скоростью  (км/ч), а с горы  (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?

 Решение:

Пусть - расстояние, пройденное путником в одном направлении. Тогда  - время на подъём, а  - время, затраченное на спуск. Следовательно,

+ -время, затраченное на подъём и спуск, то есть на путь .

Средняя скорость равна  :=(км/ч)

Ответ:

3. Существует ли такое натуральное число n, что

?

Решение:

Пусть n=2k,( k-натуральное), то есть n- чётное, тогда левая часть 2k+1-нечётное, а в 10 степени так же является нечётным, а правая часть - чётная. И наоборот, при нечётном n=2k+1, получим, что справа в скобках (2k+1+1) – чётное, а в 10 степени так же является чётным, а слева останется нечётным ( так как сумма нечётного числа нечётных слагаемых – нечётное число).

Ответ: такого числа не существует.

4.Докажите, что при любом натуральном n число  делится на 3.

Решение: Число  делится на 3, если  делится на 3.

Но .  кратно 2, тогда  или - кратны 3. Отсюда  кратно 3 , 6 кратно 3, тогда и -  

кратно 3.

5. 80% пути из школы домой  ученик едет на троллейбусе, остальную часть идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии, троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше скорости ученика?

Решение: Пусть S- расстояние от школы до дома, - скорость ученика, -скорость троллейбуса. Тогда ,

Ответ: 50 минут.

6. Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?

Решение:

Разобьем  весь путь  АЕ на участки АВ=ВС=СК=КМ=20 км. Так как путешественник может нести запас только на 3 дня, то чтобы пресечь пустыню, он должен иметь трёхдневный запас в точке В. Но в точку В он приходит с двухдневным запасом, тогда ему нужно вернутся в точку А, оставив однодневный запас в точке В. Снова взяв трёхдневный запас пищи и воды в точке А, он приходит в точку В с двухдневным запасом. Таким образом в точке В окажется трёхдневный запас и путешественник сможет дойти в пункт М за три дня.

Его путь АВ+ВА+АВ+ВС+СК+КМ, то есть 6 дней.

Ответ: 6 дней.

7. К некоторому  двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.

Решение: Пусть искомое число имеет вид , где - некоторые цифры. После приписывания  слева и справа по единице получим число

. Согласно условию задачи

1000+100a+10b+1=23(10a+b)

После упрощений получим 1001=130a+13b  или 10a+b=77

Ответ : 77

8. В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?

Решение: Обозначим количество воды в каждой бочке Х. Тогда

1. 0,9Х - осталось воды в первой бочке после уменьшения на 10%
2. - стало воды в первой бочке после увеличения на 10%
3. 1,2Х – стало воды во второй бочке после увеличения на 20%
4.  - осталось воды во второй бочке после

уменьшения на 20%

    Ответ: в первой бочке воды стало больше.

9. Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m  равна 1995, а сумма цифр числа n равна  1996?

Решение: Из доказательства признака делимости на 9 следует, что число и сумма его цифр при делении на 9 дают одинаковые остатки. В данном случае число m  даёт остаток 6, а число n – остаток 7, значит, их сумма должна давать остаток 4. Но m+n даёт остаток 8. Противоречие.

Ответ: нет

1.  Дан угол в . Постройте угол в .

2. Путник шёл в гору со скоростью  (км/ч), а с горы  (км/ч). Какова средняя скорость путника, если он поднимался в гору и возвращался в исходный пункт у подножия горы по одной и той же тропинке?
3. Существует ли такое натуральное число n, что

      ?

   4.Докажите, что при любом натуральном n число  делится на 3.

5. 80% пути из школы домой  ученик едет на троллейбусе, остальную часть

    идёт пешком и тратит на всю дорогу 18 минут. Однажды, из-за аварии,

    троллейбусы не ходили, и ему пришлось идти домой пешком. Сколько

     минут он шёл, если известно, что скорость троллейбуса в 5 раз больше

     скорости ученика?

6. Путешественник должен пересечь пустыню. Его путь равен 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные базы, чтобы пополнять на них запасы. За сколько дней он может пересечь пустыню?
7. К некоторому  двузначному числу слева и справа приписали по единице. В результате получили число в 23 раза больше первоначального. Найдите это двузначное число.
8. В двух точках было воды поровну. Количество воды в первой бочке сначала уменьшили на 10%, а затем увеличили на 10%. Количество воды во второй бочке сначала увеличили на 20%, а затем уменьшили на 20 %. В какой бочке воды стало больше ?
9. Пусть m и n – натуральные числа. Может ли сумма цифр числа m+n быть равной 1997, если сумма цифр числа m  равна 1995, а сумма цифр числа n равна  1996?