Элективный курс по теме "Повторяем и систематизируем школьный курс математики"
элективный курс по математике (11 класс) на тему

Муниципальное  бюджетное общеобразовательное учреждение

«Пестречинская средняя общеобразовательная школа №1

 с углубленным изучением отдельных предметов»

Программа элективного курса по математике

«Повторяем и систематизируем

 школьный курс математики»

учителя математики

высшей квалификационной категории

Вараксиной Екатерины Макаровны

2015 год

                    Пояснительная записка

Элективный курс «Повторяем и систематизируем школьный курс математики» предназначен для подготовки к Единому государственному экзамену по математике, для организации и проведения итогового повторения, диагностики проблемных зон в знаниях старшеклассников и их последующей коррекции.

         Программа элективного курса позволяет повторить и систематизировать знания обучающихся по решению различных задач, а так же уделить внимание решению нестандартных заданий, заданий повышенного уровня сложности. Кроме этого предлагаются к рассмотрению некоторые вопросы курса математики, выходящие за рамки школьной программы, такие как рациональные и иррациональные задачи с параметрами. Элективный курс представлен в виде практикума, который позволит восполнить пробелы и систематизировать знания учащихся в решении задач по основным разделам математики и позволит начать целенаправленную подготовку к сдаче итогового экзамена в форме ЕГЭ. Программа курса написана в соответствии с утвержденными демоверсией и спецификацией ЕГЭ по математике. Она содержит подробный разбор структуры экзамена, позадачные комментарии и тренинги, диагностические работы в формате ЕГЭ, позволяет проверить навыки решения задач, качество усвоения материала, выстроить индивидуальные траектории повторения и эффективно подготовиться к сдаче ЕГЭ.

Программа элективного курса «Повторяем и систематизируем школьный курс математики» рассчитана на 34 часа.

Курсу отводится 1 час в неделю.

Данный курс способствует лучшему усвоению базового курса математики, служит для внутрипрофильной дифференциации и построения индивидуального образовательного пути, для раскрытия основных закономерностей построения математической теории.

Цель курса– создание условий для формирования и развития у обучающихся навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний, подготовка к итоговой аттестации в форме ЕГЭ.

Задачи курса:

- обеспечение усвоения обучающимися наиболее общих приемов и способов решения задач;

- формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при проектировании решения задачи;

- развитие умений самостоятельно анализировать и решать задачи по образцу и в незнакомой ситуации;

- формирование опыта творческой деятельности учащихся через исследовательскую деятельность при решении нестандартных задач;

- формирование навыка работы с научной литературой, различными источниками;

- развитие коммуникативных и общеучебных навыков работы в группе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

В результате освоения данного курса у учащихся сформируются:

• Целостное представление о теме, ее значения в разделе математики, связи с другими темами.
• Поисково-исследовательский метод.
• Аналитическое мышление, развитие памяти, кругозора, умение преодолевать трудности при решении более сложных задач
• Опыт работы с дополнительной литературой.
• Акцентирование внимания на единых требованиях к правилам оформления различных видов заданий, включаемых в итоговую аттестацию за курс полной общеобразовательной средней школы;
• Расширенные математические представления по определённым темам, включённым в программы вступительных экзаменов в другие типы учебных заведений.

Практические умения и навыки учащихся, которые будут сформированы при изучении курса:

– составление алгоритмов решения типичных задач;
– умения решения тригонометрических уравнений и неравенств;
– исследования элементарных функций решения задач различных типов;
– жесткий контроль времени;
– умение выполнять прикидку границ результатов.

В процессе подготовки к экзамену у учащихся будут отработаны умения четко представлять ситуацию, о которой идет речь, анализировать, сопоставлять, устанавливать зависимость между величинами. Важно знакомить учащихся с различными способами решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному способу. Ученик должен знать, что при выполнении работы он может выбрать любой способ решения, важно, чтобы задание было решено правильно. Поэтому задания в данном курсе рассматриваются параллельно с изучением соответствующих вопросов на уроках, вместе с тем происходит систематизация знаний и углубление, как по содержанию, так и по практическому применению и методам обоснований, реализуются внутрипредметные связи.

Содержание курса

Требования к уровню освоения курса

Материал курса должен быть освоен на базовом уровне. Промежуточный и итоговый контроль усвоения материала проводится через самостоятельные работы, пробный экзамен, зачёты по конкретным темам.

В результате изучения курса учащиеся должны знать / уметь:

– проводить по известным формулам и правилам преобразования буквенных выражений, включающих степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции;

– моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи;

– решать рациональные, иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств;

– решать задачи с модулями;

– решать практические задачи, связанные с нахождением геометрических, алгебраических величин, применяя изученные математические формулы, уравнения и неравенства;

–решать прикладные задачи с применением производных и интегралов;
– проводить доказательные рассуждения при решении задач, оценивать логическую правильность полученных результатов;

– пользоваться справочной литературой и таблицами.

Начинается курс с ознакомительной вводной лекции. Следующее за ней занятие посвящается входному тестированию, цели которого:

– Составить представление учителя об уровне базовых знаний учащихся, выбравших курс.

– Коррекция в связи с этим уровня подачи материала по данному курсу.

При прослушивании блоков лекционного материала и проведения семинара, закрепляющего знания учащихся, предусматривается индивидуальное или групповое домашнее задание, содержащее элементы исследовательской работы, задачи для самостоятельного решения. Защита решений и результатов исследований проводится на выделенном для этого занятии и оценивается по пятибалльной системе или системе «зачет-незачет», в зависимости от уровня подготовленности группы.

Форма итоговой аттестации – итоговая контрольная работа (по заданиям ЕГЭ).

Методические рекомендации по реализации программы

Основным дидактическим средством для предлагаемого курса являются тексты рассматриваемых типов задач, которые могут быть выбраны из разнообразных сборников, различных вариантов ЕГЭ или составлены самим учителем.     Курс обеспечен раздаточным материалом, подготовленным на основе прилагаемого ниже списка литературы.

Виды деятельности на занятиях:      Основной тип занятий – практикум. Для наиболее успешного усвоения материала планируются различные формы работы с учащимися: лекционно-семинарские занятия, групповые, индивидуальные формы работы, работа на компьютере.

Формы контроля.

Текущий контроль: самостоятельная работа

Тематический контроль: диагностическая работа

Итоговый контроль: итоговая контрольная работа (по заданиям ЕГЭ)

Перечень учебно-методического обеспечения

Список литературы для учителя

1Ященко И.В. и др. Подготовка к ЕГЭ по математике. Методические указания М.: МЦНМО

2. Единый государственный экзамен: Математика: .Контр. измерит. матер./ Л.О.Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М. Бойченко и др.; под. Ред. Г.С.Ковалевой. – М-во образования и науки РФ. Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки.: Просвещение, 2011.
3. А.П.Ершова, В.В.Голобородько. Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и началам анализа для 10-11 классов. Разноуровневые дидактические материалы. – М.: Илекса, 2009г.
4. А.Г.Клово и др.«Пособие для подготовки к ЕГЭ по математике», Москва, Центр тестирования,2011-2013г
5. Ф.Ф. Лысенко «Математика. ЕГЭ 2008-2013. Учебно-тренировочные тесты». Ростов-на-Дону.
6. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике. Решение задач. Учеб.пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1989.
7. Г.Я. Ястребеницкий «Задачи с параметрами», М.:Просвещение,1986г. 

8.В.С. Крамор. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2001г

Литература для учащихся:

1. Семенов А.Л., Ященко И.В. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. М: Издательство «Экзамен», 2012.
2.Семенов А.Л. и др. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В М: Издательство «Экзамен», 2012
3. Высоцкий И.Р, Гущин Д.Д, Захаров П.И. и др. Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ: 2012. Математика. М.: Издательство «Экзамен», 2012
4. ЕГЭ 2012. Математика. Типовые тестовые задания. Под ред. А.Л. Семенова, И.В. Ященко. М.: Издательство «Экзамен», 2012

 5.Э.Н.Балаян. ГЕОМЕТРИЯ. Задачи на готовых чертежах для  подготовки к ГИА и ЕГЭ Изд. Феникс 2013г

Предметные Интернет-ресурсы, цифровые образовательные ресурсы

www.mathege.ru,        http://festival.1september.ru/,        http://portfolio.1september.ru/,
http://school-collection.edu.ru/,        http://pedsovet.su/load/18.

1. Модель урока

Цель: сформировать навык решения иррациональных уравнений методом замены переменной. Познакомить учащихся с методом решения иррациональных уравнений, содержащих кубические радикалы.

Теоретическая часть. 1. Определение: уравнения, содержащие переменную под знаком  корня, называются иррациональными. 

2. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

В процессе решения  заданное уравнение заменяют более простым равносильным ему уравнением с помощью преобразований, известных нам из курса 7 класса.

3. Если каждый корень данного  уравнения  является корнем другого уравнения, то второе уравнение является следствием первого.

Корни второго уравнения, не удовлетворяющие первому уравнению, называются посторонними корнями первого уравнения и не считаются решением этого уравнения.

К появлению посторонних корней могут, например, привести (но не обязательно приводят) такие преобразования: возведение в квадрат (или другую четную степень) обеих частей уравнения, умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную, и т. п.

4. Чтобы выяснить, имеются ли среди корней уравнения-следствия посторонние корни исходного уравнения, необходимо проверить каждый из найденных корней подстановкой его в исходное уравнение.

Можно поступить иначе: на каждом этапе решения уравнения определять промежутки, в которых могут находиться корни уравнения. Все корни, не принадлежащие этим промежуткам, являются посторонними и должны быть отброшены. Однако остальные корни все равно необходимо проверить подстановкой в исходное уравнение.

  5.  Если уравнение имеет вид f(х)h(х) = g(х)h(х), то деление обеих  его частей на h(х),как правило,  не допустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения h(х) = 0, если они существуют.

Уравнение не считается решенным как  в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень.

6. Решение иррационального уравнения следует искать в ОДЗ неизвестного.  Для этого следует напомнить, что корень четной степени из числа в той  же степени равен модулю этого числа.  Корень четной степени определен только для неотрицательных чисел,  причем этот корень равен  неотрицательному числу, а  из равенства    следует          х = а²ⁿ.

7. Основные методы решения иррациональных уравнений:

1). Уединение радикала и возведение в степень. Смысл таких преобразований в сведении данного иррационального уравнения к равносильному ему рациональному уравнению («рационализация уравнений»). Этому методу много внимания уделяется в любом школьном курсе, поэтому останавливаться на нем не следует.

2). Введение новой переменной (подстановка). Сущность метода описана ранее. Подробнее поясним на примерах.

3). Уравнения, содержащие кубические радикалы. Основным методом решения таких уравнений является последовательное возведение в куб обеих частей уравнения, используя формулы                                             (а + b)³ = а³ + b³ + 3а b(а + b);                     (а - b)³ = а³ - b³  - 3а b(а - b).

Практическая часть. Пример 1..

Решение.  Обозначим х² + 3х – 6 = t (можно х² + 3х = t или , t ≥ 0).

Тогда получаем t – 12 + 4 = 0,т. е. 4= 12 – t , учитывая, что t ≥ 0 и 12 – t ≥ 0 возведем обе части уравнения в квадрат: 16t = 144 – 24t + t², т. е.                        t² - 40t + 144 = 0, t1 = 36, t2 = 4.

Значение t1 = 36 не удовлетворяет условию 12 – t ≥ 0. Итак, х² + 3х – 6 = 4,   х² + 3х – 10 = 0, откуда находим корни -5 и 2. Проверкой убеждаемся, что найденные числа удовлетворяют данному уравнению.                                                                                                                                  Ответ: -5 и 2.

Пример 2. 

Решение. Обозначим  отсюда х+7≥0,  и получаем

 т.е.

но t+1>0 (так как t≥0), поэтому или  

(4)

 Возводим в квадрат:   т.е. 5t=15 или t=3, найденное значение удовлетворяет неравенствам (4). Стало быть,

Проверкой убеждаемся, что это корень уравнения.           Ответ:  2.

Пример 3.  подстановка  (или ).

Пример 4.  подстановка

Пример 5.  подстановка х²+х=t.

Пример 6. подстановка

Пример 7. 

Решение. Возведем в куб обе части уравнения

т.е.

учитывая, что выражение в скобках равно 1 (см. условие), получаем

т.е.

  Возводим в куб:

(х+45)(х-16)=8000, т.е.

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.

Ответ:  80 и -109.

Пример 8. 

Решение.  Приведем его без дополнительных объяснений.

т.е.

 т.е.

Проверкой убеждаемся, что это корни уравнения.                                         Ответ: -5, -6, .

Пример 9.   

Решение. После возведения в куб обеих частей уравнения, получим

 или, учитывая исходное уравнение,

Возводя в куб, получаем

х(х+8)(х+3)=36, т.е.

х³+11х²+24х-36=0,

х³-х²+12х²-12х+36х-36=0,

х²(х-1)+12х(х-1)+36(х-1)=0,

(х-1)(х²+12х+36)=0.    Отсюда находим, что .

Проверкой убеждаемся, что х=-6 – посторонний корень.                                           Ответ:  1.

Пример 10. 

Решение. Возведя обе части уравнения в квадрат, получим

Еще одно возведение в квадрат привело бы к уничтожению иррациональности, однако здесь нет необходимости в этом преобразовании. Замечаем, что полученное уравнение-следствие может иметь решение только при условии х+1≤0. вместе с тем одним из условий существования решения исходного уравнения является требование х+1≥0. оба условия совместны в единственном случае, если х+1=0, откуда х=-1. Это значение х, как легко проверить, удовлетворяет исходному уравнению. Так как уравнение-следствие других корней не имеет, то других корней не имеет и исходное уравнение. Ответ:  -1.

 Пример 11. 

Решение. Так как х=5 не является корнем уравнения, то обе части уравнения можно разделить на  причем потери корней не произойдет. Получаем уравнение, равносильное  исходному:

Полагая   приходим к квадратному уравнению z²-5z+4=0, откуда

  Для отыскания х имеем два уравнения:

 и  Возводя в куб обе части каждого из них, поучаем

 откуда х=0, и  откуда  Проверкой убеждаемся, что это корни.

 Ответ:  0 и

Пример 12.

Решение. Запишем уравнение в следующем виде:

Положим ; отметим, что .

Производя указанную замену, получим уравнение  откуда . Это значение удовлетворяет условию  и поэтому уравнение  или равносильно заданному.

Корни    этого уравнения  являются корнями исходного уравнения.      Ответ:  и 1.

Пример 13. 

Решение. Положим и заметим, что

Тогда

Исходное уравнение примет вид  (Учащиеся решают самостоятельно.)

Решая последнее уравнение, имеем:  

Так как , то                                           Ответ:

Примеры для самостоятельного решения: стр. 89, стр. 91-92

2. Модель урока

Цель: отработать и закрепить навыки решения показательных уравнений и неравенств.

Теоретическая часть. Познакомить учащихся со спецификацией экзаменационной работы по математике для выпускников 11 класса средней (полной) общеобразовательной школы и распределением заданий по содержанию и уровню сложности . Затем на конкретном примере рассматривается система  оценивания отдельных заданий части С. Делается  анализ заданий  ЕГЭ за 4 года.

Затем обсуждаются решения заданий для самостоятельной работы. Учитель отвечает на вопросы учащихся. Учащиеся обмениваются решениями.

Практическая часть. Пример 1. Задание С1 ЕГЭ 2002г. Решите уравнение  (Решение смотри занятие 16, пример 11.)

Решает ученик у доски с помощью учителя.

Пример 2. Решите уравнение:

Решение. Приведем степени к одному основанию. Получим уравнение, равносильное данному:

Пусть  Тогда уравнение принимает вид: Это уравнение, используя определение модуля, заменим равносильной ему совокупностью систем:

 или

Уравнение первой системы приведем к виду:  По формуле корней квадратного уравнения получаем: Это посторонние решения системы, так как не выполняется условие t Следовательно, система решений не имеет.

Уравнение второй системы приведем к виду:      По формуле корней квадратного уравнения получаем:  Неравенству 0, который является решением второй системы, и, следовательно, совокупности систем.

Итак,                                                                                                        Ответ: -1.

Рассматриваются более сложные задания, предложенные учащимся для самостоятельного решения.

Задания для самостоятельного решения. Учащимся предлагается продолжить решение заданий для самостоятельной работы, полученные на предыдущих занятиях, так как объем был достаточно большой. Также сообщается учащимся, что на следующем занятии будут предложены задания для самостоятельного решения, с целью определения уровня усвоения материала и рейтинга учащихся.