Методические рекомендации по развитию пространственного мышления учащихся 8 классов, посредством решения геометрических задач на плоскости.
методическая разработка по математике (8 класс) на тему

Методические рекомендации по развитию пространственного мышления учащихся 8 классов, посредством решения

 геометрических задач на плоскости.

В работе рассмотрены задачи по геометрии, способствующие развитию пространственного мышления.

В наши дни остро стоит проблема развития пространственного мышления. Это связано с активным развитием технологий. Темпы нашей жизни ускоряются и поиск нужной информации упрощается, при этом в некоторой мере ограничиваются мыслительные процессы. Большинство современных учебников не успевают адаптироваться к данным изменениям. Большинство задач, которые предлагают нам их авторы являются шаблонными. Избыток задач подобного типа приводит к тому, что урок становится неинтересным. Отсюда падает мотивация учащихся, следовательно, снижается степень усвоения предмета. Кроме этого шаблонность ведет к тому, что ученик перестает осознавать математику как что-то единое.

Данная работа призвана оказать помощь учителям математики, работающим в 8-х классах, в развитии пространственного мышления учащихся путем решения задач  затрагивающих различные темы математики. Такие задачи показывают единство предмета и многообразие подходов к решению задач. Поиск решения должен способствовать развитию интереса к предмету.

Данная работа основана на опыте проведения уроков математики в гимназии №71(«Радуга»).

Автор: Славгородский Владислав Владимирович, учитель математики гимназия №71 («Радуга»).

Нахождение площади многоугольника одна из первых, и безусловно, важных тем геометрии. При изучении темы “площадь многоугольника” современные авторы делают упор на применение формул, нахождения площади ограниченного числа фигур.

Например, Л. С. Атанасян предлагает изучать данную тему следующим образом:
§ 1. Понятия: площадь многоугольника, площадь квадрата, Теоремы: площадь прямоугольника; В задачах предлагается находить площади различных квадратов и прямоугольников

§ 2. Теоремы: площадь параллелограмма, площадь треугольника, теорема о соотношении площадей, площадь трапеции. В задачах дается площадь ромба.

В задачах предлагается находить площади различных треугольников и четырехугольников(параллелограмм, ромб, трапеция).

§ 3. Теоремы: теорема Пифагора, теорема обратная к теореме Пифагора.

В задачах предлагается по известным двум сторонам находить неизвестную сторону в прямоугольном треугольнике.

В дополнительных задачах разбирается формула Герона. И предлагается находить площади и доказывать различные свойства для треугольников и четырехугольников (квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб, трапеция).

Перед тем как приступить к изучению §3, предлагаю рассмотреть еще несколько задач, связанных с нахождением площадей различных многоугольников используя основные свойства площадей. При этом давая сложную задачу, стоит стараться избегать точных размеров и заменять их буквами. Решение таких задач будет способствовать развитию умения выводить формулы.

В работе с восьмыми классами мною были  использованы следующие задачи:

1. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, такого что углы A,C,D,F – прямые. Биссектрисы углов ABC и FED лежат на прямой BE и AB=a, AF=b, DE=c.

2. Найдите площадь ABCDE, если AB=BC=CD=DE, углы A,C,E прямые AE=a

3. Найдите площадь ABCDEF, если углы C,F прямые, CF является биссектрисой углов С и F, CF=3DE=3AB, BC=CD=EF=FA=a.

4. ABOF квадрат со стороной a. CDEO квадрат со стороной b. BE и CF пересекаются в точке O. Докажите что четырехугольник BCEF трапеция и найдите ее площадь.

5. Найдите площадь пятиугольника ABCDE, углы A=B=90°, C=E, D=60°, AB=BC=a высота DH=h.

6.Найдите площадь пятиугольника ABCDE, углы A=B=С=90°, CD=DE, D=60°, AE=a BC=b высота AB=h

7. Дан пятиугольник ABCDF такой, что углы B, D, F прямые. Стороны AF, FD и CD равны. Стороны AB=a, BC=b.В пятиугольнике берут точку E такую, что BE параллельна FA и FE=AB, ED=BC. Найдите площадь полученного шестиугольника ABCDEF.

8. Дан квадрат ABCD. В нутрии квадрата расположены четыре равных прямоугольных треугольника AA1D, BB1A, CC1B, DD1 A такие, что углы A1, B1, C1, D1 прямые, AA1=BB1=CC1=DD1=a и BA1=CB1=DC1=AD1=b найдите площадь квадрата.

Задачи 1 - 4 рассматривались на уроке закрепления изученного материала,  задачи 5 - 6 были представлены в самостоятельной работе,  задачи 7 - 8 рассматривались при изучении нового материала т.к являются доказательствами для теоремы Пифагора.

Пример урока изучение нового материала:

Урок математики, 8класс

Учитель В. В. Славгородский

Тема: Теорема Пифагора

Цели:

- Изучение зависимости между сторонами прямоугольного треугольника;

- обучение способам доказательства теоремы Пифагора;

- создание условий применения теоремы Пифагора для решения задач.

Задачи:

-  Существенно расширить круг геометрических задач, решаемых школьниками;

-      развивать пространственное мышление учащихся посредством решения геометрических задач на плоскости;

-     показать учащимся, что теоремы можно доказывать несколькими способами.  

-        осуществлять  межпредметной связи геометрии с алгеброй и историей.

Оборудование:

Чертежные инструменты, доска.

Тип урока: Урок изучения нового материала.

Подготовка к уроку: На доске выполняются 2 чертежа (см. приложение), записывается домашнее задание.

Ход урока:

I. Организационный момент (1минута)

Учащиеся открывают дневники. Записывают домашнее задание.

Учитель проводит перекличку.

II. Актуализация знаний. (3-5минут)

Устная работа с классом по вопросам подготовки к восприятию новой темы.

Как находится площадь следующих фигур:

Треугольник – ½ произведение основания на высоту проведенную к этому основанию.

прямоугольный треугольник – ½ произведения катетов

прямоугольник – произведение сторон

квадрат – квадрат стороны

параллелограмм – произведение основания на высоту проведенную к этому основанию

ромб – ½ произведения диагоналей

трапеция – произведение полусуммы оснований на высоту

произвольного многоугольника – разбиваем многоугольник на фигуры площади которых мы можем найти.

III. Решение задач.

Слова учителя.

Давайте решим несколько задач которые связаны с фигурами изображенными на доске.

Задача1 (15минут)

Дан пятиугольник ABCDF такой что углы B, D, F прямые. Стороны AF, FD и CD равны. Стороны AB=a, BC=b.В пятиугольнике берут точку E такую что BE параллельна FA и FE=AB, ED=BC. Найдите площадь полученного шестиугольника ABCDEF.

1)Как находится площадь данного шестиугольника. Ученики предлагают варианты, например:

- Как площадь квадрата т.к. треугольники ABC и FED равны. (для площади квадрата нам нужно знать AC но нам она неизвестна)

- как сумма двух параллелограммов.(это предложение верно)

2)Как мы найдем площадь ABEF. Ученики предлагают варианты.

-Опускаем высоту из AH1 к EF (т.к. EF нам известна).

Рассмотрим треугольник AH1F что мы можем о нем сказать. Он прямоугольный и равен треугольнику ABC по гипотенузе и острому углу т.к. ACDF квадрат и AFE=BCA (AFE=90-EFD=90-BAC=BCA). Следовательно AH1=AB=a и площадь равна a2.

Теперь рассмотрим параллелограмм BCDE чему будет равна его площадь.

-делаем тоже самое что и в предыдущем случае получаем b2.

S=a2+b2.

Задача2 (10минут)

Дан квадрат ABCD. В нутрии квадрата расположены четыре равных прямоугольных треугольника AA1D, BB1A, CC1B, DD1 A такие что углы A1, B1, C1, D1 прямые, AA1=BB1=CC1=DD1=a и BA1=CB1=DC1=AD1=b найдите площадь квадрата.

1)Можем ли мы найти сторону данного квадрата – к сожалению нет. Значит как будем искать его площадь?

- как сумма составляющих его фигур.

2)Площадь каких фигур мы можем найти сразу

- прямоугольных треугольников.

3)Тогда нам остается найти площадь внутреннего четырехугольника. Что это за четырех угольник?

-это квадрат  и сторона его равна b-a.

4) А теперь давайте сложим все найденные площади.
В итоге мы снова получили S=a2+b2.

III. Теорема и ее история.

Как вы уже заметили, площади данных фигур можно было найти проще, если знать AC в первой задаче и AB во второй, гипотенузу прямоугольного треугольника.

А теперь рассмотрим теорему позволяющую ее найти. Она называется теорема Пифагора.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В виде формулы она записывается как c2=a2+b2. История данной теоремы насчитывает не одну тысячу лет. Она существовала еще до Пифагора, ею пользовались древние египтяне за 1500 лет до Пифагора они знали о том, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, и пользовались этим свойством для построения прямых углов при планировке земельных участков и сооружений зданий. В самом древнем дошедшем до нас китайском математико-астрономическом сочинении «Чжоу-би», написанном примерно за 600 лет до Пифагора, среди других предложений, относящихся к прямоугольному треугольнику, содержится и теорема Пифагора. Еще раньше эта теорема была известна индусам. Таким образом, Пифагор не открыл это свойство прямоугольного треугольника, он, первым сумел его обобщить и доказать, перевести тем самым из области практики в область науки. С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора. Таких доказательств – более или менее строгих, более или менее наглядных – известна не одна сотня, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

Обе задачи которые мы с вами рассмотрели, могут являться доказательствами для данной теоремы.

(возвращаемся к рисунку 1) Рассматривая прямоугольные треугольники ABC и FED мы говорим  о том что они равны. Следовательно, площадь шестиугольника равна площади квадрата.

Во второй задаче квадрат построен на гипотенузе и площадь его равна c2, она же равна a2+b2.

Еще одно доказательство мы с вами рассмотрим в учебнике.

Самостоятельное прочтение параграфа учебника.

V. Вопросы учеников, подведение итогов.

Ответ на вопросы учеников.

Учитель проговаривает:

Мы с вами рассмотрели зависимость между сторонами прямоугольного треугольника.

Рассмотрели несколько доказательств теоремы Пифагора.

А также еще раз убедились, что теоремы можно доказывать различными способами.

Примечание. В оставшееся время после ответа на вопросы учеников:

проверить египетский треугольник(3,4,5), найти гипотенузу для равнобедренных прямоугольных треугольников (катеты выбирать произвольно), найти катет равнобедренного прямоугольного треугольника (гипотенузу выбирать произвольно).

Приложение к уроку.

Рис1

Рис2

Использование данных методических рекомендаций позволит:

-      Развить пространственное мышление учащихся;

-      лучше усвоить материал учащимися.

Литература:

Атанасян Л.С. «Геометрия 7-9», М., Просвещение,  2009г.

Атанасян Л.С. «Изучение геометрии в 7-9 классах», М., Просвещение,  2010г.

Киселева А.П. «Элементарная геометрия», М. Просвещение 1980г.

Кудрявцев Л.Д. «Мысли о современной математике и ее изучении.» М., Наука 1977г.

Погорелов А.В. «Геометрия 7-11» М. ,Просвещение,  2009г.

Славгородский В.В. «Систематизация доказательств теоремы Пифагора». (Материал для конференции  2007г.)