Элективный курс по теме: «РЕШЕНИЕ НЕСТАНДАРТНЫХ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Элективный курс по теме:

«Решение нестандартных текстовых задач»

Выполнила: учитель математики

         МБОУ Исенбаевская СОШ

Агрызского муниципального

 района Республики Татарстан

                 Садыкова Гулия Закиевна

2013-2014 уч. год

Пояснительная записка.

Умение решать текстовые задачи является одним из показателей уровня математического развития. Решение задач есть вид творческой деятельности, а поиск решения – процесс изобретательства.

В настоящее время в КИМах ЕГЭ по математике присутствуют разнообразные текстовые задачи. Среди них встречаются задачи на движение по замкнутой дороге, на движение протяженных тел, задачи на неявный объем работы, задачи на сложные проценты, на концентрацию.

 В связи с этим возникла необходимость восполнить недостаток программы по математике за курс средней школы, ознакомить учащихся с разными методами решения задач, выработать у них умения и навыки решать задачи алгебраическим методом.

Сложность выполнения данного задания для современных школьников нашла свое отражение и в том, что в новейшей демоверсии варианта ЕГЭ по математике задача В13 имеет новый номер В14 и относится уже ко «второй части» варианта. А ведь большинство задач В14 решается по вполне четким алгоритмам с использованием ясных и понятных формул и схем. Научить решать большинство задач В14, содержащихся в открытом банке, можно практически любого выпускника. Безусловно, при этом определяющими факторами являются желание и стремление ученика, а также математическая и методическая грамотность преподавателя, его умение четко и ясно изложить на первых порах именно алгоритмы решения. Без первых удачных опытов у ученика не пройдет страх перед текстовыми задачами, а для этих опытов, нужны именно четкие алгоритмы.

Многие интересные и нестандартные задачи существуют в форме текстовых задач. Принято считать, что развитию логического мышления учащихся способствует решение нестандартных задач. Действительно, задачи такого рода вызывают у детей интерес, активизируют мыслительную деятельность, формируют самостоятельность, не шаблонность мышления. Но ведь почти каждую текстовую задачу можно сделать творческой при определенной методике обучения решению. Текстовые задачи имеют несколько целей. Выделяют текстовые задачи как прикладные и как умственные манипуляторы.

Работая над материалом курса, обучающиеся должны научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования и изобретения.

Программа курса имеет практическую направленность.

Задачи, используемые на уроках, подобраны с учетом нарастания уровня сложности, их количество не создает учебных перегрузок для школьников. Содержание программы способствует интеллектуальному, творческому, эмоциональному развитию школьников; предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, развитие и выявление математических способностей, ориентацию на профессии, связанные с математикой, выбор профиля дальнейшего обучения.

Большое внимание уделяется самостоятельной работе школьников.

Программа предполагает использование нестандартных форм проведения уроков: лекций, практикумов, семинаров (теоретических, практических), что соответствует возрастным особенностям обучающихся.

Цели курса:

• Сформировать у обучающихся умение решать разнообразные текстовые задачи алгебраическим методом.
• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность школьников.
• Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.
• Формирование у учащихся логического мышления при проектировании решения задачи;
• Формирование навыков анализа и систематизации полученных ранее знаний в результате их применения в незнакомой ситуации;
• Подготовка к ЕГЭ по математике.

 Программа курса “Решение нестандартных текстовых задач” предназначена для углубления знаний по математике и ознакомления с разными способами решения текстовых задач учащихся 11-х классов.

Для реализации этой цели необходимо:

1. пополнить теоретические знания учащихся о текстовой задаче;
2. совершенствовать у обучающихся умения и навыки решать задачи, используя разные методы;
3. использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для построения и исследования простейших математических моделей в курсе изучения физики, химии.

Программа курса предполагает дальнейшее формирование ключевых компетенций – готовности учащихся использовать усвоенные знания, умения и способы деятельности в реальной жизни для решения практических задач. Исходя из задач преподавания курса “ Решение нестандартных текстовых задач ” программа предусматривает формирование следующих умений и навыков:

• выполнять анализ текстовых задач;
• научиться применять различные способы решения задач
• пользоваться справочной литературой

Курс  связан как с математикой, так и с химией, физикой. Изучение курса поможет учащимся получить представление о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, а также овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми для изучения школьных естественнонаучных дисциплин.

Курс рассчитан на 1 час в неделю, всего 17 часов.

2. Содержание обучения

Методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический.

Задачи на движение по замкнутой дороге.

Задачи на движение протяженных тел.

Задачи на проценты, на сложные проценты.

Задачи на концентрацию и смеси, сплавы.

Старинный метод решения задач на смеси и сплавы.

3. Требования к математической подготовке обучающихся

В результате изучения курса обучающиеся должны уметь:

1. Опорные знания:

решать линейные, квадратные уравнения различными методами:

знать определения понятий: %, концентрация, производительность.

2. Решать текстовые задачи повышенного уровня сложности:

на движение по замкнутой дороге;

на движение протяженных тел;

на проценты;

на концентрацию и смеси.

3. Работать с алгебраической моделью:

работать с алгебраической моделью (уравнением), в которой содержится несколько переменных.

4. Учебно-тематический план (17 часов)

Тематический план

Дидактический материал к элективному курсу  

«Решение нестандартных текстовых задач»

1.Задачи на движение по замкнутой дороге.

Задача 1.1

Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть скорость второго автомобиля равна  км/ч. За 2/3 часа первый автомобиль прошел на 14 км больше, чем второй, отсюда имеем

.

Ответ: 59.

Задача 1.2

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Решение.
Скорость движения минутной стрелки 12 делений/час (под одним делением здесь подразумевается расстояние между соседними цифрами на циферблате часов), а часовой – 1 деление/час. До четвертой встречи минутной и часовой стрелок минутная должна сначала 3 раза «обогнать» часовую, то есть пройти 3 круга по 12 делений. Пусть после этого до четвертой встречи часовая стрелка пройдет  делений. Тогда общий путь минутной стрелки складывается из найденных 36 делений, ещё 8 изначально разделяющих их делений (поскольку часы показывают 8 часов) и последних L делений. Приравняем время движения для часовой и минутной стрелок:

Часовая стрелка пройдет 4 деления, что соответствует 4 часам, то есть 240 минутам.

Ответ: 240.

Приведем другое решение.

Ясно, что в первый раз стрелки встретятся между 8 и 9 часами, второй раз — между 9 и 10 часами, третий — между 10 и 11, четвертый — между 11 и 12 часами, то есть ровно в 13 часов. Таким образом, они встретятся ровно через 4 часа, что составляет 240 минут.

Общее решение.

Скорость вращения часовой стрелки равна 0,5 градуса в минуту, а минутной — 6 градусов в минуту. Поэтому когда часы показывают время h часов m минут часовая стрелка повернута на 30h + 0,5m градусов, а минутная — на 6m градусов относительно 12-часового деления.

Пусть в первый раз стрелки встретятся через t1 минут. Тогда если минутная стрелка еще не опережала часовую в течение текущего часа, то 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1, т. е. t1 = (60h − 11m)/11 (*). В противоположном случае получаем уравнение 6m + 6t1 = 30h + 0,5m + 0,5t1 + 360, откуда t1 = (60h − 11m + 720)/11 (**).

Пусть во второй раз стрелки встретятся через t2 минут после первого, тогда 0,5t2 = 6t2 − 360, откуда t2 = 720/11 (***). Это же верно для каждого следующего оборота.

Поэтому для встречи с номером n из (*) и (**) с учетом (***) имеем соответственно: tn = (60h − 11m + 720(n − 1))/11 или tn = (60h − 11m + 720n)/11.

Задача1. 3

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составлят 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

 Ответ: 80

Задачи для самостоятельного решения :

Задача 1.4

Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 40 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 8 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 36 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Задача1. 5

 Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 10 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 2 минуты после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 3 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 5 км. Ответ дайте в км/ч

2.Задачи на движение протяженных тел.

Задача 2.1

По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 65 км/ч и 35 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 700 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 36 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решение.
Относительная скорость поездов равна

За 36 секунд один поезд проходит мимо другого, то есть вместе поезда преодолевают расстояние, равное сумме их длин:

 м,

поэтому длина скорого поезда 

Ответ: 300.

Задача 2.2

Мальчик сбежал вниз по движущемуся эскалатору и насчитал 30 ступенек. Затем он пробежал вверх по тому же эскалатору с той же скоростью относительно эскалатора и насчитал 70 ступенек. Сколько ступенек он насчитал бы, спустившись по неподвижному эскалатору?

Решение: ПУСТЬ Х – скорость Пети, У - эскалатора.
Уравнение:      (Х+У)/(Х-У)=70/30=7/3
Выражаем из него преобразованиями скорость эскалатора У через скорость Пети – Х:
У=2/5 * Х
Следовательно, если при беге вниз Петя пробежал 30 ступенек, то эскалатор проехал за это время 2/5*30=12 ступенек, т.е. длина неподвижного эскалатора составляет 30+12=42 ступеньки.
Ответ: 42

Задача 2.3

    По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 190 метров, второй — 110 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 300 метров. Через 9 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 900 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?

Решение. Рассмотрим систему отсчета, связанную с носом первого сухогруза и будем смотреть за движением носа второго сухогруза. Скорость носа второго сухогруза относительно носа первого сухогруза и есть та скорость, которую нужно найти. В начальный момент нос второго сухогруза находится на 300 м сзади кормы 1-го сухогруза, т.е. на 300+190 = 490 м сзади нашей точки отсчета – носа 1-го сухогруза.  То есть нос 2-го сухогруза имеет координату -490 (за единицу длины принят 1 м). Через 9 мин корма 2-го сухогруза будет впереди носа 1-го сухогруза на 900 м. Значит,  нос 2-го сухогруза будет впереди носа 1-го сухогруза на 900 + 110 = 1010 м. Таким образом, за 9 мин 2-й сухогруз переместился относительно 1-го на 1010 – (-490) = 1010+ 490 = 1500 м. Поэтому нужная нам скорость будет равна 1500м / 9 мин =  (1500/1000) км : (9/60) ч = (1500*60)/(1000*9) = 10 км/ч

Ответ. 10

Задачи для самостоятельного решения :

Задача 2.4

    По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 90 км/ч и 30 км/ч. Длина товарного поезда равна 600 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 1 минуте. Ответ дайте в метрах.

Задача 2.5

    По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 80 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 800 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 2 минутам. Ответ дайте в метрах.

Задача 2.6

   По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно 70 км/ч и 50 км/ч. Длина товарного поезда равна 900 метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошел мимо товарного поезда, равно 3 минутам 9 секундам. Ответ дайте в метрах.

3. ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ

1. Задачи на процентное содержание влаги.

Задача 3.1

Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 82 килограммов изюма?

Решение: Виноград и полученный из него изюм содержат одинаковое количество сухого (то есть совершенно не содержащего влаги) вещества. По условию, R килограммов винограда содержит R*(1-90/100)= R*(1-0,9) = R*0,1 кг сухого вещества, а R килограммов изюма содержит R*(1-5/100) = R*(1-0,05) = R*0,95 кг сухого вещества. Пусть x – неизвестное количество винограда. Получаем уравнение:

x*0,1 = 82*0,95

x/10 = 77,9

x=779

 Ответ: 779кг

Задача 3.2

Виноград содержит 91% влаги, а изюм – 7%. Сколько килограмм винограда потребуется для получения 21 кг изюма?

Решение :          

      В данной задаче нас интересует масса сухого вещества, а не влаги

      Пусть х (кг) – потребуется, тогда

(1 – 0,91)х = 0,09х (кг) – сухого вещества в х кг,

(1 – 0,07)·21 = 0,93·21 (кг) – сухого вещества в 21 кг,

       т. к. масса сухого вещества неизменна, то

          0,09х = 0,93·21,

                9х = 93·21,

                  х = 217 (кг)

Задача 3.3

   Свежие фрукты содержат 72 % воды, а сухие – 20 % воды. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

Решение: При решении подобных задач следует определить ту величину, которая не меняется при высыхании (уменьшении влажности). Неизменной в данных процессах остается масса сухого вещества, т. е. продукта, в котором полностью отсутствует вода. Если 20 кг фруктов имеют влажность 72 %, то жидкость составляет 20 × 0,72 = 14,4 кг, а сухое вещество имеет массу 20 – 14,4 = 5,6 кг. Масса сухого вещества не меняется при высыхании, поэтому в сухих фруктах, содержащих 20 % воды, сухое вещество составляет 80 %.  Следовательно, 5,6 кг являются 0,8 частью от общей массы сухих фруктов, а вся масса равняется 5,6/0,8=7 кг.

откуда  5,6кг-80%, хкг-100%  Можно было получить результат, составив пропорцию

5,6X100:80=7

Ответ: из 20 кг свежих фруктов получится 7 кг сухих.

Задача 3.4

Влажность сухой цементной смеси составляет 18%. Во время перевозки из-за дождей влажность смеси повысилась на 2%. Найдите массу привезённой смеси, если со склада было отправлено 400 кг.

Решение.

1 способ:

Известно, что влажность сухой цементной смеси составляет 18%, то «сухое» вещество составляет 82%. Найдём массу сухого вещества: (400/100) 82 кг.

Так как из-за дождей влажность увеличилась, следовательно масса тоже увеличилась. Пусть новая масса цементной смеси -х кг. Влажность этой смеси стала 18% + 2% = 20%. Значит «сухое» вещество составляет 80%, а масса его будет (х/100) 80 кг. Но масса «сухого» вещества до дождей и после дождей останется прежней. Получаем уравнение:

Находим массу «сухого» вещества: (400/100)82=328 кг. так как из- за дождей влажность стала 20%, то «сухое» вещество составляет 80%. Но это то же самое «сухое» вещество, что и было в смеси до дождей. Поэтому можем записать:         

328 кг. это 80%.

Учитывая, что 80% = 0,8 и применяя правило нахождения количества по процентам, получаем: 328/0,8 =410 кг.        

Ответ: 410 кг.                

2 способ:

 Пусть новая масса цементной смеси -х кг.

 Кол-во цементной        Содержание

смеси        сухого вещества

 400 кг. - 82%                                

х кг. - 80%

(Обратная пропорциональность)

Составим пропорцию:

400 : х = 80 : 82

 х = 400 82 : 80

 х = 410

 Ответ: 410 кг.

2)Задачи на проценты

Задача 3.5

Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Решение.
Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зарплата мужа составляет 67% дохода семьи. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%, то есть 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, а вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход жены составляет 100% − 67% − 6% = 27% дохода семьи.

Ответ: 27.

Задача 3.6

Объемы ежегодной добычи угля первой, второй и третьей шахтами относятся как 1:2:4. Первая шахта планирует уменьшить годовую добычу угля на 8%, а вторая - на 2%. На сколько процентов должна увеличить годовую добычу угля третья шахта, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился?

Решение. Примем объем ежегодной добычи угля первой шахтой за a, тогда объемы ежегодной добычи угля второй и третьей шахтами равны соответственно 2а и 4а, а суммарный объем ежегодной добычи угля равен 7а. После уменьшения годовой добычи первой шахтой на 8%,а второй на 2% объем добываемого ими угля будет равен 0,92 * а + 0,98 *2а = 2,88а и на "долю" третьей шахты останется 7а - 2,88а = 4,12а.

Пусть n - то количество процентов, на которое нужно увеличить годовую добычу угля третьей шахтой, чтобы суммарный объем добываемого за год угля не изменился.

Тогда имеем ( 1+ 0,01n) * 4а = 4,12а, откуда 1+0,01n = 1,03 и, окончательно, n= 3.

Ответ: 3

Задача 3.7

    Банк начисляет 5% годового дохода. Первоначальный вклад равнялся 10 000 р. После начисления годового дохода вклад можно дополнить некоторой суммой. Найдите ее величину, если общий вклад через 2 года должен равняться 21 000 р.

Решение: Через один год вклад увеличится на 5% от 10 000 р., т. е. на 500 р. Поэтому после первого года вклад будет равен 10 500 р. Пусть S - дополнительный взнос. Тогда в начале второго года хранения вклад будет равен 10 500 + S рублей. После второго года он увеличится на 5% от этой суммы, т. е. на 0,05(10 500 + S) =525 + 0,05S рублей. Поэтому после второго года вклад будет равен (10 500 + S) +(525 + 0,05S) рублей. По условию этот вклад равен 21 000 р. Значит,

10 500 + S + (525 + 0,05S) = 21 000,

1, 05S = 9975,

S = 9500.

Ответ: 9500

4. Задачи на сложные проценты

Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце п-го этапа значение некоторой величины А, исходное значение которой равнялось А0, определяется формулой:

Задача 3.8

 Зарплату повысили на р %. Затем новую зарплату повысили на 2р%  в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза. На сколько процентов зарплата была повышена во второй раз?

 Решение

Начальную зарплату обозначим -А0. Тогда по формуле простых процентов найдём зарплату после повышения на р%; А1=А0(1 + р/100). 

Затем зарплату ещё повысили на 2р%;        

А2 = A1 (1 +2р/100) = А0  (1 + p/100) (1+2р/100).

Известно, что в результате двух повышений зарплата увеличилась в 1,32 раза, т.е. А2 = 1,32  А0 . Получаем уравнение:  

Ао(1 +р/100)(1 +2р/100)= 1,32 Ао.

Решив его, находим р = 10%, а 2р = 20%.

Ответ: 20%.

Задача 3.9

   За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%. В следующий год выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

Решение:

Первоначальный выпуск продукции обозначаем- А0, а за р обозначим на сколько процентов вырос выпуск продукции за два года по сравнению с первоначальным

А1=А0  (1+8/100),

А2= А1 (1+25/100)= А0  (1+8/100) (1+25/100),

А2=А0   (1+р/100).

Составим уравнение:

А0  (1+8/100) (1+25/100)= А0  (1+р/100).

Решив уравнение, находим р=35%.

Ответ: 35%.

Задача 3.10

   В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод выпускал ежемесячно 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение:        

Пусть завод увеличивал выпуск продукции на р процентов. Тогда по формуле вычисления сложных процентов, получаем следующее уравнение:

600  (1+р/100)2=726.        

Решим это уравнение:

(1 +р/100)2 = 121/100,

1 + р/100 = 11/10 или 1 +р/100 = -11/10 - не подходит по смыслу задачи.        

Находим р = 10.        

Ответ: 10%.

Задачи для самостоятельного решения :

 Задача 3.11

 Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на р% , а на следующий год возросла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%.

Задача 3.12

В банке на книжку было положено 1640 руб. и в конце года было взято обратно 882 руб. Еще через год на книжке снова оказалось 882 руб. Сколько процентов начисляет банк в год?

4.Задачи на концентрацию смеси и сплава

Задача 4.1

Имеются два слитка сплава золота с медью. Первый слиток содержит 230 г золота и 20 г меди, а второй слиток – 240 г золота и 60 г меди. От каждого слитка взяли по куску, сплавили их и получили 300 г сплава, в котором оказалось 84% золота. Определить массу (в граммах) куска, взятого от первого слитка.

Решение: Определим процентное содержание золота в обоих слитках.

1) 230 + 20 = 250 (г) – масса 1-го слитка, 230/250=0,92 (92%)процентное содержание золота в 1-м слитке.

2) 240 + 60 = 300 (г) – масса 2-го слитка, 240/300=0,8 (80%) – процентное содержание золота во 2-м слитке. Пусть х масса куска, взятого от 1-го слитка, (300 - х) – масса куска, взятого от 2-го слитка, получим уравнение 0,92х + 0,8 (300 - х) = 0,84*300, откуда х=100.

Ответ: 100 г.

Задача 4.2

Первый сплав серебра и меди содержит 70 г меди, а второй сплав – 210 г серебра и 90 г меди. Взяли 225 г первого сплава и кусок второго сплава, сплавили их и получили 300 г сплава, который содержит 82% серебра. Сколько граммов серебра содержалось в первом сплаве?

Решение:

Пусть х г серебра содержится в 1-м сплаве, тогда 70 / (х + 70) – какую часть 1-го сплава составляет медь, 90 / (210 + 90) – такую часть составляет медь во 2-м сплаве, кусок второго сплава 300 – 225 = 75 г, тогда получаем уравнение.

225 * (70 / (х + 70)) + 75 * (90 / 300) = (1 - 0,82) * 300, откуда х=430 г

Ответ: 430 г.

Задача 4.3

При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140г  30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

1 способ решения: Решение (с помощью системы уравнений):

       Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания  х г  5%-ного раствора кислоты (или 0,05х г) и у г  40%-ного раствора (или 0,4у г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т.е.  0,38140 г , то получаем следующее уравнение  0,05х  +  0,4у = 0,3∙140. Кроме того х + у = 140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

0,05х + 0,4у = 0,3 ∙140,

 х + у =140

Из этой системы находим  х = 40, у = 100. Итак, 5%-ного раствора кислоты следует взять 40г, а 40% - ного раствора следует взять 100г.

Ответ: 40г , 100г.

2 способ (старинный способ) решения.

       Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине  -  содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа черточками, получим такую схему:

Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40.В каждой паре из большего числа вычтем меньшее, и  результат запишем в конце соответствующей черточки. Получится такая схема:

25 +10 = 35 (частей всего)

140 : 35 =  4 ( г) -  приходится на 1 часть

4*25 = 100 (г) – 40%-ного раствора

10 * 4 = 40 (г) – 30% - ного раствора

       5% - ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного  - 25 частей

(140 : 35 = 4 г приходится на одну часть), т. е. для получения 140 г 30%-ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 граммов, а 40%-ного - 100 граммов.

Ответ: 40 г,  100 г.

Задача 4.4

Имеется серебро 12-й, 11-й и 5-й пробы. Сколько какого серебра надо взять для получения 1кг. серебра 9-й пробы?

Решение: Составим схему два раза: первый раз, взяв  серебро наименьшей и наибольшей пробой, а второй раз  - с наименьшей и средней пробой.                                                      

                                 5                                                                  12-9 = 3                           3+2 =5

            9                      

                           12                  9-5=4                                             4                              

                                  5                                               11-9 =2                    

          9  

                      11                        9-5 =4                                  4

                                                                                                  В итоге: 5+4+4=13.

По схеме найденные доли, в которых нужно сплавить серебро наибольшей и средней пробы (4 и 4). Сложив затем доли серебра наименьшей пробы, найденные в первой и во второй раз( 3+2=5), получим долю серебра наименьшей пробы в общем сплаве. Таким образом, надо взять 5/13кг серебра 5 –й пробы, 4/13 кг серебра 12-й пробы и 4/13 кг. серебра 11 пробы.                  

Задача 4.5

В каких пропорциях нужно смешать раствор 50%-й и 70%-й кислоты, чтобы получить раствор 65% - 1 кислоты?

а)   Рассмотрим алгебраический способ решения:

     Пусть х г – масса 50%-й кислоты, y г – масса 70%-й кислоты, 0,5х г – масса чистой кислоты в первом растворе, 0,7у г. – масса чистой кислоты во втором растворе,  (x+y)г – масса смеси, 0,65(x+y)г  - масса чистой кислоты в смеси.  Составим уравнение :

0,5x+0,7y=0,65(x+y)  | : у≠ 0

0,5·  +0,7 =0,65·  +0.65

0,15   = 0,05

 =

 =

х:у=1:3

Получаем соотношение 1:3.

   Ответ: 1:3.

б) Рассмотрим  другой способ решения этой задачи. Он называется арифметическим (или старинным) способом.

Нарисуем схему:

                                                            50                                        5

               65

                                                              70                                         1 5

по которой видно, что для получения 65%-й кислоты нужно взять 50%-й и 70%-й кислоты в отношении 5:15=1:3.

Задачи для самостоятельного решения :

1. Морская вода содержит 5% соли. Сколько килограммов пресной воды надо прибавить к 40 кг. морской воды, чтобы содержание соли составляло 2 %?
2. Кусок сплава меди с оловом массой 12 кг. содержит 45 % меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску, чтобы получившийся сплав имел 40 % меди?
3. Сколько литров воды нужно долить до 5 л. 90%-ого спирта, чтобы получить 60 %-спирт?
4. Имеется сталь двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40 %. Сколько нужно взять каждого из этих сортов стали, чтобы получить 140 т. стали с содержанием никеля в 30 %?
5. Масса первого сплава на 3 кг. больше массы второго сплава. Первый сплав содержит 10 % цинка, а второй 40 % цинка. Новый сплав, полученный из первых двух, содержит 20 % цинка. Определить массу нового сплава.

5. Список литературы

1. Журнал «Математика в школе» «Учимся решать задачи». №36. 2004г.
2. Журнал «Математика в школе». «Задачи на смеси и сплавы». №17. №11  2004г.
3.  Бобровская, А.В.  Текстовые задачи курса алгебры средней школы. / А.Б. Бобровская.– 3-е изд., доп. и перераб.– Шадринск: Исеть, 1999.– 64 c: ил.
4.  Ванцян, А.Г. Эти непростые "простые задачки" / А.Г. Ванцян // Практика образования.– 2007.– № 3.– C. 20-22.
5.  Демидова, Т.Е. Текстовые задачи и методы их решения [Текст] / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких.– М.: изд-во Моск. ун-та, 1999.– 261 с.: ил.
6. Егеров В.К., Зайцев В.В., и др.; «2500 задач по математике с решениями для поступающих в вузы» Под редакцией Сканави М.И.- изд. «Оникс 21 век», «Мир и образование» 2003 г (100-154 стр)
7. Корянов А.Г., Надежкина Н.В. Задание В13. Текстовые задачи.. Математика ЕГЭ2014.
8. WWW.mathege.ru   Математика ЕГЭ 2013 (открытый банк заданий)