Elementary logic for the teacher. Элементарная логика учителю. Научная статья (17.08.2020)
статья по английскому языку

A modern smart, developed teacher must possess logical thinking. It organizes knowledge, gives clarity to speech, makes a convincing argument and allows you to achieve victory in the discussion. A teacher who knows the basics of logical knowledge will be able to pass this knowledge  on to his students and improve the performance of students. The article in an accessible form reveals logical schemes of thinking: concepts, judgments, conclusions, as well as the basic laws of logic.

Оглавление

Введение...................................................................................................3

1. Понятие

         1.1. Что такое понятие....................................................................6

         1.2. Определенные и неопределенные понятия...........................8

         1.3. Отношения между понятиями................................................8

         1.4. Ограничение и обобщение понятий.....................................10

         1.5. Определение понятия.

                Логические правила составления определений...................12

         1.6. Деление понятия. Классификация........................................14

         1.7. Сложение и умножение понятий. Союзы или, и..................16

2. Суждение

         2.1. Что такое суждение................................................................18

         2.2. Виды простых суждений.......................................................19

         2.3. Распределенность терминов в простых суждениях............20

         2.4. Способы преобразования простых суждений..................... 21

         2.5. Отношения между суждениями............................................21

         2.6. Виды сложных суждений......................................................22

         2.7. Виды и правила вопросов......................................................23

3. Умозаключение

         3.1. Что такое умозаключение....................................................26

         3.2. Категорический силлогизм..................................................28

         3.3. Общие правила силлогизма..................................................31

         3.4. Разновидности силлогизмов.................................................33

         3.5. Разделительно-категорический силлогизм.........................35

         3.6. Умозаключения с союзом если...то.....................................38

         3.7. Условно-разделительные умозаключения..........................40

         3.8. Индуктивные умозаключения..............................................42

         3.9. Методы установления причинных связей...........................45

         3.10 Аналогия как вид умозаключения......................................47

4. Основные законы логики

         4.1. Закон тождества.....................................................................50

         4.2. Закон противоречия...............................................................50

         4.3. Закон исключенного третьего...............................................52

         4.4. Закон достаточного основания.............................................53

Заключение.............................................................................................56

Список литературы................................................................................58

Мышление, соответствующее требованиям

логики, подобно прозрачному ручью: сквозь воды которого

виден каждый камушек и песчинка на дне.

Мышление, построенное на нарушениях логических законов,

 подобно мутному потоку: в нем ничего не видно.

Дмитрий Алексеевич Гусев

Введение

Каждый учитель мечтает о том, чтобы его ученики достигли высоких результатов. Успех учеников воспринимается как собственная победа, а неудачи подопечных заставляют переживать не меньше, а может быть, даже больше самих учеников. Так что же лежит в основе мыслительных процессов школьника при изучении того или иного учебного предмета? Какие наиболее эффективные методы преподавания могут ускорить мыслительные операции?

Несомненно, в основе познания любой науки лежат определенные принципы. Вероятно, эти принципы общие для всех наук. А значит, зная закономерности мыслительных процессов, можно выйти на определенные аксиомы познания. Если мы будем их соблюдать в процессе преподавания, то несомненно повысим эффективность нашего педагогического труда. Повышение эффективности, результативности в любом добром деле всегда было актуальным.

Постижение любой науки напрямую связано с процессом мышления. Никто не опровергнет то, что истинное мышление должно обладать ясностью, последовательностью и обоснованностью. Какая же наука изучает процессы мышления? Это логика  −  краеугольный камень всех наук.  

Логика − это наука о формах и законах правильного мышления. Она появилась приблизительно в IV веке до н.э. в Древней Греции. Ее создателем считается знаменитый  древнегреческий философ и ученый Аристотель. Как видим, логике примерно 2,5 тысячи лет.

Под формой мышления подразумевается схема построения мысли. Существуют три формы (схемы) мышления : понятие, суждение и умозаключение. Весь бесконечный мир наших мыслей выражается в понятиях, суждениях и умозаключениях.

Итак, логика занимается не содержанием мышления, а его формами. Например, если по содержанию высказывание Все бабочки − насекомые является нормальным, а высказывание  Все Кощеи Бессмертные − инопланетяне − абсурдным, то для логики эти высказывания равноценны. Потому что логика занимается формами мышления. А форма у этих высказываний одна и та же: "Все А − это В".

Проиллюстрируем важность знания логических законов на следующем примере. Напомним, что любое правильно построенное суждение приводит к верным выводам. И, наоборот, суждения, построенные с логическими ошибками приводят к абсурду:

Все мои друзья знают русский язык.

Нынешний президент России знает русский язык.

→ Нынешний президент России − мой друг.

Как видим, из двух истинных суждений вытекает ложный вывод. Допущена ошибка, которая называется "нераспределенность среднего термина в простом силлогизме". Знание логических законов сможет нас уберечь от подобного рода высказываний.

Законы мышления −  приведение рассуждения к истинным выводам при условии истинности исходных суждений. Основных законов мышления четыре: закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего и закон достаточного основания. Правильно рассуждая, можно логически осознать любой учебный предмет как стройную систему знаний, безошибочно действовать в рамках этой системы, а также выходить на новые горизонты открытий.

Вспомним наше детство и юность. Часто ли мы понимали своих учителей? Может быть, проблема заключалась в недостаточной логической культуре построения высказываний?

Итак, если мы хотим ясных, последовательных и обоснованных ответов учеников, то прежде всего, сами должны быть образцом для подражания. А для этого необходимо познакомиться с основами логики, чтобы наша педагогическая речь была четкой и ясной. Демонстрируя образец, мы прививаем логическую культуру учащимся. А знание логических законов самими учениками, вероятно послужит катализатором мыслительных процессов и повышению успеваемости.

1. Понятие

1.1.Что такое Понятие

Любой объект или свойство объекта отражаются в нашем сознании в виде понятий. Следует отличать понятие от слова. Слово кроме смысловой нагрузки имеет фонетическую сторону. Например, слово "человек" в разных языках будет звучать по-разному, однако понятие "человек" во всех языках народов нашей планеты одно и то же: мысленное отражение человека, а не животного,  растения, молекулы, небесного тела, геометрической фигуры.

Каждое понятие имеет содержание и объем.

Понятие

Содержание         Объем

конкретные и абстрактные                                     нулевые  единичные  общие    положительные и отрицательные             собирательные и несобирательные

Схема 1

Признаки объекта составляют содержание понятия.

Объем понятия - количество объектов, охватываемых этим понятием. Например, объем понятия первый президент России равен единице, потому что включает в себя только одного человека.  Понятия русский мужчина −  больше по объему, а объем понятия мужчина еще больше (всех мужчин планеты по количеству больше, чем русских мужчин). Понятие человек наиболее объемное, так как включает в себя не только мужчин, но и женщин и детей.

По содержанию понятия бывают конкретные и абстрактные, положительные и отрицательные. Конкретные понятия обозначают реальный объект (стол, дерево, планета), а абстрактные обозначают признаки, свойства объектов (мужество, мудрость, доброта). Положительные понятия обозначают наличие чего-либо (человек, животное, растение), а отрицательные понятия обозначают отсутствие чего-либо ( не человек, не животное, не растение).

По объему понятия бывают нулевые, единичные, общие, а также собирательные и несобирательные. Нулевые понятия − в их объем не входит ни один объект: вечный двигатель, Дед Мороз, Кощей Бессмертный и т.д. Единичные понятия − в их объем входит только один объект: Солнце, первый президент России, поэт Александр Сергеевич Пушкин. Общие понятия − в объем входит много объектов: небесное тело, город, учитель. Собирательные понятия обозначают объекты, которые состоят из набора подобных элементов, которые могут делиться, распадаться на отдельные части: рота солдат, хоровой коллектив, созвездие, журавлиная стая. Напротив, несобирательные понятия обозначают объекты, которые являются единым неделимым целым: звезда, океан, человек.

Чем больше содержание понятия, тем меньше его объем. Например, понятие солнце по объему единичное, а по содержанию широкое (размер, масса, плотность, химический состав и т.д.). И наоборот, понятие небесное тело по объему широкое (охватывает огромное количество объектов: звезда, планета, метеорит, комета), а по содержанию узкое (только один признак - нахождение вне пределов Земли).

Любому понятию можно дать логическую характеристику, т.е. разобрать его по содержанию или объему.

Логическая характеристика:

1. По содержанию:

1.1. конкретное или абстрактное;

1.2. положительное или отрицательное.

2. По объему:

2.1. нулевое, единичное или общее;

2.2. собирательное или несобирательное.

Например, понятие созвездие Ориона  по содержанию конкретное и положительное, а по объему единичное и собирательное.

1.2. Определенные и неопределенные понятия

В зависимости от характера объема и содержания понятий они могут быть определенными и неопределенными.

Для определенных понятий характерно ясное содержание (можно точно указать набор существенных признаков) и резкий объем (можно точно установить границу между объектами, принадлежащими этому понятию и объектами, которые не входят в его объем).

У неопределенных понятий неясное содержание (невозможно точно указать отличительные признаки объекта) и нерезкий объем (невозможно провести четкую границу между объектами, входящими и не входящими в объем понятия).

Например, понятие учитель первой квалификационной категории - определенное понятие, а хороший учитель - неопределенное понятие. В первом случае нужно официально обладать определенной квалификацией, зафиксированной документально, это точный отличительный признак. По объему мы можем четко провести границу между учителями первой квалификационной категории и другими учителями. Во втором случае  мы не можем с точностью указать существенные признаки хорошего учителя, также мы не можем четко провести границу между хорошими учителями и теми, кто к ним не относится.

Для научного и официально-делового стиля мы используем определенные понятия, а для художественного стиля, пробуждающего наши эмоции, стимулирующего нашу фантазию и воображение - для этого стиля характерны неопределенные понятия.

1.3. Отношения между понятиями

В логике выделяются 6 вариантов отношений между понятиями.

Отношения между понятиями

Совместимые понятия                                    Несовместимые понятия

равнозначность   подчинение     пересечение                                                                          

                                     соподчинение     противоположность       противоречие

Схема 2

У совместимых понятий объемы могут иметь общие элементы. У несовместимых понятий общие элементы отсутствуют. Например, понятия школьник и спортсмен − совместимые. Школьники могут быть спортсменами, и спортсмены могут быть школьниками. А понятия береза и дуб несовместимые, т.к. ни одна береза не может быть дубом , и ни один дуб не может быть березой.

Совместимые понятия могут находиться в отношениях равнозначности, подчинения и пересечения.

Для равнозначности нужно полное совпадение объемов. Пример равнозначных понятий: квадрат и равносторонний прямоугольник.

В подчинении объем одного понятия полностью включает в себя объем другого понятия. Понятия с меньшим объемом − видовые, а понятия с большим объемом − родовые. Например, береза и дерево. Все березы являются деревьями, но не все деревья − березы. Родовое понятие − дерево, а подчиняющееся ему видовое понятие − это береза.

При пересечении объемы понятий совпадают только частично. Наш предыдущий пример школьника и спортсмена как раз иллюстрирует пересечение понятий. Не все спортсмены являются школьниками, и не все школьники являются спортсменами, однако часть школьников является спортсменами, и часть спортсменов является школьниками.

Несовместимые понятия могут находиться в отношениях соподчинения, противоположности и противоречия.

Если понятия не имеют общих элементов, однако совместно подчиняются третьему понятию, родовому для них, то эти понятия находятся в отношении соподчинения. Пример соподчиненных понятий − липа и клен. Ни одна липа не может быть кленом и наоборот. Однако множество лип и кленов включаются в более широкий объем понятия дерево.

Понятия, которые находятся в отношении противоположности, обозначают крайние состояния чего-либо, предполагающие средний переходный вариант. Например, понятия молодой человек и пожилой человек имеют переходный вариант человек средних лет. также противоположными будут понятия темная комната и светлая комната, холодная вода и горячая вода, глубокая речка и мелкая речка и т.д. Во всех этих случаях мы найдем средний вариант.

Если же одно понятие представляет собой отрицание другого, то такие понятия находятся в состоянии противоречия. Здесь уже не может быть третьего среднего варианта. Понятия высокий человек и невысокий человек находятся в состоянии противоречия, потому что третий вариант автоматически исключается: и низкий человек, и человек среднего роста − это невысокий человек.

Итак, мы рассмотрели все шесть вариантов отношений между понятиями.

1.4. Ограничение и обобщение понятий

Обратимся теперь к совместимым понятиям, которые находятся в отношении подчинения, так называемым видовым и родовым понятиям. Данные понятия тесно связаны между собой логическими операциями ограничения и обобщения.

Логическая операция перехода от родового (с большим объемом) понятия к видовому (с меньшим объемом) называется ограничением понятия. Осуществляется данная логическая операция путем прибавления к содержанию родового понятия одного или нескольких признаков. Например, если к содержанию понятия геометрическая фигура прибавить признак иметь равные стороны и прямые углы, то оно превратится в понятие квадрат. Таким образом мы ограничили родовое понятие геометрическая фигура и получили видовое понятие квадрат.

Если же мы произведем обратную логическую операцию, т.е. переход от видового (с меньшим объемом) понятия к родовому (с большим объемом), то получим операцию обобщение понятия. Понятно, что теперь придется исключать из  содержания видового понятия один или несколько признаков. Например, если от содержания понятия математика отбросить признак изучать пространственные формы и количественные отношения действительного мира, то оно превратится в понятие наука, которое будет родовым по отношению к исходному видовому понятию математика.

Если последовательно обобщать понятие, то можно получить логическую цепочку обобщения: Солнце → звезда → небесное тело → физическое тело → форма материи. Здесь каждое последующее понятие является родовым к предыдущему, а каждое  предыдущее понятие − видовое к последующему.

Если мы расположим объекты в обратной последовательности: форма материи → физическое тело → небесное тело → звезда → солнце,  то получим цепочку ограничения.

У цепочек есть пределы. Пределом цепочки обобщения, как правило будет какое-либо широкое, философское понятие, например: объект мироздания, форма материи или форма бытия. Пределом цепочки ограничения любого понятия всегда будет какое-либо единичное понятие. В нашем случае это солнце.

Практически почти любое понятие (за исключением единичных и широких, философских) можно как ограничить, так и обобщить. Другими словами, подобрать для него как видовое понятие, так и родовое. Так функционирует отношение подчинения в совместимых понятиях.

1.5. Определение понятия.

Логические правила составления определений

Мы знаем, насколько важно для ученика формулировать значение того или иного термина. Каждый научный термин представляет собой определение понятия, которое строится классическим способом: определяемое понятие подводится под ближайшее к нему родовое понятие, после чего следует указание на его видовое отличие.

Например, определение: Биология − это наука, изучающая различные формы жизни построено по классическому способу. В нем определяемое понятие биология сначала подводится под ближайшее к нему родовое понятие наука, а потом указывается на видовое отличие биологии от других наук: изучающая различные формы жизни.

Фактически все определения, встречающиеся в научной, справочной и учебной литературе, например в толковых словарях, построены по данному классическому способу.

Существует несколько логических правил составления определений. Если мы их не будем соблюдать, то содержание понятия не будет раскрыто, и определение станет неверным.

                       Ошибки составления определений

превышение объема                                                      недостаточность объема

возвращение к исходному слову

(круг терминов.)

         двусмысленность                                                 чрезмерная сложность

отрицательная часть определения не дополнена положительной частью

Схема 3

Рассмотрим каждую из ошибок подробнее

1. Превышение объема, т.е. определение не должно превышать своим объемом определяемое понятие. Например, определение Солнце − это небесное тело является широким. Родовое понятие указано, но отсутствует видовое отличие. Ведь небесное тело − это и планета, и комета и т.п.

2. Недостаточность объема, т.е. определение не должно быть по своему объему меньше определяемого понятия. Например, определение Геометрия − это наука о квадратах является узким. Ведь геометрия является наукой не только о квадратах. В данном определении содержание понятия не раскрывается, мы не можем составить для себя ясное представление о том, что такое геометрия. Родовое понятие указано, однако видовое отличие сделано слишком узким.

Определяемое понятие и определение должны быть соразмерными.

3. Ошибка возвращения к исходному слову (круг терминов). Речь идет о понятии и определении, которые не должны включать в себя однокоренные слова. Например, в определении Танцор − это человек, который занимается танцами, присутствует круг, который образуют однокоренные слова танцор и танцы. Понятие танцор определяется через понятие танцы, т.е. фактически через само себя, таким образом содержание понятия не раскрывается.

4. Ошибка двусмысленности. Определение Математика − это гимнастика ума уместно в качестве художественного приема, однако содержание понятия математика при этом четко не раскрывается. Слово гимнастика здесь употреблено в переносном значении. Каждое слово с переносным значением имеет и свое прямое значение, отсюда создается двусмысленность, неясность, неточность. Составляя определения, мы должны избегать такого рода неточности.

5. Ошибка чрезмерной сложности. Определение должно быть понятно тому, кому оно адресовано, т.е. оно должно быть коммуникабельным. Возьмем определение: Энтропия − это термодинамическая функция, характеризующая часть внутренней энергии замкнутой системы, которая не может быть преобразована в механическую работу. Для студентов, занимающихся естественными науками, оно будет уместно, а для студентов гуманитарных специальностей оно будет слишком сложным и непонятным.

С этой точки зрения уместны различия в определениях для младших школьников, школьников среднего и старшего звена, студентов вузов, студентов вузов различных специальностей.

6. Ошибка использования только отрицательной части определения. Определение Квадрат − это не круг не является исчерпывающим. Указав, чем не является объект, мы не сказали, чем же он является. Необходимо дополнение положительной частью. Квадрат − это не круг, а прямоугольник, у которого все стороны равны.

Итак, избегая выше перечисленные ошибки, мы сможем составлять ясные и четкие определения понятий, добиваясь полного раскрытия содержания данных понятий.

1.6. Деление понятия. Классификация

Понятно, что знакомство с любым новым предметом начинается с его определения, поэтому так важна логическая операция определения понятия. На следующем этапе нам необходимо разделение каких-то областей действительности на группы, части, виды и т.п. Для этого мы выполняем логическую операцию деления понятия и выходим таким образом на различные классификации (классификация растений в ботанике, животных − в зоологии, химических элементов в химии и т.д.). Через классификацию раскрывается объем понятия.

Итак, логическая операция, раскрывающая объем понятия, называется делением понятия. Принято выделять делимое понятие, основание деление и результаты деления. Например, в делении Люди бывают учителями, врачами, инженерами, полицейскими и т.д. делимым понятием являются люди, основанием деления − профессия, результатами деления учителя, врачи, инженера, полицейские и т.д..

Классификации могут быть научными, обширными, подробными, а также простыми, обыденными, повседневными. Без классификации не обходится ни научное, ни повседневное мышление. Существуют логические правила деления, при нарушении которых объем понятия не раскрывается и деление становится неверным.

Деление понятия

Одно основание                                                                     Полнота деления

Отсутствие пересечения результатов               Последовательность деления

Схема 4

1. Деление должно проводиться по одному основанию, т. е. придерживаясь только одного признака. При использовании двух и более признаков деления возникает ошибка, которую принято называть подменой основания.

Например, если при делении понятия люди мы используем два основания пол и профессия, то получится следующее: Люди бывают мужчинами, женщинами и учителями. Это высказывание выглядит нелогично. Если выбрать три и более оснований деления, то получаться весьма комичные высказывания:

• Транспорт бывает наземным, подземным, воздушным, общественным, неудобным, морально устаревшим.
• Речь бывает устной, письменной, комичной, путанной, заумной.

Из-за ошибки подмены основания данные высказывания не могут быть научными.

2. Деление должно быть полным, т.е. все результаты деления должны быть перечислены (суммарный объем результатов деления должен быть равен объему исходного делимого понятия). Например, деление Учебные заведения бывают начальные и средние является неполным, т.к. не указан еще один результат деления − высшие учебные заведения. Если результаты деления исчисляются десятками и сотнями, то необходимо употреблять выражения и другие, и прочие, и так далее, и тому подобное или другие похожие по смыслу словосочетания. Например: Люди бывают русскими, американцами, китайцами, англичанами, французами и представителями других национальностей.

3. Результаты деления не должны пересекаться. При делении мы получаем понятия, в составе которых не должно быть общих элементов. Мы назвали такие понятия несовместимыми. Например, в делении Спортивные состязания бывают мировые, международные, олимпийские и другие  допущена ошибка пересечения результатов деления. Мировые состязания являются международными, а олимпийские состязания − и мировые, и международные.

4. Деление должно быть последовательным. не допускающим скачков. Логически может совершаться не одно, а два и более последовательных делений. Допустим, можно поделить леса по основанию типа древесных листьев на хвойные, лиственные и смешанные, а затем произвести второе деление хвойных лесов на сосновые, еловые, кедровые. А если мы пропустим второе деление и смешаем два деления в одно, то можно получить следующее: Леса бывают хвойные, лиственные смешанные и сосновые. Такая ошибка называется скачком в делении, при этом понятие раскрывается неточно, неверно.

Итак, мы должны при классификации делить понятие по одному основанию, соблюдая полноту и последовательность деления, не допуская пересечения результатов деления.

1.7. Сложение и умножение понятий. Союзы или, и

В логике рассматривается операция сложения понятий и операция умножения понятий. Данные операции характерны для понятий , находящихся в отношении пересечения.

Сложение понятий предполагает объединение двух и более понятий, при этом охватываются все элементы исходных понятий и образуется новое понятие. Как правило, результат сложения понятий выражается союзом или. Если мы сложим понятия школьник и спортсмен, то образуется новое понятие, в объем которого входит любой человек, являющийся школьником или спортсменом.

Умножение понятий предполагает объединение двух и более понятий, но при этом охватываются только совпадающие элементы объемов исходных понятий. Результат умножения выражается союзом и. Если мы умножим понятия школьник и спортсмен, то в объем нового понятия войдут люди являющиеся одновременно и школьниками , и спортсменами.

Итак, мы рассмотрели понятие с точки зрения содержания и объема, провели границу между определенными и неопределенными понятиями, рассмотрели, в какие отношения вступают понятия между собой, разобрали видовые и родовые понятия, вышли на логические правила составления определений, рассмотрели классификацию с точки зрения логической операции деления, а также разобрали логические операции сложения и умножения понятий, выраженные союзами или, и.

Данные знания могут служить опорой для изложения учебного материала, т.к. можно будет четко определить место каждого научного термина (представляющего собой логическое понятие) в общей системе знаний по тому или иному учебному предмету. Также эти знания послужат подспорьем учащимся для составления собственных определений понятий.

2. Суждение

2.1.Что такое Суждение

Суждение − это более сложная форма мышления по сравнению с понятием. Если понятие можно сравнить со словом, то суждение представляет собой форму повествовательного предложения, где понятия связаны между собой.

В структуре суждения выделяют четыре части: квантор, субъект, предикат, связка.

Суждение

Квантор                Субъект (S)          Связка          Предикат (P)

(указатель объема субъекта: все, некоторые, ни один)

Схема 5

Субъект (обозначается латинской буквой S)  − главное понятие, о котором идет речь

Квантор указывает на объем субъекта. В роли квантора могут быть слова: все, некоторые, ни один.

Предикат (обозначается латинской буквой P) представляет собой информацию о субъекте.

Связка соединяет субъект и предикат. В роли связки могут быть слова есть, является, это.

Например, в предложении Все учебники являются книгами используется квантор все, субъектом являются учебники, предикат − книги, связка − являются.

Между субъектом и предикатом могут быть логические отношения равнозначности, пересечения, подчинения и несовместимости.

Пример равнозначности: Все квадраты − это равносторонние прямоугольники.

Пример пересечения: Некоторые русские писатели − это всемирно известные люди.

Примеры подчинения: Все тигры − это хищники или Некоторые хищники являются тиграми.

Пример несовместимости: Параллельные прямые не пересекаются.

Как правило, предикат представляет собой какой-либо существенный,  неотъемлемый  признак субъекта. Например, в суждении Все лебеди − это птицы предикат − это главный признак субъекта (если некий объект не птица, то он обязательно и не лебедь).

2.2. Виды простых суждений

Суждение является простым, если в нем один субъект и один предикат. Сложное суждение состоит из двух простых суждений, соединенных союзом. В этой главе речь пойдет о простых суждениях.

На основе объема суждений и качества связки выделяют четыре комбинации суждений, которым принято давать названия из латинских букв.

Слово affirmo − "утверждать" и слово nego − "отрицать", точнее, гласные буквы из этих слов дали сокращенные названия четырех видов простых суждений.

Простые суждения

A                       I                       E                       O

Общеутвердительные  Частноутвердительные

     Общеотрицательные     Частноотрицательные

Схема 6

Объем субъекта может быть общим (все) и частным (некоторые).

Связка может быть утвердительной (есть) и отрицательной (не есть).

Теперь делаем четыре комбинации и получаем четыре вида простых суждений по объему субъекта и качеству связки:

A:  Все S − есть P (общеутвердительное суждение)

I:  Некоторые S − есть P (частноутвердительное суждение)

E:  Все S − не есть P (общеотрицательное суждение)

O:  Некоторые  S − не есть P (частноотрицательное суждение)

Примеры:

1) Общеутвердительное суждение (А): Все S есть P

Все школьники являются учащимися.

2) Частноутвердительное суждение( I):  Некоторые S − есть P

Некоторые учащиеся являются отличниками.

3) Общеотрицательное суждение (Е): Все S − не есть P

Все планеты не являются звездами.

4) Частноотрицательное суждение (О): Некоторые  S − не есть P

Некоторые грибы не являются съедобными.

Суждения, в которых субъект представляет собой единичное понятие в полном объеме, принято считать общим. Например: Антарктида − это один из материков земли − общеутвердительное суждение А. Известный итальянский ученый эпохи возрождения Леонардо да Винчи не является автором теории электромагнитного поля − обшеотрицательное суждение Е.

2.3. Распределенность терминов в простых суждениях

Субъект и предикат называются терминами суждения. Термины могут быть распределенными и нераспределенными.

Термин считается распределенным, если он развернут, взят в полном объеме, если в суждении речь идет обо всех объектах, входящих в объем данного термина.

Например, термины с квантором все являются распределенными: все акулы, все спортсмены, все люди и т.д.

Термин считается нераспределенным, если он не развернут, неисчерпан, взят не в полном объеме.

Например, термины с квантором некоторые являются нераспределенными: некоторые акулы, некоторые спортсмены, некоторые люди и т.д.

2.4. Способы преобразования простых суждений

Любое суждение можно преобразовать тремя способами, не меняя первоначальный смысл.

Преобразование суждения

Обращение            Превращение           Противопоставление предикату

Схема 7

Возьмем исходное суждение: Все планеты не являются звездами.

Теперь преобразуем:

1) Все звезды не являются планетами (обращение).

2) Все планеты являются незвездами (превращение).

3)Некоторые незвезды являются планетами (противопоставление предикату)

Как видно из этих примеров, во время преобразований мы меняем местами субъект и предикат, меняем квантор все на квантор некоторые, заменяем отрицание на утверждение.

2.5. Отношения между суждениями

Здесь речь пойдет о сравнимых, идентичных по материалу суждениях. В данных суждениях субъекты и предикаты одинаковые, а кванторы и связки разные:

А: Все тигры  − это хищники.

I: Некоторые тигры − это хищники.

Е: Все тигры − это не хищники.

О: Некоторые тигры − это не хищники.

Можно заметить, что суждения типа А и I, а также Е и О находятся в отношении подчинения: субъекты находятся в отношении рода и вида. Для обозначения рода используется квантор все, для обозначения вида − квантор некоторые.

Суждения А и Е находятся в отношении противоположности.

Суждения А и О, а также Е и I вступают в отношения противоречия.

Суждения в отличие от понятий бывают истинными и ложными. Первые два суждения истинные, вторые два − ложные.

Противоположные суждения не могут быть одновременно истинными. Истинность одного суждения обозначает ложность другого. Однако они могут быть одновременно ложными, если представляют какие-либо крайние варианты. Например: Все люди являются правдивыми и Все люди не являются правдивыми. Оба эти суждения ложные, но есть правдивый промежуточный результат: Некоторые люди являются правдивыми и Некоторые люди не являются правдивыми. Данные суждения типов  I, O находятся в отношении частичного совпадения.

2.6. Виды сложных суждений

Сложные суждения

Конъюнктивные               Дизъюнктивные               Импликативные

Эквивалентные        Отрицательные

Схема 8

Рассмотрев схему 8, мы заметим, что существует 5 видов сложных суждений, их принято изображать формулами, где а и b − это два каких-либо простых суждения:

1.Конъюнктивное суждение (конъюнкция): a ˄  b читается а и b

Например: Наступили холода, и речку сковало льдом.

2.Дизъюнктивное суждение (дизъюнкция): a ˅  b читается а или b

Например: Она изучает английский, или она изучает французский. Эти суждения друг друга не исключают, и это пример нестрогой дизъюнкции. Если же одно исключает другое, тогда  речь идет о строгой дизъюнкции. Например: Она учится в 10 классе, или она учится в 11 классе. Строгая дизъюнкция изображается так: a ˅ b

3.Импликативное суждение(импликация): a      b читается если а, то b

Например: Если вещество является металлом, то оно электропроводно. Союз если употребляется в его условном значении.

4.Эквивалентное суждение (эквиваленция): a       b читается если а,тоb

Например: Если число является четным, то оно делится без остатка на 2. В данном случае союз если употреблен в его тождественном, эквивалентном значении.

5.Отрицательное суждение (отрицание):       a  читается неверно, что а 

Например: Неверно, что все бабочки являются птицами. Первое суждение представляет собой отрицание, а второе − утверждение.

2.7. Виды и правила вопросов

Вопрос с точки зрения логики это логическая форма, которая направлена на получение ответа в виде некоторого суждения.

Любой вопрос имеет определенную структуру и состоит из двух частей: основная часть и искомая часть. Основную часть также называют базисной или предпосылкой вопроса. Например, в вопросе Когда была создана теория относительности? основная часть − это утвердительное суждение  Была создана теория относительности, а искомая часть представлена вопросительным словом когда. Вопросительная часть указывает на недостаточность в информации базисной части вопроса и требует ее дополнения в области временных явлений.

Главным правилом постановки вопроса должна быть истинность основной части, иначе вопрос считается некорректным. Базисная часть может представлять собой ложное суждение только в одном случае: если его искомая часть направлена на выяснение истинности значения основной части. Например, вопросы Есть ли разумная жизнь во Вселенной помимо нашей планеты? Возможно ли создание вечного двигателя? Изобретут ли машину времени? Базисные части на данный момент представляют собой ложные суждения. Однако искомые части этих вопросов направлены на выяснение истинности значений их базисных частей. Если же мы поставим вопросы иначе, категориально: Где был создан первый вечный двигатель? Сколько стоит путешествие на машине времени? то некорректность данных вопросов становится для всех очевидной.

Вопросы

Пропозициональные (общие)              Категориальные (специальные)

Схема 9

Вопросы можно поделить на две группы: пропозициональные и категориальные.

Пропозициональные или общие, уточняющие вопросы направлены на подтверждение или отрицание уже имеющейся информации. на такие вопросы можно ответить словами Да, Нет. Например, вопрос Полезны ли занятия музыкой?

Категориальные или специальные, восполняющие вопросы запрашивают необходимую информацию и, с помощью вопросительных слов (кто, что, где, когда, зачем, почему, как и т.д.), указывают направление поиска ответов. Пример категориального вопроса: Кто создал Периодическую систему химических элементов?

Вопросы

Исследовательские              Информационные

Схема 10

Также мы можем поделить вопросы на исследовательские и информационные. Если исследовательские вопросы направлены на получение нового знания, то информационные вопросы имеют своей целью передачу уже имеющихся знаний от одного лица к другому.

Исследовательский вопрос: Как родилась Вселенная?

Категориальный вопрос: Какова температура плавления железа?

Понятно, что исследовательские и информационные вопросы могут быть как категориальными, так и пропозициональными.

Например, Вел ли Древний Рим продолжительные завоевательные войны? (информационный пропозициональный вопрос). В каком году родился Наполеон? (информационный категориальный вопрос)

Смогут ли жители Земли расселиться на других планетах Солнечной системы? (исследовательский пропозициональный вопрос). В чем смысл человеческой жизни? (исследовательский категориальный вопрос).

3. Умозаключение

3.1.Что такое умозаключение

Одна более простая форма мышления входит в другую более сложную. Понятие − простейшая форма. Из понятий образуются суждения. А из суждений складывается более сложная форма − умозаключение.

Умозаключение состоит из двух или нескольких суждений, называемых посылками, из которых складывается новое суждение, называемое заключением (выводом). Каждая посылка должна представлять собой истинное суждение. Посылки должны быть связаны между собой. Тогда мы получим истинный вывод.

Например:

Все живые организмы питаются влагой.

Все животные − это живые организмы.

     Все животные питаются влагой.

Пример ложного вывода (ложность первой посылки приводит к ложному выводу):

Все насекомые − это млекопитающие животные.

Все бабочки − это насекомые.

      Все бабочки − это млекопитающие животные.

Если посылки не связаны между собой, то вывод сделать невозможно:

Все звезды − это небесные тела.

Все березы являются деревьями.

        ?

Умозаключения

Дедуктивные        Индуктивные        Умозаключения по аналогии

Схема 11

Дедуктивные умозаключения (дедукция) (от лат. dtductio − выведение) − это умозаключения, в которых из общего правила выводится частный случай.

Индуктивные умозаключения (индукция) (от лат. inductio − наведение) − это умозаключения, в которых из нескольких частных случаев выводится общее правило.

Умозаключения по аналогии (аналогия) (от лат. analogia − соответствие) − это умозаключения, в которых на основе сходства предметов (объектов) в одних признаках делается вывод об их сходствах и в других признаках.

Дедукция:

Все звезды излучают энергию.

Солнце − это звезда.

      Солнце излучает энергию.

Индукция:

Меркурий движется.

Земля движется.

Венера движется.

Меркурий, Земля, Венера − это планеты.

       Все планеты движутся.

Аналогия:

Планета Земля расположена в солнечной системе, на ней есть атмосфера, вода и жизнь.

Планета Марс расположена в солнечной системе, на ней есть атмосфера и вода.

     Вероятно, на Марсе есть жизнь.

Дедукция − это сужающееся знание, разбор старого и известного, а индукция и аналогия − это расширяющиеся знания, способные приводить к новому. В первом случае ошибки исключены, и знания достоверны, а в двух других случаях знания вероятностны, т.к. в группе частных случаев всегда возможны исключения из правила.

3.2. Категорический силлогизм

Все дедуктивные умозаключения называются силлогизмами (от греческого sillogismos − подсчитывание, подытоживание, выведение следствия)

Большая посылка силлогизма

Меньшая посылка силлогизма

                                                 Вывод

Схема 12

На схеме 12 показано строение силлогизма, состоящего из большой посылки, меньшей посылки и вывода. Например:

Все цветы (M) − это растения (P).

Ромашки (S) − это цветы (M).

      Все ромашки (S) − это растения (P).

В каждом простом силлогизме мы наблюдаем меньший термин (здесь это ромашки), средний термин (здесь это цветы) и больший термин (здесь это растения).

Т.к. в дедуктивном методе, на котором построен силлогизм, мы идем от общего правила к частному случаю, то субъект вывода является меньшим термином (он обозначается буквой S), а предикат вывода является большим термином (он обозначается буквой P). Средний связующий термин обозначается латинской буквой М (от лат. medium − средний).

Три термина силлогизма могут располагаться относительно друг друга по-разному. Взаимное расположение данных терминов называется фигурой простого силлогизма. Таких фигур четыре, т.е. все возможные варианты взаимного расположения терминов в силлогизме исчерпываются четырьмя комбинациями.

1 фигура силлогизма:

M                                                            P

S                                                             M

S                                                             P

Схема 13

            Пример:    Все цветы (M) − это растения (P).

                              Ромашки (S) − это цветы (M).

           Все ромашки (S) − это растения (P).

2 фигура силлогизма:

P                                                            M

S                                                             M

S                                                             P

Схема 14

    Пример: Все растения (P)  способны к автотрофному питанию (M).

                    Все бабочки (S) не способны к автотрофному питанию(M).

           Бабочки (S) − это не растения (P).

3 фигура силлогизма:

M                                                             P

          M                                                                       S                          

S                                                             P

Схема 15

            Пример:    Все ромашки (M) − это цветы(P).

                              Все ромашки(M) − это травянистые растения (S).

           Некоторые травянистые растения (S) − это цветы(P).

4фигура силлогизма:

P                                                            M

M                                                             S

S                                                             P

Схема 16

            Пример:    Все цветы (P)− это  растения(M).

                              Все растения (M) − это не животные(S).

           Все животные (S) − это не цветы(P).

Каждое из суждений простого силлогизма (две посылки и вывод) является простым и принадлежит к одному из четырех видов (A, I, E, O) Набор простых суждений называется модусом простого силлогизма. Например, модусы ААА, ЕАЕ, ААI и т.д. Всего модусов в каждой отдельной фигуре 64 (т.е.возможных комбинаций простых суждений в силлогизме), а во всех четырех фигурах 256. Однако из этих 256 модусов только 19 дают достоверные выводы. Данные модусы называются правильными , а остальные неправильными. Поэтому очень важно определять фигуру и модус любого простого силлогизма.

3.3. Общие правила силлогизма

Существуют частные и общие правила построения силлогизма. Частные правила действуют только для каждой фигуры и поэтому часто называются правилами фигур. Общие правила применимы ко всем простым силлогизмам, независимо от того, по какой фигуре они построены. Рассмотрим общие правила силлогизма.

1. В силлогизме должно быть только три термина, ни один из терминов не должен допускать двусмысленности. Например:

Движение вечно.

Хождение в школу − это движение.

     Хождение в школу вечно.

Обе посылки истинны, однако вывод получается ложный, потому что слово движение употребляется в двух посылках в разных значениях: движение как всеобщее мировое изменение и движение как перемещение из одной точки пространства в другую. Лишний смысл подразумевает лишний термин, поэтому данная ошибка и называется учетверением терминов.

2. Средний термин должен быть распределен хотя бы в одной из посылок. Например:

Все мои друзья знают русский язык.

Нынешний президент России знает русский язык.

→ Нынешний президент России − мой друг.

Из двух истинных посылок вытекает ложный вывод, потому что средний термин знание русского языка не распределен ни в одной посылке.

3. Термин, который был нераспределен в посылке, не может быть распределен в выводе. Например:

Все персики − съедобные предметы.

Все абрикосы − это не персики.

     Все абрикосы − несъедобные предметы.

Посылки истинны, а вывод ложный, потому что предикат вывода или больший термин силлогизма съедобные предметы расширился: в первой посылке он был нераспределен, а в выводе − распределен.

4. В силлогизме не должно быть двух отрицательных посылок. Хотя бы одна из посылок силлогизма должна быть положительной. Например:

Летчики не могут иметь плохое зрение.

Все мои друзья − не летчики.

       Все мои друзья имеют плохое зрение.

Обе посылки отрицательные, и, несмотря на их истинность, из них вытекает ложный вывод.

5. В силлогизме не должно быть двух частных посылок. Хотя бы одна из посылок должна быть общей.

Некоторые школьники − это спортсмены.

Некоторые школьники − это музыканты.

         ?

Из этих посылок никакой вывод не следует, потому что обе они являются частными.

6. Если одна из посылок отрицательная, то и вывод должен быть отрицательным. Например:

Ни один металл не является изолятором.

Золото − это металл.

        Золото не является изолятором.

Как видим, из этих двух посылок вывод может быть только отрицательным.

7. Если одна из посылок частная, то и вывод должен быть частным. Например:

Все углеводороды − это органические соединения.

Некоторые вещества − это углеводороды.

       Некоторые вещества − это органические соединения.

В этом силлогизме из двух посылок вывод может быть только частным.

3.4. Разновидности силлогизмов

При употреблении силлогизма мы часто не соблюдаем его четкую структуру, склоняясь к сокращению. Например:

Все рыбы не являются млекопитающими.

Все дельфины являются млекопитающими.

         Следовательно, все дельфины не являются рыбами.

Вместо этого мы скажем: Все дельфины не рыбы, т.к. они млекопитающие или Все дельфины не рыбы, потому что рыбы не млекопитающие.

Рассмотрим разновидности силлогизмов, использующих в своей структуре сокращения.

Разновидности силлогизмов

Энтимема        Эпихейрема       Полисиллогизм       Сорит

Схема 17

Энтимема (греч. enthymema − мысль, выдумка, внушение) это простой силлогизм, в котором пропущена одна из посылок или вывод. Например:

Все металлы электропроводны.

Золото − это металл.

      Золото электропроводно.

Из данного силлогизма следует три энтимемы:

1. Золото электропроводно, т.к. оно является металлом. (Пропущена большая посылка)

2. Золото электропроводно, потому что все металлы электропроводны. (Пропущена меньшая посылка)

3. Все металлы электропроводны, а золото − это металл. (Пропущен вывод)

Эпихейрема (греч. epiheirema − умозаключение) сокращенный силлогизм, в котором обе посылки представляют собой энтимемы.

Силлогизм 1:

Безнравственность заслуживает презрения.

Ложь − безнравственна.

          Ложь заслуживает презрение

Энтимема 1: Ложь заслуживает презрения, т.к. она безнравственна.

Силлогизм 2:

Умышленное извращение истины есть ложь.

Лесть − это умышленное извращение истины.

       Лесть есть ложь.

Энтимема 2: Лесть есть ложь, т.к. она умышленное извращение истины.

Теперь расположим энтимемы друг за другом, сделаем вывод и получим новый силлогизм:

Ложь заслуживает презрения, т.к. она безнравственна.

Лесть есть ложь, т.к. она умышленное извращение истины.

        Лесть заслуживает презрения.

Полисиллогизм (сложный силлогизм) − это два или несколько простых силлогизмов, связанных между собой таким образом, что вывод одного из них является посылкой следующего. Например:

Все, что развивает мышление, полезно.

Все интеллектуальные игры развивают мышление.

      Все интеллектуальные игры полезны.

Шахматы − это интеллектуальная игра.

      Шахматы полезны.

Вывод предыдущего силлогизма стал большей посылкой последующего. Такой полисиллогизм называется прогрессивным. Если вывод предыдущего силлогизма станет меньшей посылкой последующего, то такой полисиллогизм будет называться регрессивным. Например:

Все звезды − это небесные тела.

Солнце − это звезда.

      Солнце − это небесное тело.

Все небесные тела участвуют в гравитационных взаимодействиях.

Солнце − это небесное тело.

      Солнце участвует в гравитационных взаимодействиях.

Вывод предыдущего силлогизма стал меньшей посылкой последующего.

Сорит (греч. sōritēs кучеобразный) − это цепь последовательных силлогизмов, в которых заключение является одной из посылок следующего за ним силлогизма, при этом одна из посылок не выражается в явной форме.

Возьмем приведенный ранее пример прогрессивного силлогизма и пропустим в нем большую посылку второго силлогизма. Получится прогрессивный сорит:

Все, что развивает мышление, полезно.

Все интеллектуальные игры развивают мышление.

Шахматы − это интеллектуальная игра.

     Шахматы полезны.

Вот другой известный пример  регрессивного сорита из "Логики" Уэтли:

Англичане − мужественный народ.

Мужественный народ свободен.

Свободный народ богат.

        Следовательно, англичане богатые.

3.5. Разделительно-категорический силлогизм

Умозаключение, которое содержит в себе разделительные (дизъюнктивные) суждения, называется разделительно-категорическим силлогизмом или разделительно-категорическим умозаключением.

Разделительно-категорический силлогизм

Утверждающе-отрицающий               Отрицающе-утверждающий

модус                                                      модус

Схема 18

На схеме 18 показано, что разделительно-категорический силлогизм имеет два модуса: утверждающе-отрицающий и отрицающе-утверждающий.

В утверждающе-отрицающем силлогизме первая посылка являет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, вторая утверждает один из них, а вывод отрицает все остальные варианты.

В отрицающе=утверждающем модусе первая посылка также представляет собой строгую дизъюнкцию нескольких вариантов чего-либо, вторая отрицает все данные варианты, кроме одного, а вывод утверждает один оставшийся вариант. Например:

Утверждающе-отрицающий модус:

Учебное заведение может быть начальным, или средним, или высшим.

МГУ является высшим учебным заведением.

      МГУ − это не начальное и не среднее учебное заведение.

Отрицающе-утверждающий модус:

Учебное заведение может быть начальным, или средним, или высшим.

МГУ − не начальное и не среднее учебное заведение.

      МГУ является высшим учебным заведением.

Первая посылка разделительно-категорического силлогизма является строгой дизъюнкцией, т.е. представляет собой логическую операцию деления понятия. Поэтому правила этого силлогизма повторяют известные нам правила деления понятия.

Разделительно-категориеский силлогизм:

Деление понятия в первой посылке

Одно основание                                                                     Полнота деления

Отсутствие пересечения результатов               Последовательность деления

Схема 19

Рассмотрим все ошибочные варианты деления понятия в первой посылке разделительно-категорическогосиллогизма.

1. Люди бывают талантливыми, или бесталанными, или упрямыми.

Он является упрямым человеком.

      Он не талантлив и небесталанен.

Ошибка − подмена основания деления. Деление в первой посылке должно проводиться по одному основанию.

2.Четырехугольники бывают квадратами, или ромбами, или трапециями.

Эта фигура −не ромб и не трапеция.

      Эта фигура −квадрат.

Ошибка − неполное деление. Деление в первой посылке должно быть полным.

3. Можно изучать естественные науки или гуманитарные.

Я изучаю естественные науки.

      Я не изучаю гуманитарные науки.

Ошибка − пересечение результатов деления, или нестрогая дизъюнкция. Результаты деления в первой посылке не должны пересекаться, или дизъюнкция должна быть строгой.

4. Предложения бывают простыми, или сложными, или сложносочиненными.

Это предложение сложносочиненное.

     Это предложение не простое и не сложное.

Ошибка − скачок в делении. Деление в первой посылке должно быть последовательным.

3.6. Умозаключения с союзом ЕСЛИ...ТО

В мышлении и речи часто используется условно-категорический силлогизм, название которого свидетельствует о том, что в нем первая посылка является условным (импликативным) суждением, а вторая посылка − простым категорическим.

Подобно разделительно-категорическому силлогизму условно-категорический силлогизм имеет два модуса: утверждающий и отрицающий.

Условно-категорический силлогизм

Утверждающий модус            Отрицающий модус

Схема 20

В утверждающем модусе первая посылка является импликацией, вторая посылка утверждает основание импликации, а в выводе утверждается следствие.

В отрицающем модусе первая посылка − также импликация, вторая посылка отрицает следствие, а в выводе отрицается основание.

Утверждающий модус:

Если вещество −металл, то оно электропроводно.

Данное вещество −это металл.

        Данное вещество электропроводно.

Отрицающий модус:

Если вещество −металл, то оно электропроводно.

Данное вещество не электропроводно.

        Данное вещество − не металл.

Существуют два правила условно-категорического силлогизма, связанные с определенной особенностью импликативного суждения. В импликативном суждении нельзя менять местами основание и следствие. Например, высказывание Если вещество − металл, то оно электропроводно является верным. Однако высказывание Если вещество электропроводно, то оно − металл неверно, т.к. не все электропроводники являются металлами.

Правила условно-категорического силлогизма:

1.Утверждать можно только от основания к следствию.

2. Отрицать можно только от следствия к основанию.

Примеры:

Если небесное тело является планетой Солнечной системы, то оно движется вокруг солнца.

Комета Галлея движется вокруг солнца.

       Комета Галлея является планетой солнечной системы.

Ошибка − утверждение от следствия к основанию.

Если геометрическая фигура является квадратом, то у нее все стороны равны.

Равносторонний треугольник не является квадратом.

       У равностороннего треугольника стороны не равны.

Ошибка − отрицание от основания к следствию.

Подобные ошибки невозможны в эквивалентно-категорическом силлогизме, в котором первой посылкой силлогизма является не импликация, а эквиваленция, где обе части суждения тождественны (эквивалентны ) друг другу. Например:

Если число четное, то оно делится без остатка на 2.

Число 16 − четное.

      Число 16 делится без остатка на 2. (Утверждение от основания к следствию)

И наоборот:

Если число четное, то оно делится без остатка на 2.

Число 16 делится на 2.

       Число 16 − четное. (Утверждение от следствия к основанию)

3.7. Условно-разделительные умозаключения

Кроме разделительно-категорических, условно-категорических и эквивалентно-категорических силлогизмов существуют условно-разделительные умозаключения.

В условно-разделительном силлогизме первая посылка является условным или импликативным суждением, а вторая посылка − это разделительное или дизъюнктивное суждение, причем в условном суждении возможно большее количество оснований и следствий. Например, в суждении Если я выступлю против окружающей меня несправедливости, то останусь человеком, хотя жестоко пострадаю; если равнодушно пройду мимо нее, то перестану себя уважать, хотя и буду цел и невредим; а если стану всячески содействовать ей, то превращусь в животное, хотя и достигну материального и карьерного благополучия из трех оснований вытекает три следствия.

В зависимости о количества оснований или следствий в первой посылке условно-разделительного силлогизма выделяют дилемму, трилемму, полилемму.

Условно-разделительный силлогизм

Дилемма                 Трилемма                Полилемма

Схема 21

В дилемме два основания или следствия, в трилемме − три, а в полилемме больше трех оснований или следствий. Чаще всего в мышлении и речи мы употребляем дилеммы. Поэтому именно на дилемме мы рассмотрим условно-разделительный силлогизм.

Дилемма

Конструктивная дилемма                    Деструктивная дилемма

простая                       сложная                простая                   сложная

Схема 22

Дилемма может быть конструктивной (утверждающей) и деструктивной (отрицающей). Каждый из этих видов дилеммы в свою очередь делится на две разновидности: простую и сложную.

В первой посылке простой конструктивной дилеммы из двух оснований вытекает одно следствие, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию оснований, в выводе утверждается следствие первой посылки.

В первой посылке сложной конструктивной дилеммы из двух оснований вытекают два следствия, вторая посылка представляет собой также дизъюнкцию оснований, вывод является сложным суждением в виде дизъюнкции следствий.

Пример простой конструктивной дилеммы:

Если поступить в математическую школу, то надо много заниматься, и, если поступить в музыкальную школу, то тоже надо много заниматься.

Можно поступить в математическую или музыкальную школу.

        Надо много заниматься.

Пример сложной конструктивной дилеммы:

Если ученик внимателен на уроке, то он учится хорошо, а если он отвлекается, то учится плохо.

Ученик может быть внимательным, а может и отвлекаться.

        Ученик может учиться хорошо или плохо.

В первой посылке простой деструктивной дилеммы из одного основания вытекают два следствия, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний следствий, а в выводе отрицается основание.

В первой посылке сложной деструктивной дилеммы из двух оснований вытекают два следствия, вторая посылка представляет собой дизъюнкцию отрицаний следствий, а вывод является сложным суждением в виде дизъюнкции отрицаний оснований.

Пример простой деструктивной дилеммы:

Если увлекаться азартными играми, то можно потерпеть полный крах или же влачить жалкое существование.

Он не хочет потерпеть полный крах или влачить жалкое существование.

       Он не увлекается азартными играми.

Пример сложной деструктивной дилеммы:

Если скорость Земли при ее движении по орбите была бы больше 42 км/с, то она покинула бы солнечную систему, а если ее скорость была бы меньше 3 км/с, то она "упала" бы на солнце.

Земля не покидает солнечную систему и не "падает" на солнце.

      Скорость Земли при ее движении по орбите не больше 42 км/с и не меньше 3 км/с.

3.8. Индуктивные умозаключения

В индукции рассуждение идет от множества частных случаев к общему правилу.

Индукция бывает полной и неполной. В полной индукции перечисляются все объекты какой-либо группы и делается вывод обо всей этой группе. Выводы полной индукции достоверны. В неполной индукции перечисляется лишь часть объектов группы, а выводы делаются обо всей группе. Понятно, что выводы неполной индукции вероятностны. Полная индукция встречается редко, поэтому под индуктивными умозаключениями обычно подразумевается неполная индукция.

Чем выше степень вероятности выводов, тем они достовернее. Для этого следует соблюдать следующие важные правила:

1. Необходимо подбирать как можно больше исходных посылок.

2. Посылки должны быть разнообразными.

3.Необходимо делать вывод только на основе существенных признаков.

Допустим, нужно проверить уровень успеваемости учащихся одного класса, в данном случае возможно проверить каждого ученика и индукция будет полной. Если же мы будем проверять всю школу (примерно 1000 учащихся), то можно использовать метод неполной индукции и протестировать только часть учащихся и сделать общий вывод об уровне успеваемости в данной школе.

Очевидно, что чем больше учеников будет подвержено тестированию, тем более надежной будет база для индуктивного обобщения, т.е. необходимо подбирать как можно больше исходных посылок.

Однако количество все не решает, ведь если в группу тестируемых попадут только неуспевающие ученики школы, то мы придем к ложному индуктивному выводу об успеваемости во всей школе. Поэтому необходимо подбирать разнообразные посылки, т.е. в нашем случае контингент учащихся должен быть подобран по определенной системе, например, по успеваемости, тестируя группы успевающих учащихся отдельно, группы неуспевающих учащихся отдельно, при этом рассматривая процентное соотношение между этими двумя группами.

 Но и этого не достаточно, не должно быть ни завышенной планки, ни заниженной, необходимо делать вывод только на основе существенных признаков. Например, тестирование по английскому языку учащихся 4 класса общеобразовательной школы по программам специальной английской школы не может дать корректных результатов (это завышенная планка), в то же время тестирование учащихся 4 класса специальной английской школы по требованиям общеобразовательной школы не будет истинным (заниженная планка). Необходимо выявить существенные признаки для каждой среды и протестировать в соответствии с учебниками и количеством часов в учебном плане, отводимым на данный предмет в том или ином учебном заведении.

Любую индуктивную ошибку можно рассматривать как результат одновременного нарушения всех правил, и в то же время нарушение одного правила можно представить как причину, приводящую к любой из ошибок.

Первая ошибка называется поспешным обобщением, когда на основании признаков некоторых объектов делается ложное умозаключение о всей группе:

А. учится хорошо.

Б. учится хорошо.

В. учится хорошо.

А., Б., В. − это ученики 4 "А".

       Все ученики 4 "А" учатся хорошо.

Неудивительно, что поспешное обобщение лежит в основе многих голословных утверждений, сплетен и слухов.

Вторая ошибка является подменой временной связи на причинно-следственную связь, когда мы говорим, что одно событие обязательно является причиной другого, только лишь  потому что оно произошло раньше другого. Например:

Позавчера двоечнику А. перебежала дорогу черная кошка, и он получил двойку.

Вчера двоечнику А. перебежала дорогу черная кошка, и его родителей вызвали в школу.

Сегодня двоечнику А. перебежала дорогу черная кошка, и его исключили из школы.

   Во всех несчастьях двоечника А. виновата черная кошка.

Данная ошибка лежит в основе всех суеверий и мистификаций.

Третья ошибка, наиболее распространенная, называется подменой условного безусловным. Не всегда то, что повторяется в одних условиях, повторяется в других. Например:

Дома вода кипит при температуре 100 ̊С.

На улице вода кипит при температуре 100 ̊С.

В лаборатории вода кипит при температуре 100 ̊С.

       Вода везде кипит при температуре 100 ̊С.

Однако высоко в горах вода кипит при более низкой температуре, а на Марсе температура кипящей воды была бы равна примерно 45 ̊С. То, что проявляется в одних условия, может не проявляться в других. В посылках рассмотренного примера присутствует условное (происходящее в определенных условиях), которое подменяется безусловным (происходящим во всех условиях одинаково, не зависящим от них).

Следует заметить, что неполная индукция может быть популярной и научной. В популярной индукции достаточно наблюдения и простого перечисления фактов, а в научной индукции важно знать причину происходящих событий. Поэтому выводы научной индукции более точные и достоверные. Поэтому очень важно находить причинно-следственные связи и зависимости в окружающем нас мире.

3.9. Методы установления причинных связей

В логике рассматриваются четыре метода установления причинных связей. Впервые их выдвинул английский философ XVII века Фрэнсис Бэкон, а всесторонне разработаны они были в XIX веке английским логиком и философом Джоном Стюартом Миллем.

Методы установления причинных связей:

1. Метод единственного сходства.

2.Метод единственного различия.

3. Метод сопутствующих изменений

4. Метод остатков.

Рассмотрим каждый из методов.

1. Метод единственного сходства. Данный метод строится по следующей схеме:

При условиях АБВ возникает явление х.

При условиях АГД возникает явление х.

При условиях АЕЖ возникает явление х.

     Вероятно, условие А −это причина явления х.

В трех рассматриваемых ситуациях есть повторяющееся условие А. Это повторяющееся условие является единственным сходством. Т.к во всех ситуациях возникает явление х, мы можем сделать вероятностный вывод о том, что условие А представляет собой причину явления х.

2. Метод единственного различия. Данный метод строится по следующей схеме:

При условиях АБВГ возникает явление х.

При условиях БВГ  не возникает явление х.

        Вероятно, условие А −это причина явления х.

Две ситуации имеют единственное различие: в первой условие А присутствует, а во второй отсутствует. Причем в первой ситуации явление х возникает, а во второй не возникает. На основании этого можно предположить, что условие А является причиной явления х.

3. Метод сопутствующих изменений. Данный метод строится по следующей схеме:

При условиях А¹БВГ возникает явление х¹.

При условиях А²БВГ возникает явление х².

При условиях А³БВГ возникает явление х³

      Вероятно, условие А − это причина явления х.

Изменению условия А сопутствуют изменения условия х (при неизменности прочих условий), в силу чего можно предположить, что данное условие и указанное явление объединены причинно-следственной связью.

4. Метод остатков. Данный метод строится по следующей схеме:

При условиях АБВ возникает явление ЭЮЯ.

Известно, что часть Ю из явления ЭЮЯ вызывается условием Б.

Известно, что часть Я из явления ЭЮЯ вызывается условием В.

      Вероятно, условие А −это причина явления Э.

В данном случае происходящее явление разбито на составные части и известна причинная связь каждой из них, кроме одной с каким-либо условием. Имя в остатке одну часть из возникающего явления и только одно условие из совокупности условий, порождающих это явление, можно предположить, что оставшееся условие представляет собой причину оставшейся части рассмотренного явления.

3.10. Аналогия как вид умозаключения

В умозаключениях по аналогии на основе сходства предметов в одних признаках делается вывод об их сходстве и в других признаках. Структуру аналогии можно представить следующей схемой:

Предмет А имеет признаки a, b, c, d.

Предмет В имеет признаки  a, b, c.

      Вероятно, предмет В имеет признак d.

В данной схеме А и В − это сравниваемые предметы (объекты); a, b, c − сходные признаки; d − это переносимый признак.

Умозаключения по аналогии

Аналогия свойств                       Аналогия отношений

Схема 23

Умозаключения по аналогии делятся на два вида: аналогия свойств и аналогия отношений.

В аналогии свойств сравниваются два предмета, а переносимым признаком является какое-либо свойство этих предметов.

В аналогии отношений сравниваются две группы предметов, а переносимым признаком является какое-либо отношение между предметами внутри этих групп.

Пример аналогии свойств:

Роман Жюля Верна "Таинственный остров", отличающийся динамичным сюжетом и любовью к научным открытиям, мне очень понравился.

Я хотела бы прочитать роман Жюля Верна "Двадцать тысяч лье под водой". Я знаю, что этот роман посвящен ученому-конструктору подводной лодки, капитану Немо.

     Вероятно, этот роман мне тоже понравится.

Пример аналогии отношений:

В математике числовое значение дроби обратнопропорционально значению знаменателя, чем больше знаменатель, тем меньше дробь.

Человека можно сравнить с математической дробью. Числовое значение дроби − это то, что он представляет собой на самом деле, а знаменатель − то, что он о себе думает.

    Вероятно, что чем выше человек себя оценивает, тем хуже он становится на самом деле.

В силу вероятностного характера своих выводов аналогия близка к индукции, поэтому правила для повышения степени вероятности выводов напоминают правила неполной индукции:

1. Вывод следует делать на основе возможно большего количества сходных признаков уподобляемых предметов.

2. Признаки уподобляемых предметов должны быть разнообразными.

3. Сходные признаки должны быть существенными для сравниваемых предметов.

4. Должна присутствовать закономерная связь между сходными признаками и переносимым признаком.(Если переносимый признак не связан закономерно со сходными признаками, то вывод заключения по аналогии может оказаться ложным).

Пожалуй, с точки зрения учителя, умозаключения по аналогии − наиболее продуктивные. Аналогия − прекрасное средство иллюстрации и разъяснения какого-либо сложного материала. Часто аналогия наводит на научные и технические открытия. Так , на основе аналогии отношений построены многие выводы в бионике − науке, которая занимается изучением объектов и процессов живой природы для создания различных технических приспособлений. Принцип передвижения пингвинов стал основой для построения машин-снегоходов, восприятие медузой инфразвука с частотой 8-13 колебаний в секунду помогло созданию электронного аппарата, способного предсказывать шторм за 15 часов, ориентация летучей мыши по ультразвуковым колебаниям помогла сконструировать радиолокаторы, обнаруживающие различные объекты и точно определяющие их расположение независимо от погодных условий и т.д.

Итак, умозаключения по аналогии достаточно широко распространены как повседневном, так и в научном мышлении.

4. Основные законы логики

4.1.Закон тождества

Наиболее важный закон логики − это закон тождества. Закон тождества утверждает, что любая мысль обязательно должна быть тождественна самой себе, она не должна допускать двусмысленности, уклонения от темы. Нельзя отождествлять (уравнивать) нетождественные ситуации, объекты, явления, события, идеи и т.п. При нарушении этого закона логики часто теряется смысл фразы, или фраза приобретает комический оттенок.

Например непонятен смысл фразы Из-за рассеянности на турнирах шахматист неоднократно терял очки. Непонятно, о чем идет речь: то ли об очках как приборе для зрения, то ли о спортивных баллах. Две нетождественные ситуации представлены в этом высказывании как тождественные.

Нарушение закона тождества также лежит в основе многих известных нам с детства задач и головоломок Например, мы спрашиваем собеседника Отчего (от чего) плывет лодка? − преднамеренно создавая двусмысленность в вопросе: 1) отчего − в смысле зачем, по какой причине;

          2) от чего − в смысле от какого объекта.

Собеседник пытается ответить на первый вопрос, а мы предполагаем ответ на второй: от берега.

В основе всех фокусов также лежит нарушение законов тождества. Эффект любого фокуса заключается в том, что фокусник делает что-то одно, а зрители думают совершенно другое. При раскрытии фокуса мы удивляемся тому, насколько же прост был секрет. Итак, зритель думает одно, фокусник делает другое, и между первым и вторым нельзя поставить знак равенства, т.е. нарушается закон тождества.

4.2.Закон противоречия

Закон противоречия тоже является одним из основных законов логики. Он говорит о том, что если одно суждение что-то утверждает, а другое то же самое отрицает об одном и том же объекте, в одно и то же время и в одном и том же отношении, то они не могут быть одновременно истинными. Иначе говоря, логический закон противоречия запрещает что-либо утверждать и то же самое отрицать одновременно.

Противоречия

контактные                                                           дистантные

явные                       неявные

Схема 24

С одной стороны, принцип непротиворечивости мышления очевиден. Однако противоречия неочевидные и малозаметные встречаются нередко и создают значительные коммуникативные помехи.

Согласно схеме 24 мы можем поделить противоречия на контактные и дистантные, явные и неявные. В контактном противоречии утвердительное и отрицательное суждения следуют друг за другом, а в дистантном − между противоречивыми суждениями находится значительный интервал в речи или в тексте. Например, в начале доклада лектор выдвигает одну идею, а в конце высказывает мысль, прямо противоположную первоначальному суждению.

Когда мы сравниваем явные и неявные противоречия, то в первом случае одна мысль непосредственно противоречит другой, а во втором случае противоречие вытекает из контекста. Естественно, неявные противоречия как и дистантные являются более незаметными.

Итак, получается четыре вида противоречий: контактные и явные, контактные и неявные, дистантные и явные, дистантные и неявные.

Пример контактного и явного противоречия может использоваться только в комическом аспекте: Пожилая дама юных лет изящной походкой гимнастки, прихрамывая, вышла на сцену.

Другие виды противоречий менее заметны, однако стоит обратить на них внимание. Контактное и неявное противоречие: Эта выполненная на бумаге рукопись создана в Древней Руси в IX веке (в IX веке на Руси еще не было бумаги).

Дистантное явное противоречие: В первый период творчества Маяковский ничем не отличался от футуристов а через несколько страниц: Уже с самого начала своего творчества Маяковский обладал качествами, которые существенно отличали его от представителей футуризма. Если мы заменим словосочетание второго высказывания от представителей футуризма  на неявное от создателей искусства будущего, отрицавших традиционную культуру, то мы получим дистантное неявное противоречие.

Дистантные и неявные противоречия довольно часто встречаются в различных сферах мышления и жизни. Поэтому простой и даже примитивный на первый взгляд принцип непротиворечивости мышления имеет статус важного логического закона.

4.3.Закон исключенного третьего

Для противоречащих суждений существует закон исключенного третьего, который говорит о том, что два противоречащих суждения об одном и том же предмете, в одно и то же время и в одном и том же отношении не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными (истинность одного из них обязательно означает ложность другого и наоборот). Возникает вопрос, о каком исключенном третьем идет речь?

Третий вариант возможен не в противоречащих суждениях, а в противоположных.

 Например, для суждений Этот мужчина высокого роста и Этот мужчина невысокого роста мы не найдем третьего промежуточного варианта. Это пример противоречащих суждений.  

А для суждений Этот мужчина высокого роста и Этот мужчина низкого роста возможен третий промежуточный вариант: Этот мужчина среднего роста. Здесь речь идет о противоположных суждениях. Именно в силу наличия третьего варианта противоположные суждения могут быть одновременно ложными (как в нашем примере: если истинно, что Этот мужчина среднего роста, то два другие суждения Этот мужчина высокого роста и Этот мужчина низкого роста являются одновременно ложными).

Итак, закон исключенного третьего исключает третий промежуточный вариант для противоречащих суждений, поэтому они не могут быть не только одновременно истинными, но и одновременно ложными.

Этот закон используется в художественной литературе , создавая комичный эффект. Дмитрий Алексеевич Гусев в своей книге "Удивительная логика" приводит замечательный пример из пьесы известного французского драматурга Ж.-Б. Мольера "Мещанин во дворянстве":

Г-н Журден. ...А теперь я должен открыть вам секрет. Я влюблен в одну великосветскую даму, и мне хотелось бы, чтобы вы помогли написать ей записочку, которую я собираюсь уронить к ее ногам.

Учитель философии. Конечно, вы хотите написать ей стихи?

Г-н Журден. Нет, нет, только не стихи.

Учитель философии. Вы предпочитаете прозу?

Г-н Журден. Нет, я не хочу ни прозы, ни стихов.

Учитель философии. Так нельзя: или то, или другое.

Г-н Журден. Почему?

Учитель философии. По той причине, сударь, что мы можем излагать свои мысли не иначе, как прозой или стихами.

Г-н Журден. Не иначе как прозой или стихами?

Учитель философии. Не иначе, сударь. Все, что не проза, то стихи, а что не стихи, то проза.^[1]

4.4.Закон достаточного основания

Наряду с законами тождества, противоречия, и исключенного третьего существует закон достаточного основания, который утверждает, что любая мысль (тезис), для того, чтобы иметь силу, обязательно должна быть доказана (обоснована) какими-либо аргументами (основаниями). Эти основания должны быть достаточными для доказательства исходной мысли. Тезис должен с необходимостью следовать из оснований.

Закон достаточного основания, требуя от любого рассуждения доказательной силы, предостерегает нас от поспешных выводов, голословных утверждений, дешевых сенсаций, мистификаций, слухов, сплетен и небылиц.

Запрещая принимать что-либо только на веру, закон достаточного основания выступает надежной преградой для любого интеллектуального мошенничества. Неслучайно он является одним из главных принципов науки.

На протяжении всей истории развития человечества науку сопровождала псевдонаука (алхимия, астрология, физиогномика, нумерология и т.д.). Поэтому наука выработала два надежных критерия, по которым можно отличить научное знание от псевдонаучного.

Научные принципы

    Верификация                                  Фальсификация

 (лат. veritas −истина)                       (лат. false −ложь)

Схема 25

Принцип верификации был предложен известным английским философом и ученым XX века Бертраном Расселом. Этот принцип предписывает расценивать как научное только то знание, которое можно подтвердить (так или иначе, прямо или косвенно, раньше или позже).

Однако иногда псевдонауки так искусно выстраивают свои аргументы, что создается иллюзия истинности их доводов. Поэтому принцип верификации дополняется вторым критерием, который был предложен крупным немецким философом ХХ века Бертраном Поппером. Это принцип фальсификации, согласно которому только то знание можно считать научным, которое можно опровергнуть (так или иначе, прямо или косвенно, раньше или позже).

На первый взгляд роль второго принципа непонятна. Однако во взаимодействии этих двух принципов заложено непрерывное научное развитие. Любой честный ученый скажет: "Мои идеи и утверждения когда-либо будут опровергнуты и уступят место новым, более верным представлениям.". А что будет заявлять псевдоученый: "Моя наука древняя, тысячелетняя, она впитала в себя мудрость веков, и в ней ничто не подлежит опровержению". Таким образом, псевдоученые даже если обойдут принцип верификации, не могут справиться с принципом фальсификации. Честная наука движется вперед, а различные псевдонауки остаются сегодня на том же уровне, что и на заре человеческой истории (современные астрологи, нумерологи, уфологи, парапсихологи, экстрасенсы и целители говорят человеку примерно то же самое, что и древние шаманы, маги и колдуны)

Итак, если какое-то знание невозможно ни подтвердить (верифицировать), ни опровергнуть (фальсифицировать), то оно является околонаучным, псевдонаучным, лженаучным, паранаучным, т.е. ненаучным.

Учитель должен предавать научные знания последующим поколениям.

"Мои утверждения, − скажет он, − подтверждаются ныне так-то и тем-то, но пройдет время, и они уступят место новым представлениям, более основательным и более верным". Передавая научный опыт поколений, мы закладываем дальнейшее развитие научной мысли.

Заключение

Итак, основные разделы логики о формах и законах правильного мышления рассмотрены. Мы получили элементарное представление о таких категориях как понятие, суждение, умозаключение, закон тождества, закон противоречия, закон исключенного третьего, закон достаточного основания.

Сквозь призму данных знаний мы можем осознавать более ясно структуру любого учебного предмета. Ведь каждый из них базируется на понятиях, суждениях, умозаключениях и основных четырех законах логики. Логическая стройность и ясность нашего мышления позволит воспитать логическую культуру высказываний наших учеников, что поможет им четко и безошибочно ориентироваться в любой научной системе и выходить к новым открытиям будущего.

Можно заметить, что логика присуща каждому человеку, независимо от того, изучал он ее или нет. Такие выражения, как : Это нелогично; В его действиях нет никакой логики; А где же логика? − весьма распространены. Мы все так или иначе пользуемся логикой в общении независимо от пола, возраста, национальности, социальной среды, исторической эпохи и прочих факторов. Однако в большей степени это происходит интуитивно.

Практически к 6-7 годам дети начинают выводить свои первые умозаключения и на интуитивном уровне осознавать корректность или некорректность логических высказываний взрослых. Например, даже ребенок поймет нелепость высказывания: Я иду в новом платье, а ты идешь в школу. Он выразится корректно: Я иду в новом платье, а ты идешь в новых шортах.  или Я иду в детский сад, а ты идешь в школу. Изучавший логику, скажет, что в первом случае был нарушен закон тождества: смешались две различные ситуации идти в какой-то одежде и идти куда-то. Получается, что до знакомства с законом тождества, дети уже практически пользуются им на интуитивном уровне.

Возникает вопрос, а зачем же изучать то, чем мы итак на интуитивном уровне владеем? Ответ достаточно прост. Если мы, начав говорить на родном языке в 2-3 года, изучаем его в школьные годы, чтобы знать и применять лучше и эффективнее, то и с логикой − то же самое. Когда мы изучаем логику, наша интуиция дополняется и подкрепляется, оттачивается и систематизируется, совершенствуется, обогащается теоретическими знаниями, которые поднимают нас, учителей и наших учеников на новый, более высокий уровень интеллектуальной жизни.^[2]

Список литературы

1. Абъятанова, Л.А. Развитие мышления и познавательных способностей младших школьников: конспекты занятий, упражнения и задания / авт.-сост. Л.А. Абъятанова, Т.А. Иванова. − 2-е изд. − Волгоград: Учитель, 2011. − 88 с.
2. Беденко, М.В. Развивающие задания. Логика: тетрадь для занятий с детьми 6-7 лет / М.В. Беденко. − 3-е изд. − М.: ВАКО, 2017. − 48 с.
3. Беденко, М.В. Смысловое чтение: тетрадь-тренажер. 1 класс. − 3-е изд. − М.: ВАКО, 2017. − 96 с.
4. Беденко, М.В. Смышленый первоклассник Логика: Подготовка к решению нестандартных задач / М.В. Беденко. − М.: 5 за знания, 2017. − 64 с.
5. Быкова, Т.П. Нестандартные задачи по математике: 1 класс / Т.П. Быкова. − 5-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2013. − 144 с.
6. Быкова, Т.П. Нестандартные задачи по математике: 2 класс / Т.П. Быкова. − 5-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2014. − 128 с.
7. Быкова, Т.П. Нестандартные задачи по математике: 3 класс / Т.П. Быкова. − 4-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2014. − 144 с.
8. Быкова, Т.П. Нестандартные задачи по математике: 4 класс. ФГОС / Т.П. Быкова. − 4-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2016. − 144 с.
9. Воровщиков, С.Г. Как эффективно развивать логическое мышление младших школьников: Управленческий и методический аспекты / С.Г. Воровщиков, Е.В. Орлова, Г.П. Каюда, Н.В. Гладик и др. − 2-е изд. − М.: 5 за знания, 2009. − 288 с.
10. Воровщиков С.Г.Азбука логичного мышления: Учебное пособие для учащихся старших классов. ‒ М.: "5 за знания", 2007. ‒ 352 с.
11. Воровщиков С.Г. "Мыслительные пятиминутки" как средство формирования и развития общеучебных умений у учащихся начальной школы / С.Г. Воровщиков, Г.П. Каюда // Развитие профессиональной компетентности участников образовательного процесса как ведущее условие обеспечения качества образования: Сб. матер IX Международ. науч.-практич. конф. ‒ Москва; Тамбов: ТОИПКРО, 2005. ‒ С. 132-138
12. Воровщиков С.Г. Продуктивные деловые игры во внутришкольном управлении: Теория, технология. ‒ М.: "5 за знания", 2007. ‒ 304 с.
13. Воровщиков С.Г. Развитие учебно-познавательной компетентности старшеклассников: управленческий аспект: Монография. ‒ М.: АПК и ППРО, 2006. ‒ 232 с.
14. Воровщиков С.Г. Учебно-познавательная компетентность старшеклассников: состав, структура, деятельностный компонент: Монография. ‒ М.: АПК и ППРО, 2006. ‒ 160 с.
15. Воровщиков С.Г. Школа должна учить мыслить, проектировать, исследовать: Управленческий аспект / С.Г. Воровщиков, М.М. Новожилова. ‒ М.: "5 за знания", 2006. ‒ 352 с.
16. Воровщиков С.Г. Элективный курс "Азбука логичного мышления": тематическое и поурочное планирование / С.Г. Воровщиков, Е.В. Орлова, О.В. Федотова, А.Б. Шихирева, Т.Г. Филатова, О.В. Вологина, Е.В. Баженова. ‒ М.: ЮОУО, 2006. ‒ 182 с.
17. Гин, С.И. Мир логики: Методическое пособие для учителя начальной школы / Библиотека учителя начальной школы / C.И. Гин. − 4-е изд. − М.: ВИТА-ПРЕСС, 2011. − 144 с.
18. Гусев, Д.А. Удивительная логика / Д. А. Гусев. − М.: ЭНАС, 2010. − 240 с.
19. Никольская, И.Л. Гимнастика для ума: книга для учащихся начальных классов: 1-4 классы / И.Л. Никольская, Л.И. Тигранова. − 6-е изд., стереотип. − М.: Издательство "Экзамен", 2013. − 240 с.
20. Языканова, Е.В. Развивающие задания: тесты, игры, упражнения: 1 класс / сост. Е.В. Языканова. − 4-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2011. − 80 с.
21. Языканова, Е.В. Развивающие задания: тесты, игры, упражнения: 3 класс / сост. Е.В. Языканова. − 8-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2014. − 126 с.
22. Языканова, Е.В. Развивающие задания: тесты, игры, упражнения: 4 класс / сост. Е.В. Языканова. − 6-е изд., перераб. и доп. − М.: Издательство "Экзамен", 2013. − 128 с.

Автор статьи: Яруткина Наталия Васильевна

Контактная информация: e-mail: yarna2016@ya.ru