Готовимся к ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по информатике и икт (11 класс)

Задание 1.  Даны числа в разных системах счисления. Найти сумму данных чисел в 10 – ой системе.

 10₂ + 10₃ + 10₄ + 10₅ + 10₆ + 10₇ + 10₈ + 10₉ + 10₁₀ + 10₁₆

 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 16 = 70₁₀

Задание 2. Дано число 165 в 10 –ой системе счисления. Ответ записать в 16 – ой системе.

Решение:

165 делим на 16 = 10 ост. 5 Число 10 в 16 – ой системе счисления = «А».

Получаем: 165₁₀ = А5₁₆

 Задание 3. Алгоритм получает на вход натуральное число N и строит по         нему новое число R следующим образом:

1. Строится двоичная запись числа N.
   2. Складываются все цифры полученной двоичной записи. В конец записи (справа) дописывается остаток от деления суммы на 2.
    3. Предыдущий пункт повторяется для записи с добавленной цифрой.
   4. Результат переводится в десятичную систему.

Пример. Дано число N = 13. Алгоритм работает следующим образом:
1. Двоичная запись числа N: 1101.
2. Сумма цифр двоичной записи 3, остаток от деления на 2 равен 1, новая запись 11011.
3. Сумма цифр полученной записи 4, остаток от деления на 2 равен 0, новая запись 110110.
4. Результат работы алгоритма R = 54.

Решение:

R = 101010  10.  Из данного числа N не получается код  числа R = 171

10101.После применения алгоритма получим = 10101 , которое > 171. Это число , которое удовлетворяет условию

Получаем 43₁₀

1. Т. к. R  > 170, то число 171 переводим в двоичную систему счисления (используется правило перевода чисел из 10 – ой системы счисления
   
   получим число:        101010          11                            Это min число N при R=171                                                     
                                         N
                                                  R
2. Применим к числу N первый и второй пункты алгоритма, тогда получим число
   2. Увеличиваем число N на 1
   3.  Переводим N =101011 в 10 – ую систему.
      101011₂=1*2⁵+1*2³+1*2¹+1*2⁰ = 43

Задание 4

Алгоритм получает на вход натуральное число N > 1 и строит по нему новое число R следующим образом:
1. Строится двоичная запись числа N.
2. Подсчитывается количество нулей и единиц в полученной записи. Если их количество одинаково, в конец записи добавляется её последняя цифра. В противном случае в конец записи добавляется та цифра, которая встречается реже.
3. Шаг 2 повторяется ещё два раза.
4. Результат переводится в десятичную систему счисления.

Пример. Дано число N = 19. Алгоритм работает следующим образом:
1. Двоичная запись числа N: 10011.
2. В полученной записи нулей меньше, чем единиц, в конец записи добавляется 0. Новая запись: 100110.
3. В текущей записи нулей и единиц поровну, в конец записывается последняя цифра, это 0. Получается 1001100. В этой записи единиц меньше, в конец добавляется 1: 10011001.
4. Результат работы алгоритма R = 153.

При каком наименьшем исходном числе N > 99 в результате работы алгоритма получится число, кратное 4?

Решение:

Свойства чисел двоичной системы счисления
Числа, которые делятся на 4, оканчиваются на 00 и т. д.

 Т. к. N  > 99, то число 99 переводим в двоичную систему счисления (используется правило перевода чисел из 10 – ой системы счисления

получим число:  1100100         11 0        Это число не оканчивается на 00, а значит не  делится на 4  
                                 N
                                           R

Способ 1

Способ 2

Применим к числу N первый и второй пункты алгоритма, тогда получим число

R = 1100100  110    Из данного числа N не получается код  числа R  оканчивающийся на 00.

Для того, чтобы получить в конце числа R два нуля надо, чтобы в числе N было больше единиц ровно на три и стоять они должны в младших разрядах. Тогда получим число N = 1100111. Применим пункты 2 и 3 алгоритма, получим число R = 1100111 000

Переводим N =1100111 в 10 – ую систему счисления.
1100111₂=1*2⁶+1*2⁵+ 1* 2² + 1*2¹+1*2⁰ = 64 + 32 + 4 + 2 + 1 =103₁₀

Получаем = 103.

Задание 5. Значение выражения    81¹⁷ - 3²⁴    записали в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр 8  и 0 содержится в этой записи?

Решение:

 Число 10^N – 10 ^M = 10 ^M *(10^{N –M} –1) записывается как N – M восьмерок, за которыми стоит M нулей:

10^N – 10 ^M = 8 . . . 8 0 . . . 0
                       N-M        M

81¹⁷ - 3²⁴ = 9³⁴ - 9¹²

Кол. Восьмерок = 34 – 12 = 22 шт.

Кол. Нулей = 12 шт.

Задание 6. Значение выражения    81¹⁷ - 3²⁴ - 9⁵ записали в системе счисления с основанием 9. Сколько цифр 8 содержится в этой записи?

Решение:

 Число 10^N – 10 ^M = 10 ^M *(10^{N –M} –1) записывается как N – M восьмерок, за которыми стоит M нулей:

10^N – 10 ^M = 8 . . . 8 0 . . . 0
                        N-M       M

81¹⁷ - 3²⁴ - 9⁵= 9³⁴ - 9¹² - 9⁵

Кол. Восьмерок = (34 – 12) + (12 – 5) = 22 + 7 =29 шт.

Кол. Нулей = 12 – 5 = 7 шт.

Задание 7. Значение выражения 343⁵ + 7³ – 1 – X записали в системе счисления с основанием 5, при этом в записи оказалось 12 цифр 4. При каком минимальном целом положительном X это возможно?

Число 2^N в двоичной системе записываетя как единица и N нулей

2^N  = 1 0.......0
                N

Число 3N  в троичной системе записывается как единица и N нулей

 3^N  = 1 0.......0 
                  N  

  Решение: 

        125⁵ + 5³ – 1 – X = 5¹⁵ + 5³ – 1 – X

       Используя формулу получаем:

       Кол. Нулей: 15 – 3 =12 шт.

           1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
        +                                     1 0 0 0
        -                                               1
       ____________________________
            1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 4
        -                                       1 1 1 1 (X)
      _____________________________
               4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3

 Из 12 – ти нулей можно получить 12 – ть 4 – ок вычитая из третьего разряда 1 единицу. Тогда        надо «избавиться от трех четверок вычитая из них по единице.

Переводим число х в 10 – ую систему счисления.

    X = 1111_{5 =} 1 * 5³ +1 * 5² + 1 * 5² + 1 * 5⁰  = 125 +25 + 5 + 1 = 156₁₀