Сборник "Методы решения логических задач"
методическая разработка по информатике и икт (5, 6, 7 класс)

Методическая разработка
«Методы решения логических задач»

Учитель: Смирнова С.В.

Основные приемы и методы решения логических задач

Решение логических задач методом графа

В течение всех лет обучения в школе мы много решаем разнообразных задач, в том числе и логических: задачи занимательного характера, головоломки, анаграммы, ребусы и т.п. Чтобы успешно решать задачи такого вида, надо уметь выделять их общие признаки, подмечать закономерности, выдвигать гипотезы, проверять их, строить цепочки рассуждений, делать выводы. Логические задачи от обычных отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно обработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать. Логика помогает усваивать знания осознанно, с пониманием, т.е. не формально; создаёт возможность лучшего взаимопонимания.

Логика - это искусство рассуждать, умение делать правильные выводы. Это не всегда легко, потому, что очень часто необходимая информация «замаскирована», представлена неявно, и надо уметь её извлечь. Как известно, видение рождает мышление. Возникает проблема: как установить логические связи между разрозненными фактами и как оформить в виде единой целой. Видеть ход доказательства и решения задач позволяет метод граф - схем, который делает доказательство более наглядным и позволяет кратко и точно изложить доказательства теорем и решения задач.

Задача 1. Красный, синий, желтый и зеленый карандаши лежат в четырех коробках по одному. Цвет карандаша отличается от цвета коробки. Известно, что зеленый карандаш лежит в синей коробке, а красный не лежит в желтой. В какой коробке лежит каждый карандаш?

Решение. Обозначим точками карандаши и коробки. Сплошная линия будет обозначать, что карандаш лежит в соответствующей коробке, а пунктирная, что не лежит.

Далее достраиваем граф по следующему правилу: поскольку в коробке может лежать ровно один карандаш, то из каждой точки должны выходить одна сплошная линия и три пунктирные. Получается граф, дающий решение задачи.

Задача 2. Беседуют трое друзей: Белокуров, Чернов и Рыжов. Брюнет сказал Белокурову: «Любопытно, что один из нас белокурый, другой брюнет, третий рыжий, но, ни у кого цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос имеет каждый из друзей?

Решение. Построим граф отношения, заданного в условии задачи. Для этого, прежде всего, выделим множество фамилий М и множество цветов волос К, элементы которых будем обозначать точками. Точки множества М назовем буквами Б, Ч, Р (Белокуров, Чернов и Рыжов); точки второго множества - б, бр, р (белокурый, брюнет, рыжий). Если точке из одного множества соответствует точка из другого, мы их соединим сплошной линией, а если не соответствует - штриховой. Условие задачи указывает лишь на несоответствия.

Из условия задачи следует, что для каждой точки из множества М существует одна и только одна точка из множеств К, которая соответствует первой и, наоборот, каждой точке из множества К соответствует одна и только одна точка из множества М. Задача сводится к тому, чтобы найти это единственно возможное соответствие между элементами множеств М и К, т. е. к нахождению трех сплошных линий, соединяющих соответствующие точки множеств.

Принцип решения задачи прост. Если какая-то точка оказывается соединенной с двумя точками другого множества штриховыми линиями, то с его третьей точкой ее необходимо соединить сплошной линией. Поэтому граф на рисунке дополняется сплошными линиями, соединяющими точки Б и р, Р и бр. Далее остается соединить сплошной линией точку Ч и точку б, так как точка Ч соединена с точкой бр штриховой линией, а точка р уже «занята».

Таким образом, на графе автоматически прочитываем ответ: Белокуров -- рыжий, Чернов -- белокурый, Рыжов - брюнет.

В следующей задаче применение графов помогает обнаружить наличие двух решений.

Задача 3. Маша, Лида, Женя и Катя умеют играть на разных инструментах (виолончели, рояле, гитаре и скрипке), но каждая только на одном. Они же владеют разными иностранными языками (английским, французским, немецким и испанским), но каждая только одним. Известно, что:

1. девушка, которая играет на гитаре, говорит по-испански;

2. Лида не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

3. Маша не играет ни на скрипке, ни на виолончели и не знает английского языка;

4. девушка, которая говорит по-немецки, не играет на виолончели;

5. Женя знает французский язык, но не играет на скрипке.

Кто на каком инструменте играет и какой иностранный язык знает?

Решение.

Проведем последовательно следующие сплошные отрезки: КС, ВЖ, ВФ, АК. Тем самым образуются два «сплошных» треугольника ЖВФ и КСА. Проводим еще сплошной отрезок РН. Теперь убеждаемся, что условия задачи не обеспечивают однозначности выбора третьей точки для каждой из пар РН и ГИ. Возможны следующие варианты «сплошных» треугольников: МГИ и ЛРН или ЛГИ и МРН. Таким образом, задача имеет два решения.

Решение логических задач методом рассуждений

Идея метода: последовательные рассуждения и выводы из утверждений, содержащихся в условии задачи. Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: «Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский». Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе - ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил - японский, Вадим - арабский.

Задача 2. В поездке пятеро друзей - Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: «Моя фамилия - Мишин, а фамилия Бориса – Хохлов». Антон сказал: «Мишин - это моя фамилия, а фамилия Вадима – Белкин». Борис сказал: «Фамилия Вадима - Тихонов, а моя фамилия – Мишин». Вадим сказал: «Моя фамилия - Белкин, а фамилия Гриши – Чехов». Гриша сказал: «Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона – Тихонов».

Какую фамилию носит каждый из друзей?

• Обозначим высказывательную форму «юноша по имени А носит фамилию Б» как АБ, где буквы А и Б соответствуют начальным буквам имени и фамилии.

• Зафиксируем высказывания каждого из друзей:

• ДМ и БХ;

• АМ и ВБ;

• ВТ и БМ;

• ВБ и ГЧ;

• ГЧ и АТ.

• Допустим сначала, что истинно ДМ. Но, если истинно ДМ, то у Антона и у Бориса должны быть другие фамилии, значит АМ и БМ ложно. Но если АМ и БМ ложны, то должны быть истинны ВБ и ВТ, но ВБ и ВТ одновременно истинными быть не могут.

• Значит, остается другой случай: истинно БХ. Этот случай приводит к цепочке умозаключений: БХ истинно БМ ложно ВТ истинно АТ ложно ГЧ истинно ВБ ложно АМ истинно.

• Ответ: Борис - Хохлов, Вадим - Тихонов, Гриша - Чехов, Антон - Мишин, Дима - Белкин.

Задача 3. Трое друзей, болельщиков автогонок «Формула-1», спорили о результатах предстоящего этапа гонок.

- Вот увидишь, Шумахер не придет первым, - сказал Джон. Первым будет Хилл.

- Да нет же, победителем будет, как всегда, Шумахер, - воскликнул Ник. - А об Алези и говорить нечего, ему не быть первым.

Питер, к которому обратился Ник, возмутился:

- Хиллу не видать первого места, а вот Алези пилотирует самую мощную машину.

По завершении этапа гонок оказалось, что каждое из двух предположений двоих друзей подтвердилось, а оба предположения третьего из друзей оказались неверны. Кто выиграл этап гонки?

• Введем обозначения для логических высказываний:

• Ш - победит Шумахер; Х - победит Хилл; А - победит Алези.

• Реплика Ника «Алези пилотирует самую мощную машину" не содержит никакого утверждения о месте, которое займёт этот гонщик, поэтому в дальнейших рассуждениях не учитывается.

• Учитывая то, что предположения двух друзей подтвердились, а предположения третьего неверны, запишем и упростим истинное высказывание. Высказывание истинно только при Ш=1, А=0, Х=0.

Победителем этапа гонок стал Шумахер.

Решение логических задач методом таблиц

При решении любой задачи могут быть выделены следующие этапы:

1. Анализ условия задачи (выделение исходных данных).

2. Поиск метода решения.

3. Символическая запись задачи.

4. Рассуждения и пояснения к решению.

5. Анализ полученных результатов и запись ответа.

При решении задач данного типа я научился представлять исходные данные и рассуждения в виде схем и таблиц, который облегчает процесс решения своей наглядностью.

Существует следующая последовательность решения задач с помощью схем:

1. Кратко записать условие, вопрос задачи. Элементы условия задачи отобразить при помощи символьных переменных.

2. Приступить к её решению.

- Если по условию между двумя элементами есть соответствие, то они соединяются сплошной линией.

- Если же между элементами соответствия нет, то они соединяются пунктирной линией.

Чтобы наглядно было видно, какие элементы рассуждений даны, а какие получены по доказательству, можно применять разные цветовые решения (проводить линии, например, красным (дано) и зелёным (доказательство) карандашами).

А с помощью таблиц решаются задачи с четырьмя, пятью и более парами элементов, когда использование схем неудобно и не наглядно из-за чрезмерной громоздкости.

Задача № 1. Подруги

Света и Наташа имеют фамилии Иванова и Петрова. Какую фамилию имеет каждая девочка, если Света и Иванова живут в соседних домах?

1. Так как Света не Иванова (по условию), значит,

Надо: Света - Петрова.

Кто какую фамилию имеет?

2. Так как Света - Петрова (по доказательству), значит, Наташа не Петрова.

3. Так как Наташа не Петрова (по доказательству), значит Наташа Иванова.

Ответ: Света имеет фамилию Петрова, а Наташа - Иванова.

Задача № 2. Друзья.

Серёжа и Костя имеют фамилии Белов и Чернов. Какую фамилию имеет каждый из ребят, если Серёжа на два года старше Белова?

Ответ: Серёжа имеет фамилию Чернов, а Костя Белов.

Задача № 3. В каких квартирах живут котята?

В квартирах №№ 1, 2, 3 живут три котёнка - белый, чёрный, рыжий. В квартирах №№ 1 и 2 живут не чёрные котята. Белый котёнок живёт не в квартире № 1. В какой квартире какой котёнок живёт?

Надо:

Кто где живёт? 1. Так как чёрный котёнок не живёт в квартирах №№ 1 и 2 (по условию), значит, чёрный живёт в квартире № 3.

2. Так как чёрный живёт в квартире № 3 (по доказательству), значит белый и рыжий не живут в квартире № 3.

3. Так как белый котёнок не живёт в квартире № 1 (по условию) и не в квартире № 3 (по доказательству), значит, белый живёт - в № 2.

4. Так как белый живёт - в № 2 (по доказательству), значит, рыжий не живёт - в № 2.

5. Так как рыжий не живёт - в №№ 2 и 3 (по доказательству), значит, рыжий живёт - в № 1.

Ответ: белый живёт в квартире № 2, чёрный - в № 3, рыжий - в № 1 .

Задача № 4. Три поросёнка.

Жили-были три поросёнка - Ниф-Ниф, Наф-Наф, Нуф-Нуф. Решили они построить на зиму домики: один - из соломы, другой - из веток, третий - из камня. Кто какой домик построил, если известно, что Ниф-Ниф построил домик не из веток и не из камня, Наф-Наф построил домик не из веток?

Дано:

1. Так как Ниф-Ниф построил не из веток и не из камня (по условию), значит, Ниф-Ниф построил из

Надо: соломы.

Кто какой домик 2. Так как Ниф-Ниф построил из соломы построил?

( по доказательству), значит Наф-Наф и Неф- Неф построил не из соломы.

3. Так как Наф-Наф построил не из веток (по условию) и не из соломы (по доказательству), значит, Наф-Наф построил из камня.

4. Так как Наф-Наф построил из камня (по доказательству), значит, Нуф-Нуф построил не из камня

5. Так как Нуф-Нуф построил не из камня (по доказательству), значит, Нуф-Нуф построил из веток.

Ответ: Ниф-Ниф построил из соломы, Наф-Наф - из камня, Нуф-Нуф - из веток.

Задача 5. Виктор, Роман, Юрий и Сергей заняли на математической олимпиаде первые четыре места. Когда их спросили о распределении мест, они дали три таких ответа:

• 1) Сергей - первый, Роман - второй;

• 2) Сергей - второй, Виктор - третий;

• 3) Юрий - второй, Виктор - четвертый.

Как распределились места, если в каждом ответе только одно утверждение истинно?

Задача 6. Три одноклассника - Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего -- регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра -- единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги.

Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен.

Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

Решение. Здесь исходные данные разбиваются на тройки (имя -- профессия -- увлечение).

Из слов Юры ясно, что он не увлекается туризмом и он не врач. Из слов врача следует, что он турист.

Буква "а", присутствующая в слове "врач", указывает на то, что Влад тоже не врач, следовательно, врач -- Тимур. В его имени есть буквы "т" и "р", встречающиеся в слове "туризм", следовательно, второй из друзей, в названиях профессии и увлечения которого не встречается ни одна буква его имени -- Юра. Юра не юрист и не регбист, так как в его имени содержатся буквы "Ю." и "р". Следовательно, окончательно имеем:

Ответ. Влад -- юрист и регбист, Тимур -- врач и турист, Юра -- физик и бегун.

Решение логических задач методом блок-схем

Как без математических наук проводит свои линии паук.

В этом разделе рассматривается еще один тип логических задач. Это задачи, в которых с помощью сосудов известных емкостей требуется отмерить некоторое количество жидкости, а также задачи, связанные с операцией взвешивания на чашечных весах. Простейший прием решения задач этого класса состоит в переборе возможных вариантов. Понятно, что такой метод решения не совсем удачный, в нем трудно выделить какой-либо общий подход к решению других подобных задач.

Более систематический подход к решению задач "на переливание" заключается в использовании блок-схем. Суть этого метода состоит в следующем. Сначала выделяются операции, которые позволяют нам точно отмерять жидкость. Эти операции называются командами. Затем устанавливается последовательность выполнения выделенных команд. Эта последовательность оформляется в виде схемы. Подобные схемы называются блок-схемами и широко используются в программировании. Составленная блок-схема является программой, выполнение которой может привести нас к решению поставленной задачи. Для этого достаточно отмечать, какие количества жидкости удается получить при работе составленной программы. При этом обычно заполняют отдельную таблицу, в которую заносят количество жидкости в каждом из имеющихся сосудов.

В зависимости от результатов этого осмотра мы переходим к выполнению следующей команды по одному из двух ключей - "да" или "нет". Такие команды в программировании принято называть командами "условного перехода" и изображать в блок-схемах в виде ромбика с двумя ключами-выходами.

Договоримся теперь о последовательности выполнения выделенных команд. После Б-->М будем выполнять ОМ всякий раз, как меньший сосуд оказывается наполненным, и НБ всякий раз, как больший сосуд будет опорожнен. Последовательность команд изобразим в виде блок-схемы. Начнем выполнение программы. Будем фиксировать, как меняется количество воды в сосудах, если действовать по приведенной схеме. Результаты оформим в виде таблицы.

Дальше эта последовательность будет полностью повторяться. Из таблицы видим, что количество воды в обоих сосудах вместе образует следующую последовательность: 0, 5, 2, 7, 4, 1, 6, 3, 0 и т.д. Таким образом, действуя по - приведенной схеме, можно отмерить любое количество литров от 1 до 7. Чтобы отмерить еще и 8 литров, надо наполнить оба сосуда.

Идея метода: описать последовательность выполнения операций, определить порядок их выполнения и фиксировать состояния.

Решение логических задач методом математического бильярда

Прежде чем решать задачу, подумай, что делать с ее решением!

Всем известна игра бильярд за прямоугольным столом с лузами. Появившись до нашей эры в Индии и Китае, бильярд через много веков перекочевал в европейские страны -- упоминание о нем имеется в английских летописях VI века. В России бильярд стал известен и распространился при Петре I. Подобно тому, как азартная игра в кости вызвала к жизни "исчисление" вероятностей, игра в бильярд послужила предметом серьезных научных исследований по механике и математике. Представьте себе горизонтальный бильярдный стол произвольной формы, но без луз. По этому столу без трения движется точечный шар, абсолютно упруго отражаясь от бортов стола. Спрашивается, какой может быть траектория этого шарика? Поиски ответа на этот вопрос и послужили появлению теории математического бильярда или теории траекторий.

Задачи на переливание жидкостей можно очень легко решать, вычерчивая бильярдную траекторию шара, отражающегося от бортов стола, имеющего форму параллелограмма. Рассмотрим туже задачу, что и в предыдущем разделе (Метод блок-схем).

Задача 1. Имеются два сосуда -- трехлитровый и пятилитровый. Нужно, пользуясь этими сосудами, получить 1, 2, 3, 4,5,6, 7 и 8 литров воды. В нашем распоряжении водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду.

Решение: В рассматриваемой задаче стороны параллелограмма должны иметь длины 3 и 5 единиц. По горизонтали будем откладывать количество воды в литрах в 5-литровом сосуде, а по вертикали - в 3-литровом сосуде. На всем параллелограмме нанесена сетка из одинаковых равносторонних треугольников.

Бильярдный шар может перемещаться только вдоль прямых, образующих сетку на параллелограмме. После удара о стороны параллелограмма шар отражается и продолжает движение вдоль выходящего из точки борта, где произошло соударение. При этом каждая точка параллелограмма, в которой происходит соударение, полностью характеризует, сколько воды находится в каждом из сосудов.

Прослеживая дальнейший путь шара, и записывая все этапы его движения в виде отдельной таблицы (табл.1), в конце концов, мы попадаем в точку Н, которая соответствует состоянию, когда малый сосуд пуст, а в большом сосуде 4 литра воды. Таким образом, получен ответ и указана последовательность переливаний, позволяющих отмерить 4 литра воды. Все 8 переливаний изображены схематически в таблице.

Является ли это решение самым коротким? Нет, существует второй путь, когда воду сначала наливают в пятилитровый сосуд. Если на диаграмме шар из точки О покатится вправо по нижней стороне параллелограмма и затем, отразившись от правой боковой стороны, в точку 2 на верхней стороне параллелограмма и т.д., то получим более короткое решение задачи. Можно показать, что полученное решение с 6 переливаниями уже является самым коротким.

Идея метода: нарисовать бильярдный стол и интерпретировать действия движениями бильярдного шара, фиксирование состояний в отдельной таблице.

Преимущества метода:

• Наглядность

• Привлекательность идеи бильярда

• Возможность обобщить метод на широкий класс задач.

Метод таблиц

№1  Есть три молодых человека: Андрей, Бронислав и Борис. Один из них – аптекарь, второй – бухгалтер, третий – агроном. Один живет в Бобруйске, второй – в Архангельске, третий – в Белгороде. Известно, что:

Борис бывает в Бобруйске лишь наездами и то весьма редко, хотя все его родственники живут в этом городе;

У двух из этих людей названия их профессий и городов, в которых они живут, начинаются с той же буквы, что и  их имена;

Жена аптекаря доводится Борису младшей сестрой.

Требуется выяснить кто, где живет и у кого какая профессия.

№2  Наташа, Валя, Маша, Галя и Лена вырезали из бумаги разные фигуры. Кто-то из них вырезал круг из бумаги в клетку, кто- то – круг из бумаги в линейку, кто-то квадрат из бумаги в клетку, кто-то квадрат из бумаги в линейку, а кто-то флажок из белой бумаги.

Галя и Валя вырезали  круги. Галя и Наташа вырезали фигуры из бумаги в клетку. Наташа и Маша вырезали квадраты.  Кто какие фигуры вырезал?

№3 В кафе встретились три друга: скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов. “Замечательно, что один из нас имеет белые, один черные и один рыжие волосы, но ни у одного из нас нет волос того цвета, на который указывает его фамилия”, - заметил черноволосый. “Ты прав”, - сказал Белов. Какой цвет волос у художника? (художник брюнет)

_____________________________________________________________________________________

№4 Три подруги вышли в белом, зеленом и синем платьях. Их туфли тоже были белого, зеленого и синего цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадали. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. (ответ: Наташа была в зеленых туфлях. Аня: белое платье и туфли, Валя: синие туфли и зеленое платье, Наташа: зеленые туфли и синее платье.)

№5 Саша обнаружил, что пяти книг не хватает: "Энциклопедии профессор Фортрана", томика Марка Твена, сказок Андерсена, рассказов Бианки и стихов Пушкина. Саше удалось вспомнить следующее:

1. Он давал книги только Андрею, Феде, Ире, Кате и Вале.
2. Он всегда давал друзьям только по одной книге, причём следующую давал только после возврата предыдущей.
3. Федя вернул "Энциклопедию профессора Фортрана".
4. У Андрея две литературные привязанности: стихи Пушкина и рассказ Марка Твена (другие книги он не берёт).
5. Катя отдаёт предпочтение рассказам о животных.
6. Ира        читает только сказки и книги о компьютерах.
7. Валя - почитатель поэзии (всей остальной литературы для неё не существует).
8. У кого какая книга находится?

№6 В школе учатся четыре талантливых подростка: Иван, Петр, Алексей и Андрей. Один из них — будущий хоккеист, другой преуспел в футболе, третий — легкоатлет, четвертый подает надежды как баскетболист. 
О них известно следующее:
1. Иван и Алексей присутствовали в спортзале, когда там занимался легкоатлет.
2. Петр и хоккеист вместе были на тренировке баскетболиста.
3. Хоккеист раньше дружил с Андреем, а теперь неразлучен с Иваном
4. Иван незнаком с Алексеем, так как они учатся в разных классах и в разные смены.
Кто чем увлекается? (Иван— футболист, Петр— легкоатлет, Алексей —хоккеист, а Андрей — баскетболист.)

№7 Три друга — Алеша, Боря и Витя — учатся в одном классе. Один из них ездит домой из школы на автобусе, другой — на трамвае, третий — на троллейбусе. Однажды после уроков Алеша пошел проводить своего друга до остановки троллейбуса. Когда мимо них проходил автобус, третий друг крикнул из окна: “Боря, ты забыл в школе тетрадку!”. Кто на чем ездит домой?(Ответ: Алёша на трамвае, Боря на троллейбусе, Витя на автобусе)

№8  Каникулы в школе птиц и зверей начались большим карнавалом. Медведь, волк, лиса и заяц явились в маскарадных костюмах волка, медведя, лисы и зайца. На балу зверь в маскарадном костюме зайца выиграл в лотерее банку меда и остался этим очень недоволен. Известно также, что медведь не любит лису и никогда не берет в лапы картинок, где она нарисована. Зверь в маскарадном костюме лисы выиграл в лотерее пучок моркови, но это тоже не доставило ему никакой радости. Не могли бы вы сказать, какой маскарадный костюм смастерил себе каждый из зверей?(Ответ: Медведь – волка, лиса – зайца, волк – лисы, заяц – медведя)

№9 В авиационном подразделении служат Потапов, Щедрин, Семенов, Коновалов и Самойлов. Их специальности (они перечислены не в том же порядке, что и фамилии): пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик. Об этих людях известно следующее:

Ø   Щедрин и Коновалов не умеют управлять самолетом.

Ø  Потапов и Коновалов готовятся стать штурманами.

Ø   Щедрин и Самойлов живут в одном доме с радистом.

Ø   Семенов был в доме отдыха вместе со Щедриным и сыном синоптика.

Ø  Потапов и Щедрин в свободное время любят играть в шахматы с бортмехаником.

Ø  Коновалов, Семенов и синоптик увлекаются боксом.

Ø  Радист боксом не увлекается.

(Ответ: Потапов – радист, Щедрин – штурман, Семёнов – пилот, Коновалов – бортмеханик, Самойлов – синоптик).

 №10 В течение последних четырех лет Алексеев, Фомин, Дементьев и Иванов получали очередной отпуск в мае, июне, июле или в августе. Причем, если один из них отдыхал в мае, то другой - в июне, третий – в июле, а четвертый – в августе. Каждый их них получал отпуск в эти четыре года в разные месяцы. Так в первый год Дементьев отдыхал в июле, во второй год – в августе. Алексеев во второй год отдыхал в мае, Иванов в третий год – в июне, а Фомин в четвертый год – в июле.

Кто в каком месяце отдыхал в каждом из этих четырех лет?

Ответ.

№11 Три друга – спортсмена - Алеша, Вася и Сережа – учились в одном классе. Каждый из них увлекался двумя видами спорта из следующих шести: футбол, волейбол, баскетбол, теннис, плавание и велоспорт. Известно, что:

• все трое – Сережа, теннисист и пловец ходят из школы домой вместе,
• пловец и футболист – соседи по дому,
• Алеша самый старший из троих, а теннисист старше велосипедиста,
• Наиболее интересные спортивные передачи по телевизору все трое – Алеша, велосипедист и волейболист – смотрят вместе.

Надо узнать, кто каким спортом увлекается.

(Ответ. Алеша – баскетбол и плавание, Вася – волейбол и теннис, Сережа – футбол и велоспорт.)

№12 На школьном вечере четыре юноши: Валентин, Николай, Владимир и Алексей все из разных классов, и их одноклассницы танцевали танец, но каждый юноша танцевал не своей одноклассницей.

Лена танцевала с Валентином, Аня – с одноклассником Наташи, Николай - с одноклассницей Владимира, а Владимир танцевал с Олей. Кто с кем танцевал?

(Ответ: Танцевали Лена с Валентином, Оля с Владимиром, Аня с Николаем, Наташа с Алексеем. Учатся в одних классах Аня и Владимир, Оля и Валентин, Лена и Алексей, Наташа и Николай.)

№13. Сокровища.

Три пирата: Нытик, Стрелец и Барс зарыли свои сокровища на одном острове. Один из них зарыл возле дерева лимона, другой – банана, а третий – абрикоса. Ёмкость для хранения тоже у каждого была своя: один использовал сундучок, второй – большую морскую ракушку, а третий – кожаный мешочек. Определите имя пирата, а также где и чем хранил свои сокровища каждый из них, если известно, что:

1. Ракушку использовал не Нытик.
2. Тот, кто закопал сокровища под абрикосом, использовал мешочек.
3. Барс закопал сундучок, но не под лимоном.

Ответ:

№14 Задача «В купе поезда»

В купе одного из вагонов поезда «Москва-Одесса» ехали москвич, петербуржец, туляк, киевлянин, харьковчанин и одессит. Их фамилии начинались с букв «А», «Б», «В», «Г», «Д», «Е». В дороге выяснилось, что:

1) А. и москвич — врачи;

2) Д. и петербуржец — учителя;

3) В. и туляк — инженеры;

4) Б. и Е. — участники Великой Отечественной войны, а туляк в армии совсем не служил;

5) харьковчанин старше А.;

6) одессит старше В.;

7) Б. и москвич сошли в Киеве;

8) В. и харьковчанин сошли в Виннице.

Определите профессию и место жительства каждого из пассажиров.

(Ответ: А. — одессит, врач; Б. — петербуржец, учитель; В. — киевлянин, инженер; Г. — туляк, инженер; Д. — харьковчанин, учитель; Е. — москвич, врач)

№15 В симфонический оркестр приняли на работу трёх музыкантов: Брауна, Смита и Вессона, умеющих играть на скрипке, флейте, альте, кларнете, гобое и трубе.

Известно, что:

Ø Смит самый высокий;

Ø играющий на скрипке меньше ростом играющего на флейте;

Ø играющие на скрипке и флейте и Браун любят пиццу;

Ø когда между альтистом и трубачом возникает ссора, Смит мирит их;

Ø Браун не умеет играть ни на трубе, ни на гобое.

(Ответ: Браун – альт и кларнет, Смит – флейта и гобой, Вессон – скрипка и труба).

__________________________________________________________________________________

№16 Три одноклассника — Влад, Тимур и Юра, встретились спустя 10 лет после окончания школы. Выяснилось, что один из них стал врачом, другой физиком, а третий юристом. Один полюбил туризм, другой бег, страсть третьего — регби.

Юра сказал, что на туризм ему не хватает времени, хотя его сестра — единственный врач в семье, заядлый турист. Врач сказал, что он разделяет увлечение коллеги. Забавно, но у двоих из друзей в названиях их профессий и увлечений не встречается ни одна буква их имен. Определите, кто чем любит заниматься в свободное время и у кого какая профессия.

(Ответ: Юра – физик (бег), Тимур – врач (туризм), Влад – юрист (регби)).

№17 Три дочери писательницы Дорис Кей — Джуди, Айрис и Линда, тоже очень талантливы. Они приобрели известность в разных видах искусств — пении, балете и кино. Все они живут в разных городах, поэтому Дорис часто звонит им в Париж, Рим и Чикаго.

Известно, что:

Ø Джуди живет не в Париже, а Линда — не в Риме;

Ø парижанка не снимается в кино;

Ø та, кто живет в Риме, певица;

Ø Линда равнодушна к балету.

Где живет Айрис, и какова ее профессия?
(Ответ: Джуди – певица (Чикаго), Айрис – балерина (Париж), Линда – киноактриса (Чикаго)).

№18  После традиционного вечера встречи с бывшими выпускниками школы в стенгазете появилась заметка о трех бывших учениках школы. В этой заметке было написано, что Иван, Борис и Андрей стали учителями. Теперь они преподают разные дисциплины: один – математику, второй – физику, третий – химию. Живут они тоже в разных городах: Минске, Витебске и Харькове. В заметке было еще написано, что первоначальные их планы осуществились не полностью: Иван работает не в Минске, Андрей – не в Витебске; житель Минска преподает не математику, Андрей преподает не физику. Повезло только жителю Витебска: он преподает любимую им химию. Кто есть кто?

(Ответ Иван – химик – Витебск, Борис - физик – Минск, Андрей - математик – Харьков)

№19 Арташ, Отар, Гурам и Сурен занимаются в разных спортивных секциях. Один из них играет в баскетбол, другой – в волейбол, третий – в футбол, четвертый – в теннис. У них различные увлечения: один из них любит кино, другой – театр, третий – эстраду, а четвертый – цирк. Арташ не играет ни в волейбол, ни в баскетбол. Отар играет в футбол и любит театр. Сурен не играет в волейбол. Тот из ребят, кто играет в волейбол, любит ходить в кино, а тот, кто играет в баскетбол, не любит цирк. Какое у каждого из них увлечение, и каким видом спорта занимается каждый?

(Ответ: Арташ – теннис – цирк, Отар – футбол – театр, Гурам – волейбол – кино, Сурен – баскетбол – эстрада)

№20 Первоклашки.

Год назад с нашего двора первый раз в первый класс пошли 5 мальчиков. Их имена: Петя, Коля, Ваня, Гена и Миша. Получилось так, что все пятеро попали в разные классы: один в класс “А”, другой – в “Б”, третий – в “В”, четвертый - в “Г”, пятый – в “Д”. Каждому из ребят досталась в качестве классного руководителя добрая учительница: Лидия Михайловна, Елена Анатольевна. Екатерина Кирилловна. Татьяна Григорьевна и Виктория Николаевна. Дети учились прекрасно, напротив их фамилий (Анисин, Белов, Кукушкин, Степанов и Харитонов) всегда были практически одни пятерки. Определите имя, фамилию, класс и добрую учительницу для каждого из первоклашек, если известно, что

1. Ваня учится у Татьяны Григорьевны и его фамилия не Степанов.
2. В классе “Д” преподает не Екатерина Кирилловна.
3. Коля учится в классе “Б”. Он старше на 1месяц, чем Белов, и младше на 12 дней, чем тот, кто учится у Татьяны Григорьевны.
4. Елена Анатольевна преподает в классе “Г” и у нее нет ученика по фамилии Белов.
5. Харитонов Гена дружит с Петей и с тем, кто ходит в класс “А”.
6. Кукушкин учится в классе “А”. Его учительница не Лидия Михайловна и не Екатерина Кирилловна.
7. Анисин учится в классе “В” и его имя не Петя и не Миша.

№21 На математическую олимпиаду в город Киров поехало четыре девятиклассника: Лева, Коля, Миша и Петя. В первый день они решили позавтракать в разных местах: один пошел в кафе, другой – в столовую, третий – в закусочную, четвертый – в буфет. После завтрака они снова собрались вместе. Разговор, естественно, зашел о том, кто как позавтракал. Выяснилось, что все они пили разные напитки, так как в каждом из этих мест, где они завтракали, оказалось в наличии только по одному напитку: в одном месте – только кофе, в другом – только молоко, в третьем – только ряженка, в четвертом – только чай. В буфете, например, было только молоко, а в столовой не было ряженки. Петя рассказал, что он был в столовой, но пил там не чай. Лева рассказал, что он пил ряженку, а Миша сказал, что он не был ни в закусочной, ни в буфете. Кто из ребят где завтракал и что пил?

(Ответ. Лева – закусочная – ряженка, Коля – буфет – молоко, Миша – кафе – чай, Петя – столовая – кофе)

№22  В начале учебного года пятиклассники избрали старосту, председателя совета отряда, звеньевых первого, второго и третьего звеньев. Их имена: Аня, Боря, Вася, Гриша и Дина. Звеньевая первого звена решила подружиться со звеньевой второго звена. Дина удивилась, узнав, что председатель совета отряда и звеньевая второго звена брат и сестра. Гриша дружит с председателем совета отряда и со старостой. У Васи нет сестер. Назовите имена каждого из избранных.

(Ответ. Вася – староста, Боря – председатель отряда, Дина – звеньевая 1 –го звена, Аня – 2-го звена, Гриша - 3-го звена)

№23  Петя, Гена, Дима и Вова занимаются в детской спортивной школе в разных секциях: гимнастической, баскетбольной, волейбольной и легкой атлетики. Петя, Дима и волейболист занимаются в одном классе. Петя и Гена на тренировки ходят пешком вместе, а гимнаст ездит на автобусе. Легкоатлет не знаком ни с баскетболистом, ни с волейболистом. Кто в какой секции занимается?

(Ответ. Петя – баскетболист, Гена – волейболист, Дима – гимнаст. Вова – легкоатлет)

№24 Пять человек живут в одном городе. Их имена: Леонид, Владимир, Николай, Олег и Петр. Их Фамилии: Степанов, Борисов, Козин, Дроздов и Истомин. Известно, что

• Козин знаком только с двумя, а с Козиным знаком только один человек,
• Петр знаком со всеми, кроме одного, а Леонид знает только одного из всех,
• Николай и Истомин знают друг друга с детства.
• Владимир, Николай и Олег знакомы между собой,
• Дроздов и Владимир незнакомы,
• Олег, Николай и Борисов Часто вместе ходят на работу,

Назовите имена и фамилии каждого.

(Ответ. Борисов Владимир, Степанов Николай, Козин Леонид, Дроздов Петр. Истомин Олег)

Рассмотрим решение задачи, в которой не три набора элементов, между которыми требуется установить соответствие, а четыре.
 В случае решения таких задач с помощью таблиц рекомендуется к основной таблице добавлять дополнительные секции для большей понятности и наглядности. 
При этом ответ часто получается при не полностью заполненной расширенной таблице. Плюсы и минусы в ячейки расставляются аналогично тому, как это делалось в задачах с тремя элементами.

Задача «Отъезд на работу»

У подъезда припарковались четыре машины: «Жигули», «Волга», «Москвич» и «Запорожец». Они красного, желтого, белого и зеленого цветов. По утрам на них уезжают художник, пекарь, учитель и инженер. Происходит это в 8, 9, 10 и 12 часов.

Определите, кому какая машина принадлежит, какого она цвета и когда отъезжает, если известно, что:

1) у учителя не «Москвич»;   .

2) «Запорожец» не белый, а «Волга» не желтая;

3) инженер уезжает сразу после «Запорожца»;

4) пекарь уезжает не в 9 и не в 12;

5) раньше всех уезжает учитель;

6) художник уезжает позже красного «Москвича».

Ответ: у пекаря желтые «Жигули», он уезжает в 10 часов; у художника белая «Волга», он уезжает в 12 часов; у инженера красный «Москвич», он уезжает в 9 часов; у учителя зеленый «Запорожец», он уезжает в 8 часов.

№25  По кругу сидят Иванов, Петров, Марков и Карпов. Их имена Андрей, Сергей, Тимофей, Алексей. Известно, что Иванов не Андрей и не Алексей. Сергей сидит между Марковым и Тимофеем. Петров сидит между Карповым и Андреем. Как зовут Иванова, Петрова, Маркова и Карпова?

(Ответ: Иванов Сергей, Петров Алексей, Марков Андрей, Карпов Тимофей).

№26   Однажды на отдыхе за круглым столом оказались пятеро ребят родом из Москвы, Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Юра, Толя, Алёша, Коля и Витя. Москвич сидел между томичём и Витей, петербуржец – между Юрой и Толей, а напротив него сидели пермяк и Алёша. Коля никогда не был в Петербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а томич с Толей регулярно переписываются. Определите, в каком городе живёт каждый из ребят.

(Ответ: Юра из Новгорода, Толя из Москвы, Алёша из Томска, Коля из Перми, Витя из Петербурга)

№27

1. Среди офицеров А, Б, В, Г – майор, капитан и два лейтенанта. А и один из лейтенантов – танкисты, Б и капитан – артиллеристы, А младше по званию, чем В. Определите род войск и воинское звание каждого из них.
2. Три товарища – Владимир, Игорь и Сергей – окончили один и тот же педагогический университет и преподают математику, физику и литературу в школах Тулы, Рязани и Ярославля. Владимир работает не в Рязани, Игорь – не в Туле. Рязанец преподаёт не физику, Игорь – не математику, туляк преподаёт литературу. Какой предмет и в каком городе преподаёт каждый из них?

Метод кругов Эйлера

При решении задач математик Леонард Эйлер использовал идею изображения множеств с помощью кругов, поэтому они получили название «круги Эйлера». Впервые он использовал их в письмах к немецкой принцессе. Эйлер писал, что «круги очень подходят для того, чтобы облегчить наши размышления».

Представь себе, что с помощью множеств совсем просто решаются некоторые логические задачки.

Например, такие: каждый из 32 школьников занимается спортом. Причём 20 занимаются футболом, а 18 — волейболом. Некоторые из школьников занимаются обоими видами спорта. Нужно узнать, сколько школьников занимаются футболом, сколько волейболом, а сколько — и тем, и другим.

Решать задачку будем так: начертим два круга — два множества. Одно множество — это те ребята, которые занимаются футболом, другое — волейболом.  

Как ты думаешь, как «относятся» эти множества друг к другу? 

Конечно, эти множества пересекаются, ведь некоторые из ребят занимаются и футболом, и волейболом.

А вот сколько их, ты пока не знаешь. Помнишь, как в математике, всё неизвестное обозначается буквами.

Так же поступишь и ты: обозначишь количество ребят, занимающихся футболом и волейболом, переменной.

Вот так это будет выглядеть на рисунке:

Давай рассуждать логически. Введем ответы в пустые клеточки.

Ребят, занимающихся футболом и волейболом, всего — X.

Всего ребят, занимающихся футболом, — 20, а волейболом — 18.

Тогда ребят, занимающихся только футболом: 20-X.

Всего ребят, занимающихся только волейболом: 18-X.

Впишем арифметические выражения в круги.

По условию задачи, всего ребят — 32.

Что нужно теперь сделать? А вот что. Нужно сложить количество тех, кто занимается и футболом, и волейболом, — X — с количеством тех, кто занимается только футболом, — 20-X, — и с количеством тех, кто занимается только волейболом, — 18-X.

Сумму приравнять к количеству всех ребят — 32.

То есть, нужно составить уравнение(20-X)+(18-X)+X=32.

Раскроем скобки, решим уравнение  38-X=32 и получим значение переменной: X=6.

А теперь ответим на вопросы, поставленные в задаче.

Ребят, занимающихся футболом и волейболом, всего: 6.

Ребят, занимающихся только футболом: 20-6=14.

Ребят, занимающихся только волейболом: 18-6=12.

Вот так - просто и легко с помощью диаграмм решается эта задача!

Задачи

"Обитаемый остров" и "Стиляги"

Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»? 

(Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».)

Любимые мультфильмы

Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»? 

(Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».)

«Мир музыки»

В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры? 

(Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.)

Гарри Поттер, Рон и Гермиона

На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон? 

(Ответ. 8 книг прочитал только Рон)

Пионерский лагерь

В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?

 
(Ответ. 5 человек заняты только спортом)

Экстрим

Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах? (Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде)

Увлечения Многие ребята нашего класса любят футбол, баскетбол и волейбол. А некоторые - даже два или три из этих видов спорта. Известно, что 6 человек из класса играют только в волейбол, 2 – только в футбол, 5 – только в баскетбол. Только в волейбол и футбол умеют играть 3 человека, в футбол и баскетбол – 4, в волейбол и баскетбол – 2. Один человек из класса умеет играть во все игры, 7 не умеют играть ни в одну игру. Требуется найти:

1. Сколько всего человек в классе? (30 всего человек в классе)

Сколько человек умеют играть в футбол? (Умеют играть в футбол 10)

Сколько человек умеют играть в волейбол?(Умеют играть в волейбол: 12)

Танцы и музыка 11 девочек из класса занимаются танцами. 9 – занимаются музыкой. 6 девочек занимаются и танцами, и музыкой. 4 девочки не занимаются ни танцами, ни музыкой. Сколько девочек занимаются только танцами и только музыкой? Сколько в классе девочек?

(Ответ 5 девочек занимаются только танцами, 3 девочки занимаются только музыкой, 18 девочек всего в классе)

Круг и квадрат На листе бумаги начертили круг площадью 78 см2 и квадрат площадью 55 см2. Площадь пересечения круга и квадрата равна 30 см2. Не занятая кругом и квадратом часть листа имеет площадь 150 см2. Найдите площадь листа.

Туристы  В группе туристов 25 человек. Среди них 20 человек моложе 30 лет и 15 человек старше 20 лет. Может ли так быть? Если может, то в каком случае?

Магазин  В магазине побывало 65 человек. Известно, что они купили 35 холодильников, 36 микроволновок, 37 телевизоров. 20 из них купили и холодильник и микроволновку, 19 - и микроволновку, и телевизор, 15-холодильник и телевизор, а все три покупки совершили три человека. Был ли среди них посетитель, не купивший ничего?(Ответ: 7 посетителей магазина не купили ничего)

Кружки  В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический — 14, химический — 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек —.и математический, и физический, 5 — и математический, и химический, 3 — и физический, и химический кружки. Сколько учеников класса не посещают никакие кружки?(в классе 8 ребят, не посещающих никаких кружков.)

Каникулы  После каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников двое не были ни в кино, ни в театре, ни в цирке. В кино побывали 25 человек; в театре — 11; в цирке — 17; и в кино, и в театре — 6; и в кино, и в цирке — 10; и в театре, и в цирке — 4. Сколько человек побывали в театре, кино и цирке одновременно?    

Иностранные языки Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским - 28, французским - 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским - 10, немецким и французским - 5, всеми тремя языками - 3. Сколько туристов не владеют ни одним языком?(20 человек не владеют ни одним из данных языков)

Задача «Кубики», решаемая с помощью диаграммы Эйлера – Венна.

Ребятам поручили изготовить кубики. Несколько кубиков сделали из картона, а остальные из дерева. Кубики были двух размеров: большие и маленькие. Часть из них покрасили в зеленый цвет, другую – в красный. Получилось 16 зеленых кубиков. Зеленых кубиков большого размера  было 6. Больших зеленых из картона было 4. Красных кубиков из картона было 8,красных кубиков из дерева – 9. Больших деревянных кубиков было 7, а маленьких деревянных кубиков было 11. Сколько же всего получилось кубиков?

Решение. Выполняем рисунок.

Заполняем диаграмму.

1) Надо начинать с того подмножества, для которого указаны три свойства. Это большие зеленый кубики из картона – таких кубиков 4.

2) Далее ищем подмножества, для которого указаны два свойства из перечисленных трех. Это большие зеленые кубики – 6. Но это подмножество состоит из картонных и деревянных. Картонных было 4. Значит, деревянных 6-4=2.

3) Больших деревянных кубиков 7. Из них зеленых – 2. Значит, красных будет 7-2=5.

«Посылка» Бабушка прислала Ивану посылку с яблоками и грушами. Некоторые из этих плодов были большими, остальные – маленькими. По цвету плоды тоже различались: часть плодов была жёлтого цвета, остальные – зелёного. Среди плодов не было ни маленьких груш, ни маленьких зелёных яблок. Яблок было 25, а груш – 17. Больших плодов было 32. Жёлтых плодов было 28. Зелёных яблок было на 2 больше, чем зелёных груш. Иван угостил этими плодами своих друзей. Больше всего ребятам понравились  большие жёлтые яблоки.

Сколько было таких яблок?

Задачи, решаемые с помощью схем

Построение логических схем не только отражает связи между объектами, но и помогает решать некоторые задачи. Вот одна из них:

Задача 1 В салоне небольшого самолёта летят 42 пассажира. Некоторые из них Москвичи, остальные – иногородние. Среди москвичей 9 мужчин. Некоторые из пассажиров артисты, но, ни одна из иногородних женщин не является артисткой. Всего иногородних мужчин 18. Из них 13 – не артисты. Среди пассажиров, е являющихся артистами, 16 мужчин и 11 женщин. 6 москвичей не артисты. Разберитесь, пожалуйста, с пассажирами: кто есть кто? Для решения задачи построим схему, расставим имеющиеся числа и вычислим недостающие.

Так как всего 16 мужчин не являются артистами и 13 из них – иногородние, то среди москвичей – мужчин 3-е не являются артистами. Кроме того, всего 6 москвичей не являются артистами. Следовательно, среди них трое мужчин и три женщины.

Задача 2 Бабушка прислала Ивану посылку с яблоками и грушами. Некоторые из этих плодов были большими, остальные – маленькими. По цвету плоды тоже различались: часть плодов была жёлтого цвета, остальные – зелёного. Среди плодов не было ни маленьких груш, ни маленьких зелёных яблок. Яблок было 25, а груш – 17. Больших плодов было 32. Жёлтых плодов было 28. Зелёных яблок было на 2 больше, чем зелёных груш. Иван угостил этими плодами своих друзей. Больше всего ребятам понравились  большие жёлтые яблоки.

Сколько было таких яблок?

Метод рассуждений

Способ рассуждений - самый примитивный способ. Этим способом решаются самые простые логические задачи. Его идея состоит в том, что мы проводим рассуждения, используя последовательно все условия задачи, и приходим к выводу, который и будет являться ответом задачи.

Этим способом обычно решают несложные логические задачи.

Задача 1. Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение. Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

Ответ: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Задача 2 Перед началом Турнира Четырех болельщики высказали следующие предположения по поводу своих кумиров:

        А) Макс победит, Билл – второй;

        В) Билл – третий, Ник – первый;

        С) Макс – последний, а первый – Джон.

Когда соревнования закончились, оказалось, что каждый из болельщиков был прав только в одном из своих прогнозов. Какое место на турнире заняли Джон, Ник, Билл, Макс? (В ответе перечислите подряд без пробелов места участников в указанном порядке имен.) (Ответ: Джон – 3 , Ник – 1, Билл – 2, Макс - 4), 3124

Задача 3 Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из 3-х учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто – нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, – правда». Директор понял, кто из них кто. Расположите первые буквы имен мальчиков в порядке: «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз». (Пример: если бы имена мальчиков были Рома, Толя и Вася, ответ мог бы быть: РТВ) СКМ  (Саша – правдив, Коля – лжец, Миша – «полу-лжец»).

Задача 4 Мама, прибежавшая на звон разбившейся вазы, застала всех трех своих сыновей в совершенно невинных позах: Саша, Ваня и Коля делали вид, что происшедшее к ним не относится. Однако футбольный мяч среди осколков явно говорил об обратном.

– Кто это сделал? –  спросила мама.

–  Коля не бил по мячу,  – сказал Саша. –  Это сделал Ваня.

Ваня ответил:   – Разбил Коля, Саша не играл в футбол дома.

– Так я и знала, что вы друг на дружку сваливать будете,   рассердилась мама.   Ну, а ты что скажешь? – спросила она Колю.

– Не сердись, мамочка! Я знаю, что Ваня не мог этого сделать. А я сегодня еще не сделал уроки, –  сказал Коля.

Оказалось, что один из мальчиков оба раза солгал, а двое в каждом из своих заявлений говорили правду. Кто разбил вазу? (вазу разбил Коля)

Задача 5 В поездке пятеро друзей — Антон, Борис, Вадим, Дима и Гриша, знакомились с попутчицей. Они предложили ей отгадать их фамилии, причём каждый из них высказал одно истинное и одно ложное утверждение:

Дима сказал: "Моя фамилия — Мишин, а фамилия Бориса — Хохлов". Антон сказал: "Мишин — это моя фамилия, а фамилия Вадима — Белкин". Борис сказал: "Фамилия Вадима — Тихонов, а моя фамилия — Мишин". Вадим сказал: "Моя фамилия — Белкин, а фамилия Гриши — Чехов". Гриша сказал: "Да, моя фамилия Чехов, а фамилия Антона — Тихонов".

Задача 6 Произошло ограбление банка. Допросили только трёх свидетелей ограбления банка, и они сообщили следующие сведения о грабителе: цвет волос и особые приметы. Первый свидетель утверждал, что грабитель был брюнет, а на его лице были тёмные очки. Второй сказал, что грабитель был шатен, и что у него была борода, а третий свидетель уточнил, что грабитель точно не был брюнетом и, по всей видимости, был в шляпе. Когда удалось взять грабителя, выяснилось, что каждый из свидетелей точно определил либо цвет волос, либо особую примету грабителя. Определите цвет волос преступника и особую примету. (Грабитель был шатен, в очках. , 6 человек)

Задача 7 Для пикника сладкоежка Маша взяла в трёх одинаковых коробках конфеты, печенье и торт. На коробках были этикетки: Конфеты», «Печенье», «Торт». Но Маша знала, что мама любит шутить и всегда кладёт продукты в коробки, надписи на которых не соответствуют их содержимому. Маша была уверена, что конфеты не лежат в коробке, на которой написано «Торт». В каких  коробках лежат продукты? (Ответ: Конфеты - в «Печенье», печенье - в «Торт», Торт – в «Конфеты»)

Задача 8 На предприятии есть три цеха – A, B, C, договорившиеся о порядке утверждения проектов, а именно:
1. Если цех B не участвует в утверждении проекта, то в этом утверждении не участвует и цех A.
2. Если цех B принимает участие в утверждении проекта, то в нем принимают участие цехи A и C.
Обязан ли при этих условиях цех C принимать участие в утверждении проекта, когда в утверждении принимает участие цех A?(Ответ: Первое утверждение можно переформулировать следующим образом: если в утверждении участвует цех A, то цех B также должен участвовать. Тогда, согласно второму утверждению, цех C должен принимать участие в утверждении проекта.)

Задача 9 Перед судом стоят три человека, из которых каждый может быть либо аборигеном, либо пришельцем. Судья знает, что аборигены всегда отвечают на вопросы правдиво, а пришельцы всегда лгут. Однако судья не знает, кто из них абориген, а кто - пришелец. Он спрашивает первого, но не понимает его ответа. Поэтому он спрашивает сначала второго, а потом третьего о том, что ответил первый. Второй говорит, что первый говорил, что он абориген. Третий говорит, что первый назвал себя пришельцем. Кем были второй и третий подсудимые?