Методы решения логических задач
методическая разработка по информатике и икт на тему

Каждый из Вас, дорогие друзья, наверное сталкивался с популярной, так называемой, задачей Эйнштейна. Хотя и не существует фактических доказательств того, что задача была придумана амбициозным и неординарным физиком, его имя делает головоломку еще более увлекательной для пытливого ума.

Условие задачи формулируется пятнадцатью условиями, с помощью которых необходимо ответить на основной вопрос:

1. Норвежец живёт в первом доме.
2. Англичанин живёт в красном доме.
3. Зелёный дом находится слева от белого, рядом с ним.
4. Датчанин пьёт чай
5. Тот, кто курит Marlboro, живёт рядом с тем, кто выращивает кошек.
6. Тот, кто живёт в жёлтом доме, курит Dunhill.
7. Немец курит Rothmans.
8. Тот, кто живёт в центре, пьёт молоко.
9. Сосед того, кто курит Marlboro, пьёт воду.
10. Тот, кто курит Pall Mall, выращивает птиц.
11. Швед выращивает собак.
12. Норвежец живёт рядом с синим домом.
13. Тот, кто выращивает лошадей, живёт в синем доме.
14. Тот, кто курит Winfield, пьет пиво.
15. В зелёном доме пьют кофе.

Вопрос: кто разводит рыбок?

Приведенная задача является ярким примером целого раздела математических задач, называемых логическими. Решить ее в уме, наверное, кто-то и сможет, но понятно, что не каждому это под силу.  Однако решение становится прозрачным и легким для всех, если освоить несколько приемов решения логических задач. О них и методах их решения мы и поговорим.

Логические задачи составляют неотъемлемую часть математического образования любого школьника. Они заостряют интеллект и развивают логическое мышление детей, что очень важно при их подготовке к будущему обучению.

Есть несложные задачи, для решения которых достаточно хорошей смекалки, другие задачи требуют уже более серьезной подготовки: владение техникой решения подобных задач и умением организовать работу над задачей (выявить важные условия, подобрать способ решения).

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений условия задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). К классу логических задач относятся также задачи на переливания и взвешивания (фальшивые монеты и т.п.). Далее речь пойдет о методах и приемах решения таких задач.

Выделим основные методы решения логических задач и рассмотрим их подробнее по отдельности:

• метод рассуждений
• метод таблиц
• метод графов
• метод кругов Эйлера-Венна
• решение средствами алгебры логики

Метод рассуждений является самым простым и примитивным из всех перечисленных, потому что не требует каких-то особенных знаний и навыков. Он заключается в проведении рассуждения, используя все условия задачи, в результате которого мы приходим к результату, который и будет искомым решением. Применяя этот метод, мы можем решить относительно несложные задачи.

Задача:  Вадим, Сергей и Михаил изучают различные иностранные языки: китайский, японский и арабский. На вопрос, какой язык изучает каждый из них, один ответил: "Вадим изучает китайский, Сергей не изучает китайский, а Михаил не изучает арабский". Впоследствии выяснилось, что в этом ответе только одно утверждение верно, а два других ложны. Какой язык изучает каждый из молодых людей?

Решение:  Имеется три утверждения. Если верно первое утверждение, то верно и второе, так как юноши изучают разные языки. Это противоречит условию задачи, поэтому первое утверждение ложно. Если верно второе утверждение, то первое и третье должны быть ложны. При этом получается, что никто не изучает китайский. Это противоречит условию, поэтому второе утверждение тоже ложно. Остается считать верным третье утверждение, а первое и второе — ложными. Следовательно, Вадим не изучает китайский, китайский изучает Сергей.

В качестве результата делаем вывод: Сергей изучает китайский язык, Михаил — японский, Вадим — арабский.

Метод таблиц является более сложным относительно метода рассуждений, но так же не требует от нас определенных знаний: только способность логически рассуждать и правильно оценивать условия задачи. Данный метод имеют преимущество перед методом рассуждений, так как таблицы, составляемые в ходе решения задач, позволяют наглядно представить нам условие задачи. Рассмотрим решение логической задачи методом таблиц на примере.

Задача: Жили-были две фигуры: круг и квадрат. На их улице было 3 дома: один дом был с окном и трубой, другой - с окном, но без трубы, а третий - с трубой, но без окна. Каждая фигура жила в своем доме. Круг и Квадрат жили в домах с окнами. Квадрат любил тепло и часто топил печку. Кто в каком доме жил?

Решение: Составим таблицу, из которой мы будем последовательно вычеркивать те пункты, которые противоречат условию задачи. В итоге у нас останутся не вычеркнутые пункты – они и будут требуемым ответом.

В результате получаем ответ: Круг живет в доме с окном, но без трубы, а квадрат в доме с окном и трубой.

Метод графов уже требует определенных знаний и навыков. Прежде чем перейти к решению задачи ответим на простой вопрос: «А что такое граф?».

Графом называется способ представления, при котором объекты изображаются точками, а связи между ними линиями или стрелками. Примером графа может служить схема метро. Точки называются вершинами графа, а линии – ребрами.

Решение задач этим методом заключается в построении графа по условию задачи: дело нелегкое, но интересное.

Задача: Встретились три подруги: Белова, Краснова и Чернова. На одной из них было надето черное платье, на другой – красное, а на третьей белое. Девочка в красном платье говорит Черновой: « Нам надо поменяться платьями, а то цвет наших платьев не соответствует нашим фамилиям». Кто из девочек в какое платье был одет?

Решение: Здесь мы имеем два равночисленных множества: множество фамилий и множество цветов платьев. Между этими множествами надо установить взаимно-однозначное соответствие. Для этого построим граф. Пусть белые кружочки Б, К и Ч изображают элементы первого множества (Белова, Краснова и Чернова), а черные кружочки б, к и ч – элементы второго множества – белое, красное и чёрное. Условимся соединять эти кружочки тонкой голубой линией, если между ними нет соответствия. Если же соответствие между кружочками установлено правильно, то будем соединять их жирной черной линией.

Из первого условия получаем, что девочка в белом платье не может быть Черновой:

Из второго условия (цвет платья не соответствует фамилии) следует, что Б не соответствует б, К – к и Б – б:

Теперь из чертежа видно, что кружку Ч может соответствовать лишь кружок к, а кружку б только – только кружок К. Отметим эти соответствия черными линиями:

Теперь становится ясным, что кружок Б может соответствовать только кружку ч:

Следовательно, Белова одета в чёрное платье, Чернова одета в красное платье и Краснова – в белое платье.

Метод кругов Эйлера-Венна является еще одним наглядным и довольно интересным способом решения логических задач. В основе этого метода лежит построение знаменитых кругов Эйлера-Венна, обычно обозначающих какое-либо множество. Разберем пример применения данного метода.

Задача: Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят лилии, а пятеро — фиалки. И только у двоих есть и лилии и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Итак, мы имеем, что Фиалки разводят пять подруг, а лилии – шесть. Условие, что только у двоих есть и фиалки и лилии, позволяет нам применить круги Эйлера-Венна:

Проведем несложные расчеты:

И всего получаем:

Полученный результат и будет решением нашей задачи.

Последний метод решения логических задач – решение задач средствами алгебры логики. Понятно, что применять этот метод становится возможным только после изучения алгебры логики. Поэтому данный метод вызывает некоторые сложности, но на практике находит широкое применение при решение большого круга задач.

Есть и другие методы решения логических задач, но они используются реже, чем рассмотренные выше. Выбор метода решения не влияет на ответ задачи, и зависит только от ваших предпочтений и возможностей.