Логические основы информатики
материал для подготовки к егэ (гиа) по информатике и икт (11 класс) на тему

A10 (повышенный уровень, время – 2 мин)

Тема:  Основные понятия математической логики.

Про обозначения

К сожалению, обозначения логических операций И, ИЛИ и НЕ, принятые в «серьезной» математической логике (∧,∨,¬), неудобны, интуитивно непонятны и никак не проявляют аналогии с обычной алгеброй. Автор, к своему стыду, до сих пор иногда путает  ∧ и ∨. Поэтому на его уроках операция «НЕ» обозначается чертой сверху, «И» – знаком умножения (поскольку это все же логическое умножение), а «ИЛИ» – знаком «+» (логическое сложение).
В разных  учебниках используют разные обозначения. К счастью, в начале задания ЕГЭ приводится расшифровка закорючек (∧, ∨,¬), что еще раз подчеркивает проблему. Далее во всех решениях приводятся два варианта записи.

Что нужно знать:

• условные обозначения логических операций

¬ A,                 не A (отрицание, инверсия)

A ∧ B,         A и B (логическое умножение, конъюнкция)

A ∨ B,          A или B (логическое сложение, дизъюнкция)

A → B                 импликация (следование)

• таблицы истинности логических операций «И», «ИЛИ», «НЕ», «импликация» (см. презентацию «Логика»)
• операцию «импликация» можно выразить  через «ИЛИ» и «НЕ»:

A → B = ¬ A ∨ B или в других обозначениях  A → B =

• если в выражении нет скобок, сначала выполняются все операции «НЕ», затем – «И», затем  – «ИЛИ», и самая последняя – «импликация»
• иногда полезны формулы де Моргана^[1]:

¬ (A ∧ B) = ¬ A ∨ ¬ B                

¬ (A ∨ B) = ¬ A ∧ ¬ B                

Пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) 10         2) 20         3) 30         4) 45

Решение:

1. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

2. перейдем к более простым обозначениям 

A → (P + Q)

3. раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ (): 

4. для того, чтобы выражение было истинно при всех x,  нужно, чтобы  было истинно там, где ложно  (жёлтая область на рисунке)

5. поэтому максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно,  ложно) – это отрезок [10,55], имеющий длину 45
6. Ответ: 4.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,20] и Q = [25, 55]. Определите наибольшую возможную длину отрезка A, при котором формула

( x ∈ A) → ((x ∈ P) ∨ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) 10         2) 20         3) 30         4) 45

Решение:

1. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

2. перейдем к более простым обозначениям 

A → (P + Q)

3. раскроем импликацию через операции НЕ и ИЛИ (): 

4. для того, чтобы выражение было истинно при всех x,  нужно, чтобы  было истинно там, где ложно  (жёлтая область на рисунке)

5. поскольку области истинности  и  разделены, максимальный отрезок, где A может быть истинно (и, соответственно,  ложно) – это наибольший из отрезков  и , то есть отрезок [25,55], имеющий длину 30
6. Ответ: 3.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [14,34] и Q = [24, 44]. Выберите такой отрезок A, что формула

( x ∈ A) → ((x ∈ P) ≡ (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [15, 29]                 2) [25, 29]         3) [35,39]         4) [49,55]

Решение:

7. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

8. перейдем к более простым обозначениям 

A → (P ≡ Q)

9. выражение  R = (P ≡ Q)  истинно для всех значений x, при которых P и Q равны (либо оба ложны, либо оба истинны)
10. нарисуем область истинности выражения  R = (P ≡ Q) на числовой оси (жёлтые области)

11. импликация A → R истинна за исключением случая, когда A=1 и R=0, поэтому на полуотрезках [14,24[ и ]34,44], где R=0, выражение A должно быть обязательно ложно; никаких других ограничений не накладывается
12. из предложенных ответов этому условия соответствуют отрезки [25,29] и [49,55]; по условию из них нужно выбрать самый длинный
13. отрезок [25,29] имеет длину 4, а отрезок [49,55] – длину 6, поэтому выбираем отрезок [49, 55]
14. Ответ: 4.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [20, 50] и Q = [10, 60]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ А) ) /\ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [5, 40]                 2) [15, 54]         3) [30,58]         4) [5, 70]

Решение:

15. в этом выражении две импликации связаны с помощью операции И (конъюнкции), поэтому для истинности всего выражения обе импликации должны быть истинными
16. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

17. перейдем к более простым обозначениям в обоих условиях  

(P → A)  /\  (A → Q)

и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:

,

18. выражение  должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение – это две полуоси

19. отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 4
20.  выражение  тоже должно быть истинно на всей числовой оси; выражение  должно перекрывать все, кроме отрезка, который перекрывает выражение:

21. поэтому начало отрезка должно быть внутри отрезка [10,20], а его конец – внутри отрезка [50,60]
22. этим условиям удовлетворяет только вариант 2.
23. Ответ: 2.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

(x ∈ P) → (x ∈ A)

 (¬ (x ∈ А)) → (¬(x ∈ Q))

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [40,50]        2) [30,60]        3) [30,70]        4) [40, 100]

Решение:

24. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

25. перейдем к более простым обозначениям в первом условии  P → A и выразим импликацию через операции ИЛИ и НЕ:
26. выражение  должно быть истинно на всей числовой оси; обозначим область, которую перекрывает выражение - это две полуоси
27. 
28. отсюда следует, что отрезок A должен полностью перекрывать отрезок P; этому условию удовлетворяют варианты ответов 2 и 3
29. аналогично разбираем и преобразуем второе выражение

30. и находим, что для того, чтобы обеспечить истинность второго выражения на всей оси отрезок A должен полностью перекрыть отрезок Q; этому условию удовлетворяют варианты ответов 3 и 4
31. объединяя результаты п. 5 и 7, получаем, что условию задачи соответствует только отрезок 3.
32. Ответ: 3.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 10] и Q = [6, 14]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3]        2) [3, 11]        3) [11, 15]        4)[15, 17]

Решение:

1. два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них
2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

3. тогда получаем, переходя к более простым обозначениям:

Z = (A→P) + Q

4. представим импликацию A → P через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем
5. это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: , P, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только
6. посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями P и Q:

7. видим, что отрезок [2,14] перекрыт, поэтому выражение  должно перекрывать оставшуюся часть; таким образом, должно быть истинно на интервалах (– ∞,2) и (14,∞) и, соответственно, выражение  A (без инверсии) может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
8. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
9. Ответ: 2.

Решение (вариант 2, А.Н. Евтеев):

1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
2. полученное после преобразований выражение  должно быть истинно при любом x
3. логическая сумма истинна во всех случаях кроме одного: если все слагаемые ложны, следовательно выражение  ложно только когда A = 1, P = 0 и Q = 0
4. поэтому если область истинности A выйдет за пределы отрезка [2,14], где одновременно ложны P и Q, то  будет ложно
5. это значит, что A может быть истинно только внутри отрезка [2,14]
6. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2) находится целиком внутри отрезка [2,14], это и есть правильный ответ
7. Ответ: 2.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
3. эти точки (2,6,10 и 14) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4. по условию выражение  должно быть равно 1 при любых значениях x,  то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение  (и соответствующее значение ) для каждого интервала:

5. таким образом, значениедолжно быть равно 0 вне отрезка [2,14]; из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезов [3,11] (вариант 2)
6. Ответ: 2.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]        2) [10, 25]        3) [2, 10]        4)[15, 20]

Решение (отрезки на оси):

1. два условия связаны с помощью операции \/ («ИЛИ»), поэтому должно выполняться хотя бы одно из них
2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q

3. учтем, что в формуле используется знак ∉ («не принадлежит»), поэтому  при переходе к более простым обозначениям получаем:

4. представим импликацию  через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем
5. это значит, что для тождественной истинности выражения Z нужно, чтобы для любого x было выполнено одно из условий: ,, Q; из всех этих выражений нам неизвестно только
6. посмотрим, какие интервалы перекрываются условиями и Q;  область  состоит из двух участков числовой оси, которые не входят в отрезок [2,20], а область Q – это отрезок [15,25]:

7. таким образом, область истинности выражения  должна перекрывать оставшуюся часть – отрезок [2,15]
8. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ
9. Ответ: 1.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1. пп. 1-4 такие же, как и в предыдущем способе решения
2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
3. эти точки (2,15,20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4. по условию выражение  должно быть равно 1 при любых значениях x,  то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

5. таким образом, область истинности выражения  должна перекрывать отрезок [2,15]
6. из всех отрезков, приведенных в условии, только отрезок [0,15] (вариант 1) полностью перекрывает отрезок [2,15], это и есть правильный ответ
7. Ответ: 1.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 25], Q = [15, 30] и R=[25,40]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ Q) → (x ∉ R) ) /\ (x ∈ A) /\ (x ∉ P)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]        2) [10, 40]        3) [25, 35]        4)[15, 25]

Решение (способ 1):

1. три условия связаны с помощью операции /\ (логическое «И»), поэтому для того, чтобы выражение было тождественно равно нулю, для каждого значения x по крайней мере одно из них должно был ложно
2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q,         R: x ∈ R

3. учтем, что в формуле дважды используется знак ∉ («не принадлежит»), поэтому  при переходе к более простым обозначениям получаем:

4. представим импликацию  через операции «ИЛИ» и «НЕ»: , так что получаем
5. роль сомножителя A состоит в том, чтобы обнулить выражение везде, где  произведение  равно 1; поэтому для этих значений x выражение A должно быть равно нулю, а для остальных x его значение не играет роли
6. область истинности выражения  по закону де Моргана совпадает с областью истинности выражения , то есть это область вне общей части отрезков Q и R (она показана жёлтым цветом на рисунке):

7. теперь умножим это выражение на  (ему соответствует область вне отрезка [10,25]), построив область ; эта область, где одновременно истинны  и , выделена фиолетовым цветом:

8. как следует из п. 4, в фиолетовой области на предыдущем рисунке выражение A должно быть обязательно равно 0, и только внутри отрезка [10,30] может быть истинно
9. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
10. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
11. Ответ: 4.

Решение (способ 2, инверсия и преобразование):

1. пп. 1-4 такие же, как и в первом способе
2. выражение  тождественно ложно тогда и только тогда, когда обратное ему, , тождественно истинно; таким образом, если выполнить инверсию для , мы сведём задачу к задаче из демо-варианта ЕГЭ-2013, разобранной выше
3. имеем, используя законы де Моргана:

4. выражение  истинно на общей части (пересечении) отрезков Q и R, то есть, на отрезке [25,30]
5. добавляя к этому диапазону отрезок P, получим отрезок [10,30], где истинно выражение  

6. остальную часть числовой оси (при x меньше 10 и x больше 30) должно перекрыть выражение , то есть  должно быть ложно вне отрезка [10,30]
7. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
8. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
9. Ответ: 4.

Решение (таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1. пп. 1-5 такие же, как и в первом способе решения
2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
3. эти точки (10,15,25, 30 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4. по условию выражение  должно быть равно 0 при любых значениях x,  то есть, в соответствующем столбце таблицы должны быть все единицы; отсюда можно найти, каким должно быть значение для каждого интервала:

1. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который целиком помещается внутри отрезка [10,30]
2. этому условию удовлетворяет только отрезок [15,25] (ответ 4)
3. Ответ: 4.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны три интервала: P = (5, 10), Q = [10, 20] и R = [25,40]. Выберите такой отрезок A, что выражения

(x ∈ A) → (x ∈ P)   и   (x ∈ Q) → (x ∈ R)

тождественно равны, то есть принимают одинаковые значения при любом значении переменной х.

1) [7, 20]        2) [2, 12]        3) [10,25]        4)[20, 30]

Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):

1. обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков
2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q,         R: x ∈ R

3. перейдём к более простым обозначениям:

,

4. выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:

,  

5. заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение
6. общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения , а затем дополнить отрезок P до этой области; это «дополнение» будет соответствовать области
7. построим область  – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:

обратим внимание, что область  (выделена жёлтым цветом) в данном случае совпадает с

8. теперь рассмотрим область  (выделена голубым цветом)

9. чтобы область истинности выражения  совпала с жёлтой областью, выражение  должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область )
10. поэтому выражение обязательно должно быть истинно на отрезке [10,20]; обязательно должно быть ложно на полуосях  и , а на отрезке [5,10] его значение может быть любым (там выполнение требований обеспечивает область )
11. из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7,20] (ответ 1)
12. Ответ: 1.

Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

1. пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения
2. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
3. эти точки (5, 10, 20, 25 и 40) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

4. по условию выражение  должно быть равно выражению  при любых значениях x,  отсюда можно найти, каким должно быть значение  (и соответствующее значение ) для каждого интервала:

4. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [10,20] и, возможно, заходит внутрь отрезка [5,10]
5. из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [7,20] (ответ 1)
6. Ответ: 1.

Ещё пример задания:

На числовой прямой даны три интервала: P = (10, 15), Q = [5, 20] и R = [15,25]. Выберите такой отрезок A, что выражения

(x ∉ A) → (x ∈ P)   и   (x ∈ Q) → (x ∈ R)

принимают различные значения при любых x.

1) [7, 20]        2) [2, 15]        3) [5,12]        4)[20, 25]

Решение (способ 1, отрезки на числовой прямой):

1. обратите внимание, что интервал P – это открытый интервал; это необходимо для того, чтобы можно было выполнить заданное условие в точках стыковки отрезков
2. для того, чтобы упростить понимание выражения, обозначим отдельные высказывания буквами

A:  x ∈ А,          P: x ∈ P,         Q: x ∈ Q,         R: x ∈ R

3. перейдём к более простым обозначениям:

,

4. выразим импликации через операции «ИЛИ» и «НЕ»:

,  

5. заметим, что неизвестная величина A входит только в выражение
6. общая идея состоит в том, чтобы построить на числовой оси область истинности для полностью известного выражения , а затем дополнить отрезок P до «обратной» области, в которой выражение  ложно; это «дополнение» будет соответствовать области
7. построим область  – объединение отрезка R и области вне отрезка Q:

8. теперь рассмотрим область  (выделена голубым цветом)

9. чтобы выполнить заданное условие (противоположность значений  и  при любых x), область истинности выражения  должна совпадать с областью, где выражение  ложно; для этого выражение  должно «перекрыть» всю фиолетовую область (возможно, заходя в область ), но не должно заходить в «жёлтую» область:

10. из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,12] (ответ 3)
11. Ответ: 3.

Решение (способ 2, таблицы истинности, Е.А. Смирнов):

5. пп. 1-6 такие же, как и в первом способе решения
6. если рассматривать все значения x на числовой прямой, то логические значения формул могут измениться только при переходе через граничные точки заданных промежутков
7. эти точки (5, 10, 15, 20 и 25) разбивают числовую прямую на несколько интервалов, для каждого из которых можно определить логическое значение выражения

для упрощения записи не будем рассматривать значения формул на концах отрезков, так как это не влияет на решение

8. по условию выражение  должно быть НЕ равно выражению  при любых значениях x,  отсюда можно найти, каким должно быть значение  для каждого интервала:

7. таким образом, среди ответов нужно найти отрезок, который перекрывает отрезок [5,10] и, возможно, заходит внутрь отрезка [10,15]
8. из предложенных вариантов ответов этим требованиям удовлетворяет только отрезок [5,12] (ответ 3)
9. Ответ: 3.

Ещё пример задания:

Какое из приведённых имен удовлетворяет логическому условию:
(первая буква согласная → вторая буква согласная) /\ (предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная)?

 1)  КРИСТИНА         2) МАКСИМ        3) СТЕПАН        4) МАРИЯ

Решение:

1. два условия связаны с помощью операции /\  («И»), поэтому должны выполняться одновременно
2. импликация ложна, если ее первая часть («посылка») истинна, а вторая («следствие») – ложна
3. первое условие «первая буква согласная → вторая буква согласная» ложно тогда, когда первая буква согласная, а вторая – гласная, то есть для ответов 2 и 4
4. второе условие «предпоследняя буква гласная → последняя буква гласная» ложно тогда, когда предпоследняя буква гласная, а последняя – согласная, то есть, для ответа 3
5. таким образом, для варианта 1 (КРИСТИНА) оба промежуточных условия и исходное условие в целом истинны
6. ответ: 1.

Ещё пример задания:

Для какого из указанных значений X истинно высказывание     ¬((X > 2)→(X > 3))?

 1)  1         2) 2        3) 3        4) 4

Решение (вариант 1, прямая подстановка):

1. определим порядок действий: сначала вычисляются результаты отношений в скобках, затем выполняется импликация (поскольку есть «большие» скобки), затем – отрицание (операция «НЕ») для выражения в больших скобках
2. выполняем операции для всех приведенных возможных ответов (1 обозначает истинное условие, 0 – ложное); сначала определяем результаты сравнения в двух внутренних  скобках:

3. по таблице истинности операции «импликация» находим третий столбец (значение выражения в больших скобках), применив операцию «импликация» к значениям второго и третьего столбцов (в каждой строке):

4. значение выражения равно инверсии третьего столбца (меняем 1 на 0 и наоборот):

5. таким образом, ответ – 3.

Решение (вариант 2, упрощение выражения):

1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2,        B = X > 3

2. тогда можно записать все выражение в виде

            ¬(A → B)         или          

3. выразим импликацию через «ИЛИ» и «НЕ» (см. выше):

¬(A → B)= ¬(¬A ∨ B) или  

4. раскрывая по формуле де Моргана операцию «НЕ» для всего выражения, получаем

¬(¬A ∨ B)= A ∧ ¬B   или  

5. таким образом, данное выражение истинно только тогда, когда A истинно (X > 2), а B – ложно (X ≤ 3), то есть для всех X, таких что 2 < X ≤ 3
6. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
7. таким образом, ответ – 3.

Решение (вариант 3, использование свойств импликации):

1. обозначим простые высказывания буквами:

A = X > 2,        B = X > 3

2. тогда исходное выражение можно переписать в виде   ¬(A→B)=1 или A→B=0
3. импликация A→B ложна в одном единственном случае, когда A = 1 и B = 0; поэтому заданное выражение истинно для всех X, таких что X > 2 и X ≤ 3
4. из приведенных чисел только 3 удовлетворяет этому условию,
5. таким образом, ответ – 3.

Задачи для тренировки:

1. Для какого из указанных значений числа X истинно высказывание

  ((X < 5)→(X < 3)) ∧ ((X < 2)→(X < 1))

        1)  1         2) 2        3) 3        4) 4

2. Для какого числа X истинно высказывание  ((X > 3)∨(X < 3)) →(X < 1)

        1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

3. Для какого числа X истинно высказывание     X > 1 ∧ ((X < 5)→(X < 3))

        1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

4. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени гласная  → Четвертая буква имени согласная)?

1) ЕЛЕНА        2) ВАДИМ        3) АНТОН        4) ФЕДОР

5. Для какого символьного выражения неверно высказывание:

Первая буква гласная → ¬ (Третья буква согласная)?

1)abedc        2)becde        3) babas     4) abcab

6. Для какого числа X истинно высказывание     (X > 2)∨(X > 5)→(X < 3)

        1) 5          2) 2        3) 3        4) 4

7. Для какого из значений числа Z высказывание ((Z > 2)∨(Z > 4)) →(Z > 3) будет ложным?

1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

8. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква имени согласная  → Третья буква имени гласная)?

1) ЮЛИЯ        2) ПЕТР        3) АЛЕКСЕЙ        4) КСЕНИЯ

9. Для какого из значений числа Y высказывание (Y < 5) ∧ ((Y > 1) → (Y > 5)) будет истинным?

1) 1        2) 2        3) 3        4) 4

10. Для какого символьного выражения верно высказывание:

 ¬ (Первая буква согласная)  ∧ ¬  (Вторая буква гласная)?

1) abcde            2) bcade             3) babas         4) cabab

11. Для какого имени истинно высказывание:

(Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) ∧   Последняя  буква согласная?

1) ИРИНА        2) МАКСИМ        3) МАРИЯ        4) СТЕПАН

12. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква согласная  → Последняя буква гласная) ∧   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА        2) СТЕПАН                3) МАРИНА        4) ИВАН

13. Для какого имени истинно высказывание:

(Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) ∧   Последняя  буква гласная?

1) КСЕНИЯ        2) МАКСИМ        3) МАРИЯ        4) СТЕПАН

14. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) ∧   Последняя  буква согласная?

1) ИРИНА        2) МАКСИМ        3) МАРИЯ        4) СТЕПАН

15. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква согласная  → Последняя буква согласная) ∧   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА        2) СТЕПАН                3) МАРИЯ        4) КСЕНИЯ

16. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква гласная  → Вторая буква гласная) ∧   Последняя буква гласная?

1) ИРИНА        2) МАКСИМ                3) АРТЕМ        4) МАРИЯ

17. Для какого названия животного ложно высказывание:

Заканчивается на согласную  ∧  В слове 7 букв  →   ¬(Третья буква согласная)?

1) Верблюд        2) Страус                3) Кенгуру        4) Леопард

18. Для какого названия животного ложно высказывание:

В слове 4 гласных буквы  ∧  ¬ (Пятая буква гласная)  ∨   В слове 5 согласных букв?

1) Шиншилла        2) Кенгуру                3) Антилопа        4) Крокодил

19. Для какого названия животного ложно высказывание:

Четвертая буква гласная  →  ¬ (Вторая буква согласная)?

1) Собака        2) Жираф                3) Верблюд        4) Страус

20. Для какого слова ложно высказывание:

Первая буква слова согласная  → (Вторая буква имени гласная ∧ Последняя буква слова согласная)?

1) ЖАРА        2) ОРДА        3) ОГОРОД        4) ПАРАД

21. Для какого числа X истинно высказывание  (X⋅(X-16) > -64) →(X > 8)

        1) 5        2) 6        3) 7         4) 8

22. Для какого числа X истинно высказывание  (X⋅(X-8) > -25 + 2⋅X) →(X > 7)

        1) 4        2) 5        3) 6         4) 7

23. Для какого символьного набора истинно высказывание:

Вторая буква согласная ∧   (В слове 3 гласных буквы  ∨ Первая буква согласная)?

1) УББОШТ        2) ТУИОШШ                3) ШУБВОИ        4) ИТТРАО

24. Для какого имени ложно высказывание:

(Первая буква гласная  ∧  Последняя буква согласная)  →   ¬(Третья буква согласная)?

1) ДМИТРИЙ        2) АНТОН                3) ЕКАТЕРИНА        4) АНАТОЛИЙ

25. Для какого имени истинно высказывание:

Первая буква гласная  ∧  Четвертая буква согласная ∨   В слове четыре буквы?

1) Сергей        2) Вадим                3) Антон        4) Илья

26. Для какого числа X истинно высказывание  
          ((X < 4) →(X < 3))  ∧ ((X < 3) →(X < 1))

        1) 1        2) 2        3) 3         4) 4

27. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) ∧   Последняя буква согласная?

1) ИРИНА        2) МАКСИМ                3) СТЕПАН        4) МАРИЯ

28. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Первая буква согласная  → Последняя буква согласная) ∧   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА        2) СТЕПАН                3) КСЕНИЯ        4) МАРИЯ

29. Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  → Вторая буква согласная) ∧   Последняя буква гласная?

1) КСЕНИЯ        2) МАКСИМ                3) СТЕПАН        4) МАРИЯ

30. Для какого имени истинно высказывание:

¬ (Последняя буква гласная  → Первая буква согласная) ∧   Вторая буква согласная?

1) ИРИНА        2) АРТЁМ                3) СТЕПАН        4) МАРИЯ

31. Для какого слова истинно высказывание:

¬ (Первая буква согласная  → (Вторая буква согласная ∨   Последняя буква гласная))?

1) ГОРЕ        2) ПРИВЕТ                3) КРЕСЛО        4) ЗАКОН

32. Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  → Вторая буква гласная) ∧   Последняя буква согласная?

1) АЛИСА        2) МАКСИМ                3) СТЕПАН        4) ЕЛЕНА

33. Для какого имени истинно высказывание:

 (Вторая буква гласная  → Первая буква гласная) ∧   Последняя буква согласная?

1) АЛИСА        2) МАКСИМ                3) СТЕПАН        4) ЕЛЕНА

34. Для какого названия реки ложно высказывание:

 (Вторая буква гласная  → Предпоследняя буква согласная) ∧   Первая буква стоит в
    алфавите раньше третьей?

1) ДУНАЙ        2) МОСКВА                3) ДВИНА        4) ВОЛГА

35. Для каких значений X и Y истинно высказывание:

 (Y+1 > X) ∨ (Y+X < 0) ∧ (X > 1)?

1) X = 0,5; Y = -1,1                2) X = 1,1; Y = -4                
3) X = -1; Y = -4                4) X = -1/10; Y = -1,1

36. Для какого слова истинно высказывание:

 (Вторая буква согласная  ∨   Последняя буква гласная) → Первая буква гласная?

1) ГОРЕ        2) ПРИВЕТ                3) КРЕСЛО        4) ЗАКОН

37. Для какого имени истинно высказывание:

 Первая буква согласная ∧ (¬ Вторая буква согласная →  Четвертая буква гласная)?

1) ИВАН        2) ПЕТР                3) ПАВЕЛ        4) ЕЛЕНА

38. Для какого названия станции метро истинно высказывание:

(Первая буква согласная → Вторая буква согласная) ~  Название содержит букву «л»)?

Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).

1) Маяковская        2) Отрадное                3) Волжская        4) Комсомольская

39. Для какого названия города истинно высказывание:

(Первая буква гласная ∧ Последняя буква гласная) ~  Название содержит букву «м»)?

Знаком ~ обозначается операция эквивалентности (результат X ~ Y – истина, если значения X и Y совпадают).

1) Москва        2) Дюссельдорф        3) Амстердам        4) Атланта

40. Для какого имени истинно высказывание:

 (Первая буква согласная  ∨   Вторая буква гласная) → В слове 4 буквы?

1) МИХАИЛ        2) ГРИГОРИЙ                3) ЕВГЕНИЙ        4) ИОЛАНТА

41. Для какого числа X истинно высказывание  ((X < 5) → (X < 3)) ∧  ((X < 2) → (X > 1))

        1) 1        2) 2        3) 3         4) 4

42. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [12, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [3, 11]        2) [2, 21]        3) [10, 17]        4)[15, 20]

43. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 10] и Q = [15, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [3, 11]        2) [6, 10]        3) [8, 16]        4)[17, 23]

44. На числовой прямой даны два отрезка: P = [25, 30] и Q = [15, 20]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]        2) [12, 30]        3) [20, 25]        4)[26, 28]

45. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 20] и Q = [15, 30]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 15]        2) [3, 20]        3) [10, 25]        4)[25, 40]

46. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 25] и Q = [0, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [5, 20]        4)[12, 40]

47. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [12, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∉ А) → (x ∉ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [5, 20]        4)[12, 40]

48. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5, 15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 15]        2) [20, 35]        3) [15, 22]        4)[12, 18]

49. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [15, 25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [8, 17]        2) [10, 12]        3) [15, 22]        4)[12, 18]

50. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10, 40], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∈ A) → (x ∈ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10, 20]        2) [15, 25]        3) [20, 30]        4)[120, 130]

51. На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,20], Q = [5, 15] и R=[35,50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∈ A) → (x ∈ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [-15,-5]        2) [2, 7]        3) [10,17]        4)[15, 20]

52. На числовой прямой даны три отрезка: P = [15,30], Q = [0, 10] и R=[25,35]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∈ A) → (x ∈ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10,17]        2) [15, 25]        3) [20,30]        4)[35, 40]

53. На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∈ A) → (x ∈ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10,25]        2) [20, 30]        3) [40,50]        4)[35, 45]

54. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,50], Q = [15, 20] и R=[30,80]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∉ A) → (x ∉ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [10,25]        2) [25, 50]        3) [40,60]        4)[50, 80]

55. На числовой прямой даны три отрезка: P = [0,40], Q = [20, 45] и R=[10,50]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) \/ ( (x ∉ A) → (x ∉ R) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5,20]        2) [10, 15]        3) [15,20]        4)[35,50]

56. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∈ P) /\ (x ∉ Q) /\ (x ∈ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 7]        2) [8, 15]        3) [15, 20]        4)[7, 20]

57. На числовой прямой даны два отрезка: P = [12, 22] и Q = [7,17]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∉ P) /\ (x ∈ Q)  /\ (x ∈ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 5]        2) [7, 12]        3) [10, 20]        4)[5, 22]

58. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 20] и Q = [5,15]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ Q) → (x ∈ P) ) /\ (x ∈ A)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 6]        2) [5, 8]        3) [7, 15]        4)[12, 20]

59. На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5,10] и R=[20,25]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) /\ ( (x ∉ A) → (x ∈ R) )

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 20]        2) [0, 10]        3) [10, 15]        4)[25, 30]

60. На числовой прямой даны три отрезка: P = [15, 30], Q = [5,10] и R=[10,20]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ Q) ) /\ (x ∉ A) /\ (x ∈ R)

тождественно ложна, то есть принимает значение 0 при любом значении переменной х.

1) [0, 12]        2) [10, 17]        3) [15, 20]        4)[15, 30]

61. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∈ A) → (x ∈ P)    и    (x ∈ Q) → (x ∈ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [5, 12]        2) [10, 17]        3) [12, 20]        4)[15, 25]

62. На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,10], Q = [15,20] и R=[25,30]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∈ A) → (x ∈ P)    и    (x ∈ Q) → (x ∉ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [5, 10]        2) [15, 20]        3) [10, 20]        4)[15, 25]

63. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,25], Q = [15,30] и R=[25,35]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∉ A) → (x ∉ P)    и    (x ∈ Q) → (x ∈ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (10, 12)        2) (0, 10)        3) (5, 15)        4)(15, 25)

64. На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,30], Q = [15,30] и R=[20,35]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∉ A) → (x ∉ P)    и    (x ∈ Q) → (x ∉ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (10, 25)        2) (15, 20)        3) (15, 30)        4)(5, 20)

65. На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,15], Q = [10,20] и R=[15,20]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∈ A) → (x ∈ P)    и    (x ∉ Q) → (x ∉ R)

тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) [3, 10]        2) [7, 12]        3) [12, 17]        4)[22, 25]

66. На числовой прямой даны три отрезка: P = [5,25], Q = [5,15] и R=[10,20]. Выберите такой интервал A, что формулы

 (x ∉ A) → (x ∉ P)    и    (x ∉ Q) → (x ∈ R)

тождественно различны, то есть принимают разные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек).

1) (5, 12)        2) (10, 18)        3) (18, 25)        4)(20, 35)

67. На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 9] и Q = [4, 12]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 5]        2) [5, 10]        3) [10, 15]        4)[15, 20]

68. На числовой прямой даны два отрезка: P = [4, 16] и Q = [9, 18]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ (x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [1, 11]        2) [3, 10]        3) [5, 15]        4)[15, 25]

69. На числовой прямой даны два отрезка: P = [3, 13] и Q = [7, 17]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ ¬(x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [5, 20]        2) [10, 25]        3) [15, 30]        4)[20, 35]

70. На числовой прямой даны два отрезка: P = [5, 15] и Q = [11, 21]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) \/ ¬(x ∈ Q)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [2, 22]        2) [3, 13]        3) [6, 16]        4) [17, 27]

71. На числовой прямой даны два отрезка: Р = [30, 45] и Q = [40, 55]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х:

(¬ (x ∈ А)) → ¬(x ∈ P)

 (x ∈ Q) → (x ∈ A)  

Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

1) [25,50]        2) [25,65]        3) [35,50]        4) [35,85]

72. На числовой прямой даны два отрезка: P = [41, 61] и Q = [11, 91]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ А) ) /\ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет

большую длину.

1) [7, 43]                 2) [7, 73]         3) [37, 53]         4) [37, 63]

73. На числовой прямой даны два отрезка: P = [32, 52] и Q = [12, 72]. Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ P) → (x ∈ А) ) /\ ( (x ∈ A) → (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении

переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет

большую длину.

        1) [7, 53]                 2) [7, 33]         3) [27, 53]         4) [27, 33]

74. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10,30] и Q = [20, 40]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∈ A) → ( (x ∈ P)  ≡  (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [10, 19]                 2) [21, 29]         3) [31, 39]         4) [9, 41]

75. На числовой прямой даны два отрезка: P = [54,84] и Q = [64, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∈ A) → ( (x ∈ P)  ≡  (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [25, 40]                 2) [45, 61]         3) [65, 82]         4) [75, 83]

76.  На числовой прямой даны два отрезка: P = [34,64] и Q = [74, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∈ A) → ( (x ∈ P)  ≡  (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [5, 33]                 2) [25, 42]         3) [45, 71]         4) [65, 90]

77. На числовой прямой даны два отрезка: P = [34,84] и Q = [44, 94]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∈ A) → ( (x ∈ P)  →  (x ∈ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет большую длину.

        1) [45, 60]                 2) [65, 81]         3) [85, 102]         4) [105, 123]

78.  На числовой прямой даны два отрезка: P = [6, 16] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

1) 10        2) 20        3) 21        4)30

79. На числовой прямой даны два отрезка: P = [10, 40] и Q = [30, 50]. Отрезок A таков, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ Q) ) \/ (x ∈ P)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. Какова наибольшая возможная длина отрезка A?

1) 10        2) 20        3) 30        4)40

80. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула

 (x ∉ A) → ( (x ∈ P)  →  (x ∉ Q) )

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [3, 14]                 2) [23, 32]         3) [43, 54]         4) [15, 45]

81. На числовой прямой даны два отрезка: P = [2, 42] и Q = [22, 62]. Выберите такой отрезок A, что формула

((x ∈ P) →  (x ∉ Q))  →  (x ∉ A)

тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

        1) [3, 14]                 2) [23, 32]         3) [43, 54]         4) [15, 45]