Решение задач. Пре­об­ра­зо­ва­ние логических выражений.
статья по информатике и икт (11 класс) по теме

Слайд 1

ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © Преобразование логических выражений . А 10 Разбор задач ЕГЭ

Слайд 2

Задача 1. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © Для какого из названий животных ложно высказывание: (Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Четвертая буква согласная)? 1) Страус 2) Леопард 3) Верблюд 4) Кенгуру Решение1. (Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Четвертая буква согласная)=0, значит отрицание этого высказывания истинно. Возьмём отрицание: (Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) Λ (Четвертая буква гласная)=1. Подходит только первый вариант.

Слайд 3

Задача 1. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © Решение2. В первую очередь выполняется логическое "И". Импликация ложна только тогда, когда посылка истина, а следствие ложно. Посылка {(Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв)} истина для варианта один, а следствие {(Четвертая буква согласная)} для него ложно. Следовательно, ответ 1. Ответ 1

Слайд 4

Задача 2. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © Логическое выражение ¬Y V ¬((Х V Y) Λ ¬Y) Λ Х Λ ¬Y максимально упpощаетcя до выражения 1) Х Λ Y 2) ¬Y 3) Х 4) 1 Решение. Рассмотрим выражение в скобках: ¬((Х V Y) Λ ¬Y) = (¬(Х V Y) V Y) = (¬(Х V Y) V Y)= ¬Х Λ ¬Y V Y Подставим в исходное выражение: ¬Y V (¬Х Λ ¬Y V Y )Λ Х Λ ¬Y= ¬Y V (¬Х Λ ¬Y Λ Х Λ ¬Y) V (Y Λ Х Λ ¬Y) Обе скобки в последнем выражении содержат Y Λ ¬Y, что всегда ложно, ¬Y V 0 V0= ¬Y Ответ 2

Слайд 5

Задача 3. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © На числовой прямой даны три отрезка: P = [20,50], Q = [15, 20] и R=[40,80]. Выберите такой отрезок A, что формула (( x ∈ P) → ( x ∈ Q)) ∨ (( x ∈ A)→ ( x ∈ R)) тождественно истинна, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х. 1) [10,25] 2) [20, 30] 3) [40,50] 4) [35, 45]

Слайд 6

Задача 3. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © В этой задаче нужно, чтобы отрезок А перекрывал недостающие значения. Преобразуем выражение к стандартным операциям: (( x ∈ P) → ( x ∈ Q)) ∨ (( x ∈ A)→ ( x ∈ R))= =( ( x ∈ P) V ( x ∈ Q) ) ∨ ( ( x ∈ A) V ( x ∈ R) ) =1 Отметим все области на числовой прямой: Все точки закрашены, т.к. хотя бы один из известных числовых промежутков в выражении их включает. Не перекрыто множество числовых значений отмеченное красным, обратите внимание, что у нас в выражении промежуток обратный А, т.е. мы должны выбрать в ответе такой промежуток А, обратный которому перекроет нужные значения (20,40), т.е. под номером три . 15 20 40 50 80 1) [10,25 ] – обратный промежуток (-∞,10) U(25, ∞ ) – не перекрывает значения (20,25 ] 2) [20, 30 ] – обратный промежуток (-∞ , 20 ) U(30, ∞ ) – не перекрывает значения ( 20, 30] 3) [40,50 ] – обратный промежуток (-∞ , 40 ) U(50, ∞ ) - подходит 4) [35, 45 ] – обратный промежуток (-∞ , 35 ) U(45, ∞ ) – не перекрывает значения [ 35,40 ] Ответ 3

Слайд 7

Задача 4. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © На числовой прямой даны три отрезка: P = [10,15], Q = [10,20] и R=[5,15]. Выберите такой интервал A, что формулы ( x ∈ A) → ( x ∈ P) и ( x ∈ Q) → ( x ∈ R) тождественно равны, то есть принимают равные значения при любом значении переменной х (за исключением, возможно, конечного числа точек). 1) [5, 12] 2) [10, 17] 3) [12, 20] 4) [15, 25] Решение. Преобразуем выражения: ( x ∈ A) → ( x ∈ P) = ( x ∈ A) V ( x ∈ P) ( x ∈ Q) → ( x ∈ R) = ( x ∈ Q) V ( x ∈ R) Затем построим две прямые, и отметим на каждой свои промежутки.

Слайд 8

Задача 4. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © ( x ∈ A) V ( x ∈ P) ( x ∈ Q) V ( x ∈ R) Вторая функция принимает значение единица везде , кроме промежутка (15,20]. У нас в выражении фигурирует промежуток, обратный промежутку А. Нужно выбрать такой промежуток А, обратный которому не должен перекрывать промежуток (15,20] , но должен перекрыть все остальные неперекрытые значения. 5 20 15 10 10 15

Слайд 9

Задача 4. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © ( x ∈ A) V ( x ∈ P) ( x ∈ Q) V ( x ∈ R) Вторая функция принимает значение единица везде , кроме промежутка (15,20]. У нас в выражении фигурирует промежуток, обратный промежутку А. Нужно выбрать такой промежуток А, обратный которому не должен перекрывать промежуток (15,20] , но должен перекрыть все остальные неперекрытые значения. 5 20 15 10 10 15 1) [5, 12]- обратный (-∞,5) U(12, ∞ ) – включает промежуток (15,20] 2) [10, 17] - обратный (-∞,10) U( 17 , ∞ ) – включает часть промежутка (15,20] 3) [12, 20] - обратный (-∞,12) U( 20 , ∞ ) – подходит 4) [15, 25] - обратный (-∞,15) U( 25 , ∞ ) – не перекрывает диапазон значений (20,25] Ответ 3

Слайд 10

Вопросы. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © На числовой прямой даны два отрезка: Р = [40, 60] и Q = [20, 90]. Выберите такой отрезок А, чтобы формула (( x ∈ P) → ( x ∈ A)) ∧ (( x ∈ A) → ( x ∈ Q)) была тождественно истинна, то есть принимала значение 1 при любом значении переменной х. Если таких отрезков несколько, укажите тот, который имеет меньшую длину. 1) [17, 43] 2) [17, 73] 3) [37, 53] 4) [37, 63] Ответ 4

Слайд 11

Вопросы. ИНФОРМАТИКА 2014г. Кирсанов Илья Андреевич © На числовой прямой даны два отрезка: Р = [35, 55] и Q = [45, 65]. Выберите такой отрезок А, что обе приведённые ниже формулы истинны при любом значении переменной х: ( x ∈ P)→ ( x ∈ A) ( ¬( x ∈ A) → (¬( x ∈ Q)) ) 1) [40, 50] 2) [30, 60] 3) [30, 70] 4) [40, 100] Ответ 3