Численные эксперименты по обработке звука

Цель работы: знакомство с понятиями «гармонические и негармонические периодические функции»  и графическим представлением звуковых колебаний; освоение построения графиков функций в электронных таблицах; получение графической иллюстрации процесса аналого-цифрового преобразования звука.

Работа носит исследовательский характер и выполняется в самостоятельном режиме.

Математическая справка. График функции Y(x) – это наглядное (графическое) отображение зависимости значения функции Y от значения аргумента х. если область определения функции бесконечна, то выбирается тот ее отрезок, в пределах которого поведение функции наиболее характерно.

ЭКСПЕРИМЕНТ 1. Моделирование гармонических колебаний

Рассмотрим метод построения графика периодической функции, описывающей гармонические колебания.

Гармоническими колебаниями называются периодические изменения  со временем некоторой физической величины, описываемые функциями синуса или косинуса.

Общая запись функции: Y=A*sin(2πνt+φ)  или Y=A*cos(2πνt+φ), где А – амплитуда колебаний,   t – время (аргумент функции), ν – частота колебаний, φ – начальная фаза колебаний. Период функций sin и cos равен 2π. Значение Y изменяется в интервале [-A,A]. График функции синуса называют синусоидой.

Звуковые колебания, описываемые гармонической функцией, называют гармоническими колебаниями.

Оформите исходные данные в среде электронных таблиц:

В ячейку А6 введите формулу =А5+$G$1, скопируйте ее в ячейки А7:А25

В ячейку В5 введите формулу =$C$2*SIN(2*ПИ()*$C$1*A5, скопируйте ее в ячейки В6:В25.

Выделите диапазон ячеек В5:В25, постройте для него график функции. Оформите график(надписи, подписи, координатную сетку).

Человек слышит звуковые колебания, в среднем в диапазоне частот от 20Гц до 20кГц. Частоте 10Гц соответствует инфразвук. Некоторые животные способны воспринимать его на слух. Если удвоить эту частоту, то будет достигнута нижняя частотная граница слышимости звука человеком.

Измените значение частоты в ячейке С1 на 20, проследите за произошедшими изменениями.

Проведите эксперименты для значений частоты: 5Гц, 15Гц, 30Гц, 40Гц. В каждом случае определите, сколько периодов колебаний укладывается на интервале 0,1с. Результаты запишите в тетрадь. Переименуйте ярлычок листа «гармонические колебания», создайте 2 копии листа, на которых выполните Эксперимент 2 и Эксперимент 3.

ЭКСПЕРИМЕНТ 2 Моделирование негармонических колебаний

В разделе математики, который называется гармоническим анализом, доказано, что любую периодическую функцию можно представить в виде суммы гармонических функций с частотами ν, 2 ν, 3 ν, 4 ν,… . Такие слагаемые называют гармониками, а представление функции в виде суммы гармоник называют гармоническим разложением:

Y(t)=А1*sin(2πνt+φ1)+A2*sin(4πνt+φ2)+A3*sin(6πνt+φ3)+…., где А1,А2,…-амплитуды гармоник, φ1, φ2,.. – начальные фазы гармоник.

Постройте график негармоничной периодической функции, представленной в виде суммы двух гармоник: Y(t)=А1*sin(2πνt+φ1)+A2*sin(4πνt+φ2). Начальные фазы равны 0. Выполните расчеты для следующих значений параметров: ν=20Гц, А1=А2=1, интервал [0, 0.1] с шагом 0.005

($C$2*sin(2*ПИ()*$C$1*A5)+ $C$2*sin(4*ПИ()*$C$1*A5)).

Максимальная амплитуда колебаний увеличилась и стала равной около 1,54.

Получите график колебаний, который отличается от рассмотренного выше тем, что амплитуда в 2 раза меньше, чем первой.

Получите график колебаний, складывающийся из 3 гармоник: А1=1, ν1=20Гц, А2=А1/2, ν2=2ν1, А3=А2/2, ν3=2ν2. Начальные фазы равны 0.

ЭКСПЕРИМЕНТ 3. Моделирование аналого-цифрового преобразования.

В этом эксперименте моделируется процесс аналого-цифрового преобразования (АЦП). Он включает в себя дискретизацию сигнала во времени и квантование значений амплитуды сигнала. Дискретизация по времени определяется значением частоты дискретизации Н (Гц). Шаг по времени между двумя измерениями 1/Н с. Процесс квантования амплитуды определяется параметром глубины квантования звука b: количество уровней квантования равно 2b. Коды, определяющие амплитуду звукового сигнала, - это целые числа в диапазоне от 0 до 2b 

А6: =А5+1/$C$2. Самостоятельно составьте формулу для ячеек столбца В.

В столбце С получены коды измерений амплитуды сигнала, представленные целыми десятичными числами (в ходе реального АЦП они переводятся в двоичную систему счисления). В ячейку С5 поместите формулу =ЦЕЛОЕ(В5*2^$C$2). Для значений столбца В постройте график функции, для значений столбца С выберите тип диаграммы – Гистограмма.

Измените значения: частоты дискретизации – в 2 раза, глубину квантования в 2 раза. Объясните произошедшие изменения.