МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА: ПОИСК ТОЧЕК СОПРИКОСНОВЕНИЯ
статья по информатике и икт по теме

МАТЕМАТИКА И ИНФОРМАТИКА: ПОИСК ТОЧЕК СОПРИКОСНОВЕНИЯ

Мысль об идейной близости информатики и математики возникла практически, как только информатика стала восприниматься как отдельная научная и учебная дисциплина. Более того, эта мысль немедленно получила - воплощение: общеобразовательный курс информатики был объявлен частью математики и, соответственно, вошел в  образовательную область «Математика».  Результат этого явно поспешного решения проявился достаточно быстро: математика отнеслась к этому нововведению без понимания и энтузиазма (его вызвали  только часы,  отводимые на информатику, которые математика могла присваивать), для информатики же это едва не кончилось катастрофой. Последовавшее затем «разведение» образовательных областей информатики и математики констатировало принципиально важный факт: математика и информатика — это разные дисциплины, с разными предметами. Тем не менее проблема соотношения дисциплин важна как в теоретическом, так и в методическом плане, поскольку  во многих ситуациях  (например, при создании профильных курсов) это соотношение приобретает существенный смысл.

Прежде, чем начинать поиск точек соприкосновения математики и информатики, следует отметить, что понимание математики и особенностей математического стиля мышления далеко не однозначно.

Хорошо известно высказывание К. Гаусса о том, что математика — это королева наук, а арифметика — королева математики. Известный английский математик Г. Харди, комментируя эту мысль, подчеркнул, что как, всякая королева, математика с практической точки зрения абсолютно бесполезна. Такая, в данном случае подчеркнуто заостренная, точка зрения на математику далеко не единственна. В 1999 г. в журнале «Успехи физических наук» появилась статья выдающегося математика современности академика РАН В. И. Арнольда с примечательным названием «Математика и физика: родитель и дитя или сестры». Ответ Арнольда для многих математиков был неожиданным: с его точки зрения, «математика является экспериментальной наукой — частью теоретической физики и членом семейства естественных наук» [1].

Столь же много высказываний существует и о свойствах математического мышления. Так, Ф. Клейн указывает на два типа математиков — формалистов и интуитивистов [3]. Г. Вейль утверждает, что существуют «два типа математического мышления — топология и абстрактная алгебра, которые уходят корнями в глубь самой природы математики» [2].

В контексте высказанных точек зрения на математику можно попытаться разобраться с проблемой статуса дисциплины информатики. Эта задача несколько сложнее, поскольку период становления системы понятий информатики нельзя признать завершенным, а многие тенденции внутри самой информатики пока еще находятся в латентном состоянии.

Тем не менее в оценке этой дисциплины можно уловить те же моменты, что и в оценке математики. Информатику можно понимать, например, как симбиоз некоторых областей математики (дискретной математики, теории формальных систем и пр.) и компьютерных технологий. Такой подход созвучен абстрактному пониманию математики в том смысле, что в том и другом случае основной предмет научной дисциплины выводится за рамки реального мира. Точки соприкосновения информатики и математики в этом случае очень обширны и выливаются в целые области. Однако, именно такой взгляд на информатику, который по сути сводит ее к математике, получает в последнее время все меньшую поддержку.

Напротив, если признать, что информационные процессы — объективно существующий феномен реальности, а моделирование — основной инструмент познания этой реальности, то информатика также становится «членом семейства естественных наук». Такой точки зрения придерживались академики РАН Н.Н.Моисеев, А. И. Мизин и другие. Эта позиция чрезвычайно созвучна высказанной выше точке зрения В. И. Арнольда на математику. Таким образом, точки соприкосновения информатики и математики целесообразно искать на основе их общей платформы как естественнонаучных дисциплин.

Всякая естественнонаучная дисциплина основана на фундаментальной триаде: «исследуемый феномен», «инструмент познания», «область практического использования». В отношении информатики эта триада реализуется в следующей схеме: «информационные процессы» — «информационные модели» — «информационные основы управления». Попытка реализовать эту триаду в математике сразу наталкивается на вопрос: что понимать под «математическим феноменом»? Существуют различные ответы на этот вопрос. Если обратиться к фундаментальной статье «Математика», написанной одним из крупнейших математиков XX века -  А. Н. Колмогоровым для «Математической энциклопедии», то она начинается так: «Математика — наука о количественных отношениях и пространственных формах реального мира» [4]. Таким образом, по его мнению, математика исходит из некоторых феноменов реального мира.

Разумеется, уровень этой реальности может быть различным.

Распространенным является взгляд, что источником этих феноменов является человеческое сознание. Например, человек издавна различал «упорядоченное» и «неупорядоченное», «непрерывное» и «дискретное», «симметричное» и «несимметричное» и пр. Желание дать этим интуитивным представлениям строгие определения и ведет к формированию математических понятий, которые можно рассматривать как модели данных интуитивных представлений. Например, математической моделью симметрии является понятие группы.

Поскольку «математические феномены» являются феноменами сознания, в процессе познавательной деятельности мы соединяем их с феноменами других предметных областей. Например, информационный процесс интуитивно может быть непрерывным или дискретным, информационные взаимодействия могут быть симметричными или несимметричными и пр. Совместное рассмотрение феноменов математики и информатики и дальнейшее их изучение на основе понятия модели (что соответствует идеологии естественнонаучной дисциплины) могут принести пользу как математике, так и информатике.

Например, характерной чертой информационного процесса является упорядоченность — в противном случае он бы потерял смысловую составляющую. В математике существует много моделей упорядоченности: линейный порядок, частичный порядок и пр. Все эти различные математические модели приводят к различным формам представления информационного процесса или к его различным информационным моделям. В данном примере математика помогает информатике сформировать очень важное понятие «представление информация». С другой стороны, информационный процесс дает «сырье» для выработки ассоциативных связей, которые ведут к формированию абстрактного понятия упорядоченности. Это очень созвучно мысли И. Канта, что вообще процесс: понимания даже самого абстрактного все есть процесс самого конкретного воображения, поскольку нельзя мысленно созерцать не воображая. Кант прямо говорил, что мы познаем категории и через них познаем мир, а не то, что мы категориями познаем мир. Таким образом, абстрактные (в частности, математические) понятия и конкретные объекты окружающего мира познаются одновременно. Это обстоятельство делает осмысленным одновременное формирований понятий информатики и математики. При этом речь идет не об интеграции этих существенно различных дисциплин, а лишь об использовании в методических целях уникальных свойств «феноменов сознания».

В качестве примера можно привести возможный подход совместного формирования понятий «алгоритма» и «случайной последовательности ».

Начнем со случайности. Представим себе, что кто-нибудь шесть раз подряд бросит игральную кость и шесть раз выпадет шестерка. Вы наверняка скажете, что существует некоторая закономерная причина такого поведения игральной кости. Напротив, если в процессе такого бросания будут выпадать различные числа от 1 до 6, можно предположить, что имеет место случайное появление этих чисел. Это, несомненно, некоторый феномен человеческого сознания. Однако построение приемлемой математической модели этого феномена сталкивается со значительными трудностями. Характер этих трудностей весьма полно представлен в [5].

Наиболее жесткая «закономерность» воплощается в «феномене вычислимости», когда мы не только видим закономерность и владеем эффективным методом ее развертывания («вычисления»). Это уже близко к понятию алгоритма — одному из основных понятий информатики. Примечательно, что один из подходов к осмыслению случайного основан именно на понятии алгоритма (точнее, на понятии меры сложности алгоритма). Правда, здесь есть одна тонкость. Математику интересует сам процесс эффективного вычисления, в то время как информатика в большей степени акцентирует свое внимание на записи этого процесса. С методической точки зрения это различие — благо, поскольку позволяет в данном конкретном случае вполне определенно провести границу между математикой и информатикой.

Приведенный пример является далеко не единственной точкой соприкосновения фундаментальных понятий математики и информатики, и в будущем можно надеяться на появление принципиально нового курса информатики математического профиля.

Литература

1. Арнольд В. И. Математика и физика: родитель и дитя или сестры // Успехи физических наук. 1999. Т. 169. № 12.
2. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Физматлит, 1989.
3. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1. М.: Наука, 1989.
4. Колмогоров А. Н. Математика // Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская энциклопедия, 1982.
5. Шень А. X. Частотный подход к определению понятия случайной последовательности // Семиотика и информатика. 1982. Вып. 18.