Вычисление определенных интегралов в электронных таблицах
презентация урока для интерактивной доски по информатике и икт (11 класс) по теме

Объять необъятное...
Учитель информатикиМОАУ СОШ № 17МО Кореновский районКраснодарского краяЛобурь Ирина Анатольевна
Дорогой одиннадцатиклассник! Я хочу познакомить тебя вот с чем...
Тебе, наверное, приходилось сталкиваться с такими фразами, как объять необъятное. А вычислить невычислимое? Вот это я и предлагаю тебе сейчас сделать. Будь внимательным, а для перемещения по страницам моего проекта используй клавиши PgDown (далее) и PgUp (назад). Если встретишь подчеркнутый текст жёлтого цвета, щелкни на нём левой кнопкой мыши.
Введение
Тебе уже, наверное, знакомо понятие определенного интеграла? Тогда ты должен знать, что Где F(x) – Первообразная функции f(x), для которой справедливо следующее равенство:Поэтому, чтобы вычислить достаточно найти первообразную F(x) и… задача решена!
А, только, вот вопрос:
А, если такой функции не существует?! В математике много примеров так называемых «неберущихся» интегралов, например: или .А если функция, как результат статистической обработки данных, задана таблично?А вдруг ты - экономист какого-либо скупого миллиардера, и он велел тебе произвести следующий расчет: «Я желаю бассейн, имеющий форму выложить дражайшими самоцветами. Но помни, расчет должен быть как можно более точным, т. к. от твоей экономности во многом будет зависеть твоё жалование.» И ты, великий математик, начинаешь решать эту задачу. Ты прекрасно знаешь, чтобы вычислить площадь криволинейной фигуры нужно вычислить интеграл.Ты берешься за карандаш и исписываешь кипу листов, не находя решения! Интеграл не берется! Как же быть? И вот тут тебе на помощь придет твой верный помощник - компьютер!
Урок 1
Ты совершенно прав, вспомнив, что геометрический смысл определенного интеграла на промежутке [a, b] есть площадь фигуры ограниченной осью Ох, прямыми х=а, х=b и графиком функции f(x).Так давай её и вычислим, сведя к минимуму погрешность и вычеты из твоего жалованья!
Откроем наш любимый ”Exсel “и на примере функции у=х2 заполним следующим образом:
Вычислим интеграл поместим в ячейку А2 значение а - начало промежутка интегрирования, и заполним столбик А с шагом h=0.001 до значения b. В ячейку B2 введём формулу, задающую функцию f(x): = A2^2и скопируем её до ячейки B1002.А далее воспользуемся одним из трёх способов.
Метод прямоугольников
Этот метод тебе хорошо известен. Разобьём нашу фигуру на прямоугольники: И вычислим площадь каждого получившегося прямоугольника: .
Для этого в ячейку С2 запишем и скопируем её до значения b-h (ячейка В1001)! Теперь сделаем то же самое, но только в качестве f(xi) будем брать левые стороны прямоугольников.Но, внимание! Заполнение начнём с ячейки D3! В неё поместим =a3^2*0.001 и скопируем эту формулу до значения b включительно (ячейка D1002)!Сумму получившихся в столбце D результатов поместим в ячейку E3.Учитывая, что при совмещении этих двух рисунков, наш график функции окажется между получившимися ступенчатыми фигурами, заключаем: значение площади нашей фигуры также заключено между площадями ступенчатых фигур. Поэтому в E4 поместим =(E2+E3)/2. Нажмём Enter и приблизительное значение нашего интеграла готово!Хотите большей точности – уменьшите шаг!
Метод трапеций.
Попробуем теперь нашу фигуру разбить не на прямоугольники, а на трапеции!Ведь если кривизна линии графика большая, то разница между площадями криволинейной трапеции и полученной ступенчатой фигуры будет очень большая!И так…
Согласись, это гораздо ближе к делу! Итак, как и в предыдущем случае открываем Excel и заполняем линейки столбцов А и В. Найдем теперь площадь одной маленькой трапеции: В ячейку С2 запишем для нашей функции y=x2: = (a2^2 + (a^2 + 0,001)^2)*0,001/2и скопируем эту формулу до значения b-h (ячейка B1001), и в ячейку D2 поместим сумму получившихся значений.
Это и есть наш результат!
Метод парабол (метод Симпсона)
Этот метод является одним из более совершенных и точных, так как в этом случае идет приближение подынтегральной кривой к другой кривой – параболе:
y
Xo X
1
X
2
Для вычисления интеграла по формуле Симпсона заменим нашу функцию по формуле квадратичного интерполированиягде ТогдаПерейдём к новой переменной интегрирования, учитывая, что x=x0+ ht, dx=hdt, t=0 при x=x0 и t=2 при x=x2ИлиЭта формула называется формулой Симпсона или формулой парабол.
При таком приближении криволинейная трапеция на участке заменяется параболой и производится интегрирование полученной параболы.В разделе вычислительной математики используют формулу Симпсона для каждого отрезка интегрирования (заметим, их должно быть чётное число!) получим: ..... Суммируя эти равенства получим:
Теперь разберёмся с Excelем:Уже известным способом заполняем столбец А с шагом 0,002 от значения а (для нашего промежутка – 1) до значения b (у нас – 2). Столбец В – с тем же шагом, но от значения а+h до значения b-h (для нашего интеграла от 1,001 до 1,999). Столбцы С и D заполняем формулой =a2^2 и =b2^2 соответственно. Согласно формуле Симпсона в ячейку Е1 помещаем =с2+с502, в ячейку Е2 =4*СУММ(d2:d501), а в ячейку Е3 запишем =2*СУММ(с3: с501). В ячейку Е4 помещаем =0,001/3*(е1+е2+е3). Взгляните на полученный результат!
Подведём итог. При вычислении интеграла четырьмя способами у меня получились следующие результаты:По формуле Ньютона-Лейбница - ;По формуле прямоугольников – 2,333333;По формуле трапеций – 2,333333;По формуле Симпсона – 2,333333.Хочу заметить, что этот метод можно использовать также для оценки площадей фигур, ограниченных вертикальными асимптотами. Например, для функции : !!!
Упражнение
Теперь я предлагаю вам потренироваться вычислять невычислимое. Выберите любой интеграл, который вы можете вычислить по формуле Ньютона-Лейбница, и попробуйте вычислить его одним из предложенных мною способов.Метод прямоугольниковМетод трапецийМетод Симпсона