Методические пособия по информатике
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) по теме

ИНТЕГРИРОВАННЫЙ УРОК МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

учитель информатики Тимофеева Л.А., Лицей №1  им. Г. С. Титова

                                «Предмет, стоящий перед глазами учеников,

                                     или сильно врезавшийся в память, сам собой,

                                     без посредства слов, пробуждает в учащемся

                                     память, исправляет ее, если она ошибочна,      

                                     дополняет ее, если она не полна…..»

                                                                            К.Д. Ушинский

В период интенсивного внедрения технических средств особую актуальность приобретает использование этих средств в организации учебного процесса с целью активизации учебно-познавательной деятельности учащихся.  Существенно важной при этом является форма представления учебного содержания, т.к. эмоциональный накал, переживания – важнейшие компоненты, обеспечивающие усвоение информации в ее определенном или деятельном выражении.

ЭВМ, выполняя функции – обучающую, решающую и анализирующую, может в значительной мере активизировать мыслительную деятельность в процессе самостоятельного решения задачи, представить предметы и явления в своей естественной форме.  По высказыванию К.Д. Ушинского «дети мыслят формами, красками, звуками, ощущениями вообще, отсюда необходимость для детей  наглядного обучения, которое строится не  на отвлеченных представлениях и словах, а на конкретных образах, непосредственно воспринятых ребенком».

Другой важный момент – это активное участие в учебном процессе и ученика, и учителя, появляется «учебный треугольник»: ЭВМ, ученик, учитель.  Создается благодатная почва для развития творческого начала у детей, активного использования навыков, знаний и умений из разных предметных дисциплин, формируется научный подход к решению жизненно важных задач. Новые формы и методы работы с использованием вычислительных средств позволяют создать учебные ситуации, влияющие на эмоционально-психологический настрой учащихся, с наглядным и доступным восприятием учебного материала.

Построение содержания учебной работы осуществляется с ориентацией на зону ближайшего развития ученика с включением в процесс обучения различных видов дозированной помощи - стимулирующей, направляющей, обучающей и оцениванием результатов деятельности ученика по критерию относительной успешности.

Конкретным шагом в переходе от традиционных форм обучения к современной концепции образовательного процесса может стать введение интеграции в учебный процесс.  Интеграция позволит осуществлять синтез полученных знаний, навыков в целостную картину мира и активизировать процесс познания, где форма восприятия учебного материала играет важную роль. Примером интегрированного курса может служить «Математика и Информатика», так как математические знания становятся базисом алгоритмического образования.

Предпосылки по созданию такого курса уже существуют и активно используются при изучении такого раздела «Информатики», как «Моделирование и формализация», где математические модели жизненных задач становятся «мостиками» между жизнью и математикой, а информационные компьютерные модели  - «мостиками» между информатикой и жизнью. Происходит развитие всех мыслительных возможностей детей, а в процессе  синтеза и анализа задач используются знания  и навыки, полученные по другим дисциплинам. В данной статье  предлагается методика проведения интегрированного урока по двум дисциплинам: математике и информатике.

Тема урока: Линейная функция вида Y=KX+B и ее графическая модель.

Цель урока: закрепить знания и умения  учащихся по свойствам линейной функции, ее частным решениям, графическому моделированию, формирование у школьников исследовательской деятельности, навыков работы с компьютером.

Тип урока: Урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Метод работы: Объяснительно-иллюстративный, частично поисковый.

Формы работы: беседа, формулировка фактов и объяснение с помощью мультимедийной презентации, практическое занятие

Оборудование: IBM PC Pentium IV, 12 мест

Дидактический материал:

• «Алгебра» учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений,

     С.А. Теляковскй, М.: «Просвящение», 2004 г.

• «Информатика: 7-9 классы», базовый курс,  И.Семакина и др., М: «Лаборатория базовых знаний», 2005 г.
• Карточки – задания 3-х уровней сложности
• Карточки оценки знаний.
• Компьютерная обучающая программа GRAFIK, разработанная в среде программирования Borland Pascal 7.0
•  Методическое руководство для учиника.

-     Мультимедийная презентация «Линейная функция вида y = kx + b  и ее графическая модель»

 Ход урока

1.Актуализация темы

Вопросы и задания для повторения:Беседа проводится с использованием мультимедийной презентации «Линейная функция вида y = kx + b  и ее графическая модель». Трансляция с помощью видео- проектора:

1.Какая функция называется линейной?

2.Какой вид имеет график линейной функции?

3.Является ли линейной функция, заданная формулой:

а) y=2x-3

б) y=3x

г) y= - x/2 + 3

 4.Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графика    функции с осью Y?

а) y= - 5x  + 2

б) y= 1,2x – 3

в) y= - 0,7x – 3

5.Являются ли прямой пропорциональностью функция заданная формулой?

              а) y= - 5x

              б) y= x + 5

6.Какая модель описывает свойства линейной функции?

7. Перечислите способы представления моделей при решении информационных и математических задач?

II. Применение умений и навыков

План работы учеников на уроке:

1. Самостоятельная работа в среде GRAFIK (карточка – задание)

2.Компьютерное тестирование в среде GRAFIK.

3.Подведение итогов (карточка оценки знаний)

4.Выдача домашнего задания.

5.Выполнение дополнительного задания по теме.    

        Учитель раздает детям карточки-задания трех уровней сложности и «Методическое руководство для ученика». Самостоятельная работа выполняется в компьютерной среде GRAFIK

Пример карточки-задания (первый уровень сложности):

1.Постройте график функции, заданной формулой:

                             y=2x + 1

2. Постройте график функции, заданной формулой:

                             y=3x – 2

3.Постройте график функции, заданной формулой:

                             y= -x + 3

4. Постройте график прямой пропорциональности:

                              y=3x

5. Постройте график постоянной функции

                               y=3

6. Постройте график линейной функции y=  x + 1. Выясните с помощью графика,

 какому значению Y соответствуют значения X = 0; 2; -1.

  Методическое руководство для ученика             

                         (фрагмент)

Порядок выполнения работы в учебной среде GRAFIK

1. Инициализация среды.

1. Включите компьютер.
2. Перейдите на логический диск D:  - Мой компьютер, Локальный диск C:
3. Активизируйте папку INTEG (щелчок мыши)
4. Загрузите среду GRAFIK (щелчок мыши)

Приглашение среды GRAFIK

Школьники приступают к решению задач в среде GRAFIK, где в наглядной и доступной для понимания форме демонстрируются свойства линейной функции. На уроке учитель может заполнить карточки оценки знаний по данной теме и в дальнейшем провести анализ полученных результатов.

III. Контроль качества знаний

Учет и оценку знаний учащихся предлагается проводить в учебной среде GRAFIK после выполнения заданий по карточкам. Форма оценивания – компьютерное тестирование.

Учитель подготавливает тест, содержащий 10 вопросов по двум дисциплинам математике и информатике. Вопросы записываются в файл  T_VOPR.TXT (1 цифра – количества вопросов, 2 – цифра – номер правильного ответа).

Пример  теста:

Если  K>0 , то график проходит через…

3 2

Первую и четвертую четверти

Первую и третью четверти

Вторую и четвертую четверти

…

График – это …

3 2

Словесная модель

Графическая модель

Математическая модель

Модель – это ….

3 3

Объект неживой природы

Процесс или явление

Упрощенное подобие объекта

IV. Подведение итогов урока

Учитель. Сегодня на уроке вы могли наглядно и убедительно наблюдать, анализировать те свойства и частные решения, которыми обладает функция вида Y=K*X+B. Графическое представление функции средствами компьютера позволило вам  самостоятельно поучаствовать в процессе моделирования объектов  и получить  навыки исследовательской работы.  

V. Выдача домашнего задания

 Домашнее задание:

1.Повторить определения по теме  «Линейная функция»,  С.А. Теляковский,   « Алгебра», § 5

2.Повторить определения по теме «Что такое модель»,  И. Семакин,  § 24, «Информатика», § 24

3. Решить задачи:  

   1). С.А. Теляковский,  «Алгебра»,  § 5, № 344

         Постройте в одной и той же координатной плоскости графики  функций, заданных       формулами:

       a) y=3x + b при  b=1,2; -4; 0;

       б) y=kx – 2 при k=1; 0,4.

   2). С.А. Теляковский,   «Алгебра»,   § 5, № 297

        Длина прямоугольника Х см, а ширина на 3 см меньше. Задайте формулами зависимость периметра прямоугольника от его длины и зависимость площади прямоугольника от длины. Какая из этих зависимостей является линейной функцией?

VI. Дополнительное задание

    После обсуждения домашней работы можно предложить выполнить дополнительное задание в рабочих тетрадях.

          1. Из учебника  «Алгебра», § 5, стр. 56  выписать основные определения по обсуждаемой теме и ответить на вопрос: можно ли с помощью углового коэффициента прямой  - графика функции y=kx + b - осуществить анализ данной функции. Обоснуйте ответ.

              2. В учебнике «Информатика», § 24, стр. 128 - 129, приведены примеры информационных графических моделей. Какие жизненные процессы они отображают? Можно ли, используя данные описания, построить математические модели? Обоснуйте ответ.

Команды цикла

учитель информатики Тимофеева Л.А., лицей №1 им. Г.С. Титова

В данной статье представлен материал для уроков, посвященных командам цикла. Цель этих уроков – развитие у детей  творческого подхода в решении задач повышенного уровня сложности, углубление имеющихся знаний по  информатике.  Для определения  качества знаний учащихся используется рейтинговый контроль, т.е. интегрированный показатель успешности каждого ученика.  Актуализация знаний осуществляется с помощью теста-тренинга, компьютерная презентация позволяет представлять формулировки и объяснять материал.

Структура урока

Содержание и методы обучения

Тема урока: Обобщение и закрепление материала по теме «Циклы».

Цель урока - закрепить у учащихся навыки

• решения задач на применение алгоритмов циклов  «с предусловием», «с постусловием», «с переменной»;
• сопоставление блок-схемы и программы;
• написания программы по блок-схеме;
• набора, отладки программы, нахождения и исправления ошибок в программе,  тестирования и анализа результата в среде программирования Паскаль.

Задачи урока:

С точки зрения деятельности учителя

 1.Закрепить  навыки:

• решения задач на применение алгоритмов циклов  «с предусловием», «с постусловием», «с переменной»;
• написания программы по блок-схеме;
• набора, отладки программы, нахождения и исправления ошибок в программе,  тестирования и анализа результата в среде программирования Паскаль.

2.Закрепить  знания:

• форматов операторов цикла «с предусловием», «с постусловием», «с переменной»;
• на использование алгоритмов цикла для решения практических задач;

3.Закрепить умение:

• предвидеть результат выполнения алгоритма;
• находить ошибки в программе.

Тип урока: урок совершенствования знаний, умений, навыков.

Методы и приемы работы: беседа, частично поисковый, репродуктивный, объяснительно-иллюстративный, применение элементов рейтинговой системы, тестирование.

Формы работы: фронтальное решение задач, работа  за компьютером для реализации индивидуальной работы учащихся, компьютерная презентация (формулировка фактов и объяснение).

Оборудование: компьютеры (IBM PC Pentium 4), проектор, 12 мест, локальная сеть, выход в Интернет.

Дидактический материал: 

• «Информатика и информационные процессы», Н. Угринович, М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г.
• План работы ученика.
• Рейтинговая карточка.
• Компьютерная обучающая программа TEST_TR (компьютерный тренинг).
• Компьютерная презентация «Обобщение знаний по теме ЦИКЛЫ».
• Конспект лекций.

1.Постановка цели урока.

У ч и т е л ь. Сегодня эпиграфом к уроку прозвучат слова ученого, философа, педагога  - Конфуция: «Учиться и не размышлять – напрасно терять время…».  На предыдущих уроках мы изучали алгоритмы цикла, научились оформлять программы с использованием разных конструкций цикла, по блок-схеме формировать алгоритм и по выбранному сценарию разрабатывать компьютерные модели. Приходилось продумывать каждый шаг,  чтобы построить результативный алгоритм.

Сегодня мы продолжим работу с алгоритмами цикла и постараемся выяснить, кто как усвоил эту тему. Познакомьтесь с планом урока.

План урока

1.Постановка цели урока.

2.Актуализация знаний. Вопросы по теме. Компьютерный тест-тренинг. Этап 1.

3.Решение задач.  Этап2-Этап 5:

3.1.Поиск ошибок в программе.

3.2.Определение результата выполнения фрагмента программы.

3.3.Написание программы по блок-схеме.

3.4.Решение задач на компьютере в среде Borland Pascal 7.0

4. Подведение итогов урока.

5. Домашнее задание.

У вас на столах имеются бланки планов работы на уроке и бланк рейтинговой карточки.

Каждый из вас, работая по плану имеет возможность выполнить пять заданий и отвечая на дополнительные вопросы – получить дополнительную оценку.  Оценка определяется, как сумма баллов за каждое задание. Для получения оценки «5» надо набрать 45 баллов, оценки «4» -35 баллов, оценки «3» - 25 баллов.

Текущие результаты вы отмечаете в рейтинговой карточке.

2.Актуализация знаний. (Этап 1)

У ч и т е л ь.  Для повторения пройденного материала ответим на вопросы:

Вопрос 1. Какой алгоритм называется циклическим?

Вопрос 2. Какие команды цикла используются для оформления алгоритма?

Вопрос 3. Особенностью цикла «с предусловием» является то, что…

Вопрос 4. Особенностью цикла «с предусловием» является то, что…

Вопрос 5. Особенностью цикла «с переменной» является то, что…

Для закрепления материала пройдите к компьютеру и выполните тест-тренинг.

Д е т и. Учащиеся пересаживаются на компьютер и выполняют тренировочное задание в среде обучающей программы TEST_TR. После выполнения задания полученный балл записывают в рейтинговую карточку.

Вопросы (тест-тренинг).

Вариант 1.

1.Цикл «с постусловием» - это цикл…

А)в котором условие проверяется в начале тела цикла

Б)с известным числом повторений

В)в котором условие проверяется в конце тела цикла

2.Цикл «с предусловием» - это цикл…

А)в котором условие проверяется в конце тела цикла

Б)с известным числом повторений

В)в котором условие проверяется в начале тела цикла

3.Цикл «с переменной» - это цикл…

А)в котором условие проверяется в начале тела цикла

Б)в котором условие проверяется в конце тела цикла

В)с известным числом повторений

4.Особенностью цикла «с постусловием» является то, что…

А)тело цикла повторяется многократно

Б)тело цикла повторяется, если условие не выполняется

В)тело цикла повторяется, если условие выполняется

5.Осбенностью цикла «с предусловием» является то, что…

А)тело цикла повторяется, если условие выполняется

Б)тело цикла повторяется, если условие не выполняется

В)тело цикла повторяется многократно

6.Ключевые слова команды цикла «с предусловием» -…

А)Repeat…Until

Б)For…to…do

В)While…do

7.Сколько раз повторится цикл for i:=1 to 10 do?

А)10

Б)11

В)9

8. Ключевые слова команды цикла «с переменной» -…

А)Repeat…Until…

Б)For…to…do

B)While…do

9.Определите результат выполнения фрагмента алгоритма:

S:=0; for i:=1 to 5 do S:=S+i; writeln(S)

А)14

Б)15

В)10

Ответы.1-В, 2-В, 3-В, 4-Б, 5-А, 6-В, 7-А, 8-Б, 9-Б

3.Решение задач. (Этап 2 - Этап 5)

        По завершении выполнения теста учащиеся знакомятся с условиями задач.

У ч и т е л ь. Итак, тест-тренинг позволил вам вспомнить основные правила при работе с циклами и получить первую оценку.  Приступим к решению задач.

Этап 2. Поиск ошибок в программе.  

У ч и т е л ь. Определите ошибки в программе и характер ошибки, вариант 1. За каждую найденную ошибку выставляется по 1 баллу.

Д е т и. Учащиеся  определяют ошибки в программе и обсуждают вместе с учителем.

Вариант 1 (максимальное количество баллов - 5).

Program xxx;

Var   N:  Integer; (ошибка 1- N не используется)

  Begin

   Writeln(‘Введите число);   Real(‘к’); (ошибка 2 – ‘Введите число’; ошибка 3,4 – read(k); )

      Repeat

         k:=k+1;

        Writeln(k);

    Until k<10;      (ошибка 5 – until k>10;  )                

End.            Ответ ученика: Количество ошибок в программе - 5

У ч и т е л ь. Самостоятельно выполните вариант 2. Занесите в рейтинговую карточку количество найденных ошибок в баллах (1 ошибка – 2 балла), а в программе отметьте  символом  * место положение ошибки. Задание выполняется в учебном пособии - план работы ученика.

Д е т и. Учащиеся  самостоятельно выполняют  вариант 2.

Вариант 2 (максимальное количество баллов - 10).

Program 1xxx;                              

Var   I,N:  Integer;                        

  Begin

    Writeln(‘Введите число’);   Read(N);

For I:=1 Downto 10 to                              

 Begin                                                        

    Writeln(‘Число’,N;3;3);   End.            

End.  

        Ответ ученика:  Количество найденных ошибок  – 5

Во время выполнения задания учитель выставляет в сводную таблицу баллы учащихся по этапу 1 и заносит в электронную таблицу. Результаты представляются в форме диаграммы на экране с помощью проектора.

Этап 3. Определение результата выполнения фрагмента программы.

У ч и т е л ь. Определите результат выполнения фрагмента программы, вариант 1.

Д е т и. Учащиеся  определяют результат и обсуждают вместе с учителем

Вариант 1 (максимальное количество баллов – 2).

For i:=1 to 10 do

    Begin

     Write(i);

   End;    Ответ ученика: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

У ч и т е л ь. Самостоятельно выполните вариант 2. Результат оформите в учебном пособии – план работы ученика.

Д е т и.Учащиеся  самостоятельно выполняют  вариант 2.              

Вариант 2 (максимальное количество баллов - 10). Выполнить самостоятельно.

k:=3;

   While k<5 do

     Begin

      s:=k*k;         

      k:=k+1; write(s)

   End;           

     Ответ ученика:16   

Во время выполнения задания учитель выставляет в сводную таблицу баллы учащихся по этапу 2, оценивает выполнение задания этапа 3 и заносит в электронную таблицу. Результаты представляются в форме диаграммы на экране с помощью проектора.

Этап 4. Написание программы по блок-схеме.

У ч и т е л ь. На доске оформить блок-схему по задаче.

Приступаем к обсуждению блок-схемы. Необходимо написать программу по данной схеме. К доске вызывается ученик, изъявивший желание выполнить задание. Задание обсуждается с учениками. Учитель оценивает результаты. Возможная для обсуждения программа:

Программа (10 баллов):          

Program  z4;          

 var

    S,N:integer;

      begin    

       S:=0;    

         Wrteln(‘введите N:’); readln(N);            

            While N>0 do

                 begin                                    

                   S:=S+N;  N:=N-1;

                 end;

     writeln(‘результат:’,S)

  end.                            

Этап 5. Решение задач на компьютере в среде Borland Pascal 7.0

У ч и т е л ь.  Приступаем к выполнению задания на компьютере. Создать компьютерную модель по выбранному сценарию. Провести тестирование результата.

Тесты

Тест 1. Задача1:

Числа- 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

Ответ: 3025

Тест 2.Задача 2:

Числа -  -1, 2, 3, -4, 5, -6, -7, -8, -9,10

Ответ: 20

Тест 3. Задача 3:

Иванов – 3,4,5,5     Петров – 4, 3, 5,4  

Ответ: Лучше учиться Петров

Тест 4. Задача 4:

Числа – 4, 2, 3, 7, 8, 9, 6, 1, 5, 10  

Ответ: 4, 2, 8, 6

Тест 5. Задача 5:

Ответ:

Сумма вклада через 5 месяцев – 2488,32 руб

Во время выполнения задания учитель выставляет в сводную таблицу баллы учащихся по этапу 4, 5 и заносит баллы  в электронную таблицу. Результаты представляются в форме диаграммы на экране с помощью проектора.

4.Подведение итогов урока

Сегодня на уроке мы с вами обобщили и закрепили знания по циклическим алгоритмам, для этого решали задачи с использованием основных форматов операторов цикла, осуществили поиск ошибок в программе, определяли результат задач, оформили программу по блок-схеме, построили компьютерную модель по сценарию. В результате проделанной работы каждый из вас получил в сумме определенное количество баллов.  Рейтинговый контроль результатов вашей деятельности представлен на диаграмме. Он является интегрированным показателем успешности по усвоению темы.         Выставите оценки в дневники, руководствуясь показателями диаграммы.

Согласно правилам безопасной работы, выключите компьютер и приведите рабочее место в порядок. Приготовьте к сдаче учителю пособий и рейтинговых карточек.

Откройте тетради и запишите домашнюю работу.

5. Домашнее задание

1. Повторить форматы операторов цикла.

2.Решить одну из задач, предлагавшихся на уроке

Надо поблагодарить детей за работу, попрощаться, помочь им выйти из дисплейного класса.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЭВМ. Часть 1

учитель информатики, Тимофеева Л.А., лицей №1 им. Г.С. Титова

В данной статье представлен материал для уроков, посвященных численным методам решения задач на ЭВМ. Цель этих уроков – развитие у детей научного, творческого подхода в решении задач повышенного уровня сложности, углубление имеющихся знаний по алгебре, геометрии, тригонометрии, информатике.

Излагаемый материал делится на 2 части:

1.Метод Монте-Карло. Вычисление площадей. Часть 1

2.Метод половинного деления. Решение уравнений. Часть 2

 Для каждой части приводятся сведения из области математики и информатики, осуществляется построение информационной модели для проведения научного эксперимента на ЭВМ, приводятся необходимые сведения о языке программирования Turbo Pascal 7.0, предлагается список задач для самостоятельного решения.

Необходимые сведения

Математические модели, которые мы построим позволяют очень эффективно применять ЭВМ для решения практических задач не аналитическими методами, а численными. Численные методы позволяют получить не точное, а приближенное решение с любой точностью, которую может обеспечить ЭВМ. Большинство численных методов решения задач являются итерационными. Это означает, что отдельный шаг (или итерация) алгоритма выдает лишь очередное приближение к ожидаемому результату, однако каждая последующая итерация позволяет получить все более точное значение, пока требуемая точность не будет достигнута. В качестве примера рассмотрим методы Монте-Карло и половинного деления.

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

Официальной датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, а создателями -  американских математиков Дж. Неймана и С. Улама. Хотя теоретическая основа метода известна давно, только с появлением ЭВМ он нашел широкое применение и стал универсальным  статистическим методом испытаний. Он основан на использовании случайных чисел и объединяется под этим именем по названию города в княжестве Монако, где находится всемирно известное казино (царство случая), в котором применяется рулетка – простейший механический прибор для получения чисел.

Построим информационную модель для вычисления площадей геометрических фигур на ЭВМ и проведем эксперимент с использованием датчика случайных чисел.

Задача 1. Используя метод Монте-Карло, определить площадь эллипса и приближенное значение константы π.

Математическая модель. Пусть требуется найти площадь плоской фигуры M, граница которой либо выражается сложной функцией, либо вообще не выражается функцией. Если не требуется высокая точность, площадь этой фигуры можно найти, применяя следующий простой вычислительный метод. Разместим целиком фигуру M внутри единичного квадрата. Пусть в единичном квадрате выбрано наугад n точек и пусть v(n) - число точек, попавших внутрь M. Тогда геометрически ясно, что при больших n площадь фигуры M будет приближённо равна v(n)/n и, чем больше будет n, тем ближе мы подойдём к истинному значению площади. В качестве выбираемых наугад точек в этих вычислениях можно взять точки, координаты которых получаются с помощью датчика случайных чисел.

В качестве контрольного примера можно рассмотреть конфигурацию единичного квадрата и вписанного в него круга. В этом случае известен точный ответ, равный П/4, так как Пr2/(4r2) = П/4. Если же полученный при этом приближённый ответ умножить на 4, то мы найдём ещё одним способом приближённое значение константы П.

Найдём площадь эллипса, применяя метод Монте-Карло.Сторона квадрата, условная единица измерения площади, в программе равна 200 пикселей. Используем формулу a + Ranom(b - a + 1) для получения случайных координат точек, принадлежащих квадрату: x Є [50, 250], y Є[150, 350]. С помощью функции GetPixel (x,y: Integer),  возвращающей код цвета пикселя с координатами (x,y), определим принадлежность точки либо только квадрату, либо одновременно квадрату и эллипсу (для этого точки внутри квадрата и внутри фигуры маркируются различными цветами). Ведя при этом раздельный подсчёт точек (переменные pf и ps), найдём искомую площадь как отношение полученных чисел.

Компьютерная модель

program mont_ka;

{Определение площади фигур, значения константы π }

Uses Crt, Graph;

Var

   grDriver,grMode,ErrCode:Integer;

   ps,pf:LongInt;

   s:String;

   procedure s_m(zx,zy,za,zb:LongInt;var zps,zpf:LongInt);

   var

      x,y:LongInt;

      z,z1,z2: String;

    begin

    OutTextXY(130,50,'МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО');

   SetTextStyle(DefaultFont,HorizDir,2);

    OutTextXY(320,200,'количество точек:');

    OutTextXY(320,250,' ФИГУРА:');

   {оси координат и квадрат 200*200 точек}

   Line(50,100,50,370);

   Line(50,100,45,105);

   Line(50,100,55,105);

   Line(300,350,30,350);

   Line(300,350,295,345);

   Line(300,350,295,355);

   OutTextXY(245,360,' 1 ');

   OutTextXY(35,130,' 1 ');

   Rectangle(50,150,250,350);

   SetColor(9);

   SetFillStyle(1,1);

         FillEllipse(zx,zy,za,zb); {s=pi/4}

   Randomize; zps:=0; zpf:=0;

   Repeat

      x:=50+Random(201);         {   [50,250]  }

      y:=150+Random(201);        {   [150,350] }

      if GetPixel(x,y) in [1,9] then

        begin

           PutPixel (x,y,9); Inc(zpf)

        end

      else

           PutPixel (x,y,4);

      Inc(zps);      Delay(1)

      Until KeyPressed or (ps=MaxLongInt);

      Str(zpf,z1);   SetColor(9); OutTextXY(520,250,z1);

      Str(zps,z2);   SetColor(4); OutTextXY(520,290,z2);

      Str(zpf/zps:1:6,z); SetColor(1);

      OutTextXY(10,385,'площадь как отношение чисел:'+z);

      While ReadKey = ' ' do; Readln;

       end;

 {main}

 begin

   grDriver:=detect;

   InitGraph(grDriver,grMode,'d:\bp\bgi');

   ErrCode:=GraphResult;

     if ErrCode <> grOk then

       begin

        Writeln('ошибка инициализации графического режима ');

        readln;

        halt(1);

        end;

   SetViewPort(0,0,639,400,True);

   SetBkColor(7);

   ClearViewPort;

   SetColor(4);

   SetTextStyle(DefaultFont,HorizDir,2);

   OutTextXY(320,290,' “КВАДРАТ:”');

   {оси координат и квадрат 200*200 точек}

   {1.КОНТРОЛЬНЫЙ ВАРИАНТ }

   s_m(150,250,100,100,ps,pf);

   {2. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ №1}

          ClearViewPort;

   SetTextStyle(DefaultFont,HorizDir,2);

   OutTextXY(130,50,' ЧИСЛО "ПИ" ');

     Str(((pf/ps)*4):1:6,s); SetColor(1);

     SetTextStyle(DefaultFont,HorizDir,2);

     SetColor(4);

      OutTextXY(5,200,'Їприближенное значение "ПИ":');

      OutTextXY(5,220,'                  3,141593');

      OutTextXY(5,250,'экспериментальное значение "ПИ": ');

      SetColor(9);

      OutTextXY(5,270,'                          '+s);

            While ReadKey = ' ' do; Readln;

   { 3.ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ №2}

     ClearViewPort;

     SetBkColor(7);

     SetColor(4);

     OutTextXY(320,290,' "ЭЛЛИПС:"');

     s_m(140,240,40,80,ps,pf);

      ClearViewPort;

      CloseGraph;

      end.

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ. Часть 2

Решать уравнения учат на уроках алгебры. Для разных типов уравнений применяются разные методы. Все они дают точные решения и все относятся к так называемым аналитическим методам. Мы знаем аналитические решения для уравнений первой и второй степени. В тех случаях, когда удается выполнить разложение на множители, нам удается аналитически решить уравнения третьей и четвертой степеней, но что мы будем делать с уравнением пятой степени, если оно на множители не раскладывается?

Когда в задаче возникают такие уравнения (системы уравнений), их решают численными методами. Численные методы позволяют получить не точное, а приближенное решение уравнения, но с любой точностью, в зависимости от возможности ЭВМ.

На примере метода половинного деления мы увидим, как можно постепенно приближаться по спирали к точному решению. А представьте себе, что спираль была бы закручена в другую сторону? Тогда мы не приближались бы к решению, а удалялись от него, т.е. численный метод может быть как сходящимся, так и расходящимся. Естественно, расходящиеся методы нам не нужны. Метод половинного деления гарантированно сходится, если непрерывная функция имеет на концах отрезка значения разного знака, тогда внутри этого отрезка обязательно лежит корень этой функции.

Проведем эксперимент и определим численным методом решение тригонометрического уравнения.

        Задача 2.  Используя метод половинного  деления, найти решение тригонометрического уравнения вида F(x)=(1-x) - sin (x).

 Математическая модель.         Уравнение (1-x) – sin x = 0  представим в виде 1- x = sin x, тогда каждый корень уравнения можно рассматривать как абсциссу некоторой точки пересечения синусоиды  y = sin x  с прямой y = 1-x, и, наоборот, абсцисса каждой такой точки  пересечения является одним из корней уравнения 1 – x = sin x.

Начертим два графика график функции y = 1-x и график функции y = sin x. Эти графики пересекаются в одной точке М. Абсцисса этой точки и дает нам единственный корень уравнения. Воспользуемся методом половинного деления для получения  значения корня с установленной точностью до 0,000001.

Представьте себе, что корень уравнения – это мишень. Мы как бы «стреляем» в корень и в случае недолета переносим огонь вперед, а в случае перелета – назад, постепенно приближаясь к корню. Чтобы использовать эти рассуждения воспользуемся свойствами данной функции. Пусть на концах отрезка функция F(x)  принимает значения разного знака. Вычислим значение функции в середине этого отрезка и посмотрим на его знак.

 Знак будет отличаться от знака функции на одном из концов отрезка, но совпадать со знаком на другом конце. Из двух половин отрезка выберем ту, у которой знаки на концах противоположные и снова поделим отрезок пополам. Продолжая действовать тем же образом, мы получим сколь угодно малый отрезок, причем известно, что корень уравнения лежит на этом отрезке. Так определяют корень с любой нужной точностью.

На Рис.8 приведены результаты «стрельбы», которые получаются с использованием данного метода путем медленного приближения к результату, а на Рис. 7 графическая модель, полученная в результате компьютерного эксперимента.

Компьютерная модель

program mpol;

{Решение уравнения вида F(x)=(1-x)-sinx  методом

 половинного деления}

var

   x2,x1,x0,y0,y1,y2:real;

begin

    writeln('метод половинного деления, F(x)=(1-x) – sin x');

    writeln('точность расчета: 0.000001');

    x1:=0.0;

    x0:=1.0;

    y0:=(1-x0)-sin(x0);

    y1:=(1-x1)-sin(x1);

    writeln(x1:0:11);

    writeln(x0:0:11);

    repeat

       x2:=0.5*(x1+x0);

       y2:=(1-x2)-sin(x2);

         if ((y2>=0) and (y0>=0)) or ((y2<0) and (y0<0)) then

            begin

            x0:=x2;

            y0:=y2;

            end

         else

           begin

            x1:=x2;

            y1:=y2;

            end;

    writeln(x2:0:11);

    until abs(y2)<=0.000001;

    writeln(x2:0:11);

    writeln('Решение уравнения:',x2:0:11)

    end.

точность расчета: 0.000001

0.00000000000

1.00000000000

0.50000000000

0.75000000000

0.62500000000

0.56250000000

0.53125000000

0.51562500000

0.50781250000

0.51171875000

0.50976562500

0.51074218750

0.51123046875

0.51098632813

0.51086425781

0.51092529297

0.51095581055

0.51097106934

0.51097869873

0.51097488403

0.51097297668

0.51097297668

Решение уравнения:0.510973

Задачи для самостоятельного решения

1.Найти корни данных уравнений с точностью 0,000001:

а) cos x = x – 1%; б) sin x + 0,5 = x.

2. Найти наименьший положительный корень уравнения tg x = 1 - x

с точностью до 0,0000001.

3. Сколько корней имеет уравнение 10 sin x = x?