Представления числовой информации
методическая разработка по информатике и икт (10 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Усть-Ордынская средняя школа №1 им.В.Б.Борсоева

«Информатика и информационно-коммуникационные технологии»

«Представления числовой информации

 с помощью систем счисления»

                                                                     Учитель ИиИКТ Семёнов В.М.

Усть-Ордынский 2011

Печатается по решению методического совета УО СОШ №1

Семенов В.М.

Практическое пособие по информатике «Представления числовой информации

 с помощью систем счисления» - Усть-Орда, 2011г.

                                                                                                       © Семенов В.М., 2011

                                                                    ©Усть-Ордынская средняя школа №1,2011

Оглавление

Введение…………………………………………………………………4

Темы для самостоятельного исследования……………………………6

Непозиционные системы счисления…………………………………...7

Позиционные системы счисления……………………………………..11

Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую……….14

Перевод дробных чисел из одной системы  счисления  в другую…..16

Перевод произвольных чисел………………………………………….18

Задания для самостоятельного выполнения…………………………..22

Практическая работа……………………………………………………26

Приложение 1…………………………………………………………...28

Литература………………………………………………………………29

Введение

   Практическое пособие предназначен для организации и проведения занятий, развивающих у школьников среднего звена навыки проведения данной темы. Он посвящен использованию развивающих методов обучения в преподавании раздела информатики «Системы счисления». Представленные в учебном пособии материалы позволяют в значительной степени активизировать познавательную активность учащихся, развить интерес к  данной теме.

     Учебные предметы: история, информатика, математика, информационные технологии. В данном пособии 6 тем и 1 приложение. В каждой теме приведены ключевые понятия, рассмотрены примеры с подобными решениями. Также приведены ряд заданий, после решения которых ученик может рассчитывать на положительную оценку. Оценивание работ проводится по 5-бальной шкале. Более подробное описание критериев оценивания приведено в Приложении 1.

Задачи

1. Образовательная: Знакомство с системами счисления, способы записи в разных системах счисления, взаимосвязь между системами счисления.
2. Развивающая: развитие логического мышления, внимания, памяти.
3. Воспитательная: развитие познавательного интереса, умение работать самостоятельно.

           Проблемные вопросы:

1. Как люди научились считать?
2. Почему пальцы рук называют живой счетной машиной?
3. Как представляются числа в различных системах счисления?
4. Как выполняются арифметические действия в системах счисления используемых в вычислительной технике.
5. Какие технические элементы используются в компьютерной технике?

          Творческое название
         «Все есть число»

1. Основополагающий вопрос:
   Для чего нужно знать систему счисления в нашей жизни.
2. Учебные вопросы:
3. чему люди разных стран говорят на разных языках, а считают одинаково?
4. Что такое системы счисления?
5. Как люди научились считать?
6. Что такое позиционные и не позиционные системы счисления
7. В чем преимущество перевода чисел из одних систем счисления в другие с помощью компьютера?

Темы для самостоятельного исследования

1. История чисел
2. Способы записи чисел
3. Вычисления в позиционных системах счисления с использованием калькулятора
4. Позиционные системы счисления
5. Непозиционные системы счисления

 План проведения занятий

 Изучаем в течение 11 часов:

1. Подготовительный этап: учителем информатики о совместной деятельности. (1 урок)
2. Введение в тему осуществляется на уроке после первичного ознакомления с темой. Перед детьми ставится основополагающий вопрос, с целью максимально заинтересовать детей данной проблемой. (1 урок)
3. Организационный этап:(1 урок)

      Формирование групп

      Постановка проблемных вопросов перед каждой из группы.

1. Самостоятельная работа детей. ( 4 урока)
2. Презентация работ учащихся. (1 урок)
3. Обсуждение работ: высказывание мнений о созданных презентациях и публикациях. (1 урок)
4. Контроль полученных знаний: использование тестовых заданий, занимательного материала. (1 урок)
5. Подведение итогов. (1 урок)

Системы счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

"Все есть число", — говорили пифагорийцы, подчеркивая необычайно важную роль чисел в практической деятельности. Известно множество способов представления чисел.  В любом  случае число изображается  символом  или группой символов (словом) некоторого алфавита. Будем называть такие символы цифрами. Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.

1. Непозиционные системы счисления

Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов на стоянках первобытных людей свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо значков (бирок): зарубок, черточек, точек.

Позже, для облегчения счета, эти значки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Отголоски единичной системы счисления встречаются и сегодня. Так, чтобы узнать, на каком курсе учится курсант военного училища, нужно сосчитать, какое количество полосок нашито на его рукаве. Сами того не осознавая,  единичной системой счисления пользуются малыши, показывая на пальцах свой возраст, а счетные палочки используется для обучения учеников 1-го класса счету.

            Ознакомление с различными системами счисления.

        Единичная система — не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие количества утомительно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.

Древнеегипетская десятичная непозиционная система счисления. Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.

        Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной. В непозиционных системах счисления количественный эквивалент  каждой  цифры не зависит  от ее положения (места, позиции) в записи числа.

        Например, чтобы изобразить 3252 рисовали три цветка лотоса (три тысячи), два свернутых пальмовых листа (две сотни), пять дуг (пять десятков) и два шеста (две единицы). Величина числа не зависела от того, в каком порядке располагались составляющие его знаки: их можно было записывать сверху вниз, справа налево или вперемежку.

     Римская система счисления. Примером непозиционной системы, которая  сохранилась  до  наших  дней, может служить система счисления, которая применялась более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. В основе римской системы счисления лежали знаки I (один палец) для числа 1, V (раскрытая ладонь) для числа 5, X (две сложенные ладони) для 10, а для обозначения чисел 100, 500 и 1000 стали применять первые буквы соответствующих латинских слов (Сentum — сто, Demimille — половина тысячи,  Мille — тысяча).

        Чтобы записать число, римляне разлагали его на сумму тысяч, полутысяч, сотен, полусотен, десятков, пятков, единиц. Например, десятичное число 28 представляется следующим образом:

XXVIII=10+10+5+1+1+1 (три десятка, пяток, три единицы).

        Для записи промежуточных чисел римляне использовали не только сложение, но и вычитание. При этом применялось следующее правило: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к  его  значению,  а  каждый меньший знак,  поставленный слева от большего, вычитается из него.

        Например, IX — обозначает 9, XI — обозначает 11.

        Десятичное число 99 имеет следующее представление:

XCIХ = -10+100-1+10.

        Римскими цифрами  пользовались  очень долго.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Римская система  счисления сегодня используется,  в основном,  для наименования знаменательных дат, томов, разделов и глав в книгах.

        Алфавитные системы счисления. Более совершенными непозиционными системами счисления были алфавитные системы. К числу таких систем счисления относились греческая, славянская, финикийская и другие. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 100 до 900) обозначались буквами алфавита.

        В алфавитной системе счисления Древней Греции числа 1, 2, ..., 9 обозначались первыми девятью буквами греческого алфавита, например   и т.д. Для обозначения чисел 10, 20, ..., 90 применялись следующие 9 букв (0  и т.д.),  а для обозначения чисел 100, 200, ..., 900 — последние 9 букв ( и т.д.). Например, число 141 обозначалось 

        В России славянская нумерация сохранилась до конца XVII века. При Петре I возобладала так называемая арабская нумерация, которой мы пользуемся и сейчас. Славянская нумерация сохранилась только в богослужебных книгах.

        Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1. Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2. Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3. Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения.

2. Позиционные системы счисления

        Основные достоинства любой позиционной системы счисления — простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел.

        Основанием позиционной системы счисления называется возводимое в степень целое число, которое равно количеству цифр, используемых для изображения чисел в данной системе счисления. Основание показывает также, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее на соседнюю позицию.

        Возможно множество позиционных систем,  так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее 2.  Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.). 

В позиционных системах счисления количественный эквивалент (значение) цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Десятичная система характеризуется тем,  что в ней 10 единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего старшего разряда. Другими словами, единицы различных разрядов представляют собой различные степени числа 10.

            В системе счисления с основанием q  (q-ичная  система  счисления) единицами разрядов служат последовательные степени числа q,  иначе говоря, q единиц какого-либо разряда образуют единицу следующего  разряда. Для записи чисел в q-ичной системе счисления требуется q различных цифр (0,1,...,q-1).

            В позиционной системе счисления любое  вещественное  число  в развернутой форме может быть представлено в следующем виде:

 или

        Здесь А — само число,

q — основание системы счисления,

ai —цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления,

n — число целых разрядов числа,

m — число дробных разрядов числа.

        Свернутой формой записи числа называется запись в виде

 
        Именно такой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни. Иначе свернутую форму записи называют естественной или цифровой.

        Пример 2.1 Десятичное число А10=4718,63 в развернутой форме запишется так:

А10=4·103+7·102+1·101+8·100+6·10-1+3·10-2

        Пример 2.2 Двоичная система счисления.

        В двоичной системе счисления основание q=2. В этом случае формула (2.4) принимает вид:

А2= ± (an-12n-1+an-22n-2+...+a020+a-12-1+a-22-2+...+a-m2-m)

Здесь аi — возможные цифры (0, 1).

        Итак, двоичное  число  представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно  большое  число  разрядов.  Быстрый рост  числа  разрядов — самый существенный недостаток двоичной системы счисления.

        Записав двоичное число А2=1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А2=1·23+0·22+0·21+1·20+1·2-1 = 8+1+0,5 = 9,510. 

        Пример 2.3 Восьмеричная система счисления.

Основание: q=8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

Записав восьмеричное число А8=7764,1  в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:

А8=7·83+7·82+6·81+4·80+1·8-1 = 3584 + 448 + 48 + 4 + 0,125 = 4084,12510

        Пример 2.4  Шестнадцатеричная система счисления.

Основание: q=16.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое  обозначение 0,1, …9. Для записи остальных цифр (10, 11, 12, 13, 14 и 15) обычно используются первые пять букв латинского алфавита.

Таким образом, запись 3АF16 означает:

3АF16 = 3·162+10·161+15·160 = 768+160+15 = 94310.

3.Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

         Можно сформулировать алгоритм перевода целых чисел из системы с основанием p в систему с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно выполнять деление данного числа  и  получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, меньшее делителя.

3. Полученные  остатки,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.

4. Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего остатка.

        Пример 3.1  Перевести  десятичное число 17310 в восьмеричную систему счисления:

 Получаем:  17310=2558

        Пример 3.2 Перевести десятичное число 17310 в шестнадцатеричную систему счисления:

Получаем: 17310=AD16.

        Пример 3.3  Перевести десятичное число 1110 в двоичную систему счисления. Рассмотренную  выше последовательность действий (алгоритм перевода) удобнее изобразить так:

Получаем: 1110=10112.

        Пример 3.4  Иногда более удобно записать алгоритм перевода в форме таблицы. Переведем десятичное число 36310  в двоичное число.

Получаем: 36310=1011010112

4.Перевод дробных чисел из одной системы  счисления  в другую

        Можно сформулировать алгоритм перевода правильной  дроби с основанием p в дробь с основанием q:

1. Основание новой системы счисления  выразить  цифрами  исходной системы счисления  и  все  последующие действия производить в исходной системе счисления.

2. Последовательно  умножать  данное  число  и получаемые дробные части произведений на основание новой системы до тех пор, пока дробная часть произведения  не станет равной нулю или будет достигнута требуемая точность представления числа.

3. Полученные целые части произведений,  являющиеся цифрами числа в новой системе счисления,  привести в соответствие с алфавитом  новой системы счисления.

4. Составить дробную часть числа в новой системе счисления, начиная с целой части первого произведения.

           Пример 4.1  Перевести число 0,6562510 в восьмеричную систему счисления.

Получаем: 0,6562510=0,528

         Пример 4.2  Перевести число 0,6562510 в  шестнадцатеричную  систему счисления.

Получаем: 0,6562510=0,А81 

Пример 4.3 Перевести  десятичную  дробь 0,562510 в двоичную систему счисления.

Получаем: 0,562510=0,10012 

5.Перевод произвольных чисел

        Перевод произвольных чисел,  т.е. чисел, содержащих целую и дробную части,  осуществляется в два этапа.  Отдельно переводится целая часть, отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

        Пример 5.1 Перевести число 17,2510 в двоичную систему счисления.

Получаем: 17,2510=1001,012

         Пример 5.2  Перевести число 124,2510 в восьмеричную систему.

Получаем: 124,2510=174,28

6. Перевод чисел из системы счисления с основанием 2 в систему счисления с основанием 2n и обратно

        Перевод целых чисел. Если основание q-ичной системы счисления является степенью  числа 2, то  перевод  чисел из q-ичной системы счисления в 2-ичную и обратно можно проводить по более простым правилам. Для того, чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:

1. Двоичное число разбить справа налево на группы по n  цифр в каждой.

2. Если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то ее надо дополнить слева нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.

         Пример 6.1  Число 1011000010001100102 переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число справа налево на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 5410628.

         Пример 6.2  Число 10000000001111100001112 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем число  справа налево на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 200F8716.

         Перевод дробных чисел. Для  того,  чтобы  дробное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:

1. Двоичное число разбить слева направо на группы по n  цифр в каждой.

2. Если  в последней правой группе окажется меньше n разрядов,  то ее надо дополнить справа нулями до нужного числа разрядов.

3. Рассмотреть каждую группу как n-разрядное двоичное число и  записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n.

         Пример 6.3  Число  0,101100012 переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем число слева направо на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 0,5428.

         Пример 6.4  Число  0,1000000000112  переведем  в шестнадцатеричную систему счисления.         Разбиваем число слева направо на тетрады и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное    представление    исходного   числа: 0,80316

         Перевод произвольных чисел. Для того, чтобы произвольное двоичное число записать в системе счисления с основанием q=2n, нужно:

1. Целую часть данного  двоичного  числа  разбить  справа налево, а дробную — слева направо на группы по n цифр в каждой.

2. Если в последних левой и/или правой группах окажется меньше n разрядов, то их надо дополнить слева и/или справа нулями  до нужного числа разрядов;

3.  Рассмотреть  каждую группу как n-разрядное двоичное число и записать ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием q=2n

         Пример 6.5  Число 111100101,01112 переведем в восьмеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на триады и под каждой из них записываем соответствующую восьмеричную цифру:

        Получаем восьмеричное представление исходного числа: 745,348.

         Пример 6.7  Число  11101001000,110100102 переведем в шестнадцатеричную систему счисления.

        Разбиваем целую и дробную части числа на тетрады  и под каждой из них записываем соответствующую шестнадцатеричную цифру:

        Получаем шестнадцатеричное представление исходного числа: 748,D216.

        Перевод чисел из систем счисления с основанием q=2n в двоичную систему. Для того, чтобы произвольное число, записанное в системе счисления с основанием q=2n, перевести в двоичную систему счисления, нужно каждую цифру этого числа заменить ее n-значным эквивалентом в двоичной системе счисления.

        Пример 6.8  Переведем шестнадцатеричное число 4АС3516 в  двоичную систему счисления.

        В соответствии с алгоритмом:

Получаем: 10010101100001101012.

 Задания для самостоятельного выполнения

1.    Какой числовой эквивалент имеет цифра 6 в числах:

2.    Сравните числа III и 111, записанные в римской и десятичной системах счисления..

3.    Какие числа записаны римскими цифрами:

а)  MCMXCIX;   б) CMLXXXVIII;   в) MCXLVII?

4.     Запишите год,  месяц и число своего рождения c помощью римских цифр.

5.      Некоторые римские цифры легко изобразить, используя палочки или спички. Ниже написано несколько неверных равенств. Как можно получить из них верные равенства, если разрешается переложить с одного места на другое только одну спичку (палочку)?

        VII - V=XI                 IX-V=VI

        VI - IX=III                 VIII - III=X

6.     Заполните следующую таблицу:

7.    Заполните следующую таблицу:

8.     Запишите в развернутом виде числа:

9.     Запишите в свернутой форме следующие числа:

10.      Правильно ли записаны числа в соответствующих системах счисления:

11.   Какое  минимальное  основание имеет система счисления,  если в ней записаны числа  127, 222, 111? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

12.   Чему равен десятичный эквивалент чисел 101012, 101018  1010116?

13.   Трехзначное десятичное число оканчивается цифрой 3. Если эту цифру переместить на два разряда влево, т.е. с нее будет начинаться запись нового числа, то это новое число будет на единицу больше утроенного исходного числа. Найдите исходное число.

14.    Шестизначное десятичное число начинается слева цифрой 1. Если эту цифру перенести с первого места слева на последнее место справа, то значение образованного числа будет втрое больше исходного. Найдите исходное число.

15.    Какое из  чисел  1100112, 1114, 358 и 1В16 является:

        а) наибольшим;

        б) наименьшим.

16.   Существует ли треугольник, длины сторон которого выражаются числами 128, 1116 и 110112?

17.    Какое наибольшее десятичное число можно записать тремя цифрами в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления?

18.   "Несерьезные" вопросы.

        Когда 2×2=100 ?

        Когда 6×6=44?

        Когда 4×4=20?

19.   Выпишите целые десятичные числа, принадлежащие следующим числовым промежуткам:

20.   В классе 11112 девочек и 11002 мальчиков. Сколько учеников в классе?

21.   В классе 36q учеников, из них 21q девочек и 15q мальчиков. В какой системе счисления велся счет учеников?

22.   В саду 100q фруктовых деревьев, из них 33q яблони, 22q груши, 16q слив и 5q вишен. В какой системе счисления посчитаны деревья?

23.   Было 100q яблока. После того как каждое из них разрезали пополам, стало 1000q  половинок. В системе счисления с каким основанием вели счет?

24.    У меня 100 братьев. Младшему 1000 лет, а старшему 1111 лет. Старший учится в 1001 классе. Может ли такое быть?

25.   Некогда был пруд,  в центре которого рос один лист водяной  лилии. Каждый  день  число таких листьев удваивалось,  и на десятый день вся поверхность пруда уже была заполнена листьями лилий.  Сколько дней понадобилось, чтобы  заполнить  листьями  половину пруда?  Сколько листьев было после девятого дня?.

26.   Путем подбора степеней числа 2, в сумме дающих заданное число, переведите в двоичную систему счисления следующие числа:

22.      Происходит выбор одной карты из колоды в 32 карты. Какое         количество информации мы получаем в зрительном сообщении о выборе определенной карты?  

 28.      Найти x из следующих соотношений:

        а) 16x бит = 32 Мбайт;

        б) 8x Кбайт = 16 Гбайт.

Практическая работа

Перевод чисел из одних систем счисления в другие с помощью

стандартного приложения Windows Калькулятор

Цель: научиться переводить числа из одних систем счисления в другие

с помощью приложения Калькулятор.

Порядок работы            

Желаю успешной работы!

                                                                                              Приложение 1

Критерии выставление отметок за работу учащихся

1. «Отлично» - ученик выполнил работу (задания для самостоятельного выполнения + практическая работа) в указанный срок в полном объеме и на высоком уровне.
2. «Хорошо» - ученик выполнил работу в срок и без одного задания с самостоятельного выполнения или задание выполнено в полном объеме, но не в указанный срок.
3. «Удовлетворительно» - ученик выполнил все примеры самостоятельного выполнения и не выполнено практическая работа.
4. «Неудовлетворительно» - ученик не выполнил все примеры и практическую работу. Или примеры выполнены, но не соответствует параметром оценки.

Литература

1. http ://iit.metodist.ru/
2. Угринович Н.Д. Практикум по информатике и информационным технологиям. Учебное пособие для общеобразовательных  учреждений. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2007
3. Угринович Н.Д. Преподавание курса «Информатика и ИКТ» в основной и старшей школе. Методическое пособие для учителей. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008.
4. Угринович Н.Д. Компьютерный практикум на CD-ROM. Программная и методическая поддержка курса ИИТ.  – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2003, 2004.Приобрести учебные пособия и CD-ROM можно в МИОО по адресу г.Москва, Авиационный пер. д.6.
5. Угринович Н.Д. Информатика -7. Учебник для 7 класса. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2008.