Правильные многогранники. Расчёт расстояний от точки до плоскости
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Урок геометрии по теме "Расстояние от точки до плоскости". 10-й класс

Цели урока:

Цели ученика: повторить модуль «Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью» и получить последовательную систему математических знаний, необходимых для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на профильном уровне, успешной сдачи ЕГЭ.

Для этого необходимо:

• иметь представление о расстоянии от точки до плоскости , о перпендикуляре и наклонной, угле между прямой и плоскостью. Теореме о трех перпендикулярах;
• овладение навыками:
  ▪распознавания и построения изученных геометрических объектов;
  ▪решения задач на применение изученных понятий.

Цели педагога: создать условия учащимся:

• для формирования представлений о расстоянии от точки до плоскости;
• формирования умений распознавать и строить изученные объекты;
• овладения умением применять изученные понятия, теорему о трех перпендикулярах при решении задач;
• развития представлений о феномене перпендикулярности, пространственного мышления.

Тип урока: урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Методы обучения: словесный, словесно-наглядный, проблемный.

Данный урок относится к Разделу 3: «Перпендикулярность прямых и плоскостей», (Модуль 2: Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - изучен).

Это урок изучения и первичного закрепления новых знаний. Изучение свойств перпендикулярности является базовым. Их закрепление поможет успешно решать задачи ЕГЭ типа С2 и повысить рейтинг выпускника на ЕГЭ.

Ход урока

1. Организационный момент

Наш сегодняшний урок я хотела бы начать словами Платона: «Геометрия приближает разум к истине»

2. Актуализация ранее изученного материала

Вспомни!

• Признаки равенства треугольников (СУС, УСУ, ССС)
• Признаки равенства прямоугольных треугольников (по двум катетам, по гипотенузе и катету, по гипотенузе и острому углу)
• Как определяется расстояние от точки до прямой на плоскости? (как кратчайшее расстояние; как длина перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой)
• Как называются отрезки АМ и МН? (АМ – наклонная, МН – проекция наклонной)

Закончите предложения:

1. Две прямые называются перпендикулярными, если…

2. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если…

3. Прямая перпендикулярна плоскости, если она…

4. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то…

5. Через данную точку пространства можно провести прямую, ей перпендикулярную, и притом…

6. Все прямые, проходящие через данную точку прямой и перпендикулярные к этой прямой, лежат в…

7. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то…

8. Две прямые, перпендикулярные одной и той же плоскости,…

9. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то…

10. Если две плоскости перпендикулярны прямой, то они…

3. Изучение нового материала

 Тема урока : Расстояние от точки до плоскости в правильных многогранниках

Если точка не принадлежит плоскости, то расстояние от точки до плоскости — это длина

перпендикуляра, проведённого из точки на данную плоскость. На рис. показано расстояние d

от точки M до плоскости.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки М к плоскости а, называется расстоянием от точки М до плоскости .

Когда мы говорим, что некоторый предмет, например лампочка уличного фонаря, находится на такой-то высоте, скажем 6 м от земли, то имеем в виду, что расстояние от лампочки до поверхности земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли

Мы уже рассматривали с вами простые задачи на расстояние от точки до плоскости. Сегодня расширим наше представление о расстоянии.

Примеры решения задач

Разберём четыре задачи. В них мы проиллюстрируем основные идеи, встречающиеся на ЕГЭ

по математике в задачах №16, где требуется найти расстояние от точки до плоскости.

Задача 1.  Дан равносторонний треугольник ABC со стороной 2 В пространстве взята точка D

такая, что AD = BD = 2, CD = 1 Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC.

Решение.

Искомое расстояние — это высота пирамиды ABCD, проведённая из точки D.

1. Пусть M — середина AB. Проведём перпендикуляр DH на прямую CM. Докажем, что DH будет высотой нашей пирамиды.

Поскольку медиана CM является высотой треугольника ABC, имеем AB ⊥ CM .  

Точно так же AB ⊥ DM (ведь треугольник ABD тоже равносторонний).

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости получаем, что AB перпендикулярна плоскости MDC. Значит, AB перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости — в частности, прямой DH.

Итак, DH ⊥ CM (по построению) и DH ⊥ AB. Отсюда получаем DH ⊥ ABC, что  и  требовалось доказать.

2. Из треугольников BCM и BDM по теореме Пифагора легко находим: CM = DM = 3 Теперь запишем теорему  косинусов для стороны DM треугольника DMC:

, где обозначим для простоты

Отсюда   используем основное тригонометрическое тождество и находим  

 ТОГДА        

Задача 2.   В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания равна 2, а боковое  ребро равно 1.  Найдите расстояние от точки B1 до плоскости ABC1.

Решение.  

1. Поскольку A1B1 ‖ AB, прямая A1B1 параллельна плоскости ABC1. Следовательно, искомое расстояние d есть расстояние от любой точки прямой A1B1 до плоскости ABC1 (ведь все эти расстояния равны друг другу). Поэтому мы можем выбрать наиболее удобную точку  на прямой A1B1.   Это, несомненно, точка N — середина отрезка A1B1
2. Пусть M — середина AB.    

     Проведём NH перпендикулярно C1M . Докажем, что NH ⊥ ABC1.

3. В равнобедренном треугольнике ABC1 медиана C1M  является  одновременно высотой, так  что  AB ⊥ C1M .  Кроме того, AB ⊥ MN , так как призма прямая. Следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости C1MN — и, в частности, прямой NH, лежащей в этой плоскости.

Итак, NH ⊥ C1M (по построению) и NH ⊥ AB. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая NH перпендикулярна плоскости ABC1, что и требовалось доказать. Тогда искомое расстояние d равно длине отрезка NH.

4. В треугольнике МС1N:   вычислим стороны
5. В треугольнике АВС1  по теореме Пифагора
6. Тогда используя формулу площади (прямоугольного треугольника и произвольного треугольника МNС1)  

Ответ

Повторим ключевую идею данной задачи: от исходной точки B1 перейти к другой точке,

находящейся на таком же расстоянии от плоскости ABC1, но более удобной для вычислений.

В приведённом решении мы из точки B1 сместились параллельно плоскости в точку N .

Возможен и другой вариант смещения, который также может оказаться полезным при решении задач. Он основан на следующем простом факте:

• если плоскость проходит через середину отрезка, то концы отрезка равноудалены от данной плоскости.

Так, на рис. мы видим плоскость pi, проходящую через середину K отрезка PQ. Проведём

перпендикуляры PA и QB на данную плоскость.

Прямоугольные треугольники PKA и QKB равны по гипотенузе и острому углу. Следовательно, PA = QB, что и требовалось.

Вернёмся к задаче 2 Заметим, что отрезок B1C делится плоскостью ABC1 пополам.

Следовательно, расстояние от точки B1 до плоскости ABC1 равно расстоянию от точки C до  этой плоскости.

Итак, из точки B1 переходим в точку C. Аналогично доказываем, что расстояние от точки C до плоскости ABC1 равно длине перпендикуляра CH, проведённого к C1M , — и далее решение  повторяется без каких-либо изменений.

4. Закрепление изученного материала

5. Итог урока

6. Домашнее задание: