Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве
план-конспект занятия по геометрии (10, 11 класс)

Практическая работа №14 на тему
«Расстояние от точки до плоскости, от прямой до плоскости, расстояние между плоскостями, между скрещивающимися прямыми, между произвольными фигурами в пространстве.»

Практическая работа состоит из двух частей – теоретической и практической. После изучения  теоретического материала можно приступать к выполнению практической части. Она состоит из одной  или более задач для самостоятельного выполнения. Не забывайте о правильном оформлении решения

Порядок выполнения работы

1. Рассмотрите теоретический материал по теме и примеры решения задач (приведены ниже).
2. Решите самостоятельную работу. Оформите решение письменно в тетради.

Теоретический материал

Задача №1: плоскости равностороннего треугольника АВС и квадрата BCDE перпендикулярны. Найдите расстояние от точки А до стороны DE, если АВ.

Решение:

1. Искомое расстояние это длина перпендикуляра опущенного из точки А на прямую DE: длина отрезка АК.

2. Проведем высоту АМ в треугольнике АВС. АМ перпендикулярна прямой ВС. По теореме 4 (обратной) КМ перпендикулярна DE (и ВС)

3. Рассмотрим треугольник АВС. В нем по условию АВ=4, АМ – высота, следовательно АМ2=АВ2-(ВС:2)2; АМ2=12.

4. Рассмотрим треугольник АМК, в нем угол М=900; АМ2=12 (по пункту 3); КМ2=16. По теореме Пифагора АК2=АМ2+КМ2; АК2=12+16; АК2=28.

Ответ: АК=2

Задача №2: Из точки D, не принадлежащей данной плоскости , проведены к ней две наклонные DA и DB, равные соответственно 18 см и 10 см. Сумма длин их проекций на плоскость равна 16 см. Найдите проекцию каждой из наклонных.

Решение:

1. Пусть точка С – основание перпендикуляра опущенного из точки D на плоскость . Тогда по определению отрезки СА и СВ – соответственно проекции наклонных DA и DB. По условию СА+СВ=16 см.

2. Рассмотрим треугольник DCA, в нем угол С=900; DA=18 м (по условию); По теореме Пифагора DC2=DA2-AC2; DC2=182-AC2; DC2=324-AC2;

3. Рассмотрим треугольник BCD, в нем угол С=900; DB=10 м (по условию); По теореме Пифагора DC2=DВ2-СВ2; DC2=102-СВ2; DC2=100-СВ2;

4. Из пунктов 2 и 3 решения следует, что 324-АС2=100-СВ2.

5. Из пунктов 1 и 4 получаем СА-СВ=14 см и снова учитывая, что СА+СВ=16 см находим ответ СА=15 см, СВ=1 см.

Ответ 1 см и 15 см

Задача №3. Верхние концы двух вертикально стоящих столбов, удаленных на расстояние 4 м, соединены перекладиной. Высота одного столба 5 м, а другого 8 м. Найдите длину перекладины.

Решение:

1. Обозначим столб длина которого 5 м – АА1, а столб длина которого 8 м – ВВ1; плоскость - . Причем точки А1 и В1 принадлежат плоскости . Тогда перекладина это Ав.

2. По смыслу задачи столюы перпендикулярны плоскости на которой они стоят. Т.е. прямые АА1 и ВВ1 перпендикулярны плоскости . По теореме 3 прямые АА1 и ВВ1 параллельны и, кроме того, они перпендикулярны прямой А1В1 лежащей в плоскости .

3. Дополнительное построение: проведем прямую АС такую, что АС||А1В1 и точка С принадлежит прямой ВВ1.

4. Так как отрезки параллельных прямых заключенные между параллельными прямыми равны, то АС= А1В1, т.е. равно 4 м.

5. Рассмотрим треугольник АСВ, в нем угол С=900; АС=4 м; ВС=8-5=3 м. По теореме Пифагора АВ2=АС2+СВ2; АВ=5 м.

Ответ: 5 м.

Задачи

1.        Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием b=6см и боковой стороной a=5см. К плоскости треугольника в центре O вписанного в него круга проведен перпендикуляр OK длиной 2см. Найдите расстояние от точки K до сторон треугольника и до вершины B.

2. Катеты прямоугольного треугольника ABC равны 15м и 20м. Из вершин прямого угла C проведен к плоскости этого треугольника перпендикуляр CD длиной 35м. Найдите расстояние от точки Dдо гипотенузы AB.

3. Двугранный угол равен 45º. На одной грани дана точка на расстоянии a от другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра.

4. Определите величину двугранного угла, если тоска, взятая на одной из граней, отстоит от ребра вдвое далее, чем от другой грани.

5. Из точки, взятой внутри двугранного угла, опущен перпендикуляр на ребро, он образует с гранями углы в 38º24’ и 71º36’. Найдите величину двугранного угла.

6. Пусть A и B – точки на ребре прямого двугранного угла, AC и BM – перпендикуляры к ребру, проведенные в разных гранях. Определите длину CM, если ,  и .

Самостоятельная работа

1. В пространстве даны три точки: А, В и С такие, что АВ = 14 см, ВС = 16 см и АС = 18 см. Найдите площадь треугольника АВС.

2. В плоскости  лежат точки В и С, точка А лежит вне плоскости . Найдите расстояние от точки А до отрезка ВС, если АВ = 5 см, АС = 7 см, ВС = 6 см.

3. В пространстве даны три точки: M, K и P такие, что MK = 13 см, MP = 14 см и KP = 15 см. Найдите площадь треугольника MKP.

4. Точки C и K лежат в плоскости  , а точка D - вне плоскости . Найдите расстояние от точки D до отрезка CK, если CD = CK = 10 см, DK =  см.

5. Плоскость  пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках D и E соответственно, причем . Найдите АС, если BD:AD = 3:4 и DE = 10 см.

6. Плоскость  пересекает стороны MP и KP треугольника MPK в точках N и E соответственно, причем . Найдите NE, если MN:NP = 3:5 и MK = 12 см.

7. ABCD – квадрат, BM(АВС). Найдите отрезок DM, если АВ =  см, а BM = 5 см.

8. CDEK – квадрат со стороной, равной 2 см. BD(CDE). Найдите расстояние от точки В до плоскости CDE, если BK =  см.