Правильные многогранники. Расчёт расстояний от точки до прямой
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Тема:    Правильные многогранники. Расчет расстояние от точки до прямой.

Дата _________

Класс 10 Б

Ход урока:

1. Организационно-мотивационный момент
2. Актуализация знаний

Мы с вами изучили тему «Расстояния в пространстве», давайте немого повторим:

Задание 1.  Определите, в каком из вариантов формулировка определения верна:

А) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а называется  длина перпендикуляра из точки М на прямую а;

Б) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а, не проходящей через точку М,  называется  длина отрезка, опущенного из точки М на прямую а;

В) Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а, не проходящей через точку М,  называется  длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую а.

Задание 2: Выяснить по чертежу, является ли отрезок МК расстоянием от точки М до прямой АК (а).

3. Постановка учебной задачи

Сегодня мы рассмотрим, как находится расстояние от точки до прямой в правильных многогранниках.

Запишите определение и сделайте рисунок:

 Расстоянием  от данной точки М до данной прямой а, не проходящей через точку М,  называется  длина перпендикуляра, опущенного из точки М на прямую а.

4. Решение задач

Разберём три задачи. Первая задача — простая, а вторая примерно соответствует  уровню задачи №16 на ЕГЭ по математике.

Задача 1.   Длина ребра куба ABCDA1B1C1D1 равна 1 Найдите расстояние: а) от точки B до

прямой A1C1; б) от точки A до прямой BD1.

Сделайте правильный рисунок вы тетрадях, запишите дано, найти и решение

(Здесь представлю  краткое решение задач, в тетрадях оформление всегда должно быть полным)

а) 1. Рассмотрим треугольник ВА1С1:

искомое расстояние d есть высота BH треугольника BA1C1

  Данный треугольник равносторонний — все его стороны, будучи диагоналями граней, равны √2

2. Рассмотрим треугольник ВА1Н:

d = BH  это катет прямоугольного треугольника ВА1Н, где А1Н=√2/2, А1В=√2

По теореме Пифагора

BH = √ BA12 - А1Н2 = √2 – 2/4 = √6/2

б) Искомое расстояние d = AH - высота треугольника ABD1. Данный треугольник прямоугольный:

 прямая AB перпендикулярна плоскости ADD1

 поэтому перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости , а значит АВ перпендикулярна прямой AD1.

Имеем: AB = 1 (по условию), AD1 = √2 (нашли в п. а), BD1 = √3 (нашли из прямоугольного треугольника АВD1)

Если — площадь треугольника ABD1, то S найдем  с двух сторон: 2S = AB · AD1 (как S прямоугольного треугольника)

         И  2S = BD1 · АН (как S произвольного треугольника).

Тогда   AB · AD1= BD1 · АН    и    АН

 Ответ:

Задача 2.  Треугольник со сторонами AB = 3, AC = 3, BC = 2 является основанием пря-

мой призмы ABCA1B1C1. Боковое ребро призмы равно 2 Найдите расстояние от точки A1 до

прямой BC1.

 Решение : Искомое расстояние d есть высота A1H треугольника A1BC1

По теореме Пифагора легко находим: A1B = √13, BC1 = 2√ 2

Таким образом, нам требуется найти высоту треугольника, в котором известны три стороны.

Можно действовать по-разному; вот один из наиболее простых в данном случае путей.

Запишем теорему косинусов для стороны A1B треугольника A1BC1, где    :  

Отсюда:   

Тогда из прямоугольного треугольника A1C1H получаем:

Ответ :

4. Обобщение и систематизация материала

Назовите самые важные знания по теме, которые вам помогли справиться с задачами.  Какой можно сделать вывод?

5. Вывод и рефлексия
6. Домашнее задание