Нестандартные способы решения задач на ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (9 класс)
Найти площади фигур, используя один из двух способов:
1) применить известные нам формулы вычисления площадей. Для нахождения длинны отрезка –применим теорему Пифагора
2)разбить фигуру на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты
3)попробовать дополнить наш многоугольник до “хорошего”, нужного нам, то есть до такого, площадь которого мы сможем вычислить, потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей.
-А всегда ли удобно таким способом находить площади фигур?
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
 Нестандартные способы решения задач на ОГЭ | 1.09 МБ |
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
ГЕОМЕТРИЯ Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение. (В. Произволов)
Вычисление площадей фигур на клетчатой бумаге
« Не бойтесь формул! Учитесь владеть этим инструментом человеческого гения! В формулах заключено величие и могущество разума…» Марков А. А.
УСТАНОВИТЕ СООТВЕТСТВИЕ
Найдите площадь фигуры Открытый банк заданий ОГЭ
ПРЯМОУГОЛЬНЫЙ ? ? Ф
1 СПОСОБ Ф
2 СПОСОБ Ф
Георг Пик Георг Александр Пик, австрийский математик (10.08.1859 — 13.07.1942)
Формула была открыта в 1899 г. Г – количество узлов на границе треугольника (на сторонах и вершинах): В – количество узлов внутри треугольника; * Под «узлами» имеется ввиду пересечение линий. Площадь искомой фигуры можно найти по формуле:
3 СПОСОБ ФОРМУЛА ПИКА В — количество целочисленных точек внутри многоугольника Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника Ф
Задача Найти площадь фигуры:
Г= 11 (обозначены оранжевым ) В = 5 (обозначены синим ) Отметим узлы:
С
Найдите площадь фигуры Открытый банк заданий ОГЭ
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображёна геометрическая фигура. Найдите ее площадь. Открытый банк заданий ОГЭ
Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1см х 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах .
Алгебра Решение задач на смеси и сплавы
Задачи на «концентрацию», на «смеси и сплавы» - концентрация(доля чистого вещества в смеси) -количество чистого вещества в смеси -масса смеси. масса смеси х концентрация = количество чистого вещества.
Возьмем 180 грамм воды и добавим в воду 20 грамм соли. Получим раствор соли , его масса равна 180 + 20 = 200 грамм. Концентрация соли (процентное содержание соли) - это отношение количества соли к количеству раствора, записанное в процентах - (20 : 200) ·100 = 10%
Покажем этот раствор в виде прямоугольника 200 г 10 % Масса раствора Концентрация
Возьмем 15 кг цемента и 45 кг песка, высыпим содержимое ведер в ящик и тщательно перемешаем цемент с песком. Получим смесь цемента с песком, её масса равна 15 кг + 45 кг = 60 кг. Концентрация цемента (процентное содержание цемента) – это отношение количества цемента к количеству смеси, записанное в процентах – (15 : 60) ·100 = 25%
Покажем эту смесь в виде прямоугольника 60 кг 25 %
Задача №1 Имеется 30 кг 26% го раствора соли. Требуется получить 40% раствор соли. Сколько кг 50% раствора соли нужно добавить? 30 кг 26 % 50 % 40 % Имеется Нужно добавить Требуется получить = + х кг (30+х )кг
30 кг 26 % 50 % 40 % = + х кг (30+х )кг 30· 0,26 х ·0,5 (30+х)· 0,4 = + 30· 26 + х· 50 = (30+х)· 40
Задача №2 В бидоне было 3 литра молока 6% жирности . После того как в бидон добавили некоторое количество молока 2% жирности и тщательно перемешали , получили молоко с жирностью 3,2%. Сколько литров молока 2% жирности было добавлено в бидон ?
Выберите правильный рисунок к этой задаче. 3л 6% 3 л 6% (3+х) л 3,2% х л 6 % 3 л 2% х л 2% 3 л 3,2% х л 2 % 3 л 6% (3+х) л 3,2 % х л 2 % (3х) л 3,2% + = + = + + = = А) Г) В) Б)
Выберите правильное уравнение. 1) 3) 2) 3·6 + 2х = 3х·3,2 3·6 + 2х = (3+х)·3,2 3·2 + 6х = (3+х)·3,2
Задача №3 Из чаши , содержащей 300 граммов 6% раствора уксусной кислоты , отлили некоторое количество этого раствора и добавили такое же количество воды . Определите , сколько граммов воды было добавлено , если известно , что в результате получили 2%- ый раствор уксусной кислоты
Нарисуйте и заполните рисунок Было Отлили Добавили Получили
Проверим! 300 г 6% Было Отлили Добавили Получили х г 6% х г 0% 300 г 2% - = + 300 · 6 – 6х + х·0 = 300 · 2 Ответ: 200 г.
Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? Решение: Х 30% У 60% 10 0% Х+у+10 36% Х+у+10 41% 10 50% У 60% Х 30% Составим систему уравнений: 30х+60у+10*0=(х+у+10)*36, 30х+60у+10*50=(х+у+10)*41. Решая ее, получаем х=60, у=30. Ответ: 60.
Метод Пирсона при решении задач на смеси и сплавы
Теоретические основы решения задач «на смеси, сплавы» Примем некоторые допущения: Все получающиеся сплавы или смеси однородны. При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов. Определение. Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах. Терминология: процентное содержание вещества; концентрация вещества; массовая доля вещества . Всё это синонимы.
Готовим раствор определенной концентрации. Имеется 2 раствора с более высокой и менее высокой концентрацией, чем нужно. Обозначим массу 1-го раствора m 1 , а 2-го m 2 , тогда при смешивании масса смеси будет равна сумме этих масс. Массовая доля растворённого вещества в 1-м растворе – q 1 , во 2-м – q 2 , а в их смеси – q 3 . Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого вещества в исходных растворах: m 1 q 1 + m 2 q 2 = q 3 ( m 1 + m 2 ), m 1 ( q 1 – q 3 ) = m 2 ( q 3 – q 2 ) Отношение массы 1-го раствора к массе 2-го раствора это отношение разности массовых долей растворённого вещ-ва в смеси и в 2-м растворе к разности величин в 1-м растворе и в смеси.
При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют квадрат Пирсона. При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение. Разности их вычитаний показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора. q 1 q 3 — q 2 q 3 q 2 q 1 — q 3
Задача 4. Морская вода содержит 5% соли (по массе). Сколько пресной воды нужно добавить к 30 кг морской воды, чтобы концентрация соли составила 1,5%? Решение : 5% 0% 1,5% 1,5% 3,5% 30 кг х кг
Задача 5 . Из сосуда, доверху наполненного 97% раствором кислоты, отлили 2 литра жидкости и долили 2 литра 45% раствора этой же кислоты. После этого в сосуде получился 81% раствор кислоты. Сколько литров раствора вмещает сосуд? Решение : 97% 81% 45% 16% 36 % (х-2) л 2 л
Задача 6 . Смешали 500 г 10%-го раствора соли и 400 г 55%-го раствора соли. Определите концентрацию соли в смеси. Решение : ( х-10 )% ( 55-х ) % 500 г 400 г 55% 10% х% Ответ : концентрация соли в смеси двух исходных растворов 30%.
Задача 7. Имеются два слитка, содержащие медь. Масса второго слитка на 3 кг больше, чем масса первого слитка. Процентное содержание меди в первом слитке – 10%, во втором – 40%. После сплавления этих двух слитков, получился слиток, процентное содержание меди в котором 30%. Определить массу полученного слитка. Решение : 40% 10% 30% 10% 20% (х+3) кг х кг
Задача 8. Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащего 60% олова, и 900г сплава олова и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве? Решение : 60% 80% х% (х-60)% (80-х)% 300 г 900 г
Задача 9. В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора? Решение : х% 12% 0% х % (12– х )% 5 л 7 л Ответ : 5%.
Реши сам! 1) Смешали 3 литра 25-процентного водного раствора некоторого вещества с 12 литрами 15-процентного водного раствора этого же вещества . Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора ? 2) Имеется два сплава . Первый сплав содержит 10% никеля , второй — 35% никеля . Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг , содержащий 30% никеля . На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго ? 3) Первый сплав содержит 5% меди , второй — 14% меди . Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг . Из этих двух сплавов получили третий сплав , содержащий 11% меди . Найдите массу третьего сплава . 4) Смешав 6-процентный и 74-процентный растворы кислоты и добавив 10кг чистой воды , получили 19-процентный раствор кислоты . Если бы вместо 10кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты , то получили бы 24-процентный раствор кислоты . Сколько килограммов 6-процентного раствора использовали для получения смеси ?
В 5 кг сплава олова и цинка содержится 80% цинка. Сколько кг олова надо добавить к этому сплаву, чтобы процентное содержание цинка стало 40%? Имеется 4 литра 20%-го раствора спирта. Сколько воды него нужно, чтобы получился 10%-й раствор спирта? Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда их сплавили вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Найдите вес сплавов, если в первом сплаве было 4кг, а во- втором 8 кг. Имеется два раствора некоторого вещества. Один 15%-ный, а второй 65%-ный Сколько нужно взять литров каждого раствора, чтобы получить 200л раствора, содержание вещества в котором равно 30%? В какой пропорции нужно смешать 10-ный и 15-ный растворы аммиачной селитры, чтобы приготовить из них 15-ный раствор селитры. Если к сплаву меди и цинка добавить 20г меди, то содержание меди в сплаве станет равным 70%. Если же к первоначальному сплав добавить 70г сплава, содержащего 40% меди, то содержание меди станет равным 52%. Найдите первоначальный вес сплава.
Математика-наука интересная и сложная, поэтому нельзя упускать ни одной возможности сделать её более доступной!
Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!
Спасибо за внимание
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
нестандартные способы решения заданий ЕГЭ
Применение метода рационализации при решении логарифмических и показательных неравенств....
Рабочая программа элективного курса "Алгебра плюс: полиномиальные алгебраические уравнения. Нестандартные способы решения тригонометрических уравнений, неравенств, систем"
Программа состалена на основе авторской программы элективного курса "Алгебра плюс: элементарная алгебра с точки зрения высшей математики"....
Дополнительная общеразвивающая программа Нестандартные способы решения уравнений
Автор программы: Очертидуб Наталья Ивановна, учитель математики I квалификационной категорииГород^ БратскМБОУ « СОШ №42»Тип программы: адаптированная, для детей с ОВЗ Направленн...
Нестандартные способы решения квадратных уравнений
Презентация "Нестандартные способы ршения квадратных уравнений" разработа на основе научно-исследовательской работы....
«НЕСТАНДАРТНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА СМЕСИ И СПЛАВЫ»
В процессе подготовки к ЕГЭ приходится искать различные пути решения задач на смеси и сплавы. Особый интерес представляют два способа, сводящие решение к тривиальному варианту, опирающемуся на арифмет...
Рабочая учебная программа элективного курса по математике для 10 класса общеобразовательных школ "Уравнения и неравенства:нестандартные способы решения".
Данная рабочая программа элективного курса предоставляет учащимся более полное обощение материала школьного курса уравнений и нераавенств, знакомит с нестандартными способами решения и позволяет качес...
Нестандартные способы решения задач на ОГЭ
Найти площади фигур, используя один из двух способов: 1) применить известные нам формулы вычисления площадей. Для нахождения длинны отрезка –применим теорему Пифагора2)разбить фигуру...
- Мне нравится (1)