Построение сечений многогранника
план-конспект урока по геометрии (10 класс)

Тема: Построение сечений многогранников

Цель: формирование и развитие у учащихся пространственных представлений;

           выработка навыков решения задач на построение сечений простейших

           многогранников;
          развитие культуры зрительного восприятия

Тип урока: урок   применения предметных знаний, умений, навыков, формирование у    

                    учащихся практических знаний и навыков

Форма урока - семинар-практикум.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Планируемые образовательные результаты

Предметные:

• формирование навыков грамотного применять аксиомы стереометрии (аксиомы о взаимном расположении точек, прямых и плоскостей в пространстве) при построении сечений многогранников;
• формирование навыков и умений рассуждать и применять логическое и пространственное мышление для решения стереометрических задач;
• формирование навыков и умений различать геометрические фигуры и грамотно использовать основные их свойства при построении сечения многогранников;

Метапредметные:

Познавательные УУД

• формирование умений самостоятельно выделять и формулировать познавательную цель;
• формирование умение применять метод следов для построения сечений;
• формирование умений создавать обобщения, устанавливать аналогии, устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и делать выводы при решении задач на построение сечений.

Коммуникативные УУД

• планирование учебного сотрудничества; постановка вопросов;
• разрешение конфликтов;
• умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации;

Регулятивные УУД

• формирование умений видеть проблемы в своей деятельности посредством рефлексии своей деятельности в конце урока, выдвижение версии, выбор средства достижения цели;
• формирование навыков отработки алгоритма решения задач на построение сечений, сверяясь с целью, нахождение и исправление ошибки в течение практического урока и во время самостоятельной работы.

Личностные

формирование на уроке понимания роли фундаментальных знаний для решения задач на построение сечения.

Прогнозируемый результат

В результате изучения темы учащиеся должны усвоить алгоритм построения сечений в параллелепипеде плоскостью (метод следов и комбинированный) и уметь применять теоретические знания в ходе решения задач.

План урока.

1. Организационный момент – 1 мин.
2. Презентация темы «Сечение многогранника» – 3 мин.
   – основные понятия;
   – демонстрация сечений.
3.  Решение задач на построение точек пересечения прямой и плоскости – 5 мин.
4. Презентация методов построения сечений – 7 мин.
   – Аксиометрический метод: метод следов;
   – Комбинированный метод.
5. Решение задач на построение сечений – 15 мин.
6. Самостоятельная работа по теме «Сечение многогранника» – 10 мин.
7. Подведение итогов урока. Рефлексия – 2 мин. 

Ход урока

1. Организация начала занятий

Учитель: Здравствуйте, ребята. Наши последние занятия были посвящены теме «Сечение многогранника», мы изучили основные определения, познакомились с различными методами построения сечений, решали задачи на построение и конечно же анализировали свои решения и результаты. Сегодня наш урок интегрированный, на занятии мы повторим, обобщим, закрепим полученные знания, как на уроках геометрии, так и на уроках информатики. Мы решим задачи на построение сечений с помощь компьютера и конечно продемонстрируем свои творческие, проектные работы.

2. Презентация темы «Сечение многогранника»

Учитель: Для начала вспомним, что мы называем многогранником и сечением многогранника.

Ученик 1: Многогранником называется – тело, поверхность которого состоит из конечного числа плоских многоугольников.

Ученик 2: Сечением поверхности геометрических тел называется – плоская фигура, полученная в результате пересечения тела плоскостью и содержащая точки, принадлежащие как поверхности тела, так и секущей плоскости.

Учитель: Замечательно, а каким способом можно задать секущую плоскость.

Ученик 3: Через три точки, по теореме о способе задания плоскости: «Через три точки можно провести плоскость и только одну».

Ученик 4: Через прямую и не лежащую на ней плоскость, по теореме «Через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость и только одну»

Ученик 5: Через две пересекающиеся прямые, по аксиоме «Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость и только одну».

Ученик 6: Через две параллельные прямые, по определению «параллельных прямых: прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются».

Учитель: А сейчас, я вам продемонстрирую сечения, а вы назовете их.

Ученик 7: Сечение параллельное плоскости основания, диагональное сечение, сечение параллельное плоскости грани.

Ученик 8: Если перед нами параллелепипед или прямая призма, то это может быть сечение перпендикулярное плоскости основания.

Делаем выводы:

• Секущая плоскость пересекает грани многогранника по прямым, а точнее по отрезкам.
• Так как секущая плоскость идет непрерывно, то разрезы образуют замкнутую фигуру – многоугольник.
• Полученный таким образом многоугольник и будет сечением тела.

3. Устное решение задач

4. Презентация методов построения сечений

Учитель: Настало время поговорить о методах построения сечений, вспомним, какие мы рассматривали методы построения сечений?

Ученик: метод следов, комбинированный метод, метод вспомогательных сечений.

Учитель: Итак, метод следов, на чём основывается?

Ученик: На аксиомах стереометрии, суть метода заключается в построении вспомогательной прямой, являющейся изображением линии пересечения секущей плоскости с плоскостью какой-либо грани фигуры. Удобнее всего строить изображение линии пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания. Эту линию называют следом секущей плоскости. Используя след, легко построить изображения точек секущей плоскости, находящихся на боковых ребрах или гранях фигуры.

Учитель: Вспомним метод следов на практике, для этого решим задачу.

При решении задач каждое действия ученика сопровождается вопросами

Почему мы уверены, что сделали разрезы на гранях?

Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку..

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что прямая    след секущей плоскости на плоскости основания?

Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Почему мы уверены, что все делаем правильно?

Аксиома: Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку (а у нас даже 2 точки).

Теорема: Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.

Задача 1

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки N, C, D1.

Решение:

1. Так как {N;C} (ABCD), то прямая (NC)  является следом секущей плоскости на (ABCD). Прямая пересекает ребро AD в точке К(AA1D1D)
2. Построим прямую KD1. KD1∩AA1=M.
3. Соединим M и N; D1 и C.
4. Многоугольник NCD1M – искомое сечение.

Задача 2

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные на его ребрах точки M, N, P, две из которых лежат на смежных ребрах.

Построение.

1. Так как {M;N} (AA1B1B), то прямая (MN) – след секущей плоскости на плоскости (АА1В1С).
2. Прямая (MN) пересекает продолжение ребра АВ в т. К1, продолжение ребра ВВ1 в т. К3.
3. Построим (К1P). Прямая (К1P) ∩ (BC)=K3; (K1P) ∩ (AD)=N1; K2(BB1C1C); K3  (BB1C1C).
4. Построим прямую (К2К3). (К2К3) ∩ (СС1)=P1.    (К2К3) ∩ (B1С1)=M1
5. Соединим точки {M; N; N1; P1;M1}
6. Многоугольник MNN1PP1M1 – искомое сечение.

Задача 3

Построить сечение параллелепипеда плоскостью (MNP) где точки {M;N;P} лежат на пересекающихся ребрах при условии, что никакие две из них не лежат в одной грани.

Решение:

Пусть ABCDA1B1C1D1 – данный параллелепипед.

Т. МА1В1; т.N AD; т.P CC1

1. Найдем след секущей плоскости на основании (ABCD). Для этого:

1. Построим прямую MP принадлежащую некоему сечению;
2. Найдем проекцию т. М на основании (ABCD). Построим МК1║В1В; т. К1-проекция т. М на (ABCD); т. C – проекция т. P на (ABCD);
3. Построим прямую (К1С)∩(MD)=K2; K2(ABCD)
4. Построим (NK2) – след секущей плоскости на основании (ABCD);

Далее как в предыдущей задаче.

M, N, и  лежат на непересекающихся ребрах куба.

Задача 7

Построить сечение куба плоскостью, проходящей через три заданные точки M, N, P, лежащие на непересекающихся ребрах при условии, что никакие две из них не лежат в одной грани.

Решение:

1. проведем через точку М прямую, параллельную (АА1). (МК1) ∩ АВ =К1
2. Так как P лежит на ребре куба. То она проектируется в точку С.
3. К2=MP ∩ K1C. Точка К2 принадлежит плоскости сечения и (АВС).
4.  Прямая NK2 – след секущей плоскости на плоскости основания.
5. Точка N1 – след секущей плоскости на ребре CD.

 Построить сечение призмы по трем данным точкам самостоятельно.

Желаю успеха! 

Самостоятельная работа

1.Построить сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через три заданные точки N, C, D1, лежащие на ребрах куба.

2.Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через точки P, Q, R (точки указаны на чертеже)

8. Подведение итогов урока. Рефлексия

Задание на дом: (карточки выбирают учащиеся)
задачи  1-4 достаточный уровень,

1.  Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки A1, M ∈ B1C1 и
N ∈ DD1, и найдите линию пересечения секущей плоскости с плоскостью нижнего основания куба.
2.  Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ A1B1;
N ∈ B1C1 и K ∈ DD1.
3.  Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точки M ∈ D1C1;
N ∈ CC1 и K ∈ AA1.
4.  Постройте сечение треугольной призмы ABCA1B1C1 плоскостью, проходящей через точки M ∈ AC; N ∈ CC1 и K ∈ BB1.

Лист для работы в классе

Вариант 1   Фамилия имя ________________________________________________

 Построить точку пересечения прямой и плоскости                                                                                                                

Вариант 2   Фамилия имя ________________________________________________

 Построить точку пересечения прямой и плоскости