Комплекс задач на развитие пространственного мышления при решении задач на построение сечений многогранников
методическая разработка по геометрии (11 класс) по теме

1. Комплекс задач по теме «Построение сечений многогранников»

Приведенный ниже комплекс задач разработан с учетом выявленных особенностей пространственного мышления, в основе которого лежит деятельность представливания, протекающая в разнообразных формах, на разных уровнях. Принято выделять два основных уровня:

1. Создание геометрического образа.

1. перевод словесных данных задачи в графический образ, когда заданы все точки секущей плоскости;
2. построение заданного сечения многогранника, что бы в плоскости сечения получилась заданная фигура (треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб);
3. построение сечения многогранника методом следов;

а) секущая плоскость задана следом в плоскости основания и точкой, принадлежащей многограннику;

б) секущая плоскость задана тремя точками;

4. построение сечения методом внутреннего проектирования;
5. построение сечения многогранника комбинированным методом;
6. построение сечений фигуры методами следов и внутреннего проектирования на готовом изображении;
7. задачи на отыскивание следа секущей плоскости;
8. задания на определение верного сечения.

2. Оперирование геометрическим образом.

1. определение секущей плоскости на примере одного и того же многогранника, изменяя его положение в пространстве;
2. определение вида фигуры, после мысленного отсечения её частей;
3. определение площади секущей поверхности.

1. Задачи на создание геометрического образа

Задания предложенные в первых двух пунктах можно использовать на уроках стереометрии в 10 классе. Эти задания относятся подготовительный характер. Основная цель этих заданий проверить понятийный аппарат учеников, выявить уровень сформированности пространственного мышления и  подготовить их к созданию более сложных образов.

Задания предложенные в пунктах 3 - 8  относятся к первому уровню сложности и изучаются в 11 классе. Пункты 3 - 5 носят обучающий характер, а пункты 6 – 8 служат для закрепления полученных навыков.

1. Задачи на перевод словесных данных задачи в графический образ, когда заданы все точки секущей плоскости

Задача №1. Построить сечение куба  ABCDA1B1C1D1 плоскостью HJKL, если точка H принадлежит ребру AA1, точка K ребру CC1,  точки J и L соответственно переходят в точки B1 и D .

Решение: Строим куб ABCDA1B1C1D1, отмечаем точки в соответствии с условием задачи. Последовательно их соединяем и определяем заданное сечение (рис.4).

Рис.4

Задача №2. В четырёхугольной призме построить сечение, проходящее через грань нижнего основания и противолежащую грань верхнего основания.

Задача №3. Построить сечение тетраэдра  ABCD,  проходящее через ребро BD и точку K  принадлежащую ребру AC.

Задача №4.  Построить секущую плоскость параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, проходящую через грань C1D1 и прямую KL, которая проведена параллельно основанию и принадлежит грани AA1B1B.

2. Задачи на построение заданного сечения многогранника, что бы в плоскости сечения получилась заданная фигура (треугольник, квадрат, прямоугольник, ромб)

Задача №1-4. На рисунках 5 – 8 построить сечение, чтобы в секущая плоскость определялась как: а) треугольник; б) четырёхугольник.

       Рис.5                          Рис.6                            Рис.7                        Рис.8

     3) Задачи на построение сечений многогранников методом следов 

а) Секущая плоскость задана следом в плоскости основания и точкой, принадлежащей многограннику

Задача №1. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью β, которая задана следом  l в плоскости ABC основания призмы и точкой M, принадлежащей ребру DD1.

Решение:  Проекцией  точки M на плоскость основания будет служить точка D. Проводим прямую CD до пересечения со следом l. На пересечении  обозначим  точку X. Соединим точку X с точкой M. На пересечении с ребром CC1 отметим точку N. В плоскости BB1C1C построим точку P, для этого пересечём прямую BC со следом, обозначив на пересечении точку Y, которую соединим  прямой с точкой N. На пересечении прямой  AB и следа, обозначим точку Z. Через точки  P и Z проведём прямую до пересечения с ребром AA1 , обозначив пересечение точкой Q. Точку Т определим как пересечение следа l и прямой АЕ. Следующим шагом определим точку R пересечением QТ и ЕЕ1.  Так как точки MR лежат в одной плоскости, то мы их соединяем. Пятиугольник  MNPQR – искомое сечение (рис.9)

Рис.9

Задача №2. На ребре AD  тетраэдра  ABCD  лежит точка N.Построить сечение тетраэдра проходящее через данную точку и прямую ВС.

Задача №3. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) проходящее через прямую АВ и точку N на ребре СС1; б) проходящее через прямую АВ и точку N на ребре B1С1; в) проходящее через прямую ВС и точку N на ребре A1D1; г) проходящее через прямую ВС и точку N в плоскости A1B1C1D1.

Задача №4. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение: а) проходящее через точку С1 и прямую АВ; б) проходящее через точку А и прямую СС1.

Задача №5. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение, проходящее через: а) прямую СС1 и точку N на ребре А1В; б) прямую ВВ1 и точку N на ребре DD1; в) прямую В1 D1 и точку N на ребре ВС.

Задача №6. Постройте сечение пирамиды ABCDS проходящее через: а) точку N на ребре SD и прямую АВ; б) точку N на ребре АS и прямую ВС; в) точку N на ребре ВS и прямую АD; г) точку N на ребре SС и прямую АВ.

Задача №7. Постройте сечение пятиугольной пирамиды   PABCDE плоскостью, которая задана следом l и внутренней точкой  К  ребра  PЕ.

Задача №8. Постройте сечение пятиугольной пирамиды   PABCDE плоскостью α, заданной  следом l и R, которая принадлежит ребру PE,если след l: а) не имеет общих точек с основанием пирамиды; б) проходит через сторону BC основания; в) пересекает стороны BA и BC основания.

Задача №9. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α, заданной следом l в плоскости основания и точкой R, которая принадлежит ребру DD1, если след: а) не имеет общих точек с основанием призмы; б) проходит через сторону AB основания призмы; в) пересекает стороны AE и BC.

Задача №10. Построить сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α, заданной следом l, проходящим через сторону AB основания, и точкой P, принадлежащей ребру CC1. Точку P, выберите так, чтобы в сечении получился: а) четырёхугольник; б) пятиугольник; в) шестиугольник.

б) Секущая плоскость задана тремя точками

Задача №1. Точки P, Q и R взятых на ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, следующим образом: точка P лежит на ребре CC1, точка Q на ребре D1D , точка R – на ребре A1B1.

Решение: Построим точки  P1, Q1 и R1 – проекции точек на плоскость основания. Так как по условию точка P лежит на ребре C1, то, проектируя её в направлении, параллельном боковому ребру параллелепипеда, получим точку P1 , совпадающую с точкой С. Аналогично получим точку Q1 , которая совпадает с точкой D. Через прямую R проведем прямую а параллельную AA1 и найдем точку R пересечения прямой и AB. Когда найдены проекции точек P, Q и R, построим точки лежащие на искомом следе. Так как PP1|| AA 1  и RR1 || AA1, то PP1|| RR1 , т.е. прямые PR и P1R1 лежат в одной плоскости. Найдем точку X .  Аналогично находим точку Y – пересечение прямых PQ и P1Q1 . Точка Y, как и точка X, принадлежит искомому следу. Таким образом, искомым следом является прямая XY. Мы нашли след секущей плоскости как прямую XY. В дальнейшем находим точку Z (рис.10)[14].

Рис.10

Задача №2. Построить сечение цилиндра, если точка N принадлежит образующей АВ, M – основанию, а  P- поверхности. [Данная задача относится к профильному уровню обучения]

Решение: 1) С проецируем точки N, M, P на плоскость основания. Точка В проекция точки N, точка  M отображается сама в себя, а точка P проецируется в точку P0 по правилам параллельного проектирования.

2) На пересечении прямых NP и  N0P0 обозначим точку X – точку следа, т.к. точка М принадлежит основанию, то она является точкой следа. Таким образом, искомым следом является прямая XМ (рис.11). Проводим произвольно образующую НН0 .На пересечении прямых N0Н0 и XМ отметим точку F , а на пересечении FN и НН0 точку Н.

Замечание: Для круглых тел нельзя указать конечное число точек сечения, поэтому указывается алгоритм построения одной точки сечения. Кривую проводят так, чтобы по обе её стороны лежало одинаковое число точек сечения построенных в указанном алгоритме [5].

Рис.11

Задача №3. На ребрах АВ, BD и CD тетраэдра  ABCD  отмечены точки M,N и P. Построить сечение тетраэдра плоскостью MNP.

Задача №4. На ребрах параллелепипеда даны три точки А, В и С. Построить сечение параллелепипеда плоскостью АВС.

Задача №5. На ребрах В1С1, АА1 и АD  параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P,Q и R. Постройте следы секущей плоскости PQR на следующих плоскостях:1)  AA1D; 2) AA1B; 3) BB1C; 4) ABC; 5) A1B1C1 ; 6) CC1D.

Задача №6. Точки P,Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит на диагонали  B1D1, точка Q – на ребре АВ, а точка R -  на ребре CC1. Постройте сечение параллелепипеда  плоскостью PQR, если отношения B1P B1D1 , AQ AA1,  CRCC1 имеют соответственно следующие значения:1)13, 13 и 23;2)2 3, 1 2 и 2 3; 3) 1 4, 1 2 и 3 4; 4) 1 4, 1 3 и 1 2; 5) 1 2, 1 2 и 12;        6) 1 3, 1 4 и 3 2.

Задача №7. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через точки В1, D1 и середину ребра CD.

Задача №8. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью MNK, где  точки M, N и K лежат соответственно на ребрах: а) ВВ1, АА1, АD; б) СС1, ВВ1, АD.

Задача №9. Постройте сечение призмы  ABCDEA1B1C1D1E1 плоскостью α=(МРR), где М, Р и R являются внутренними точками соответственно ребер АА1, СС1 и ЕЕ1.

Задача №10. Секущая плоскость α задана тремя точками  М, Р и К. Постройте след секущей плоскости в плоскости основания треугольных призмы и пирамиды, если: а) точки принадлежат трём боковым рёбрам; б) две из них принадлежат боковым ребрам, а третья – боковой грани; в) две из них принадлежат боковым граням, а третья – боковому ребру.

Задача №11.  Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, заданной: а) точками M, N,Q рёбер соответственно   PC, PE,  PA; б) точками, две из которых, принадлежат боковым двум рёбрам, третья – боковой грани.

Задача №12. Постройте сечение пирамиды PABCDE плоскостью, заданной тремя точками, две из которых принадлежат боковым рёбрам, а третья – стороне основания.

4) Задачи на построение сечений многогранников методом внутреннего проектирования

Задача №1. Точки P, Q и R взятых на поверхности  параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на грани CC1D1D, точка Q на ребре B1C1  , точка R – на ребре А A1.

Решение: При построении сечения этим методом не требуется находить след секущей плоскости. Выполним нужные построения в следующем порядке:

1. Построим плоскость AA1PP1 , определяемую параллельными прямыми AA1 и  PP1 , и плоскостью DD1QQ1 , определяемую параллельными прямыми DD1 и QQ1 .
2. Найдем прямую ММ1, по которой пересекаются две построенные плоскости.
3. Найдем точку М2 , в которой пересекаются прямые PR и ММ1.
4. В плоскости DD1QQ1 проведем прямую QМ2  и найдем точку S – точку пересечения с прямой DD1. Данная точка принадлежит секущей плоскости. Далее, легко находится точка пересечения двух ребер с секущей плоскостью.
5. В плоскости СС1D1 проведем прямую SР и найдем точку L, в которой пересекаются прямые SР и СС1.
6. В плоскости ВВ1С1 проведем прямую QL  и найдем точку N, в которой прямая QL пересекается с прямой BВ1.
7. В плоскости АA1B1 проведем прямую RN и найдем точку К, в которой она пересекается с прямой A1B1 .
8. Соединим точки K, Q, R и S . Многоугольник RSLQК - искомое сечение (рис.12).

Рис.12

Задача №2. Построить сечение четырёхугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах.

Задача №3. Постройте сечение четырёхугольной пирамиды плоскостью, заданной тремя точками на её боковых рёбрах.

Задача №4.  Постройте сечение пирамиды PABCDE  плоскостью α=(MFR), если точки M,F и R являются внутренними точками рёбер соответственно  PA,  PC,  PE.

Задача №5. Постройте сечение призмы ABCDEA1B1C1D1E1,  плоскостью α, заданной точками МBB1, P DD1, Q EE1.

Задача №6. Постройте сечение пирамиды PABCDE  плоскостью, проходящей через точки М и К, принадлежащие граням соответственно ABP и ABC, и внутреннюю точку бокового ребра  PE.

Задача №7. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, две из которых боковым несмежным граням, а третья точка совпадает с вершиной нижнего основания, не принадлежащей этим граням.

Задача №8. Постройте сечение пятиугольной призмы плоскостью, заданной тремя точками, если: а) две из них принадлежат боковым граням призмы, а третья – её боковому ребру, не принадлежащему этим граням; б) две из них принадлежат боковым ребрам призмы, а третья – боковой грани, не содержащей эти рёбра.

Задача №9.  Точки P, Q, R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на грани  C C1 D1D, точка Q – в грани  AA1B1B, а точка R – на ребре B1C1. Построить сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

Задача №10. Точки P, Q, R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на грани  C C1 D1D, точка Q – в грани  A A1 D1D, а точка R – в плоскости грани  A A1B1B. Построить сечение параллелепипеда плоскостью PQR.

1.  Задачи на построение сечений многогранников  комбинированным методом

Задача №1. Изобразите параллелепипед ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М на грани AA1B1B. Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BB1C1C; в) плоскости BDD1 [9].

Решение: а) Через точку М проведем прямую параллельную прямой АВ  ( по условию). Она пересечет грани параллелепипеда в точках L и S. Через точку S параллельно прямой ВС проводим прямую до пересечения с гранью СC1 получаем точку F. Через точку F, параллельно прямой CD, до пересечения с  DD1 получаем точку R, соединив точки, получим искомое сечение LSFR(рис.13).

Рис.13

в) Построим вспомогательную плоскость BDD1.Через точку М параллельно ВВ1 проведем прямую FF1. В плоскости A1B1C1D1 , через точку F1 и параллельно прямой B1D1,  проведем прямую F1Q1. А в плоскости ABCD, через точку F и параллельно прямой BD,  проведем прямую FQ. Соединим точки QQ1 и получим искомое сечение FF1 Q1Q(рис.14).

Рис.14

Задача №2. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым АС и ВD.

Задача №3. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре АВ. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно грани BCD.

Задача №4. Точка М лежит на ребре ВС параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости BDC1.

Задача №5. Изобразите параллелепипед и отметьте на ребре АВ точку М. Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку М параллельно плоскости АСC1.

Задача №6. Изобразите параллелепипед  ABCDA1B1C1D1 и отметьте внутреннюю точку М грани AA1B1B. Постройте его сечение, проходящее через точку М параллельно: а) плоскости основания ABCD; б) грани BCC1 B1; в) плоскости  BDD1.

Задача №7. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно прямым  AB и CD.

Задача №8. Изобразите тетраэдр ABCD и отметьте точку М на ребре AB. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку М параллельно BDC.

Задача №9. Изобразите параллелепипед  ABCDA1B1C1D1 и постройте его сечение плоскостью, проходящей через: а) ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1D; б) точку пересечения диагоналей грани ABCD параллельно плоскости A1B1C1.

Задача №10. Точки P, Q и R взятых на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на диагонали A1C1, точка Q - на ребре DD1 , точка R – на ребре ВB1 .

Решение: Построив  прямую XY - след секущей плоскости, заметим, что точка P лежит в плоскости A1B1C1 параллельной плоскости ABC. Тогда секущая плоскость пересекает плоскость A1B1C1 по прямой, проходящей через точку P и параллельной прямой XY. Пусть эта прямая пересекает ребра  A1B1 и  A1D1 соответственно в точках Е и F. Тогда, прямая FQ – это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань  AA1DD1, а прямая ER - это прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань AA1ВB1. Так как плоскость CC1D1 параллельна плоскости AA1B1, то секущая плоскость пересекает грань  CC1D1D по прямой QS,  параллельной прямой ER (рис.15).

Рис.15

Задача №11. На ребрах A1B1 и DD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1    взяты соответственно точки Р и S, а в гранях DD1C1C и AA1D1D соответственно точки Q и R. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости  РQR.

Решение. Построим сначала вспомогательное сечение параллелепипеда – сечение его плоскостью РQR (например, с помощью следа XY). Далее, так как построенная и искомая секущие плоскости параллельны, то и прямые, по которым эти плоскости пересекают плоскости граней параллелепипеда, так же параллельны. Поэтому в плоскости  AA1D проведем через точку S прямую VS || NK , затем в плоскости  A1B1C1 построим прямую VT || PL и после этого в плоскости BB1C1 – прямую TW || LM. Точку W и S соединим (при этом, естественно, прямые WS и  MN должны оказаться параллельными). Четырехугольник SVTW – искомое сечение (рис.16) [11].

Рис.16

Задача №12. На рёбрах AA1 и DD1 параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р и К, а в гранях D D1C1C и  A A1 D1D – соответственно точки Q и R.постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку К параллельно плоскости РQR.

Задача №13. На поверхности параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 взяты точки Р, Q и R следующим образом: точка Р лежит на диагонали C1D, точка Q – на диагонали A1D, точка R – на прямой AB.Постройте сечение параллелепипеда плоскостью РQR, если отношения DP : DC1 , DQ : DA1,     AR :ABимеют соответственно следующие значения: а) 1 : 2, 1 : 2, 1 : 2; б) 1: 2, 1 : 3, 1 : 4; в) 1 : 3, 2 : 3, 2 : 3.

Задача №14. На рёбрах  AD, AA1,  и  B1C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки Р, Q и F. Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку F параллельно прямым  B1Q и СР.

Задача №15. На рёбрах  A1B1 и DD1 параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1взяты соответственно точки P и S , а в гранях DD1C1C и АA1B1В соответственно точки Q и R.Построить сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости РQR.

Задача №16. Постройте сечение параллелепипеда  ABCDA1B1C1D1 плоскостью РQR,если Р CC1, Q  DD1, R  A1B1. Задачу решите: а) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; в) комбинированным методом.

Задача №17.Точки Р, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка Р лежит в грани CC1D1D, точка Q – в грани AA1D1D, точка R – на ребре BB1 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью РQR: а) методом следов; б) методом внутреннего проектирования; в) комбинированным методом.