Построение сечений многогранников. Урок 10 класс.
методическая разработка (геометрия, 10 класс) по теме

Построение сечений многогранников

Учебно-методическое обеспечение: Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс.

Оборудование и материалы для урока: компьютер, проектор, экран, презентация для сопровождения урока, раздаточный материал учащихся.

Цель урока:  углубление, обобщение, систематизация, закрепление полученных знаний и развитие их в перспективе (изучить метод следов)

Задачи урока:

1. Сформировать у школьников мотивацию к изучению данной темы.

2. Развивать у учащихся умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний.

3. Развивать у учащихся мышление (умение выделять существенные признаки и делать обобщения).

4. Развивать у учащихся навыки творческого подхода к решению задач и навыки исследовательской работы над задачей.

Знания, умения, навыки и качества, которые закрепят ученики в ходе урока:

• умение пользоваться опорными знаниями, для получения новых знаний;
• умение выделять существенные признаки и делать обобщения;
• навыки творческого подхода к решению задач на построение сечений

План урока:

1. Сформирование у школьников мотивации к изучению данной темы.

2. Проверка домашнего задания. Исторические сведения.

3. Повторение опорных знаний (аксиоматика, способы задания плоскости).

4. Применение знаний в стандартной ситуации.

5. Изучение и закрепление нового материала: метод следов.

6. Самостоятельная работа.

7. Подведение итога урока.

8. Домашнее задание.

Ход урока:                                   I этап – Вводная беседа.

Проверка домашнего задания. (6-7 мин)

II этап – Актуализация знаний (10 мин)

(повторение теоретического материала)

III этап – Применение знаний в стандартной ситуации(6-7 мин)

(работа по готовым чертежам)

IV этап –Свойства параллельных плоскостей (6 мин)

V этап - Выход  на получение новых знаний: «Метод следов»(6 мин)

VI этап - Самостоятельная работа (4-5 мин)

VII этап – подведение итогов урока (4 мин)

ХОД  УРОКА

1. Вступительная беседа. Исторические сведения.

Учитель: Здравствуйте, ребята! Тема нашего урока «Построение сечений многогранников на основе аксиоматики». На уроке мы обобщим и систематизируем пройденный теоретический материал, и применим его к практическим задачам на построение сечений, с выходом на новый более сложный уровень трудности задач.

Главная цель нашего урока в углублении, систематизации, закреплении полученных знаний и развитии их в перспективе.

В качестве домашнего задания вам было предложено написание рефератов или небольших выступлений об истории развития геометрии, о жизни великих  математиков, об их знаменитых открытиях и теоремах. Доклады и рефераты получились очень интересные, но на уроке мы заслушаем только три мини-выступления, отвечающие на вопрос, что изучает стереометрия, как возникла и  развивалась и где находит своё применение?

1 ученик. Понятие стереометрии, что изучает. (2 мин)

2 ученик. Евклид – основоположник геометрии, греческая архитектура. (2 мин)

3 ученик. Математическая теория живописи. «Золотое сечение» - формула совершенного человеческого тела по Леонардо да Винчи. (2 – 3  мин)

В стереометрии изучаются красивые математические объекты. Их формы находят своё применение в искусстве, архитектуре, строительстве. « Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида», - писал архитектор Корбюзье.

Прошли века, но роль геометрии не изменилась. Она по прежнему остается «грамматикой архитектора». Геометрические   формы   находят своё применение в искусстве, архитектуре,  строительстве.

Математическая теория живописи – это теория перспективы, представляющая, по словам Леонардо да Винчи, «тончайшее исследование и изобретение, основанное на изучении математики, которое силой линий заставляло казаться отдаленным то, что близко, и большим то, что невелико». Развернувшееся в эпоху Возрождения строительство инженерных сооружений возродило и расширило применявшиеся в античном мире приёмы проекционных изображений. Архитекторы и скульпторы встали перед необходимостью создания учения о живописной перспективе на геометрической основе. Многочисленные примеры построения перспективных изображений имеются в работах гениального итальянского художника и выдающегося ученого Леонардо да Винчи. Он впервые говорит о сокращении масштаба разных отрезков удаляющихся в глубь картины, кладет начало панорамной перспективе, указывает правила распределения теней, высказывает уверенность в существовании некой математической формулы красоты отношения размеров человеческого тела – формулы «золотого сечения».  

Таким образом мы плавно подошли к теме нашего урока, и мостиком в его следующий этап будут слова Леонардо да Винчи :

"Те, кто влюбляются в практику без теории, уподобляются мореплавателю, садящемуся на корабль без руля и компаса и потому никогда не знающему, куда он плывет". 

Это высказывание определяет следующий этап нашего урока: повторение теоретического материала.

II. Актуализация знаний (повторение теоретического материала)

2.1. Аксиомы стереометрии (таблицы остаются учащимся для работы).

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) разъяснить содержание аксиом и иллюстрировать на модели;

б) чтение учащимися текста аксиом;

в) выполнение чертежа;

г) запись содержания с помощью символов.

2.2. Следствия из аксиом стереометрии.

2.3. Взаимное расположение в пространстве прямых и плоскостей.

а) двух прямых (прямые параллельны, пересекаются, скрещиваются)

б) прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, пересекает плоскость, параллельна плоскости)

в) двух плоскостей (плоскости пересекаются либо параллельны).

В ходе беседы выделяются существенные моменты теории:

а) Признак параллельности прямой и плоскости:  Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

б) Признак параллельности плоскостей: Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Учитель: Обобщая все сказанное, приходим к выводу о способах задания плоскости.

2.5. Понятие многогранников. Сечение.

Многогранником называется тело, ограниченное конечным числом плоскостей. Поверхность многогранника состоит из конечного числа многоугольников.

Многоугольник, полученный при пересечении многогранника и плоскости, называется сечением многогранника указанной плоскостью.

III. Применение знаний в стандартной ситуации.

 Используя полученные знания, применим их к построению сечений многогранников на основе аксиоматики.

Примеры и их решение приводят учащиеся (под руководством учителя).

IV. Построение сечений с использованием свойств параллельных плоскостей.

Учитель: Для решения следующей группы задач нам необходимо повторить свойства параллельных плоскостей.

V.  Выход на получение новых знаний: «Метод следов».

Просмотр учебного фильма.

Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»

Применение полученных знаний (решение учащимися двух задач у доски с последующим просмотром правильного решения и записи оформления).

VI - Самостоятельная работа

с последующей взаимопроверкой (по слайду с готовым решением).

VII. Подведение итогов урока

1. Что нового вы узнали на уроке?
2. Каким образом строится сечение тетраэдра?
3. Какие многоугольники могут быть сечением тетраэдра?
4. Какие многоугольники могут получиться в сечении параллелепипеда?
5. Что вы можете сказать о методе следов?

Творческое домашнее задание. Составить две задачи на построение сечений многогранников с использованием полученных знаний.

Использованные источники

Прототипом данного урока послужил авторский урок Легкошур Ирины Михайловны, изменения дополнения и презентация к уроку выполнены с её разрешения в 2008 г. Ссылка: http://www.edu.yar.ru/russian/pedbank/sor_uch/math/legcosh/work.html

1. Атанасян Л.С. и др. Геометрия 10-11 класс. Учебное пособие.
2. Электронное издание «1С: Школа. Математика, 5-11 кл. Практикум»
3. Электронное издание «Решебник по геометрии. Пособие для абитуриентов. Полный курс за 7-11 классы»