Тестовые задания по математическим основам изучения темы «Перпендикулярность в пространстве».
тест по геометрии (10 класс)

Блок 1. Диагностика знания определений и формулировок темы «Перпендикулярность в пространстве» и умения соотносить термин и определение, название теоремы и формулировку, дополнять формулировку недостающим условием.

№1. Вставьте пропущенное слово: «Отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, один конец которого принадлежит этой плоскости, а другой – данная точка, называется...»

1. Наклонной.

2. Перпендикуляром.

3. Проекцией наклонной.

№2. Выберете верную формулировку признака перпендикулярности прямой и плоскости:

1. Если прямая перпендикулярна к двум параллельным прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2. Если прямая перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

3. Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

№3. Выберите верное название теоремы с формулировкой: «Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости»:

1. Теорема о трех перпендикулярах.

2. Признак перпендикулярности двух плоскостей.

3. Признака перпендикулярности прямой и плоскости.

4. Теорема о параллельности перпендикуляров.

№4. Есть ли ошибка в формулировке признака перпендикулярности прямой и плоскости «Прямая, перпендикулярная двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, перпендикулярна данной плоскости»:

1) Да

2) Нет

№5. Вставьте пропущенные слова в определении расстояния между скрещивающимися прямыми:

«Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется_(1)_между _(2)_ плоскостями, в которых находятся скрещивающиеся прямые».

А) луч

B) наклонная

C) параллельными

D) перпендикулярными

E) расстояние

F) проекция

№6. Установите соответствие между названием теоремы и ее формулировкой:

№7. Установите соответствие между названием теоремы и ее формулировкой:

№8. Установите соответствие между прямыми ВА, ВС, СА, точками В, С и их названиями.

№9. Вставьте пропущенное слово: «Если плоскость перпендикулярна одной из двух … прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.»

1. Скрещивающихся.

2. Пересекающихся.

3. Перпендикулярных.

4. Параллельных.

№10. Вставьте пропущенные слова в определении расстояния между скрещивающимися прямыми:

«Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между их _(1)_ на плоскость, которая _(2)_одной из этих _(3);

А) плоскостей

B) прямых

C) параллельна

D) перпендикулярна

E) перпендикулярами

F) проекциями

№11. Выберите верное утверждение:

1. Если одна из двух перпендикулярных прямых параллельна плоскости, то другая прямая параллельна этой плоскости.

2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

3. Через каждую точку пространства проходит несколько плоскостей, перпендикулярных данной прямой.

№12. Выберите из списка неверные утверждения:

1. Если из одной точки, не принадлежащей плоскости, проведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонная, то длина наклонной меньше длины перпендикуляра.

2. Длина проекции наклонной меньше самой наклонной.

3. Длины наклонных, проведенных из разных точек, не принадлежащих плоскости, равны тогда и только тогда, когда равны длины их проекций.

4. Если из одной точки, не принадлежащей плоскости, проведены две наклонные к этой плоскости, то большей наклонной соответствует большая проекция.

А)1,3.

Б)2,4.

В)1,2.

Г)3,4.

№13. Выберите верную формулировку теоремы о трех перпендикулярах:

1) Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярно ей, параллельна к проекции наклонной на эту плоскость.

2) Прямая, проведенная через основание наклонной, перпендикулярно ей, перпендикулярна и к проекции наклонной.

3) Прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

№14. Какой из изображенных ниже рисунков является иллюстрацией к теореме о трех перпендикулярах?

1. 2. 3.

Блок 2. Диагностика умения выполнять стереометрический чертеж для вычисления расстояний в пространстве, конструировать план вычислений.

№1. Вставьте пропущенные слова:

«Чтобы найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми надо:

1. Через одну из скрещивающихся прямых провести плоскость, _(1)_ второй скрещивающейся прямой.

2. Из произвольной точки второй прямой опустить _(2)_ на полученную плоскость.»

А) перпендикулярную

B) перпендикуляр

C) наклонную

D) параллельную

№2. Вставьте пропущенные слова в построении расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Через произвольную точку А на прямой _ (1) _ провести прямую b1 ll_ (2) _.

2. Через прямые a и b1 провести плоскость α ll_ (3) _.

3. Отметить произвольную точку О на прямой b.

4. Опустить перпендикуляр _ (4) _ на плоскость α.

А) b

B) OH

C) α

D) a

E) b1

F) A

№3. Установите порядок построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Отметить произвольную точку О на прямой b.

2. Через прямые a и b1 провести плоскость α ll b.

3. Опустить перпендикуляр OH на плоскость α.

4. Через произвольную точку А на прямой a провести прямую b1 ll b.

№4. Установите соответствие между этапами построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b и их чертежами:

№5. Дана задача: «Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится на расстоянии 4 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α». Выберите верный чертеж к данной задаче:

1) MN-искомое расстояние.

2) MN-искомое расстояние.

3) MB-искомое расстояние.

4) MN-искомое расстояние.

№6. Заполните пропуски в решении задачи: «Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится на расстоянии 4 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α»:

А) АВ

B) NB

C) MN

D) BO

E) ON

№7. Расположите в правильном порядке этапы нахождения расстояния межу прямыми АС и В1D:

1. Построить плоскость (BDD1) ⊥ АС. (BDD1)АС=О

2. Найти длину ОК.

3. Опустить перпендикуляр ОК из точки О до прямой В1D.

№8. Установите порядок построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Выбрать произвольную точку О на плоскости β.

2. Через прямую а провести плоскость α, через прямую b провести β ll α.

4. Опустить перпендикуляр ОН на плоскость α.

№9. Вставьте пропущенные слова в построении расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Через прямую а провести плоскость _(1)_, через прямую _(2)_ провести β ll α.

3. Выбрать произвольную точку _(3)_ на плоскости _(4)_.

4. Опустить перпендикуляр ОН на плоскость α.

А) b

B) O

C) α

D) β

E) a

F) H

№10. Вставьте пропущенные слова:

«Чтобы найти расстояние от прямой до параллельной ей плоскости надо:

1. Выбрать произвольную _(1)_ на данной _(2)_.
2. Опустить из этой точки _(3)_на эту плоскость.

А) точку

B) плоскости

C) наклонную

D) прямую

E) прямой

F) перпендикуляр

№11. Установите соответствие между этапами построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b и их чертежами:

№12. Установите порядок построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Опустить перпендикуляр АН от точки А до прямой b.

2. Построить плоскость α ⊥ a; Точка А- точка пересечения прямой а и плоскости α.

3. Построить проекцию прямой b на плоскость α.

№13. Вставьте пропущенные слова в построении расстояния между скрещивающимися прямыми a и b:

1. Построить плоскость α ⊥ _(1)_; Точка _(2)_- точка пересечения прямой а и плоскости α.

2. Построить проекцию BD’ прямой _(3)_ на плоскость α.

3. Опустить перпендикуляр АН от точки А на прямую _(4)_.

А) b

B) H

C) a

D) β

E) А

F) α

G) ВD’

№14. Установите соответствие между этапами построения расстояния между скрещивающимися прямыми a и b и их чертежами:

Блок 3. Диагностика умения находить математические ошибки в применении знаний по теме «Перпендикулярность в пространстве».

№1. Дана задача: «В тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AC, AB=BC, DA=DC. Докажите, что плоскость треугольника BDE перпендикулярна к прямой AC.»

Для доказательства того, что AC⊥(BDE) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ученик выбрал в плоскости (BDE) прямые DE и DB. Выясните, прав ли он, и выберите нужные прямые:

1.DE и DB.

2.BE и DB.

3.DE и BE.

№2. Дана задача: «В тетраэдре ABCD точка E – середина ребра AC, AB=BC, DA=DC. Докажите, что плоскость треугольника BDE перпендикулярна к прямой AC.»

Доказав, что AC⊥DE и AC⊥BE, ученик сделал вывод, что AC⊥(BDE) по определению. Выясните, где допущена ошибка и выберите верный вариант:

1) вместо AC⊥(BDE) по определению надо AC⊥(BDE) по теореме о трех перпендикулярах.

2) вместо AC⊥DE и AC⊥BE надо AC⊥DB и AC⊥BE.

3) вместо AC⊥(BDE) по определению надо AC⊥(BDE) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

№3. Есть ли в построении расстояния между прямыми AB1 и BC1 куба ABCDA1B1C1D1 ошибка?

1) Да

2) Нет

№4. Дана задача: «Дан куб ABCDAВ1С1D1C1. Докажите, что плоскости ABC1 и A1B1D перпендикулярны». Укажите, где сделана ошибка в доказательстве:

1. AD1AB.

2. (ABC1)(A1B1D) (по определению перпендикулярных плоскостей).

3. A1D(ABC1).

4. DCA1D (по т. о 3х перпендикулярах)

№5. Дана задача. Укажите, где сделана ошибка в доказательстве.

1. CA1 ⊥ AB1 (по т. о трех перпендикулярах).

2. B1C1 ⊥ (AA1C1) (по т. о двух параллельных прямых, перпендикулярных плоскости).

3. CA1 ⊥ AС1 (св-во диагоналей квадрата).