Минобрнауки России

 Федеральное  государственное образовательное учреждение

высшего образования  

«Тульский государственный педагогический университет им. Л.Н. Толстого»

Кафедра алгебры, математического анализа и геометрии

ВЫПУСКНАЯ  КВАЛИФИКАЦИОННАЯ  РАБОТА

(БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА)

на тему:

ПРОПЕДЕВТИЧЕСКИЙ КУРС «ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ» ДЛЯ  

5–6 КЛАССОВ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ ШКОЛЬНИКОВ

Выполнена: студенткой группы 120941з

                                          заочной формы обучения

                                                    факультета математики физики

                         и информатики

                                                         Королевой Еленой Анатольевной

Тула – 2019

Работа выполнена на факультете математики, физики и информатики ФГБОУ ВО «ТГПУ им. Л. Н. Толстого»

      Руководитель выпускной квалификационной работы – Балаба Ирина Николаевна, доктор  физико – математических наук, профессор кафедры алгебры, математического анализа и геометрии.

__________________________                        ____________________________

(Дата)                                                                 (Подпись)

 Работа допущена к защите:

      Заведующий кафедрой алгебры, математического анализа и геометрии

___________________      __________________        Н. М. Добровольский

(Дата)                                 (Подпись)

   Защита состоится «___» ________20___ г. в учебном корпусе

№ ___ ТГПУ им. Л. Н. Толстого, ауд. № ___ в ___ часов.

      Декан факультета математики, физики и информатики

_____________________             ___________________ И. Ю. Реброва

(Дата)                                             (Подпись)

Содержание

Введение…………………………………………………………….………….4

Глава 1. Понятие пропедевтического курса……………………….…………8

1. Основные цели и задачи пропедевтического курса……………………....8
2. Роль пропедевтики в геометрии в 5–6 классах……………………………12

Глава 2. Методические особенности обучения элементам геометрии в 5–6 классах……………………………………………………………….……….…16

2.1. Сравнительный анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках математики 5–6 классов…………………………………….……..16

2.2. Основные подходы к пропедевтике геометрических знаний…….……..24

Глава 3. Разработка пропедевтического курса «Введение в геометрию» для 5 класса……………………………………………………………………….……29

3.1.Рабочая программа курса «Введение в геометрию»………….….…….....29

3.2. Основные виды развивающих задач, для учащихся 5 классов……...…..33

Заключение………………………………………………………………...….…48

Список использованной литературы…………………………………...………49

ВВЕДЕНИЕ.

В настоящее время одним из приоритетных направлений политики развития нашего государства является образование российского общества. Решение проблемы обеспечения высокого качества образования во все времена стоит перед школой. Одним из путей повышения качества образования является развитие познавательных, интеллектуальных и творческих способностей школьников. В этом процессе неоценимую роль играет изучение математики и в частности элементов геометрии на ранних этапах обучения.

Геометрия как школьный учебный предмет, всегда считалась одним из самых сложных в школьном курсе математики (среди всего школьного курса). Российская учительская общественность непрерывно обсуждает, как учить геометрии, чему учить на уроках геометрии, с чего начинать, и в каком возрасте начинать изучение геометрии.

Вопрос о необходимости введения в начальную школу самостоятельного пропедевтического курса рассматривается давно. На сегодняшний день разработаны подобные курсы, но в современной школе, как правило, по тем или иным причинам подобные курсы не ведутся. Учителя вынуждены рассматривать геометрические задачи и теорию с ними связанную в рамках традиционных уроков математики.

Возникает вопрос: нужно ли вообще рассматривать какие-либо геометрические задачи и связанный с ними теоретический материал до начала систематического изучения геометрии, которое в нашей школе начинается с 7–го класса? Ответ на этот вопрос положительный, и вот какие аргументы в подтверждение данного мнения можно указать:

1. Традиционный для нашей основной школы систематический курс геометрии носит дедуктивный характер, что сложилось исторически. Общеизвестно, что при дедуктивном построении геометрии, доказывая те или иные теоремы, можно опираться только на аксиомы (факты принимаемые без доказательства), на ранее доказанные теоремы, на понятия и представления, которым получены путем наблюдений и личного опыта ребенка. Ссылки на очевидные факты, следующие непосредственно из чертежа или простого рисунка, ни в какой форме в научно–дедуктивной системе изложения геометрии недопустимы. Таким образом, очевидные, простейшие, непосредственно рассматриваемые факты и свойства геометрических фигур, следующие из рисунков и наблюдений должны быть знакомы школьникам еще до того, как началось изучения систематического курса геометрии.

2. Знакомство с геометрическими задачами в начальной школе и младших классах средней школы позволяет выполнить задачи развития математического и пространственного мышления учащихся, позволит подготовить их к восприятию более сложных идей изучаемых в систематическом курсе геометрии.

3. Наглядность и практичность обучения геометрии являются необходимыми условиями успешного ее изучения. Геометрия, как и любой другой учебный предмет, не может обходиться без наглядности. Формирование отвлеченного (абстрактного) мышления у школьников с первых школьных шагов требует предварительного пополнения их сознания конкретными представлениями и образами. Именно эти задачи решает геометрическая составляющая курса математики начальной школы. При этом удачное и умелое применение наглядности рождает у школьников желание самостоятельного познания и повышает их интерес к предмету математики в целом, является важнейшим условием успеха обучения не только математике, но и по другим учебным предметам.

Таким образом, можно говорить, что введение геометрического материала в курс математики 5–6 классов чрезвычайно важно для дальнейшего успешного обучения школьников, их вовлечения в познание окружающего мира, развития их мыслительных способностей.

Целью выпускной квалификационной работы является изучение особенностей обучения элементам геометрии в 5–6 классах и разработка системы упражнений с позиций пропедевтики изучения геометрии в средней школе.

Для достижения поставленной цели определены следующие задачи:

1. Изучение психолого-педагогической и методической литературы по заданной теме работы;
2. Изучение особенностей восприятия геометрического материала детьми возраста 11–12 лет;
3. Анализ учебников для учащихся 5–6 классов с точки зрения содержания в них геометрического материала.
4. Определение существующих подходов к преподаванию элементов геометрии с позиции пропедевтики;
5. Разработка пропедевтического курса «Введение в геометрию» для 5 класса.

Выпускная квалификационная работа состоит из 3–х глав. В первой главе рассмотрены вопросы общей и возрастной психологии: выявлены особенности развития психолого–педагогических процессов при изучении элементов геометрии у детей данного возраста. А также, освещены особенности восприятия геометрического материала школьниками и роль пропедевтики геометрии.

Во второй главе проведен анализ геометрического материала, содержащегося в учебниках математики 5–6 классов.

В третьей главе разработана программа, рассмотрены основные виды развивающих задач для учащихся 5–6 классов.

ГЛАВА 1. ПОНЯТИЕ ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА.

1.  Основные цели и задачи пропедевтического курса.

Пропедевтикой называется совокупность сведений и знаний, которыми необходимо запастись до начала какого–нибудь научного или специального занятия.

Первоначальной целью пропедевтического курса геометрии является подведение учеников к изучению курса геометрии, который будет идти на протяжении с 7 по 9 класс.. [1, с.25]

Чтобы пропедевтический курс был успешен нужно решить следующие задачи:

1. Поднять на новый уровень логическое мышление учеников, разработать базовые навыки, по изучению геометрического материала, овладеть техникой построения вывода исходя из наблюдения.
2.  Провести большую работу по формированию пространственного мышления у детей.
3.  Развивать дедукцию (без введения понятий «определение», «теорема», «доказательство»).
4.  Проработать умения по измерениям величин.
5.  Формирование умений и навыков в выполнении построений с помощью основных геометрических инструментов – циркуля, линейки, угольника, транспортира; формирование рациональных приемов построения.

На основе целей и задач, которые ставятся перед разработкой данного курса строится его содержание, в котором освещаются вопросы, касающиеся предстоящего изучения геометрии в 7–9 классах.

Стоит отметить, что программой предусмотрено овладение базовыми понятиями в построении простейших геометрических фигур, для которых используются, циркуль, линейка и т.д. [1, с.31-32]

В основном, процесс обучения проходит следующим образом:

1.  Ученикам дают представление о геометрических объектах, которые присутствуют в их повседневной жизни, дают информацию об их свойствах, только эти знания отличаются от тех, которые были получены в начальной школе своей глубиной;

 2.  Ученикам рассказывают и показывают новые объекты, с которыми они не имели дела раньше, вводится понятие преобразования фигуры;

3.   Вводятся величины, которые присутствуют в ранее изученных фигурах;

Пропедевтический курс является подспорьем к изучению планиметрии, эти курсы тесно связанны как содержанием так и своим посылом. [1, с.44-45]

1. Данный курс готовит учеников посредством перехода от простого к сложному, рассматриваются понятия точки, прямой, идет изучение основных аксиом и простых геометрических фактов.
2. Вводится новая терминология, новые обозначения, которые будут использоваться при изучении геометрии в 7–9 классах.
3. На примере простейших отображений, ученики познают геометрические преобразования.
4. Впервые вводится понятие длинны, площади, объема.
5. Данный курс помогает связать теория и практику воедино, так как одно без другого не возможно.
6. Разрабатываются и решаются задачи на развитие логики мышления, ориентации в пространстве.

Первые несколько лет своей жизни ребенок проводит, познавая этот мир, в котором геометрические образы играют не последнюю роль. Ребенок шести лет умеет внушительных запас геометрических познаний, исходя только из наблюдений. Геометрического рода упражнения ему только в радость. Можно судить о  том, что именно в эти года идет бурная активность в изучении геометрии.

Одна из ведущих причин проблемного изучения геометрии это сравнительно низкий уровень пространственных воображения и мышления, свой отпечаток накладывает и неразвитость логического аппарата.

Все эти проблемы возникают потому, что пик геометрической активности уже пройден, мышления ребенка уже меняется.

Ученики 5–6 классов очень тесно связанны с внутренним миром, в эти годы появляются потребности в осознании себя, развитий различных качеств. Игровая форма работы является ведущей на данном этапе, так как активность ребенка максимальная, как и интерес к изучению.

В мышлении младшего подростка преобладает наглядно образный и практически действенный компоненты с невысоким уровнем аналитико синтетической деятельности, недостаточной способностью к абстрагированию и владению методами рассуждений; запоминание носит механический характер.

Пропедевтический курс можно рассматривать как отправная точка, для активизации познавательной деятельности. Все ресурсы бросаются на то, чтобы заинтересовать ребенка в изучении геометрии.

Для построения хорошего пропедевтического курса необходимо:

• материал подавать на примерах;
• выводы должны быть основаны на жизненном опыте, а не на теоремах, аксиомах и прочих  фактах;
• полное отсутствие теорем, определений,  чтобы ребенок не тратил время на обдумывание этих понятий, это только усложнит задачу

На первых парах ученики данного возраста проводят аналогии, но со временем начинает проявляться дедукция при рассуждения, далее происходит замена образного мышления на практическое.

Нужно как можно больше решать упражнений, чтобы активизировать интеллектуальную активность. Решая упражнения учащийся осознает важность решаемой им задачи, задействует весь свой запас приобретенных знаний, развитие происходит за счет того, что изначально задачи не имеют готового решения, его нужно искать.

На первых уроках нужно заинтересовать, подтолкнуть к познавательной деятельности, материал должен быть легким, без особых усложнений.

1.2 Роль пропедевтики в геометрии в 5–6 классах.

Вопрос о пропедевтике возникает тогда, когда обнаруживаются серьезные трудности при формировании некоторого понятия или при слишком концентрированном изложении некоторой темы.

На самом деле, школьный урок является пропедевтикой к разного рода наукам, поэтому его важность трудно переоценить. Обучение делится на два этапа, это пропедевтика и систематика, на первом этапе детей знакомят с понятиями, на втором, на основе этих понятий проводят обучение. [3, с.40-41]

Уровень пропедевтики не предполагает введения каких–либо понятий, теорем, лемм, аксиом. Терминология и символика также может не вводиться или же малая её часть рассматривается на уроках. Роль учителя в том, чтобы грамотно подвести ученика к изучению материала. [3, с.51-52]

Обычно, пропедевтический курс является небольшим по объему часов, поскольку обучение имеет ознакомительный характер. Но при разработке данного курса важно соблюдать последовательность и содержательность, чтобы не запутать учеников в самом начале и не направить их по ложному пути изучения.

Геометрическая пропедевтика делится на следующие составляющие: развитие пространственных представлений младших школьников, формирование представлений о линии и отрезок, черчение и измерение длин отрезков, познакомить с многоугольниками и кругом, измерение периметра и площадей многоугольников, геометрических тел и ввода их названий.

По мнению психологов: «Уровень развития пространственного мышления и представлений считается одним из основных критериев математического развития личности», а А. Пуанкаре определял данные процессы, как наиболее существенные средства человеческого общения. На сегодняшний день не возникает никаких сомнений, что вопрос развития пространственного мышления и представлений в младшем школьном возрасте заслуживает большого внимания, ведь, как показали психологические исследования, именно данный период является очень важным для формирования этих процессов. В связи с этим и возникла идея построения курса, который базируется на стадиях: образ – представление – система представлений. В подходе к изучению определенного геометрического понятия существует четкая система анализа, которая обеспечивает соблюдение принципа преемственности: что детям уже известно  это понятие с дошкольного периода их жизни, либо из предыдущих уроков математики в школе, что они должны изучить это понятие сейчас; как оно со временем будет усложняться в начальной школе и на какой уровень знаний дети должны выйти, окончив начальную школу; как это понятие трактуется в 5–6 классах и в систематическом курсе геометрии. Такой анализ поможет правильно активизировать имеющиеся знания, определить опору и новизну данного материала, и, в результате, подойти к способу его объяснения.

Основная роль этого курса – подготовить учащихся к сознательному усвоению систематического курса геометрии, а также к изучению таких смежных дисциплин как география, физика и др.  Стоит отметить, что материал, предлагаемый в старшей школе не может являться пропедевтическим курсом для младшей школы, так как нужно учитывать возрастные особенности учащихся. Дети пятого класса не обладают всеми инструментами для изучения понятий, которые изучаются в средней школе.

Пропедевтика геометрии стоит на трех принципах, это фигуры, логика мышления, и практика. При изучении начальных геометрических сведений необходимо учитывать следующие позиции:

· мотивация материала;

· форма изложения (диалог, беседа и проч.);

· наглядность, доступность;

· активная познавательная деятельность.

«Не стоит зацикливаться на геометрических фигурах, нужно помнить об умственном развитии детей, то есть использовать анализ, обобщения, развивать гибкость ума.» [4, с.56-60]

«Особенностью изучения курса геометрии состоит в том, что она изучается позже нужного периода. Наглядно-образное мышление и воображение наиболее полно развиваются на стыке старшего дошкольного и младшего школьного возраста.» [3, с.61-63]

«Начальная школа отличается тем, что происходит накопление информации о геометрических понятиях, для этого используется система различного рода работ. Важную роль играет моделирование, черчение.» [4, с.84-87]

Посредством такой работы в 5 класс ученик приходит с хорошим багажом знаний, но особенность их в том, что они не систематизированы.

Ориентация уроков геометрии в 5–6 классах направлена на решение развивающих задач, чтобы сформировать у детей пространственное мышление, что является довольно сложной задачей. Основным задачами, которые решаются учениками, это задачи на развёртки. Именно там можно раскрыть весь потенциал пространственного мышления.

Изучение материала пропедевтического курса геометрии подготавливает учащихся к усвоению некоторых смежных дисциплин, изучаемых в школе. [5, с.37-40]

Рабочая программа курса предусматривает активные формы работы, в которых ученик полностью погружен в деятельность, которая направленна на развитие всех сторон интеллекта.

Изучению элементов геометрии в 5–6 классах в новых стандартах отводится большее количество часов и, соответственно, вводится больше новых понятий, что позволит углубить и расширить начальные геометрические знания учащихся.

Геометрический материал 5–6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии. В этом заключается основная роль изучения элементов геометрии на уроках математики 5–6 классов.

ГЛАВА 2. МЕТОДИЧЕСКИЕ  ОСОБЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАМ ГЕОМЕТРИИ В 5–6 КЛАССАХ.

2.1 Рабочая программа курса «Введение в геометрию».

В данной главе рассмотрим основные учебники по математике, которые имеют учебно-методический материал для пропедевтического курса.

1. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007
2. Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000
3. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997.
4. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 2007.

Рассмотрим подробно содержание каждого из представленных учебников

1. Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др. – М.: Просвещение, 2007

Структура учебника построена так, что нет огромных глав с кучей материала, который перегружает ученика. Каждый пункт содержит все необходимое для комфортного изучения материала, подробно разобранные задачи. Всё это повышает интерес ученика к изучению геометрии, развивает ассоциативное мышление. Упражнения разделены на две категории А и Б. Упражнения категории А предполагают формирование и отработку умений на уровне обязательной подготовки, упражнения категории Б — на развитие более высоких уровней усвоения. Сложность упражнений этих категорий очень сильно отличается. Каждая глава учебника завершается двумя самостоятельными разделами.

В теории этот материал можно использовать для любого вида работ, как для самостоятельного так и для коллективного, всё зависит от желания учащегося.

Также присутствуют задания для самопроверки, в которых подводятся итоги проведенной работы, систематизируется изученный материал на основе системы упражнений.

В конце учебника помещен раздел «Задания для итогового повторения». В нем задания сгруппированы в восемь работ, по две дублирующие, направленные на компактное, эффективное, систематизирующее повторение всего материала за год.

Геометрический материал учебника представлен в следующих главах:

Глава 1. Линии

Глава 5. Многоугольники

Глава 7. Треугольники и четырехугольники

Глава 10. Многогранники

В главе «Линии» основной акцент делается на понятия прямой и окружности, ученикам представляются упражнения на общие представления о линии (замкнутость, самопересечение, внутренняя область и др.). При этом задачи на изображение подразделяются на два вида: вычерчивание некоторой конфигурации по описанию и воспроизведение заданной конфигурации.

Цель следующей главы «Многоугольники» - познакомить учащихся с новой геометрической фигурой — углом и развить представление о многоугольнике.

Данная глава имеет два смысловых блока. В первом рассказывается о понятии угла и смежных с ним объектов. Важным аспектом является сравнение углов. Второй блок рассчитан на изучение многоугольников.

Теперь им предстоит расширить свои представления об уже знакомых фигурах, усвоить связанную с ними терминологию (вершина, сторона, угол многоугольника, диагональ), научиться «видеть» их в более сложных конфигурациях.

В главе «Треугольники и четырехугольники» расширяются знания учеников о треугольниках и четырехугольниках: вводятся виды треугольников. Целью данной главы является развитие представления учащихся о прямоугольнике; сформировать понятие равных фигур, площади фигуры, научить находить площади прямоугольников и фигур, составленных из прямоугольников; познакомить с единицами измерения площадей.

В главе «Многогранники» особое внимание уделено развитию пространственного мышления. Впервые ученики встречаются с понятием геометрического тела. Основными телами являются  цилиндр, конус и шар, объектом же более детального исследования являются многогранники (параллелепипед и пирамида). Помимо этого, рассказывается о построении данных тел.

Таким образом, геометрический материал представленный в данном учебнике, может быть охарактеризован как наглядно–деятельностный.

2. Математика 6 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. - М.: Дрофа, 2000

Структура данного учебника похожая на структуру предыдущего учебника, присутствует разделение упражнений на категории, отрабатываются умения приобретенные в 5 классе. В конце учебника также имеется раздел «Задания для итогового повторения».

Геометрический материал учебника дается в следующих главах:

Глава 2. Прямые и окружности.

Глава 4. Симметрия.

Глава 6. Фигуры на плоскости и в пространстве.

Материал главы «Прямые и окружности» позволяет рассмотреть взаимное расположение прямых и окружности, непосредственно самой окружности, двух окружностей. Важно, что при изучении материала данной главы происходит дальнейшее развитие пространственных представлений и воображения учащихся.

Ученикам представляются упражнения, целью которых является углубление понятия «расстояние», изучается понятие «расстояние от точки до фигуры» и его частного случая – расстояния от точки до прямой, а также расстояния между параллельными прямыми. Помимо этого, увеличивается уровень сложности задач.

Следующая глава рассказывает о понятиях симметрии, и о её видах. Также поднимается вопрос о применении понятие симметрии для решения задач. Основным посылом главы является формирование понятия симметрии на примере сравнения с предметами окружающего мира.

Данная глава «Фигуры на плоскости и в пространстве» является обобщающим, собирательным разделом в геометрической линии курса 5–6 классов. Здесь происходит новый виток в изучении вопросов, рассмотренных ранее. А именно, расширяются представления учащихся о многоугольниках: они знакомятся с новым видом четырехугольников – параллелограммом; знакомятся с новыми свойствами треугольников; приобретают новые графические умения по построению многоугольников и более сложные конструктивные умения. Расширяются представления учащихся о площади – они учатся находить площади различных фигур путем их перекраивания; впервые вводится понятие объема. Цель изучения это увеличение запаса знаний, о данных фигурах и их свойствах.

Таким образом, обучение по данному учебнику организовывается  как процесс интеллектуально–практической деятельности, направленной на развитие пространственных представлений.

Если исследовать методические особенности, можно выделить следующее: по сравнению с предыдущем учебником изменяется вектор обучения, явно выдвигается задача формирования интеллектуальной восприимчивости, гибкости и независимости мышления.

3. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997.

Учебник состоит из двух глав, в которых четыре параграфа. Эти параграфы имеют подпункты в которых рассказывается о каждой теме.

Материал каждого пункта изложен простым доступным для понимания пятиклассников языком. Каждый пункт содержит все необходимые сведения для комфортного изучения темы. Также присутствуют вопросы для самоконтроля. Про текст хотелось отметить следующее. Для облегчения работы с объяснительным текстом, в учебнике новые термины не только выделены в тексте, но и продублированы на полях учебника, что дополнительно фиксирует внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем внимание на каждом из этих слов и позволяет в дальнейшем легко находить в тексте новые понятия и их объяснение.

Также важным является градация упражнений, существуют упражнения как для классной работы, так и для работы дома. Принцип построения классический, от простого к сложному.  

Задачи в каждом пункте учебника разбиты на три большие группы: 1–я – для работы в классе; 2–я – для решения дома; 3–я – повторительные упражнения. Есть недостаток в том, что ученики, которые имеют средний уровень подготовки не имеют должного количества упражнений.

Упражнения классной работы расположены в строгом порядке важности, что помогает ребенку лучше изучить тему.

Задачи домашней работы делятся на две категории:

1. Упражнения связанные с пройденным материалом
2. Упражнения для повторения и систематизации полученных знаний на прошлых уроках.

И наиболее сложная и многоцелевая группа задач, предусматривает:

• задания для устного решения;
• подготовительные задания для работы над новой темой;
• задачи для непрерывного повторения ранее изученного;
• задачи повышенной трудности;
• упражнения, специально рассчитанные на развитие мышления детей, их памяти, внимания.

Стоит обратить внимание на хорошо разработанные иллюстрации и цветовое оформление, что не напрягает ученика при изучении.

Геометрический материал не выделен в отдельные главы, он представлен отдельными пунктами:

П.2. Отрезок. Длина отрезка. Треугольник

П.3. Плоскость. Прямая. Луч

П.4. Шкалы и координаты

П.18. Площадь. Формула площади прямоугольника

П.19. Единицы измерения площадей

П.20. Прямоугольный параллелепипед

П.21. Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда

П.41. Угол. Прямой и развернутый угол. Чертежный треугольник

П.42. Измерение углов. Транспортир

Второй пункт «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» направлен на систематизацию знаний, полученных ранее в начальных классах. В них входит умение чертить, измерять, распознавать все элементы фигур.

Пункт «Плоскость. Прямая. Луч» подразумевает изучение таких геометрических понятий как плоскость, прямая, луч. Система упражнений направлена на нахождение различного рода отличий между фигурами.

В пункте «Шкалы и координаты» ученикам вводят понятия координатного луча, единичного отрезка и координатной точки. Важным заданием пункта является обучение использования шкал измерения.

Пункт «Площадь. Формула площади прямоугольника» нацелен на актуализацию учащихся имеющихся знаний из начальной школы о площади. Вводится понятие равных фигур, площадь треугольника.

«Единицы измерения площадей». С понятием площади учеников познакомили ещё в начальной школе, поэтому в данном пункте знания о площади только углубляются. Имеются упражнения, предполагающие выражение одних единиц площади через другие.

«Прямоугольный параллелепипед». Рассматривается понятие прямоугольного параллелепипеда, особенности его построения, его свойства. Вводятся такие понятия как: грань параллелепипеда, ребро параллелепипеда, вершина параллелепипеда, куб.

В пункте «Объемы. Объем прямоугольного параллелепипеда» учащиеся знакомятся с понятием объем. Учатся находить объем прямоугольного параллелепипеда.

«Угол. Прямой и развернутый угол». В данном пункте вводится понятие угла, обозначаются правила чтения и записи углов; вводятся понятия прямого, развернутого угла, тупого, острого угла.

Таким образом, геометрический материал в учебнике Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений /Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд – М.: Мнемозина, 1997. может быть охарактеризован как наглядно-образный.

Важная особенность данного учебника состоит в том, что все понятие имеют ознакомительный характер. Обучение организуется как образовательный процесс, направленный на знакомство с плоскими и пространственными геометрическими фигурами, в ходе которого учащимися усваиваются важнейшие свойства этих фигур, а также ознакомление с тем, как используются свойства геометрических фигур в практической деятельности.

2.2 Основные подходы к пропедевтике геометрических знаний.

Теперь следует рассмотреть основные подходы к определения геометрической пропедевтики

Первым, кто заговорил о пропедевтике был Ж.Даламбер. Что касается России, первое упоминание о пропедевтике принадлежит С.Е.Гурьеву и датируется 18 веком. Также о пропедевтике говорил Н.И.Лобачевский.

А.М. Пышкало выделяет следующие аспекты обучения геометрии, актуальные и для учащихся 5–6 классов.

1. Развивающая направленность обучения.
2. Построение логической линии базируется на целостности подачи, которая увеличивает продуктивность работы.  
3. Важна не только теоретическая но и практическая направленность, которая поможет быстрее освоить материал.
4. Необходимо, чтобы процесс геометрического развития был непрерывным, равномерным и разнообразным.
5. Знакомство с геометрическими объектам происходит по принци от качества к количеству, но не наоборот.
6. Ознакомление с двумерной и трехмерной геометрией должно происходить одновременно. То есть каждый объект нужно переносить из двумерного в трехмерного пространства.
7. Дифференциация обучения.
8.  Систематическое внимание должно уделяться изучению терминологии и развитию учащихся.
9. При отборе содержания геометрического материала необходимо заботиться не только о накоплении запаса геометрических представлений и навыков, но и о достижении учащимися соответствующего развития.

Также пропедевтикой занимался Г.А.Клековкин. Основными причинами введения пропедевтики считались:

• Сложности, которые испытывают ученики при изучении курса геометрии, (от несформированных навыков работы с чертежными и измерительными инструментами до отсутствия потребности в элементарных логических обоснованиях своей деятельности );
• Неучет возрастных особенностей и сензитивных периодов в развитии перцептивных и концептуальных пространственных представлений ребенка.

Г.А. Клековкин считает, что геометрия дает возможность рассмотреть симбиоз предметно-практической и умственной деятельности. Такие процессы как восприятие, память и мышление не существуют независимо друг от друга: человек может мыслить не только словами, он может создавать образы. Очень важно, чтобы восприятие был переплетен с речью Информация подается образами, а слова только выражают сформированный образ.

Исходя из этого появляется принцип наглядно – теоретического единства. Сначала геометрический факт переносится в реальность в виде какой-либо жизненной ситуации при помощь моделирования. Далее полученный образ толкуется геометрическими понятиями и отношениями при помощи символов и логики.

Таким образом показывается связь предметно–умственной деятельности.

А.Г. Клековкин выделил 5 ступеней мышления.

Первая ступень подразумевает целостное восприятие фигуры. Ученики не могу разделить фигуру на части. Это обусловлено психологическими особенностями данного возраста.

На второй ступени происходит дифференциация, ребенок начинает разделять фигуру, находить отношения, связи. Опять же, это связанно с психологическими особенностями.

На первый план выходит наблюдение, моделирование, с помощью которого происходит активная умственная деятельность.

Третья ступень характеризуется умением устанавливать связь между фигурами и их особенностями. Ребёнок начинает определять вид фигуры исходя из её свойств, начинает понимать роль определений. Но на данном этапе понятие индукции ещё неизвестно, поэтому материал доводит до учеников учитель. Основной акцент делается на удержание интереса к геометрии.

Дети, которые достигают четвертой ступени имею понятие о дедукции, с помощью которой построена геометрическая теория, то есть начинают понимать что и откуда это взялось. Обучение основывается на эмпирическом смысле понятий и отношений.

На последней ступени, геометрическое обучение происходит с помощью полуформальной аксиоматики.

На основе все вышесказанного была разработана программа пропедевтического курса для учащихся 5–6 классов. В добавок вышло множество методических пособий, для построения таких курсов.

П.А. Карасев предложил курс наглядной геометрии, который актуален даже в наше время.

В качестве целей изучения курса автор выделяет:

1. Рисование геометрических фигур становятся основой для развития геометрических представлений.
2. Подразумевается изучение элементарных сведений, которые будут полезными в будущей практике.
3. С помощью решения задач активизировать мыслительные процессы.
4. Развитие речи – письменной и устной – в области, относящейся к пространственным представлениям детей.

По мнению разработчика существует необходимость обучить учеников плоским фигурам, таким как трапеция к примеру. Вводятся новые понятие, такие как равносоставленность и равновеликости, вычисляются площади трапеции, ромба, треугольника. Ключевым является использование клетчатой бумаги, которая используется для перекраивания. Одним из основных типов задач здесь является построение фигур путем перегибания листа бумаги.

Выделяют следующие принципы отбора и содержания:

1. В процессе обучения принимается во внимание психологические особенности детей.

 2. Наглядность и большое количество задач являются ведущими методологическими принципами.

3. Индуктивный метод выходит на первый план при доказательствах геометрических фактов.

4. Построение курса и метод его преподавания должны идти в развитии геометрического мышления от простого к сложному, от конкретного к отвлеченному.

5. В учебной работе необходимо задействовать все виды памяти: зрительную, моторную, слуховую.

6. Заучивание не должно присутствовать при обучении.

Есть и недостатки у данной концепции, в ней отсутствуют пространственные тела.

Отметим, что идеи Карасева так и не нашли своего воплощения, так как в  те года школа имела другую ориентацию.

Переориентация современной методической системы обучения на приоритет развивающей функции обучения потребовала, во-первых, пересмотра содержания геометрического образования и, во-вторых, нового структурирования всей геометрической линии.

Глава 3. РАЗРАБОТКА ПРОПЕДЕВТИЧЕСКОГО КУРСА «ВВЕДЕНИЕ В ГЕОМЕТРИЮ» для 5 КЛАССА.

3.1. Рабочая программа курса «Введение в геометрию

Цель пропедевтического курса «Введение в геометрию»:

Через систему задач организовать интеллектуально–практическую и исследовательскую деятельность учащихся, направленную на:

-развитие пространственных представлений, образного мышления, изобразительно– графических умений, приемов конструктивной деятельности, умений преодолевать трудности при решении математических задач, геометрической интуиции, познавательного интереса учащихся, развитие глазомера, памяти, обучение правильной геометрической речи;

-формирование логического и абстрактного мышления;

-формирование качеств личности (ответственность, добросовестность, дисциплинированность, аккуратность, усидчивость).

Задачи программы:

-  ознакомление с основными понятиями систематического курса геометрии;

- наблюдение геометрических форм в окружающих предметах и формирование на этой основе абстрактных геометрических фигур и отношений;

- осмысленное запоминание и воспроизведение достаточного большого числа определений и свойств геометрических фигур, формирование необходимой культуры речи и записи;

- сравнение и измерение геометрических величин;

- приобретение навыков работы с различными чертёжными инструментами;

- решение специально подобранных упражнений и задач, направленных на формирование приёмов мыслительной деятельности;

- формирование потребностей к логическим обоснованиям, рассуждениям, умозаключениям;

- специальное обучение математическому моделированию, как методу решения практических задач;

- сообщение необходимых сведений, связанных с развитием геометрии, деятельностью известных ученых-математиков, что способствует воспитанию у учащихся интереса к предмету, патриотическому воспитанию;

- организация систематического и обобщенного повторения, в ходе которого осуществляется как актуализация необходимых знаний, так и их закрепление и систематизация;

- воспитание инициативной, ответственной, целеустремленной личности, умеющей применять полученные знания и умения в собственной практике.

Содержание тем учебного курса

1. Введение. Первые шаги в геометрии. Пространство и размерность. Простейшие геометрические фигуры: прямая, луч, отрезок, многоугольник.

2. Фигуры на плоскости. Задачи со спичками. Задачи на разрезание и складывание фигур: «сложи квадрат», «согни и отрежь», «край в край» и другие игры. Танграм. Углы, их построение и измерение. Вертикальные и смежные углы. Треугольник, квадрат. Геометрия клетчатой бумаги – игры, головоломки.

3. Фигуры в пространстве. Многогранники и их элементы. Куб и его свойства. Фигурки из кубиков и их частей. Движение кубиков и их частей.  Игры и головоломки с кубом и параллелепипедом. Оригами.

4. Измерение геометрических величин. Измерение длин, вычисление площадей и объемов. Развертки куба, параллелепипеда. Площадь поверхности. Объем куба, параллелепипеда.

5. Топологические опыты. Фигуры одним росчерком пера. Листы Мебиуса. Граф.

6.Занимательная геометрия. Зашифрованная переписка. Задачи со спичками, головоломки, игры.

Тематическое планирование.

Количество часов: 34 (1 час в неделю)

3.2. Основные виды развивающих задач, для учащихся 5 классов.

В данном параграфе предлагается система задач, которая поможет реализовать данный курс.

I.Простейшие геометрические фигуры.

1.Назовите геометрические фигуры на рисунке. Выполните построение данных фигур.

2.Начертите отрезки:

•  длиной 6см; другой –  на 2см короче;
•  АВ=30мм, отрезок СВ - на 4см длиннее;
• АС=2см5мм, КМ=25мм. Сравните длины отрезков;
• ОТ=70мм,  КД=9см. Какой отрезок длиннее?
•  МД=4см5мм, АК = 55мм. Какой отрезок  короче?
• АВ = 80мм, СД = 8см, КМ=7см5мм.  Найдите сумму длин отрезков.

3. Постройте :

• луч;
• прямые линии непересекающиеся;
• прямые линии пересекающиеся в точке Д;
• отрезки, пересекающиеся в точке О;
• непересекающиеся отрезки АВ , СК, ЕТ;
• луч и отрезок;
• прямую линию и луч;
• луч, пересекающий отрезок АВ;
• прямую, пересекающую отрезок МД;
• отрезок АВ, над отрезком поставьте точку М;
• отрезок КЕ, на отрезке – точку О;
• отрезок ЕМ, под отрезком – точку К;
• незамкнутую ломаную линию из трёх отрезков;
• замкнутую ломаную линию АВСД;
• замкнутую ломаную линию из трёх отрезков. Назовите фигуру;
• замкнутую ломаную линию из пяти отрезков;
• незамкнутую линию из четырёх отрезков, обозначьте буквами;
•  замкнутую ломаную линию из четырёх отрезков, обозначьте буквами.

II Фигуры на плоскости.

1. Как называются фигуры? Определите вид каждого угла.

2. Постройте квадрат:

• длина стороны которого 4см;
• длина стороны которого 35мм. Обозначьте буквами;
• АВСД, периметр которого 20см;
• МКАД, периметр которого 16см;
• АВДК, со стороной 2см, вычисли периметр. Ответ вырази в мелких мерах;
• длина стороны которого 50мм, соедините противоположные вершины;
• АВСД, со стороной 6см, поделите на четыре равные части.

3.Сколько треугольников изображено?

-начертите рисунок, определите вид треугольников.

4.Начерти равносторонний треугольник, проведи через одну вершину прямую линию.

5.Построй прямоугольный треугольник , вычисли периметр.

6.Построй прямоугольник, проведи диагональ, обозначь образовавшиеся треугольники.

7.По данным длинам сторон определите вид треугольника:

• 3см, 4см, 2см;
• 5см, 6см5мм, 6см5мм;
• 2см, 2см, 3см;

8.Начерти равнобедренный треугольник, укажи равные стороны.

9.Используя  треугольники составьте узор.

Задачи со спичками.

1.Шестиугольная звезда.

   Вы видите звезду состоящую из 2–ух больших треугольников и 6-ти маленьких. Перемещением 2–ух спичек добейтесь, чтобы в звезде осталось 6 треугольников.

Ответ.

2.Три квадрата.

  Вы должны передвинуть четыре спички таким образом, чтобы получилось три квадрата. Головоломка имеет два правильных решения. Примечание: все 16 спичек в обеих правильных ответах должны быть использованы.

Ответ.

3.Исправить неверное равенство.

  Вы должны исправить неверное равенство и сделать его верным. При этом вы не должны прикасаться к спичкам, спички также нельзя поджигать, перемещать, передвигать и т.п.

Ответ. Для исправления неравенства необходимо перевернуть рисунок на 180 градусов.

4.Равносторонние треугольники.

  Легко увидеть, как убрав четыре или три спички, получить два равносторонних треугольника. Сможете ли вы оставить два равносторонних треугольника, убрав только ДВЕ спички? "Свободных концов" при этом оставаться не должно.

Ответ.

5.Змейка.

  Из 16 спичек составлена ломаная линия в виде змейки. Переставьте 5 спичек так, чтобы из змейки получилось два квадрата различной величины.

Ответ.

Танграм.

Используя все семь частей, сложите любые три фигурки, приведенные на рисунке, и наклейте их на альбомном листе.

Фигуры в пространстве.

1. Найдите развертку предложенной фигуры.

2.

1. Как называются измерения прямоугольного параллелепипеда?
2. Сколько см3 в 4 м3?
3. Какой формы грани прямоугольного параллелепипеда?
4. Сколько граней у прямоугольного параллелепипеда?
5. Запишите формулу объема прямоугольного параллелепипеда.
6. Уместится 60 литров воды в сосуде, объем которого равен 50 дм3?
7. Вычислите объем прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 3 дм, 8 см, 15 см.
8. Вычислите площадь поверхности куба с ребром 30 см.

Топологические опыты.

1.Докажите, что буквы О, Г, Т, Ь попарно различны с точки зрения топологии.

Доказательство:

Для того чтобы доказать топологическую неэквивалентность каких-либо фигур нужно найти топологическое свойство, которое у этих фигур будет разным. В данном случае, видно, что у букв присутствуют разбивающие и неразбивающие точки, и при том очевидно, что их количество будет различным. Затем следует подсчитать конкретное числовое значение выбранного инварианта. В данном случае, буква О содержит лишь неразбивающие точки (рис. 17). Для буквы Г существуют две неразбивающие точки x1, x2. Буква Т содержит три неразбивающие точки x1, x2, x3. Для b разбивающими являются все точки у, лежащие на прямолинейном участке ab (исключая точку a). Теперь легко доказать различие данных букв с точки зрения топологии. Действительно, например, буквы Г и Т различны, так как Г имеет две неразбивающие точки, а Т — три такие точки. Отсюда вытекает, что эти буквы различны, как имеющие различные топологические инварианты.

2. Сколько топологически различных плоских фигур можно сложить из не более чем шести спичек, если не класть их одну на другую, а соединять их только концами?

Решение:

1) построим фигуру из одной спички

2) построим фигуру из к спичек путем добавления одной спички к фигуре из к-1 спички, где к принимает значения от 2 до 6;

3) основанием для сравнения определим количество вершин индексов 1,2,3,4,5,6;

4) найдем количество вершин индексов 1, 2, 3, 4, 5, 6 построенной фигуры;

5) сравним найденные топологические инварианты (количество вершин определенного индекса) с инвариантами других фигур;

6) выделим по результатам сравнения топологически неэквивалентные фигуры, если не получилось новых фигур,возвращаемся к пункту 2).

Схематически решение приведено в нижеследующей таблице.

3. На раскопках древнего города найдено множество предметов быта (рис. 18). В каких группах предметы различны с точки зрения топологии? Приведите аргументы в пользу своего вывода.

Решение:

В первой группе предметы различаются по количеству ручек или сквозных отверстий, что является топологическим инвариантом, — амфоры различны с точки зрения топологии.

Во второй группе предметы различаются по степени разрушения, но, так как эти разрушения не дают сквозных отверстий или частей, то амфоры топологически эквивалентны.

В третьей группе предметы различаются по форме, но видно, что они переходят друг в друга при топологическом преобразовании. Следовательно, представленные в третьей группе предметы топологически эквивалентны.

4. Рассмотрите замкнутый лабиринт (рис.22)и определите, сразятся ли Тесей и Минотавр.

Решение:

Замкнутый лабиринт топологически эквивалентен окружности, то есть любые два объекта, находящихся во внутренности либо во внешности фигуры, можно соединить линией, не пересекающей границы. На этом основан этот способ решения задачи. Задание может быть выполнено двумя способами: закрашиванием внутренней области или проведением линии, не пересекающей границы от одного объекта к другому.

5.
Город Кенигсберг (после мировой войны он называется Калининград) стоит на реке Преголь. Некогда там было 7 мостов, которые связывали между собой берега и два острова. Жители города заметили, что они никак не могут совершить прогулку по всем семи мостам, пройдя по каждому из них ровно один раз. Так возникла головоломка: “можно ли пройти все семь кенигсбергских мостов ровно один раз и вернуться в исходное место?”.

Попробуйте и вы, может у кого-нибудь получится.

В 1735 году эта задача стала известна Леонарду Эйлеру. Эйлер выяснил, что такого пути нет, т. е. доказал, что эта задача неразрешима. Конечно, Эйлер решил не только задачу о кенигсбергский мостах, а целый класс аналогичных задач, для которых разработал метод решения. Можно заметить, что задача состоит в том, чтобы по карте провести маршрут – линию, не отрывая карандаша от бумаги, обойти все семь мостов и вернуться в начальную точку. Поэтому Эйлер стал рассматривать вместо карты мостов схему из точек и линий, отбросив мосты, острова и берега, как не математические понятия. Вот что у него получилось:

А, В – острова, M, N – берега, а семь кривых – семь мостов.

Теперь задача такая – обойти контур на рисунке так, чтобы каждая кривая проводилась ровно один раз.
В наше время такие схемы из точек и линий стали называть графами, точки называют вершинами графа, а линии – ребрами графа. В каждой вершине графа сходится несколько линий. Если число линий четно, то вершина называется четная, если число вершин нечетно, то вершина называется нечетной.

Докажем неразрешимость нашей задачи. 
Как видим, в нашем графе все вершины нечетные. Для начала докажем, что, если обход графа начинается не с нечетной точки, то он обязательно должен закончится в этой точке

Рассмотрим для примера вершину с тремя линиями. Если мы по одной линии пришли, по другой вышли, и по третьей опять вернулись. Все дальше идти некуда ( ребер больше нет). В нашей задаче мы сказали, что все точки нечетные, значит, выйдя из одной из них, мы должны закончить сразу в трех остальных нечетных точках, чего не может быть.
До Эйлера ни кому в голову не приходило, что головоломка о мостах и другие головоломки с обходом контура, имеет отношение к математике. Анализ Эйлера таких задач “является первым ростком новой области математики, сегодня известной под названием топология”

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

В ряду учебных дисциплин, составляющих в совокупности школьный курс математики, геометрия играет особо важную роль. Эта роль определяется и относительной сложностью геометрии по сравнению с другими предметами математического цикла, и большим значением этого предмета для изучения окружающего мира. Геометрия, являясь неотъемлемой частью математического образования, имеет целью интеллектуальное и общекультурное развитие учащихся. Развитие учащихся средствами геометрии направлено на достижение научных, прикладных и общекультурных целей математического образования, где общекультурные цели обучения геометрии в первую очередь предполагают всестороннее развитие мышления детей. Геометрия, как учебный предмет, обладает уникальными возможностями для решения главной задачи общего математического образования – целостного развития и становления личности средствами математики.

Геометрический материал, представленный для изучения в 5–6 классах, должен представлять собой курс, органично включающийся в структуру непрерывного геометрического образования, с одной стороны, позволяющий углубить и расширить представления детей об известных им геометрических фигурах – с другой, и имеющий основной целью подготовку учащихся к систематическому изучению геометрии в 7–9 классах.

Геометрический материал 5–6 классов закладывает фундамент для дальнейшего изучения геометрии, поэтому роль пропедевтики этой дисциплины представляется чрезвычайно важной.

Список использованной литературы.

1. Астряб, А.М. Наглядная геометрия [Текст] / А.М. Астряб.– М.: Гос. изд-во, 1923.
2. Ананьева, Б.Г. Проблемы восприятия пространства и пространственных представлений [Текст] / Б.Г. Ананьева, Б.Ф. Ломова.– М.: Педагогика, 1961.
3. Богоявленский, Д.Н. Психология усвоения знаний в школе [Текст] / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская.– М.: Педагогика, 1959.
4. Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение [Текст] / А.В. Брушлинский.– М.: Знание, 1983.
5. Выгодский, Л.С. Детская психология [Текст] / Л.С. Выгодский // Собрание сочинений : в 4 т. / под ред. Д.Б. Эльконина.– М.: Педагогика, 1984. – т. 4.
6. Выгодский, Л.С. Проблемы развития психики [Текст] / Л. С. Выгодский. – Собрание сочинений.– М., 1983. – т. 3.
7. Выгодский, Л.С. Воображение и творчество в детском возрасте [Текст] / Л.С. Выгодский.– М., 1991.
8. Глейзер, Г.Д. Развитие пространственных представлений школьников при обучении геометрии [Текст] / Г.Д. Глейзер.– М.: Педагогика, 1978.
9. Депман, И.Я. За страницами учебника математики [Текст]: пособие для учащихся 5–6 кл. средней шк. / И.Я. Делман, Н.Я. Виленкин.– М: Просвещение, 1989.
10. Зайкин, М.И. Развивай геометрическую интуицию [Текст]: Книга для учащихся 5–9 классов общеобразовательных учреждений / М.И. Зайкин.– М.: Просвещение: ВЛАДОС, 1995.
11. Зак, А.З. Различия в мышлении детей [Текст] / А.З. Зак.– М.: Рос. открытый ун–т, 1992.
12. Зетель, С.И. Геометрия циркуля и геометрия линейки [Текст] / С.И. Зетель.– М.: Учпедгид, 1957.
13. Зильберберг, Н.И. Урок математики, подготовка и проведение [Текст]
    / Н.И. Зильберберг.– М.: Просвещение, 1996.
14. Зыкова, В.И. Очерки психологии усвоения начальных геометрических знаний [Текст] / В.И. Зыкова.– М.: Учпедгиз, 1955.
15. Коксетер, Г.С.М. Новые встречи с геометрией [Текст] / Г.С.М. Коксетер, С.Л.М. Грейтуер.– М.: Наука, 1978.
16. Клековкин, Г.А. Геометрия. 5–6 класс [Текст]: Программа экспериментального пропедевтического курса / Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина.– М.: Русское слово – РС,2005. – 46 с.
17. Клековкин, Г.А. Геометрия. 5 класс [Текст]: Учебное пособие / Г.А. Клековкин, Л.Н. Евелина.–М.: Русское слово – РС, 2001.
18. Литвиненко, В.Н. Задачи на развитие пространственных представлений [Текст] / В.Н. Литвиненко.– М.: Просвещение, 1991.
19. Математика, 5–6 [Текст]: кн. для учителя / С.Б. Суворова, Л.В. Кузнецова, С.С. Минаева и др.– М.: Просвещение, 2006.
20. Математика [Текст]: учебник для 5 класса общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин, С.Б. Суворова и др.– М.: Просвещение, 2007
21. Математика. 6 класс [Текст]: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Г.В. Дорофеев, И.Ф. Шарыгин и др. – М.: Дрофа, 2000
22. Математика [Текст]: Учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений
    / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков и др. – М.: Мнемозина, 1997.
23. Математика [Текст]: Учебник для 6 кл. общеобразоват. учреждений
    / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чеснокови др. – М.: Мнемозина, 2007.
24. Методика обучения геометрии [Текст]: учебное пособие для студ. высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчишина и др.; под ред. В.А.Гусева. – М.: Академия, 2004.
25. Немов, Р.С. Психология [Текст]: в 3 кн.: учеб. для студ. высш. пед. учеб. заведений. – М.: ВЛАДОС, 2005. – Кн.2: Психология образования.
26. Строгий мир геометрии [Текст]: Книга для учителя / А.А. Окунев, В.А. Панчищина, Э.Г. Гельфман и др. – М.: МИРОС, 1994.
27. Педагогика [Текст]: Учебное пособие для ст–тов пед. вузов и пед. колледжей / под ред. П.И. Пидкасистого.– М.: Пед. О–во России, 1998.
28. Земляков, А.Н. Психодидактические аспекты углубленного изучения математики в старших классах общеобразовательной средней школы [Текст] / А.Н. Земляков. // Математика: прил. к газ. "Первое сентября". –– 2005. –03–04 (№ 6). – С. 17–21.
29. Примерные программы по учебным предметам. Математика. 5–9 классы [Текст]: проект. – 2–е изд. – М.: Просвещение, 2010. – (Стандарты второго поколения).
30. Подходова, Н.С. Геометрия в развитии пространственного мышления младших школьников [Текст] / Н.С. Подходова // Начальная школа.– 1999.– № 1.– С. 90.
31. Пышкало, А.М. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах [Текст] / А.М. Пышкало.– М., 1977.
32. Расташанская, Т.В. Особенности развития воображения школьников при изучении геометрии и дидактика математики [Текст]: сегодня и завтра. [Текст] / Т.В. Расташанская.– Томск, 2000.
33. Ротенберг В. Мозг. Обучение. Здоровье[Текст]: Кн. для учителя / В.С. Ротенберг, С.М. Бондаренко.– М.: Просвещение, 1989.
34. Советский энциклопедический словарь / под ред. Ф.Н. Петрова.– М.: Сов. энциклопедия, 1980.
35. Цукарь, А.Я. Развитие пространственного воображения. Задания для учащихся [Текст] / А.Я. Цукарь.– СПб: СОЮЗ, 2000.
36. Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия [Текст]: Учебное пособие для учащихся V–VI кл / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева.– М.: МИРОС, 1995.
37. Шарыгин, И.Ф. Наглядная геометрия [Текст] / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Егранжиева.– М.: Дрофа, 1998.
38. Якиманская, И.С. Развитие пространственного мышления школьников[Текст] / И.С. Якиманская.– М.: Педагогика, 1980.