Решение задач элементарной геометрии векторным методом
статья по геометрии (10, 11 класс)

Калинина Евгения Александровна

учитель математики УСВУ, к.ф.-м.н., доцент

Решение задач элементарной геометрии векторным методом

Векторный метод – один из наиболее общих методов решения геометрических задач. Он является сравнительно новой темой в школьном курсе геометрии, и овладение им вызывает трудности не только у учащихся, но и у учителей.

Суть векторного, как и любого алгебраического метода, состоит в том, что первоначально условия геометрической задачи и
требуемый результат описываются на алгебраическом языке (в
данном случае, на языке векторной алгебры), т. е. строится векторная модель задачи. Для того чтобы продуктивно решать геометрические задачи векторным методом, необходимо научиться задавать с помощью векторов основные геометрические объекты и описывать основные отношения между ними на языке векторной алгебры.

Не менее важно видеть возможность обратного перехода
от векторной модели к описываемым ею геометрическим объектам
и отношениям между ними, т. е. уметь строить геометрические
интерпретации алгебраических векторных соотношений.

1.  Некоторые сведения из векторной алгебры

Приведем некоторые факты из векторной алгебры, применяемые в решении геометрических задач:

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, для  которого указано какой из его концов является началом, а какой концом.

Обозначение: .

Длина (модуль) вектора есть длина соответствующего отрезка, определяющего данный вектор. Длину вектора обозначают соответственно как .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых называются коллинеарными векторами. При этом коллинеарные векторы называются сонаправленными , если они лежат в одной полуплоскости относительно прямой, содержащей их начальные точки. Если же коллинеарные векторы лежат в разных полуплоскостях относительно этой прямой, то это противоположно направленные векторы .

Векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях называются компланарными.

Два вектора  и  называются равными, если выполняются два условия:

Запись: .

Вектор называют нулевым, если его начало и конец совпадают, обозначается . Нулевой вектор не имеет направления и его длина равна нулю: .

К линейным операциям над векторами относятся умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов.

а) Умножение вектора на число.

Произведением вектора  на вещественное число  называется такой вектор  или , который удовлетворяет двум условиям:

1. ;
2. , при  и  при .

В частности, вектор  называется вектором, противоположным вектору . Если связать эту операцию понятием коллинеарных векторов, то имеет место теорема:

Если  и  - два коллинеарных вектора, то существует такое вещественное число , что .

Вектор называется единичным, если его длина равна единице: . При этом, вектор  - единичный, т. к. .

б) Сложение векторов.

Суммой векторов  и  называется такой вектор  (рис.2), который  строится по правилу: откладываем вектор  от произвольной точки О, затем строим вектор , тогда вектор-сумма направлен от начала первого вектора к концу второго, т.е.  (правило треугольника). Тогда Суммой трех векторов, составляющих треугольник, является нулевой вектор.

Свойства сложения векторов:

1. Сложение векторов коммутативно:  (рис.3). Отсюда получаем сложение векторов по правилу параллелограмма.
2. сложение векторов ассоциативно:  (рис.4). Это позволяет складывать любое количество векторов.
3. .
4. .
5. Свойство дистрибутивности связывает операции сложения векторов и умножения вектора на число: , где  - вещественные числа.
6. ,  - вещественное число.

в) Вычитание векторов.

Разностью  двух векторов  и  называется такой вектор , что .

Из определения получаем правило построения разности двух векторов: откладываем оба вектора от общего начала О, тогда вектор-разность направлен от конца второго вектора к концу первого:  (рис.5).

Операция вычитания векторов связана со сложением: .

Векторы можно не только складывать, вычитать и умножать на числа, но можно их перемножать между собой.

Скалярным произведением вектора на вектор  называется число , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

Для скалярного произведения выполняются следующие свойства:

1. .
2. .
3. - необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов  и .
4. .
5. вещественное число.
6. .

2. Примеры решения геометрических задач векторным методом

Пример1. Точка С – середина отрезка AB, а О – произвольная точка на плоскости (рис. 6). Доказать, что .

Решение:  По правилу треугольника , . Складывая эти равенства, получаем:

.

Так как точка С – середина отрезка АВ, то . Таким образом , , или .

Пример 2. Доказать, что прямая, проведенная через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Решение: Пусть  - данная трапеция,  и  - середины оснований  и , а - точка пересечения прямых  и  (рис. 7). Докажем, что точка  лежит на прямой .

Треугольники  и  подобны по первому признаку подобия треугольников, поэтому .  Так как  и , то

,       (1).

Точка  - середина отрезка , поэтому .  Аналогично .

Подставив в последнее равенство выражения (1) для  и , получим: .

Отсюда следует, что векторы  и  коллинеарны, и, значит, точка  лежит на прямой .

Пример 3. Дан произвольный треугольник . Докажите, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

Решение: Пусть , ,  - медианы треугольника (рис. 8). Тогда , ,  (задача 1). Сложив эти равенства, получим

Отсюда следует, что существует треугольник, стороны которого соответственно параллельны и равны медианам треугольника .

Пример 4. Докажите, что отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции, параллелен ее основаниям.

Решение: Пусть  и  - середины диагоналей трапеции  (рис. 9). Покажем, что || . Для этого достаточно показать, что  коллинеарен .

Так как  и  - середины отрезков  и , то

,

.

Следовательно,

.

Но  коллинеарен вектору , поэтому ,  - вещественное число.

Тогда

,

То есть  коллинеарен , что и требовалось доказать.

Пример 5. Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.

Решение: Пусть  - равнобедренный треугольник с основанием  и ,  - его медианы, проведенные к боковым сторонам (рис. 10).  Введем обозначения , , ||=||=||. Тогда , , поэтому скалярное произведение

 (2)

По условию задачи  , и, следовательно,  . Далее, , , , поэтому равенство (2) принимает вид  . Отсюда получаем , .

Пример 6.  - правильный шестиугольник. Доказать, что .

Решение: Пусть  - правильный шестиугольник. Покажем, что . Заметим, что , .

Далее  и .

Отсюда следует, что .

Пример 7. В параллелограммедано:  и ; , ;  , . Выразить векторы и  через  и .

Решение: Пусть  - параллелограмм (рис. 12), в котором , , , , , .

Выразим  через  и . , .

Тогда .

,

,

.

,

,

,,

Пример 8. В квадрат вписана окружность. Доказать, что сумма квадратов расстояний любой точки окружности до вершин квадрата не зависит от выбора этой точки. Найти сумму этих квадратов.

Решение: Пусть  - центр квадрата  (рис. 13), а  - произвольная точка окружности, вписанной в квадрат.

Имеем:   ,

,.

Тогда

где - сторона квадрата,  – радиус окружности.

Поскольку , то искомая сумма равна .

3. Задачи для самостоятельного решения.

1. Стороны , ,  треугольника  разделены  по его обходу соответственно точками , ,   в равных отношениях. Докажите что из отрезков ,  и  можно составить треугольник.
2. Докажите, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
3. Основания трапеции равны  и . Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
4. Даны четырехугольник и точка. Докажите, что точки, симметричные данной точке относительно середин сторон четырехугольника, являются вершинами параллелограмма.
5. Точка пересечения средних линий четырехугольника совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что четырехугольник – параллелограмм.
6. Через вершину  треугольника  и середину  медианы   проведена прямая, пересекающая сторону  в точке . Докажите, что . В каком отношении точка  делит отрезок .
7. Медианы боковых сторон равнобедренного треугольника пересекаются под углом . Найти угол при вершине треугольника.
8. В окружность с центром в точке  вписан четырехугольник , диагонали которого пересекаются в точке  и взаимно перпендикулярны. Доказать, что середины сторон  и , центр  и точки  являются вершинами параллелограмма.

Список литературы

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учебное
пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. – М.: Просвещение,
1986. – 336 с.

2. Болтянский В.Г. Элементарная геометрия: Кн. для учителя. –
М.: Просвещение, 1985. – 320 с.

3. Габович И.Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Книга для учащихся. – М.: Просвещение: АО «Учебная
литература», 1996. – 192 с.

4. Готман Э.Г., Скопец З.А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9 и 10 классов. – М.:
Просвещение, 1979. – 128 с.

5. Дубнов Я.С. Основы векторного исчисления. Ч. I. – M.-Л.: Гостехиздат, 1950. – 368 с.

6. Клопский В.М., Скопец З.А., Ягодовский М.И. Геометрия:
Учебное пособие для 9-10 классов. – М.: Просвещение, 1982. – 256 с.
7. Майоров В.М., Скопец З.А. Векторное решение геометрических задач (задачник-практикум по спецсеминару). – М.: Просвещение, 1968. – 252 с.
8. Понарин Я.П. Элементарная геометрия: В 2-х т. – Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. – М.: МЦНМО, 2004. – 332 с.
9. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии. – М.:
Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. – 288 с. – (Б-ка мат. кружка).

10. Шарыгин И.Ф., Гордин Р.К. Сборник задач по геометрии.
5000 задач с ответами. – М.: ООО «Изд-во Астрель», 2001. – 400 с.
11. Шклярский Д.Ю., Ченцов Н.Н., Яглом И.М. Избранные задачи
и теоремы элементарной математики. Геометрия (планиметрия). – 3-е
изд. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000. – 336 с.