Исследовательский проект на тему:

Теорема Пифагора

        Номинация: естественно- математические науки

Выполнили: ученики  8б класса

Никифоров Андрей, ,МанайловМихаил, Белкин Андрей, Голубятникова Елизавета, Кириченко Мария, Смирнов Владимир, Филиппов Роман.

Руководитель: учитель математики

Сидоренко Наталья Петровна

Санкт-Петербург

                                                            2020год

Оглавление

1. Введение………………………………………………………
2. Теоретическая часть………………………………………….

3. Практическая часть…………………………………………...

4. Заключение……………………………………………………
5. Список литературы и Интернет-источники  ………………

Пребудет вечной истина, как скоро

Её познает славный человек!

И ныне теорема Пифагора верна,

Как и в его далёкий век.

1. Введение.

Актуальность  темы. В настоящее время теорема Пифагора достаточно широко применяется в практических задачах. При сдаче ОГЭ выпускники 9-х классов также сталкиваются с заданиями, базированными на применении геометрических заданий в реальной жизни. Как правило, при решении таких задач необходимо применить теорему Пифагора.

Объектом данного исследования является теорема Пифагора.

Предмет исследования: биография Пифагора, теорема Пифагора и её доказательства, школа Пифагора и его ученики, практическое применение теоремы Пифагора.

Как много лет, и даже столетий, прошло с тех пор, как Пифагор сделал своё открытие. Оно не кануло в Лету - теорему Пифагора люди использовали и в древности, и в средневековье, и продолжают использовать и в наше время.

В данном исследовании мы попытались объединить и систематизировать самые разные стороны применения теоремы Пифагора. Кроме того, мы рассмотрели личность Пифагора, обратили внимание на различные доказательства этой теоремы и решения множества задач по её практическому применению в различных сферах жизни.

Цель работы: доказать, что «простота, красота и универсальность» теоремы Пифагора позволяет использовать её в различных сферах науки и жизни.

Гипотеза исследования: теорема Пифагора  действительно неразрывно связана с нашей повседневной жизнью и помогает  выявлять и частично решать актуальные проблемы, связанные с нашей жизнедеятельностью.

Исходя, из цели и гипотезы исследования в работе ставятся следующие задачи исследования:

·  рассмотреть гипотезы об авторстве доказательства теоремы Пифагора;

·  продемонстрировать способы доказательства теоремы Пифагора (например, одно из доказательств «Пифагоровы штаны во все стороны равны»);

-  показать применение теоремы Пифагора при решении задач;

Методы исследования:

1.Анализ литературы по проблеме исследования.

2.Сбор информации.

3.Методы количественной и качественной обработки данных.

Исследование включало в себя три этапа:

1. Подготовительный этап- организационный.
2. Практический этап –поиск и исследование информации по своему направлению, проведение опросов респондентов по теме исследования;
3. Заключительный этап –обработка полученных  в ходе исследования  данных, анализ этих результатов, оформление работы.

2.Теоретическая часть.

Биография Пифагора.

Пифагор – древнегреческий философ, математик, астроном. Обосновал многие свойства геометрических фигур, разработал математическую теорию чисел и их пропорций. Внёс значительный вклад в развитие астрономии и акустики. Автор «Золотых стихов», основатель пифагорейской школы в Кротоне.

По преданию Пифагор родился около 580 г. до н. э. на острове Самос в богатой купеческой семье. Его мать – Пифазис, получила свое имя в честь Пифии, жрицы Аполлона. Пифия предсказала Мнесарху и его жене появление на свет сына, сын также был назван в честь Пифии. По многим античным свидетельствам мальчик был сказочно красив и вскоре проявил свои незаурядные способности. Первые познания получил от своего отца Мнесарха, ювелира, резчика по драгоценным камням, который мечтал, что сын станет продолжателем его дела. Но жизнь рассудила иначе. Будущий философ обнаружил большие способности к наукам. Среди учителей Пифагора были Ферекид Сиросский и старец Гермодамант. Первый привил мальчику любовь к науке, а второй - к музыке, живописи и поэзии. Впоследствии Пифагор познакомился известным философом – математиком Фалесом Милетским и по его совету отправился в Египет – центр тогдашней научной и исследовательской деятельности. Прожив 22 года в Египте и 12 лет в Вавилоне, он вернулся на остров Самос, затем покинул его по неизвестным причинам и переехал в город Кротон, на юг Италии. Здесь он создал пифагорейскую школу (союз), в которой изучали различные вопросы философии и математики. В возрасте примерно 60 лет Пифагора женился на Феано, одной из своих учениц. У них рождены трое детей, и все они становятся последователями своего отца. Исторические условия того времени характеризуются широким движением демоса против власти аристократов. Спасаясь от волн народного гнева, Пифагор и его ученики переехали в город Тарента. По одной версии: к нему пришел Килон, богатый и злой человек, желая спьяну вступить в братство. Получив отказ, Килон начал борьбу с Пифагором. При пожаре ученики своей ценой спасли жизнь учителю. Пифагор затосковал и вскоре покончил жизнь самоубийством.

Следует отметить, что это один из вариантов его биографии. Точные даты его рождения и смерти не установлены, многие факты его жизни противоречивы. Но ясно одно: этот человек жил, и оставил потомкам большое философское и математическое наследие.

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора - важнейшее утверждение геометрии. Теорема формулируется следующим образом: площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Открытие этого утверждения приписывают Пифагору Самосскому (XII в. до н. э.)

Изучение вавилонских клинописных табличек и древних китайских рукописей (копий еще более древних манускриптов) показало, что знаменитая теорема была известна задолго до Пифагора, возможно несколько тысячелетий до него.

(Но есть предположение, что Пифагор дал ее полноценное доказательство)

Но есть и другое мнение: в пифагорейской школе был замечательный обычай приписывать все заслуги Пифагору и несколько не присваивать себе славы первооткрывателей, кроме, может быть нескольких случаев.(Ямвлих-сирийский грекоязычный писатель, автор трактата «Жизнь Пифагора». (II век н. э)

Так немецкий историк математики Кантор считает, что равенство 32 + 42=52 было

известно египтянам около 2300 лет до н. э. во времена царя Аменехмета (согласно папирусу 6619 Берлинского музея ). Одни полагают, что Пифагор дал теореме полноценное доказательство, а другие отказываю ему в этой заслуге.

Некоторые приписывают Пифагору доказательство, которое Евклид приводил в своих «Началах». С другой стороны Прокл (математик, 5 века) утверждает, что доказательство в «Началах» принадлежало самому Евклиду, то есть история математики почти не сохранила достоверных данных о математической деятельности Пифагора. В математике, пожалуй, не найти никакой другой теоремы, заслуживающей всевозможных сравнений.

В некоторых списках «Начал» Евклида эта теорема назвалась «теоремой нимфы» за сходство чертежа с пчелкой, бабочкой(«теорема бабочки»), что по гречки назвалось нимфой. Этим словом греки назвали еще некоторых богинь, а также молодых женщин и невест. Арабский переводчик не обратил внимания на чертеж и перевел слово «нимфа» как «невеста». Так появилось ласковое название «теорема невесты». Существует легенда, что когда Пифагор Самосский доказал свою теорему, он отблагодарил богов, принеся в жертву 100 быков. Отсюда еще одно название- «теорема ста быков».

В англоязычных странах ее назвали: «ветряная мельница», «павлиний хвост», «кресло невесты», «ослиный мост» (если ученик не мог через него «перейти», значит, он был настоящим « ослом»)

В дореволюционной России рисунок теоремы Пифагора для случая равнобедренного треугольника называли «пифагоровыми штанами».Эти «штаны» появляются, когда на каждой стороне прямоугольного треугольника построить квадраты во внешнюю сторону.

Сколько существует различных доказательств теоремы Пифагора?

Со времен Пифагора их появилось более 500.Теорема попала в Книгу рекордов Гиннеса. Если проанализировать доказательства теоремы, то принципиально различных идей в них используется немного.

Способы доказательства теоремы.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и 11 называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами", были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов. Теорема гласит: Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось. На данный момент в научной литературе зафиксировано 500 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Простейшее доказательство

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.

Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ΔABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

Метод подобия

           Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведу в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору.      Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные математики обычно приписывают Евклиду.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим её основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения ВС=а, АС=в, АВ=с

получаем     а/с=|НВ|/а,     в/с=|АН|/в

Что эквивалентно  а2=с*|НВ|;   в2=с*|АН|

Сложив, получаем а2+  в2=с*(|НВ|+|АН|)=с2.

Или а2+  в2=с2, что и требовалось доказать

Доказательства методом площадей

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

1. Расположим четыре равных прямоугольных треугольника так, как показано на рисунке.
2. Четырёхугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развёрнутый угол — 180°.
3. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и площади внутреннего квадрата. (а+в)2=4*(ав/2)+с2;        

а2+2ав+в2=2ав+с2;  

или а2+  в2=с2, что и требовалось доказать.

Школа Пифагора.

Пифагор Самосский - древнегреческий философ, математик и мистик, создатель религиозно- философской школы пифагорейцев. В детстве и юности много путешествовал. Также он учился музыке, поэзии, у него было 3 учителя философии. Путешествуя по Египту, он  больше узнал об астрономии, изучал математику.

В 525г до н.э. царь Персии вторгся  Египет, и Пифагор переехал в Вавилон, где продолжил изучать музыку и арифметику. По возвращении на Самос из-за разногласий с тираном Поликратом и неприятием философских и политических взглядов Пифагора, был вынужден эмигрировать в Южную  Италию, где продолжил религиозные философские изыскания. По прибытии в полис Кротон( регион Калабрия, Италия) он создал собственную школу. Школу Пифагора сравнивают с прообразом христианских монастырей и масонских лож. Постепенно ее политическое влияние возрастало. Она как таковая не находилась при власти. Речь шла о возросшем влиянии отдельных членов общества во властных структурах.

Пифагор среди прочего проповедовал вегетарианство, гармонию сфер и другое. Власть некого тайного общества пифагорейцев вызывала недовольство. Оно вылилось в заговор Килона, который вместе со сторонниками  напал на собрание пифагорейцев. Существует несколько легенд относительно дальнейшей судьбы Пифагора. Большинство из них завершаются тем, что философ умер в храме муз Метапонта. Несмотря на смерть Пифагора и общества в Кротоне, пифагорейцы продолжали свою деятельность в других полюсах античного мира.

Пифагор не оставил сочинений, в связи с чем точная реконструкция его первоначального учения, а также отделение от более поздних напластований весьма затруднительны. Пифагору приписывали все открытия пифагореистов. Вне зависимости от авторства тех или иных рассуждений, учение Пифагора стало основой для открытий в области математики, астрономии, теории музыки. О влиянии учения Пифагора на развитие науки и их собственные открытия говорили среди прочих Николай Коперник, Иоганн Кеплер, Иссаак Ньютон и Альберт Эйнштейн,  но нам  более знаком в связи с изучением геометрии -теоремой Пифагора.

3. Практическая часть.

Исторические задачи.

Задача Бхаскары

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал. Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял. Запомни теперь, что в том месте река в четыре лишь фута была широка. Верхушка склонилась у края реки, осталось три фута всего от ствола. Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Решение.

 Пусть CD – высота ствола.

BD = АВ.По теореме Пифагора имеем

АB²=AC²+BC², АB²=9+16=25, АВ = 5 .

CD = CB + BD,CD = 3 + 5 =8.  Ответ: 8 футов.

Старинная задача из китайской «Математики в девяти книгах»:

 "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша? "

Решение.

Длина камыша под водой – Х. Длина камыша наклонённого к берегу Х + 1.

По теореме Пифагора (Х + 1)2 = Х2 +25, тогда Х2 + 2Х +1 = Х2 +25. Получим 2Х = 24, Х = 12

Ответ:     Глубина воды 12 чи, а длина камыша 13 чи.

Задача о бамбуке из древнекитайского трактата «Гоу-гу».

Имеется бамбук высотой в 1 чжан. Вершину его согнули так, что она касается земли на расстоянии 3 чи от корня (1 чжан = 10 чи). Какова высота бамбука после сгибания?

Решение:

1) Выполним чертеж к задаче и обозначим высоту бамбука после сгибания

ВС= х чи. Тогда ВD=АВ=10-х(чи).

Из треугольника АВС по теореме Пифагора имеем АВ2=АС2+ВС2

(10-х)2 =х2+32 ,

100-20х+ х2= х2 + 9,

-20х=9-100,

-20х=-91,

х=4,55

2) 10-4,55=5,45.

Таким образом, высота бамбука после сгибания равна 5,45 чи.

Ответ: 5,45 чи.

Вавилонская задача

«Палка длиной 1/2, прислонена к стене. Ее верхний конец опустили на 1/10. Как далеко отодвинется ее нижний конец?» 
В задаче по данным: гипотенузе c = 1/2 и одному из катетов b = 1/2 - 1/10 = 2/5 необходимо найти второй катет. Его, как и положено, вавилонянин определяет «по теореме Пифагора»: а=√(с^2+b^2 ) = √(1/4+4/25) = 3/10 . 
Ответ: 3/10 

Прикладные задачи.

Задача 1.

Мальчик прошел от дома по направлению на восток 800 м. Затем повернул на север и прошел 600 м. На каком расстоянии от дома оказался мальчик?  Ответ: 1000.

Задача 2.                                                

Девочка прошла от дома по направлению на запад 500 м. Затем повернула на север и прошла 300 м. После этого она повернула на восток и прошла еще 100 м. На каком расстоянии от дома оказалась девочка?

Ответ: 500.

Задача 3.                                                          

Мальчик и девочка, расставшись на перекрестке, пошли по взаимно перпендикулярным дорогам, мальчик со скоростью 4 км/ч, девочка 3 км/ч. Какое расстояние (в км) будет между ними через 30 мин?                 Ответ: 2,5

Задача 4.

Два парохода вышли из порта, следуя один на север, другой на запад. Скорости их равны 15 км/ч и 20 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 ч?    Ответ: 50.

Задача 5.                                            

Используя данные, приведенные на рисунке, найдите расстояние в метрах между пунктами  A и B, расположенными на разных берегах озера.  Ответ: 500.

Задача 6.                                                

Лестница длиной 12,5 м приставлена к стене так, что расстояние от ее нижнего конца до стены равно 3,5 м. На какой высоте от земли находится верхний конец лестницы?  Ответ: 12.

Задача 7.

На вершинах двух елок сидят две вороны. Высота елок равна 4 м и 6 м. Расстояние между ними равно 10 м. На каком расстоянии BE нужно положить сыр для этих ворон, чтобы они находились в равных условиях, т.е. чтобы расстояния от них до сыра было одинаковым?

Ответ: 6.

4.Заключение.

В результате исследования ученики выяснили  некоторые области применения теоремы Пифагора. Ими собрано и обработано много материала из литературных источников и интернета по данной теме. Они изучили некоторые исторические сведения о Пифагоре и его теореме и сделали вывод, что действительно, с помощью теоремы Пифагора можно решать не только математические задачи. Теорема Пифагора нашла свое применение в строительстве и архитектуре, мобильной связи, литературе. Мы представляем результат работы над проектом в виде электронной презентации.

Изучение и анализ источников информации о теореме Пифагора

показал, что:

а) исключительное внимание о стороны математиков и любителей математики к теореме основано на ее простоте, красоте и значимости;

б) теорема Пифагора на протяжении многих веков служит толчком к интересным и важным математическим открытиям (теорема Ферма, теория относительности Эйнштейна);

в) теорема Пифагора – является воплощением универсального языка математики, справедливого во всем мире;

г) область применения теоремы достаточно обширная и вообще не может быть указана с достаточной полнотой;

д) тайны теоремы Пифагора продолжают волновать человечество и поэтому каждому из нас дают шанс быть причастным к их раскрытию.

5.Список литературы и интернет-источники:

• «Геометрия 7-9 классы» Л.С. Атанасян и др. Учебник для общеобразовательных учреждений – М. : Просвещение, 2018.
• «Геометрические задачи с практическим содержанием» И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Пособие – М. : МЦНМО, 2010.
• «Энциклопедический словарь юного школьника» А.П. Савин. Словарь- М. : Педагогика, 1985
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Пифагора