2.3. Результаты исследовательских работ учащихся.
презентация к уроку

Районный конкурс исследовательских, проектных и творческих  работ учащихся

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение                        Авдеевская средняя  школа

Образовательная область:  математика

Секция: математика

Тема:   «СОФИЗМЫ И ПАРАДОКСЫ В МАТЕМАТИКЕ»

Автор: Логвина Ольга       ученица 7 класса                                                                                                                        МБОУ Авдеевской СШ                                                                                                         Зарайского района                                                                                                                         Московской области    

Руководитель:                                                                                                           Курносова Татьяна Анатольевна – учитель математики

2015-2016 учебный год

Оглавление

Введение. Почему я взялась за эту работу?............................................ 3  

Цели и задачи ……………………………………………………...……..4

I. Софизмы..................................................................................................5

1.1  Арифметические  софизмы................................................................6

1.2 Алгебраические софизмы……………………………………………7

1. 3 Геометрические софизмы.................................................................11

1.4 Логические софизмы..........................................................................12

II. Парадоксы............................................................................................14

2.1 Логические парадоксы……………………………………………...15

2.2 Математические парадоксы............................................................ .18

Заключение...............................................................................................19

Использованная и рекомендуемая литература ……………………….13

Введение

Почему я взялась за эту работу?

        Меня зовут Логвина Ольга. Я учусь в 7 классе Авдеевской средней школы. Увлекаюсь математикой. Мой учитель предложил мне поучаствовать в научно-практической конференции ученических исследовательских и творческих работ. Мне было предложено на выбор несколько тем, но я заинтересовалась именно софизмами и парадоксами в математике. Почему? Впервые я встретилась с софизмом на математическом вечере «И прекрасна и сильна математика страна», где мне пришлось доказывать утверждение, обратное очевидной истине «2х2=5».  У меня сразу возник вопрос, а нет ли ещё подобных утверждений? Как оказалось, что незнание математических свойств очень часто приводит нерадивых учеников в тупик,  даже на уроках мы разбираем задания, которые выполнены неверно, иногда нам предлагают найти ошибки в готовых решениях.  Так, значит софизмы возникли не сами по себе, а это есть продукт ошибок.  Я считаю эту тему очень увлекательной и содержательной, развивающей познавательный интерес к урокам математики. История математики полна неожиданных и интересных софизмов. И зачастую именно их разрешение служило толчком к новым открытиям, из которых, в свою очередь, вырастали новые софизмы и парадоксы.

        Необходимо различать между собой парадоксы и софизмы. Парадоксы - это справедливые, хотя и неожиданные утверждения, в то время как софизмы – ложные результаты, полученные с помощью рассуждений, которые только кажутся правильными, но обязательно содержат ту или иную ошибку. И парадоксы, и софизмы очень поучительны и интересны. Практика обучения математике показывает, что поиск заключенных в софизме ошибок, ясное понимание их причин ведут к осмысленному постижению математики. Такой подход при обучении математике способствует более глубокому ее пониманию и осмыслению и, кроме того, показывает, что математика – это живая наука, а не собрание закостенелых догм, выдуманных по чьей-то злой воле. Начиная работать над этой темой, я узнала, что  именно софисты заставили задуматься о логическом строении геометрии и арифметики, разбор софизмов и парадоксов сам по себе развивает навыки правильного мышления.

Объект исследования:  софизмы и парадоксы

Предмет исследования: применение софизмов и парадоксов в различных областях математики

Цели:

• изучить данную тему, а именно, узнать что такое софизмы и парадоксы;
• доказать, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли;
• показать практическое применение парадоксов и их актуальность и в наше время.

Задачи:

1.  Изучить литературу по данной теме.

2.  Понять, как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях?

3.  Узнать, как проклассифицировать «парадоксы» и «софизмы», по каким критериям?

4. Показать применение парадоксов в современной практике.

5. Обобщить найденный материал.

Методы исследования: сравнение, анализ, обобщение.

I. Софизмы

        Софизм (от греч. sophisma – уловка, выдумка, головоломка, ухищрение, выдумка) — ложное умозаключение, которое, тем не менее, при поверхностном рассмотрении кажется правильным.

Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные»   действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Софизмы обычно трактуются вскользь и с очевидным осуждением. В обычном и распространенном понимании софизм -  это умышленный обман, основанный на нарушении правил. Но обман тонкий и завуалированный, так, что его не сразу и не каждому удается раскрыть. Цель софизма – выдать ложь за истину.  

        Софистами называли группу древнегреческих философов 4 века до нашей эры, достигших большого искусства в логике.

                Софизм - формально кажущееся правильным, но по существу                 ложное умозаключение, основанное на преднамеренно неправильном                 подборе исходных положений (словарь Ожегова). 

        Их строят, опираясь на         внешнее сходство явлений, прибегая к намеренно неправильному подбору исходных положений, к подмене терминов, разного рода словесным ухищрениям и уловкам Ошибки допускают сознательно, с целью увлечь собеседника по ложному пути. При этом широко, и надо сказать, умело используется гибкость понятий, их насыщенность многими смыслами, оттенками. Считается, что прибегать к софизму предосудительно, как и вообще обманывать и внушать ложную мысль, зная, в чем заключается истина.

Математический софизм – удивительное утверждение, в доказательстве которого караются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Софизм - это то же надувательство, только выполненное намного изящнее и незаметнее, за что мы его и любим. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в софизмах выполняют "запрещенные" действия или не учитываются условия применимости теорем, формул и правил. Распределим некоторые  софизмы, помогающие  нам развить логическое мышление и проверить, насколько глубоко мы понимаем некоторые моменты курса математики.

1.1 Арифметические софизмы.

Арифметические софизмы – это числовые выражения, имеющие неточность или ошибку, не заметную с первого взгляда.

Приведу примеры некоторых математических софизмов:

1).  .

Найти ошибку в рассуждении:

Имеем верное числовое равенство: 4:4=5:5.

Вынесем за скобки в каждой части его общий множитель. Получим: 4(1:1)=5(1:1).

Числа в скобках равны, поэтому 4=5 или .

(Ошибка допущена  в левой и правой частях тождества 4:4=5:5 при вынесении общего множителя за скобки).

2). Любое число равно его половине.

Возьмем два равных числа a и b, a=b. Обе части этого равенства умножим на а и затем вычтем из произведения по b2. Получим: a2-b2= ab- b2, или (a+b)(a-b) =b (a-b).

 Отсюда a+b=b или а+а=а, так как a=b. Значит, 2а=а, или а=а/2.

(Ошибка: делить на a-b нельзя, так как a-b=0).

3). « Если А больше В,  то А всегда больше, чем 2В».

Возьмем два произвольных положительных числа А и В, такие, что А>В.                                                             Умножив это неравенство на В, получим новое неравенство А∙В>В·В, а вычитая из обеих его частей А·А, получим неравенство А∙В-А·А>В∙В-А·А, которое равносильно следующему:

 А(В-А)>(В+А)(В-А).      (1)

После деления обеих частей неравенства (1) на В-А получим, что

                        А>В+А (2),

А прибавив к этому неравенству почленно исходное неравенство А>В, имеем 2А>2В+А, откуда

                                А>2В.

Итак, если А>В, то А>2В. Это означает, к примеру, что из неравенства 6>5 следует, что 6>10.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от неравенства (1) к неравенству (2)).                                                                                                 Действительно, согласно условию А>В, поэтому В-А<0.Это означает, что обе части неравенства (1) делятся на отрицательное число. Но согласно правилу преобразования неравенств при делении или умножении неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства необходимо изменить на противоположный. С учетом сказанного из неравенства (1) вместо неравенства (2) получим неравенство А<В+А, прибавив к которому почленно исходное неравенство В<А, получим просто исходное неравенство А+В<В+2А).

4) «Число, равное другому числу, одновременно и больше, и меньше его».

Возьмем  два произвольных положительных равных числа А и В и напишем и напишем для них следующие очевидные неравенства:

                          А> – В и В> – В.       (1)

Перемножив оба этих неравенства почленно, получим неравенство

     А·В>В·В, а после его деления на В, что вполне законно, ведь В>0, придем к выводу, что  

                                   А>В.              (2)

Записав же два других столь же бесспорных неравенства

                       В> – А и А> – А,                  (3)

Аналогично предыдущему получим, что В·А>А·А, а разделив на А>0, придем к неравенству

                       А>В.                           (4)

Итак, число А, равное числу В, одновременно и больше, и меньше его.

(Ошибка: здесь совершен неравносильный переход от одного неравенства к другому при недопустимом перемножении неравенств.)

Проделаем правильные преобразования неравенств.

Запишем неравенство (1) в виде А+В>0, В+В>0.

Левые части этих неравенств положительны, следовательно, умножая почленно оба эти неравенства

                     (А+В)(В+В)>0, или А>– В,

что представляет собой просто верное неравенство.

Аналогично предыдущему, записывая неравенства (3) в виде

                      (В+А)>0, А+А>0, получим просто верное неравенство В> – А).

1.2 Алгебраические софизмы.

Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений. Т.е. алгебраические софизмы – намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях.

1). Всякое число равно своему удвоенному значению.

Запишем очевидное для любого числа a тождество

a2 - a2 = a2 - a2, вынесем a в левой части за скобку, а правую часть разложим на множители по формуле разности квадратов, получим a(a – a) = (a + a)(a - a).Разделив обе части на (a – a), получим a = a + a, или a=2a.

Итак, всякое число равно своему удвоенному значению.

Разбор софизма. Здесь ошибочен переход к равенству a=2a. В самом деле, число a-a, на которое делится равенство a(a– a) = (a + a)(a - a) равно нулю. А мы прекрасно знаем, что на ноль делить нельзя.

2). Один рубль не равен ста копейкам.

Известно, что любые два равенства можно перемножить почленно, не нарушая при этом равенства, т. е. если а = b и c = d, то ac = bd. Применим это положение к двум очевидным равенствам: 1 рубль = 100 копейкам, 10 рублей = 1000 копеек. Перемножая эти равенства почленно, получим: 10 рублей = 100 000 копеек и, наконец, разделив последнее равенство на 10, получим, что 1 рубль = 10 000 копеек.

Таким образом, один рубль не равен ста копейкам.

Разбор софизма. Ошибка, допущенная в этом софизме, состоит в нарушении правила действий с именованными величинами: все действия, совершаемые над величинами, необходимо совершать также и над их размерностями.

3). 5 = 6.

        Возьмём числовое тождество:

35 + 10 – 45 = 42 + 12 – 54

Вынесем общие множители левой и правой частей за скобки.

Получим:

5 (7 + 2 – 9) = 6 (7 + 2 – 9)

Разделим обе части этого равенства на общий множитель (заключённый в скобки).

Получаем  5 = 6

(Ошибка: общий множитель (7 + 2 – 9) равен 0, а делить на 0 нельзя).

4). 4 больше 12.

Запишем очевидное неравенство 7>5 и равенство -8=-8, которые при сложении почленно, дают 7-8>5-8, или -1>-3, что верно. Умножая обе части неравенства -1>-3 на

-4, получим (-1)(-4)>(-3)(-4), откуда следует, что 4>12.

Разбор софизма. При умножении на -4 знак неравенства должен поменяться.

5). «Отрицательное число больше положительного».

Возьмем два положительных числа а и с. Сравним два отношения:

Они равны, так как каждое из них равно Можно составить пропорцию:

Но если в пропорции предыдущий член первого отношения больше последующего, то предыдущий член второго отношения также больше своего последующего. В нашем случае а>– с, следовательно, должно быть –а>с, т.е. отрицательное число больше положительного.

(Ошибка: данное свойство пропорции может оказаться неверным, если некоторые члены пропорции отрицательны).

6). «Всякое положительное число является отрицательным» 

        Пусть п — положительное число.

Очевидно, 2п-1<2п. (1)

Возьмем другое произвольное положительное число а и  умножим обе части неравенства на (– а):   – 2ап + а< – 2ап. (2)

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (– 2ап), получим неравенство а<0, доказывающее, что всякое положительное число  является отрицательным.

       (Ошибка: в софизме нарушено следующее правило: при умножении обеих частей неравенства на одно и то же отрицательное число знак неравенства меняется на  противоположный.)

7).Если одно число больше другого, то эти числа равны.

Возьмем два произвольных числа m и n, такие, что m>n, и другие три произвольных числа a, b и c, сумма которых равна d, т. е. a + b + c = d. Умножив обе части этого равенства на m, а затем на n, получим ma + mb + mc = md, na + nb + nc = nd.

Сложив почленно равенства ma + mb + mc = md, nd = na + nb + nc, получим ma + mb + mc + nd = na + nb + nc + md. Перенося здесь nd вправо, а md влево, имеем ma + mb + mc – md = na + nb + nc - nd, а вынося слева число m, а справа число n за скобки, придем к соотношению m(a + b + c - d) = n(a + b + c - d), откуда, разделив обе части последнего равенства на (a + b + с – d), находим, что m = n

Разбор софизма. Преобразования, посредством которых получено равенство, абсолютно верны, тогда как переход к m=n уже неверен. Легко заметить, что исходное условие a+b+c=d равносильно равенству a+b+c-d=0, откуда заключаем, что при переходе от равенства к m=n произведена запрещённая операция, а именно деление на нуль.

8).Чётное число равно нечётному.

Возьмём произвольное чётное число 2n, где n-любое целое число, и запишем тождество  , в справедливости которого нетрудно убедиться, раскрыв скобки.

Прибавив к обеим частям этого тождества , перепишем его в следующем виде: 

 ,

или в таком:,

Откуда следует, что , или 2n=2n+1,

что означает равенство чётного числа нечётному.

Разбор софизма. Из равенства квадратов не следует равенство величин.

9). Всякое положительное число является отрицательным.

Пусть n-положительное число. Очевидно, 2n-1<2n.Возьмём другое произвольное положительное число a и умножим обе части неравенства на (-а): -2an+a<-2an.

Вычитая из обеих частей этого неравенства величину (-2an), получим неравенство a<0, доказывающее, что всякое положительное число является отрицательным.

Разбор софизма. При умножении на (-а) знак неравенства должен меняться.

10). Сумма любых двух одинаковых чисел равна нулю.

Возьмём произвольное не равное нулю число a и напишем уравнение x=a. Умножая обе его части на (-4а), получим -4ах=-4а2.

Прибавляя к обеим частям последнего равенства х2  и перенеся член -4а2  влево с противоположным знаком, получим х2-4ах+4а2, откуда, замечая, что слева стоит полный квадрат, имеем (х-2а)2=х2 , или х-2а=х. Заменяя в последнем равенстве х на равное ему число а, получим а-2а=а, или -а=а, откуда 0=а+а, т. е. сумма двух произвольных одинаковых чисел а равна 0.

Разбор софизма. Когда мы имеем полный квадрат (х-2а)2=х2, то |х-2a|=|х|, а так x=a, то 2а-x=x.

11). Один нуль не равен другому нулю.

Возьмём числа a, b, c, d, x, y, m и n, такие, что имеют место равенства a=b, c=d, x=y и неравенство m  и, прибавив почленно последнее равенство к неравенству m . Далее, умножив обе части этого неравенства на (a-b)(d-c), получим неравенство x(d-c)+m(a-b)(d-c)

Разбор софизма. В этом софизме совершена стандартная ошибка, а именно произведена запрещенная операция деления на нуль.

12.)Всякое отрицательное число больше положительного, имеющую ту же абсолютную величину.

Нижеследующее рассуждение основано на утверждении: если две дроби    и   равны и в первой дроби числитель больше знаменателя, то и во второй числитель должен быть больше знаменателя, т. е. если a>b и то и c>d. Запишем теперь очевидные равенства (числоA≠0)  и /

Из предыдущего видно, что оба отношения равны (-1), и поэтому мы можем записать    . Но как известно, если две дроби равны, а в первой дроби числитель больше знаменателя (так как +А>-A), то, следовательно, и во второй дроби числитель должен быть больше знаменателя, таким образом необходимо, чтобы выполнялось неравенство-A>+A. Итак, мы пришли к выводу, что отрицательное число больше положительного.

Разбор софизма. Для положительных чисел данное утверждение правильное. Так, если все числа а, b, с и d положительны и имеет место равенства дробей , то из того, что a>b, действительно следует, что c>d. Для чисел неположительных это утверждение может быть и неверным, что и получилось в данном софизме.

13). Софизм Перрона: единица есть наибольшее натуральное число.

Нижеследующий софизм приписывается Перрону. Мы знаем, что числа 1, 2, 3, 4, 5, … называются натуральными. Понятно, что натуральных чисел бесконечное множество и наибольшего натурального числа нет. Тем не менее мы докажем, что наибольшим натуральным числом является единица. Пусть число k>1 является наибольшим натуральным числом. Тогда мы можем записать, если k>1,то  , значит  . Последнее показывает, что принятое нами в качестве наибольшего натурального числа число k2, больше этого числа k. Следовательно, никакое целое число k>1 не может быть наибольшим целым. Значит, наибольшим натуральным числом является 1,так как только в этом случае мы не приходим к противоречию.

Разбор софизма. Доказательство в софизме не закончено, и его надо продолжить.

Итак, в софизме показано, что никакое целое число k>1 не может являться наибольшим натуральным числом. Далее, в софизме делается такое заключение: «остаётся принять, что наибольшим натуральным является число 1». Здесь «доказательство» необходимо продолжить так: но поскольку 1, очевидно, не может быть наибольшим натуральным числом, то отсюда следует, что наибольшего натурального числа не существует.

1.3 Геометрические софизмы

1).Спичка вдвое длиннее телеграфного столба.

Пусть, а дм - длина спички и b дм - длина столба. Разность между b и a обозначим через c. Имеем b - a = c, b = a + c. Перемножаем два эти равенства по частям, нахо-дим: b2 - ab = ca + c2. Вычтем из обеих частей bc.

Получим: b2- ab - bc = ca + c2 - bc, или b(b - a - c) = - c(b - a - c), откуда b = - c, но c = b - a, поэтому b = a - b, или a = 2b.

Разбор софизма. В выражении b(b-a-c)=(-c)*(b-a-c) производится деление на (b-a-c), а этого делать нельзя, так как b-a-c=0.Значит, спичка не может быть вдвое длиннее телеграфного столба.

2) В планиметрии большая часть ошибочных доказательств связана с использованием неправильных чертежей. Рассмотрим, например, удивительное «доказательство» того, что площадь лицевой стороны многоугольника, вырезанного из бумаги, отличается от площади оборотной стороны того же многоугольника. Это «доказательство» придумано врачом-психиатром Л. Восбургом Лионсом, в нем используется один любопытный принцип, открытый П. Керри.

Прежде всего начертим на листке бумаги в клетку треугольник, площадь которого равна 60 клеткам (рис слева), и разрежем его вдоль прямых, показанных на верхнем рисунке.

Треугольник Керри.

Перевернув части треугольника на другую сторону и составив из них треугольник, изображенный на рис.  в середине, мы обнаружим, что в центре нового треугольника появилась дырка площадью в 2 клетки.

Иначе говоря, суммарная площадь частей исходного треугольника при переворачивании уменьшилась до 58 клеток! Перевернув еще раз (лицевой стороной вверх) лишь три части исходного треугольника, мы сможем составить из всех шести частей фигуру, изображенную на рис. справа. Ее площадь равна 59 клеткам. Что-то здесь не так, это ясно, но что именно?

1.4 Логические софизмы

1).Софизм учебы.

Данным софизмом является песенка, сочиненная английскими студентами:

Перевод.

Чем больше учишься, тем больше знаешь.

Чем больше знаешь, тем больше забываешь.

Чем больше забываешь, тем меньше знаешь.

Чем меньше знаешь, тем меньше забываешь.

Но чем меньше забываешь,

тем больше знаешь. Так для чего учиться?

Не философия, а мечта лентяев!

2). Равен ли полный стакан пустому?

Пусть имеется стакан, наполненный водой до половины. Тогда можно сказать, что стакан, наполовину полный равен стакану, наполовину пустому. Увеличивая обе части равенства вдвое, получим, что стакан полный равен стакану пустому.

3) Лекарства

«Лекарство, принимаемое больным, есть добро. Чем больше делать добра, тем лучше. Значит, лекарств нужно принимать как можно больше».

4). Вор

«Вор не желает приобрести ничего дурного. Приобретение хорошего есть дело хорошее. Следовательно, вор желает хорошего».

5) Рогатый

«Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога».

6). Сидящий стоит

«Сидящий встал; кто встал, тот стоит; следовательно, сидящий стоит».

7). Ты не человек

Я человек, ты не я, значит ты не человек.

8) Самое быстрое не догонит самое медленное

Быстроногий Ахиллес никогда не настигнет черепаху. Пока Ахиллес добежит до черепахи, она продвинется немного вперед. Он быстро преодолеет это расстояние, но черепаха уйдет еще чуточку вперед. И так до бесконечности. Всякий раз, когда Ахиллес будет достигать места, где была перед этим черепаха, она будет оказываться хотя бы немного, но впереди.
 

9) Нет конца

Движущийся предмет должен дойти до половины своего пути прежде, чем он достигнет его конца. Затем он должен пройти половину оставшейся половины, затем половину этой четвертой части и т.д. до бесконечности.
Предмет будет постоянно приближаться к конечной точке, но так никогда ее не достигнет.

10).Куча

Одна песчинка не есть куча песка. Если n песчинок не есть куча песка, то и n+1 песчинка - тоже не куча. Следовательно, никакое число песчинок не образует кучу песка.

11). Может ли всемогущий маг создать камень,  который не сможет поднять?

Если не может - значит, он не всемогущий. Если может - значит, всё равно не всемогущий, т.к. он не может поднять это камень.

12). Софизм «лгун»

Вполне возможно, что лгун сознается в том, что он лгун. В таком случае он скажет правду. Но тот, который говорит правду, не есть лгун. Следовательно, возможно, что лгун не есть лгун. (Какая ошибка?)

13).«Софизм Кратила»

Диалектик Гераклит, провозгласив "все течет", пояснял, в одну и ту же реку нельзя войти дважды, когда входящий будет входить в следующий раз, на него будет течь уже другая вода. Кратил сделал и другие выводы: в одну и ту же реку нельзя войти даже один раз, так как пока ты входишь, она уже изменится.

14). Софизм Эватла

Эватл брал уроки софистики у философа Протагора на условии, что внесет плату за обучение тогда, когда, после окончания школы, выиграет свой первый процесс. Школу он окончил, время шло, но он и не думал браться за ведение процессов и, вместе с тем, считал себя свободным от уплаты за учебу. Тогда Протагор, разозлившись, пригрозил судом, заявив, что в любом случае Эватл ему заплатит: если судьи приговорят к оплате, то в силу решения суда, если не присудят, то по их договору. Однако Эватл возразил, что не станет платить в любом случае: если присудят к уплате, то процесс будет проигран, и согласно их условию, платить не будет. А если не присудят, то уже из-за судейского вердикта.

II. Парадоксы.

        Парадокс (греч. "пара" - "против", "докса" - "мнение") – это нечто необычное и удивительное, то, что расходится с привычными ожиданиями, здравым смыслом и жизненным опытом.

        Парадокс близок софизму. С софизмом их различает то, что парадокс - не преднамеренно полученный противоречивый результат. Таким образом, парадокс не ошибка, однако его появление нельзя объяснить и желанием сознательно исказить положение дел или незнанием какой-то детальной информации.

        Грань между софизмом и парадоксом очень тонка, многие парадоксы в разных источниках называют софизмами, а софизмы парадоксами. Однако можно считать софизм мнимой проблемой.

Парадокс это пара утверждений, которые в равной степени приемлемы, но которые в тоже время противоречат друг другу, т.е. не могут быть приняты вместе. То есть его-то мнимой проблемой назвать нельзя. Исключения составляют псевдопарадоксы, они чаще всего разрешимы.                        

        Парадокс принято также называть антиномией (греческого αντινομια, буквально — противоречие в законе, парадокс,— ситуация, когда в теории доказаны два взаимно исключающие друг друга суждения, причём каждое из этих суждений выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами).

        Парадокс – высказывание, истинность которого не очевидна, справедливое, но неожиданное утверждение.

         Парадокс — это рассуждение, доказывающее как истинность, так и ложность некоторого суждения, иными словами, доказывающее как это суждение, так и его отрицание.

        Классифицировать основные известные парадоксы трудно, даже невозможно, однако это не делает их менее привлекательными.                        Мы показать, что древнейшие парадоксы нашли свое если не решение, то отражение в современной науке. И вообще, парадоксальность - характерная черта современного научного познания.

2.1. Логические парадоксы.

        Я расскажу о парадоксах, которые затрагивают сферы логики и здравого смысла. Казалось бы, парадокс - и парадокс себе, и стоит ли сильно по его поводу переживать. Однако некая легенда гласит, что древнегреческий философ Кронос, не в силах разрешить его, от огорчения умер, а другой - Филипп Клосский - покончил жизнь самоубийством.

        Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям.

Самый простой из парадоксов - это "парадокс брадобрея".

«Одному солдату было приказано брить тех и только тех солдат его взвода, которые сами себя не бреют. Неисполнение приказа в армии, как известно, тягчайшее преступление. Однако возник вопрос, брить ли этому солдату самого себя. Если он побреется, то его следует отнести к множеству солдат, которые сами себя бреют, а таких брить он не имеет права. Если же он себя брить не будет, то попадёт во множество солдат, которые сами себя не бреют, а таких солдат согласно приказу он обязан брить». 

Приведу другие примеры логических парадоксов.

1). Парадокс лжеца

Древнегреческий пример простого логического парадокса имеет множество вариаций.

Вариант 1.

Что, истина или ложь, слетает с уст человека, который произносит "Я лгу" и больше ничего? С одной стороны, он говорит неправду, т. к. это утверждает. Но это означает, что он утверждает истину, а, следовательно, лжет.

Вариант 2 (вариант Эвбулида).

Критянин Эпименид сказал: "Все критяне лжецы". Он сам критянин, соответственно, лжец. Отсюда, критяне не лгуны, т. е. правдивы. Значит, все критяне лжецы.

Вариант 3. Парадокс из "Дон Кихота" Сервантеса

"Первым делом явился к нему [Санчо Панса] один приезжий, который в присутствии народа обратился к Санчо с такой просьбой: Я прошу у вас, сеньор, совета по очень запутанному делу. По владениям одного вельможи протекает река; через нее переброшен мост, а около него стоит виселица и воздвигнуто здание, где заседают четверо судей. Эти судьи должны наблюдать за строгим выполнением закона, изданного владельцем поместья. Закон этот гласит: "Каждый, кто проходит по этому мосту, обязан под присягой указать, куда он идет и с какой целью. Если он скажет правду, его пропускают дальше, если солжет, тогда его осуждают на смерть и вешают на стоящей рядом виселице". С тех пор много людей переходило через мост, и, как только выяснялось, что они говорили правду, судьи отпускали их на все четыре стороны. Но недавно какой-то прохожий показал под присягой, что он явился сюда для того, чтобы его повесили на этой виселице. Клятва эта смутила судей, они рассуждали так: "Если мы отпустим этого человека на свободу, то выйдет, что он поклялся ложно, а в таком случае, согласно закону, он должен быть казнен. Но если мы приговорим его к виселице, то тогда окажется, что он говорил правду, поклявшись, будто явился сюда для того, чтобы его повесили, - и, следовательно, согласно тому же закону он должен быть отпущен на свободу". Так вот я и спрашиваю вас, что делать судьям с этим человеком, потому что они и по сей час пребывают в смущении и нерешительности..." Санчо отпустил того человека.

Вариант 4. Два слова, спасшие жизнь.

Во время франко-прусской войны произошел следующий случай. Один офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью. Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был, покорится своей участи, судьям пришло в голову оказать осужденному снисхождение, правда, несколько странного свойства.

- Вам, молодой человек, - сказали они офицеру, - предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешенье, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную ложь или явную правду. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.

Все это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но странное дело! По мере того как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснилось все более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнес: «Меня расстреляют».

2). Парадокс кучи

Вариант 1.

Имеется утверждение: разница между "кучей" и "не кучей" не в одном элементе. Возьмем некоторую кучу, например, орехов. Теперь начнем брать из нее по ореху. 50 орехов - куча, 49 - куча, 48 - тоже куча и т. д. Так дойдем до одного ореха, который тоже составит кучу. Вот тут-то и парадокс - сколько орехов бы мы не взяли, они все равно будут кучей. Существует также и обратный парадокс.

Вариант 2.

Имеется утверждение: один элемент не составляет кучи. Если n элементов не составляют кучи, то и n + 1 элемент не составляет кучи. Отсюда, никакое количество элементов не есть куча. Другой вариацией этого парадокса является парадокс лысого.

Вариант 3. Парадокс лысого.

Потеряв один волос, ещё не становишься лысым; потеряв второй волос — тоже. Если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?

3). Парадокс пути.

Вы никогда не дойдете туда, куда вам нужно!

Вариант 1.

Пусть вам надобно дойти от этого компьютера до двери или противоположной стенки. Вы встаете и начинаете идти. За некоторое время вы пройдете расстояние, равное половине пути, потом половину от оставшегося, т. е. одну четверть целого, потом еще половину, т. е. одну восьмую, и так далее. Расстояние между вами и вашей целью будет каждый раз сокращаться вдвое, но вы ее никогда не достигнете.

Вариант 2. Парадокс Зенона: Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Древнегреческий философ Зенон доказывал, что Ахиллес, один из самых сильных и храбрых героев, осаждавших древнюю Трою, никогда не догонит черепаху, которая отличается крайне медленной скоростью передвижения.

Вот примерная схема его рассуждений. Предположим, что Ахиллес и черепаха начинают свое движение одновременно и Ахиллес стремится догнать черепаху. Примем для определенности, что Ахиллес движется в 10 раз быстрее черепахи и что их отделяют друг от друга 100 шагов. Когда Ахиллес пробежит расстояние в 100 шагов, отделяющие его от места, откуда начала свое движение черепаха, то в этом месте Ахиллес ее уже не застанет, так как она пройдет вперед расстояние в 10 шагов. Когда Ахиллес минует и эти 10 шагов, то и там черепахи уже не будет, поскольку она успеет перейти на 1 шаг в новое место. Достигнув и этого нового места, Ахиллес опять не найдет там черепахи, поэтому что она успеет пройти расстояние равное   шага, и снова окажется несколько впереди его. Это рассуждение можно продолжать до бесконечности, и придется признать, что быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленно ползущую черепаху.

2.2. Математические парадоксы.

Математический парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истинна, и как ложь.

Самое парадоксальное - это то, что в математике вообще есть парадоксы.

1).Парадокс Рассела. (Парадокс связан с теорией множеств).

Уильям Рассел (1сообщил о том, что обнаружил парадокс множества всех нормальных множеств (нормальным множеством называется множество, не содержащее себя в качестве элемента). Парадокс имеет несколько вариаций.

Вариант 1 . Каталог всех нормальных каталогов.

Каталоги подразделяются на два вида: 1) нормальные, которые в числе перечисленных в них каталогов не упоминают себя, и 2) ненормальные, которые входят в число перечисляемых ими каталогов. Библиотекарю дается задание составить каталог всех нормальных каталогов и только нормальных каталогов. Должен ли он при составлении своего каталога его упомянуть? Если он его не упомянет, то составленный им каталог будет нормальным. Но такой каталог должен быть упомянут, а тогда это уже ненормальный каталог, и из списка должен быть вычеркнут. Библиотекарь не может ни упомянуть, ни не упомянуть свой каталог.

Вариант 2. Парадокс парикмахера

В некой деревне, в которой живет один-единственный парикмахер, был издан указ: "Парикмахер имеет право брить тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами". Может ли парикмахер брить самого себя?

Вариант 3. Парадокс «генерал и брадобрей».

Этот парадокс состоит в следующем: каждый солдат может сам себя брить или бриться у другого солдата. Генерал издал приказ о выделении одного специального солдата-брадобрея, у которого брились бы только те солдаты, которые себя не бреют. У кого должен бриться этот специально выделенный солдат-брадобрей?

Если он хочет сам себя брить, то он не может этого сделать, так как он может брить только тех солдат, которые себя не бреют. Если же он не будет себя брить, то, как и все солдаты, не бреющие себя, он должен бриться только у одного специального солдата-брадобрея, т. е. у себя. Итак, он не может ни брить себя, ни не брить себя.

Вариант 4. Парадокс "мэр города"

Каждый мэр города живет или в своем городе, или вне него. Был выделен один специальный город, где бы жили мэры, не живущие в своих городах. Где должен жить мэр этого специального города? Возможным разрешением этого парадокса может служить упразднение поста мэра в этом городе, т. к. там будут жить только одни мэры. Но с другой стороны, если мэр не пожелает жить в своем городе, то он все равно должен жить в нем т. к. этот город предназначен для тех мэров, которые не живут в своих городах, значит, парадокс исчерпан.

Заключение.

        Я познакомилась  с увлекательной темой, узнала много интересного, училась распознавать парадоксы, находить ошибки в софизмах.  Я рассмотрела наиболее интересные встретившиеся мне софизмы и парадоксы, но  еще больше их не рассмотрела. Данная исследовательская работа  открыла мне еще одну страничку в математике. Начав с «детских» софизмов «2х2=5», я перешла в мир, в котором терялись и теряются великие математические умы всех столетий. В разные эпохи ученые искали выходы из парадоксов, предложенных великими математиками. Со стороны величайших математиков и философов софизмы и парадоксы  подвергались разнообразной критике.

        Помимо основных целей, поставленных в начале работы, я преследовала еще одну: прикосновение к тому, с чем сталкивались мои далекие предки, к теме, которая имеет исторические корни. Мною были рассмотрены примеры наиболее известных софизмов и парадоксов.

        Я решила провести опрос на знание парадоксов и софизмов. Мною были опрошены учащиеся 6-9 классов нашей школы (26 человек).

На первый вопрос: «Знаете ли вы, что такое софизмы?», больше половины опрошенных ответили, что не знают,  только 10%  что-то о них слышали.

На второй вопрос: «Знаете ли вы, что такое парадоксы?», более половины опрошенных-65%, сказали, что слышали это слово.  Ситуация неутешительная. Тогда я решила познакомить ребят со своей работой. Моё сообщение понравилось ребятам,  надеюсь это способствует привитию интереса учащихся к математике.

        В своей работе я старалась показать, что софизмы и парадоксы являются не просто интеллектуальным мошенничеством, а важным двигателем человеческой мысли, рассмотреть  математические софизмы с точки зрения их важности для изучения математики.

Использованная и рекомендуемая по теме литература.

1.  «Математические софизмы». Книга для учащихся 7-11 классов. Авторы: А. Г. Мадера, Д. А. Мадера. Издательство Москва «Просвещение» 2003.

2.  «Математическая шкатулка». Автор: Ф. Ф. Нагибин. Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР 1961.

3.  «Математика после уроков». Пособие для учителей. Авторы: М. Б.Балк, Г. Д.Балк. Издательство Москва «Просвещение», 1971.

4.  «Парадоксы науки». Автор: А. К.Сухотин. Издательство "Молодая гвардия", 1978 г.

5. Я познаю мир: Детская энциклопедия: Математика/Составители А.П. Савин, В. В. Станцо, А.Ю. Котова: под общей редакцией О.Г.Хинн.-М.:АСТ,1995.

6. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-Xкл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение,1983.

7. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ./под ред.и с предисл. В.И.Аршинова, А.Ю. Сачкова,- М.:-Мир,1988.

8. Микиша А.М. Орлов В.Б. Толковый математический словарь. Основные термины: около 2500 терминов.- М.:-Рус.яз.,1989. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

9. Гусев В.А. Мордкович А.Г. Математика. Справочник – М.: Просвещение, 1990.

10. Ивлев Ю.В. Логика. - М.: Проспект, 2006.

Оглавление

Вступление……………………………………………………………………..…. 2-3                                                                                                                                                     

. Площади многоугольников. Применение известных формул……………….4-5

. Нахождение площади многоугольников геометрическим методом………. 6-9                                                                                                                                          

III.  Формула Пика.  Историческая справка……………………………..……10-11

IV. Экспериментальная работа  ………………………… ……………..……12- 14                                                                                                    

Заключение …………………………………………………………………………15                                                                                                                                               

Список литературы …………………………………………………………… …..16                                                                                                                                   

Приложение   ……………………………………………………………...……17-18                                                                                                                                      

ВСТУПЛЕНИЕ

Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи, то решайте их.

 (Д.Пойа)

Я учусь в 8 классе. В этом учебном году, изучая тему «Четырёхугольники», мы познакомились с несколькими формулами площадей. Это площадь прямоугольника, квадрата, параллелограмма, ромба, трапеции, а также площадь треугольника. Все эти формулы необходимо  знать, они нужны в нашей повседневной жизни, да и экзамена нам без этого не сдать. Однажды я увидела, как одиннадцатиклассники при подготовке к ЕГЭ решают задачи с на клетчатой бумаге с применением этих формул. Меня это заинтересовало.  Я решила, что это очень легко и стала подбирать и решать такие задачи. Но не все решалось легко и гладко. встретились задачи, при решении которых возникли определённые трудности.

Чтобы вычислить площадь изображённой фигуры, необходимо  было сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на вычисление площади фигур, изображённых клетчатой бумаге. Я  приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной  теме. Оказывается площади многоугольников, вершины которых  расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика. Я нашла её на одном из сайтов.   Эта формула меня заинтересовала, и я попробовала решать  задания, используя её. Задачи решались очень быстро и легко.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что  задачи на нахождение площади фигур, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально. Это и явилось предметом моей исследовательской работы. Я надеюсь, что мои предположения окажутся верными и сделанное мною открытие поможет мне и моим товарищам гораздо легче решать рассматриваемые задачи.

Геометрия полна приключений, потому что за каждой задачей скрывается приключение мысли. Решить задачу – это значит пережить приключение.

(В. Произволов)

Объект исследования:  площади многоугольников.

Предмет исследования: применение формулы Пика при решении задач  на нахождение площадей фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Цель работы: обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

Методы исследования: сравнение, обобщение.

Задачи:

1) Изучить литературу по данной теме.

2) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге геометрическим  методом.

3) Прорешать  задачи на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

4) Сравнить и проанализировать  результаты исследования.

I. Площади многоугольников.  Применение известных формул.

В ходе работы я нашла много задач, которые, на мой взгляд, решаются очень легко. Для этого достаточно знать формулы  многоугольников и у меть находить соответствующие элементы на рисунке.

 Приведу примеры  задач, которые не вызвали у меня  затруднений.

Аналогично решаются следующие задачи.

Аналогичные задания

II. Нахождение площади многоугольников геометрическим методом.                                                                                                                                          

А вот эти задачи не решить в одно действие. Они требуют других подходов.  Иногда способов решения можно найти несколько. При  выполнении таких заданий я столкнулась с некоторыми трудностями, пришлось вспомнить другие теоремы геометрии,  в частности Теорему Пифагора. Здесь же приходится делать  дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников или  прямоугольников, провести высоту в треугольнике и выполнить вычисления по формуле или  достроить до какой-либо фигуры, площадь которой мы умеем находить и вычесть площади лишних фигур.

Приведу примеры таких задач.

Задача №1

Другой способ решения этой задачи

Задача 2.

Задача 3.

 Другой способ решения этой задачи.

Задача 4.

Другой способ решения задачи

Задача 5.

Задача 6.

Второй способ решения этой задачи.

Приведу примеры таких задач

III.  Формула Пика. Историческая справка.

Использованные мною способы несложны, но очень громоздки. Я разбивала фигуры на прямоугольные треугольники или дополняла  многоугольник до «хорошего», нужного мне, то есть до такого, площадь которого я смогу вычислить,  потом из полученного числа вычесть площади добавленных частей. Но ведь может случиться так, что какие-то формулы можно и забыть. Как  тогда поступить?  И здесь я задумалась, а нет ли какого-либо универсального способа вычисления площадей фигур на клетчатой бумаге, минуя все известные формулы площадей многоугольников. В начальной школе нас учили пользоваться палеткой- прозрачной клетчатой плёнкой, но этот способ не даёт точного значения площади. Я приступили к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной  теме. И вот мои поиски увенчались успехом. На одном из сайтов  я нашла формулу Пика.  Эта формула меня очень заинтересовала, и я попробовала решать  задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

Кто же это, наш спаситель?

 Это Австрийский математик  

Пик Георг Александров (1859 – 1943 г.г.)

Открыл формулу в 1899 году.

Кроме этой формулы Георг Пик открыл:

 теоремы Пика,

 Пика – Жюлиа,

Пика – Невалины,

доказал неравенство Шварца – Пика. 

Эта формула является классическим результатом комбинаторной геометрии и геометрии чисел. В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна .

Родился Георг Пик в еврейской семье. Мать его — Йозефа Шляйзингер, отец — Адольф Йозеф Пик— возглавлял частный институт.

 До одиннадцати лет Георг получал образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс гимназии.

В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и мог поступать в университет.

Пик поступил в университет в Вене в 1875 году. Уже в следующем году он опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь семнадцать лет.

Он изучал математику и физику, окончил в 1879 г. универститет, получив возможность преподавать оба эти предмета.

В 1880 году,16 апреля,   Пик защитил докторскую диссертацию «О классе абелевых интегралов».

В 1881 году получил право читать лекции в Праге. Он оставался в Праге до конца своей карьеры.

В 1888 г. он был назначен экстраординарным профессором математики, затем — ординарным профессором (полным профессором) в 1892 году в немецком университете в Праге.

 Круг его математических интересов был чрезвычайно широк, и 67 его работ посвящены многим темам, таким как линейная алгебра, теория инвариантов, интегральное исчисление, теория потенциала, функциональный анализ и геометрия. Тем не менее более половины его работ связаны с функциями комплексного переменного, дифференциальными уравнениями и дифференциальной геометрией. Такие термины как матрица Пика, интерполяция Пика — Неванлинны, и лемма Шварца — Пика используются иногда и сегодня. Он больше всего известен, однако, своей теоремой Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года, опубликованной в Праге .

IV. Экспериментальная работа

Найдя в интернете формулу пика, я провела решения ранее рассмотренных мною задач с помощью формулы Пика.

Рассмотрю эти решения.

Проанализировав способы решения задач, можно сделать следующие выводы:

Формула Пика даёт быстрое и простое решение задач на нахождение площади фигуры, вершины которой лежат в узлах решётки, то есть нахождения площадей многоугольников.

При решении задач на клетчатой бумаге нам не понадобится знание основ планиметрии, а будет нужна именно смекалка, геометрическое воображение и достаточно простые геометрические сведения, которые известны всем.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что  задачи на нахождение площади любых многоугольников, изображённых   на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика. Ведь это очень рациональный способ.

Я  убедилась в том, что эта формула действительно применима в рассмотренных мною случаях.  Но ведь в каждом правиле существуют исключения.                                                                                                        

И тут у меня возникли сомнения, а всегда ли данный подход к решению задачи даёт правильный результат. Ведь математика требует точных вычислений, да и на экзамене требуются только точные ответы. Требуется доказательство  истинности моего предположения. И я нашла его в интернете.  Это теорема Пика. Доказательство сложно для меня, я не буду его воспроизводить. Но теперь я знаю, что могу смело пользоваться этой формулой и обязательно поделюсь своими знаниями со своими товарищами.

Теорема Пика справедлива для многоугольников с вершинами в узлах целочисленной решетки. На плоскости образуется решетка двумя системами параллельных равноотстоящих прямых. Эти прямые называются основными целочисленными прямыми, а точки их пересечения называются узлами решетки. Прямая, соединяющая два узла решетки, называется целочисленной прямой. Обратите внимание, что основные целочисленные прямые являются целочисленными линиями, но есть также много других целочисленных линий. Многоугольник, ребра которого лежат на целочисленных прямых, называется целочисленным многоугольником.

 Теорема Пика утверждает, что 

Площадь целочисленного многоугольника равна , где B— число узлов решетки внутри многоугольника, а L— число узлов решетки на границе многоугольника. 

Этот результат оставался незамеченным в течение некоторого времени после того, как Пик его опубликовал, однако в 1969 г. Штейнгауз включил его в свой знаменитый «Математический калейдоскоп» . С этого времени теорема Пика привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение своей простотой и элегантность.

Теперь я могу решать довольно сложные задачи. Приведу примеры нескольких из них. Решу, например задачу 4.

L=5, В=5,

Заключение

    В  результате изучения различных источников я пришли к рассмотрению свойств простых треугольников с вершинами в узлах клетчатой бумаги. Из всех свойств можно выделить следующее: любой простой треугольник имеет площадь . Используя это свойство и следующую  теорему: пусть на границе многоугольника отмечено Г точек ( включая все вершины), внутри – ещё В точек, тогда существует разбиение  с вершинами в отмеченных точках, причём количество треугольников такого разбиения будет равно Г + 2В – 2, австрийский математик Пик Георг Александр вывел формулу  .

   Предметом исследования явилось  применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображённых на клетчатой бумаге.

    При выполнении работы были решены  задачи на нахождение площади многоугольников, изображённых на клетчатой бумаге двумя способами: геометрическим и с помощью формулы Пика.

     Анализ решений показал, что применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге быстро и легко.      Эта работа вызвала у меня интерес, и я надеюсь, что выводы, полученные в результате моих исследований, помогут выпускникам девятых и одиннадцатых классов при сдаче экзамена по математике.

Список литературы

1. Вавилов В.В., Устинов А.В.,  «Задачи на клетчатой бумаге». – М.: Школа им. Колмогорова А.Н, 2006.
2. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. «Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика».- Математика, 2009, № 17.
3. Смирнова И. М., Смирнов В. А. «Геометрия на клетчатой бумаге». – М.: Чистые пруды, 2009.
4. Под редакцией Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Математика. «Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие» — Ростов- на-Дону: Легион-М, 2010.
5. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. – М.: МЦНМО, 2011.
6. Семенов А.Л. ЕГЭ: 3000 задач с ответами по математике. Все задания группы В. – М.: «Экзамен».
7.  Екимова М. А. ,Кукин Г. П. «Задачи на разрезание».- М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: http://www.math.ru/lib/files/pdf/kukin.pdf 
8. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 – 2011. Режим доступа: http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems.html?posMask=32
9. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М.: Наука, 1986.
10. Васильев Н.Б. Вокруг формулы Пика, журнал «Квант» №12,1974 г. Кушниренко А. Целые точки в многоугольниках и многогранниках, журнал «Квант» №4, 1977г.

Приложение .

Интересные задачи

Районный конкурс исследовательских, проектных и творческих работ учащихся.

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Авдеевская средняя общеобразовательная школа.

Образовательная  область: «Алгебра»

Секция: «Математика»

Тема: «Сохранить здоровье помогут задачи»

2014

Оглавление

Вступление……………………………………………………………….…….2-3

1. Математические задачи – источник знаний о здоровье человека………….4

2. Сборник задач по математике…………………………………………………4

2.1. Математика и экология……………………….............................................4-6

2.2.  Математика и знание своего тела………………………………………...7-9

2.3. Математика и здоровый образ жизни………………………...……...….9-12

2.4. Математика и здоровое питание……………………………………….12-15

2.5.Математика и вредные привычки…………………………………..….15-17

Заключение………………………………………………....................................18

Список литературы…………………………………………………………..…..19

Введение

Здоровье – это  самое главное в жизни. Это и счастье, радость, свобода, труд, спорт и общение с родными и друзьями.  

                                                                Это – сама   жизнь.

Наше здоровье – самое ценное, что у нас есть. На всю жизнь человеку даётся только один организм. Если вы небрежно обращаетесь с какими-то предметами, их можно заменить, но заменить свой организм вы не сможете.

Много пословиц есть о здоровье, например,  «Здоровье не купишь - его разум дарит»,  «Деньги потерял - ничего не потерял, время потерял многое потерял, здоровье потерял - все потерял», «Где здоровье, там и красота», «Здоров будешь - все добудешь».

Сейчас много говорят о здоровье и здоровом образе жизни. Нас убеждают в том, что спорт и физическая культура – это залог здоровья, что это модно, что это ключ к успеху. Одной из проблем современной школы является проблема сохранения здоровья учащихся. Математика – один из основных предметов в школе.

А может ли математика помочь здоровью?

Содержание уроков математики составляют устные и письменные задачи. Решение математических задач практического содержания позволяет убедиться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, увидеть широту возможных приложений математики, понять её роль в современной жизни.  Надо сказать, что математические задачи могут быть источником знаний учащихся и о здоровье человека. Это может выражается в том, что в содержании задач будет  информация о здоровье человека, правильном питании, гигиене тела, безопасной жизни, вредных привычках.  Есть много факторов, количественных характеристик, от которых зависит наше здоровье. Поэтому я задалась вопросом, а есть ли в школьных учебниках такие  задачи. К сожалению, таких задач оказалось очень мало. Я просмотрела учебники математики 5 и 6 классов, алгебры 7 класса и практически ничего не нашла. А ведь так важно, чтобы школьники сами могли подсчитывать, контролировать, корректировать своё поведение в соответствии с нормами и требованиями своего растущего организма. Там встречаются задачи о посадке деревьев, о сборе грибов, о транспортировке, хранении и продаже овощей и фруктов. Но нет ничего поучительно относительно нашего здоровья. Поэтому я решила составить свой сборник задач. Для этого я использовала факты из разных информационных источников: учебники природоведения и  биологии, интернет ресурсы, САНПИН,  а найденные статистические данные применила для составления задач. Сборник получился небольшим, но, думаю, очень полезным. Он состоит из 5 частей. 1 часть «Математика и экология»  выбрана мною не случайно. Ведь 2013 год был объявлен годом защиты окружающей среды.

1. Математика и экология.

2. Математика и знание своего тела.

3. Математика и здоровое питание.

4. Математика и здоровый образ жизни.

5. Математика и вредные привычки.

Здоровье – не всё, но всё без здоровья – ничто.

Сократ

Объект исследования: текстовые задачи учебников математики 5-7 классов.

Предмет исследования: наличие задач, направленных на сохранение и укрепление здоровья школьников.

Цель работы: Обосновать целесообразность использования на уроках математики задач, содержащих сведения о факторах, влияющих на здоровье человека.

Задачи:

1. Проанализировать учебники математики 5-7  классов.

2. Изучить литературу по теме.

3. Составить сборник задач.

4. Нацелить учащихся и учителей на дальнейшее развитие данной темы.

Практическое значение исследовательской работы: 

разработан сборник задач по математике, направленный на формирование у учащихся культуры здорового образа жизни. Данные разработки могут найти применение на уроках математики.

1. Математические задачи – источник знаний о здоровье человека

Еще в древности одним из важнейших достоинств человека считали математические знания. Сейчас математика и вовсе проникла во все отрасли знаний и необходима в любой профессии.

Успешность в решении задач формирования у учащихся культуры здорового образа жизни, сохранения и укрепления здоровья зависит от насыщения уроков математики  информацией в виде знаний о сохранении и укреплении здоровья человека.

Следует отметить, что будущее за молодым поколением. Только здоровый человек с хорошим самочувствием, оптимизмом и высокой работоспособностью способен активно жить, успешно преодолевать жизненные трудности.

Согласно словарю Ожегова С. И «Здоровье – это правильная, нормальная деятельность организма».

Здоровый образ жизни – это рациональный образ жизни, неотъемлемой чертой которого является активная деятельность, направленная на сохранение и улучшение здоровья.

2. Сборник задач по математике.

2.1. Математика и экология.

Есть на земле огромный дом под крышей голубой.

Живут в нем солнце,  дождь и гром,

Лес и морской прибой.

Живут в нем птицы и цветы, весенний звон ручья,

Живешь в том светлом доме ТЫ и все твои друзья.

Куда б дороги не вели, всегда ты будешь в нем.

ПРИРОДОЮ родной земли зовется этот дом.

Л.Дайнеко

2013 год в России был объявлен  Годом охраны окружающей среды

Экологическая культура - это существенная часть общей культуры современного человека, включающая весь накопленный обществом опыт природопользования, знание об оптимальных способах взаимодействия с природой, закрепляемые и передаваемые поколениями.

        Постигая законы природы, человек становится все более могущественным. Современный человек все в большей мере приобретает власть над силами природы, все шире использует эти силы, богатства природы для ускорения научно-технического прогресса. Но прогресс имеет свою теневую сторону. Возрастает ущерб, наносимый человеком природе: загрязняется атмосфера, на поверхности морей и океанов губительная для морской флоры и фауны пленка нефти, все меньше остается лесов. Более того, могущественный человек сегодня в состоянии уничтожить все живое на Земле. Поэтому в наше время, как никогда раньше, особую важность приобретает нравственная сторона отношения человека к природе.

Математика создает условия для развития умения давать количественную оценку состояния природных объектов и явлений, положительных и отрицательных последствий деятельности человека в природном и социальном окружении. Текстовые задачи позволяют раскрыть вопросы о среде обитания, заботы о ней, рациональном природопользовании, восстановлении и приумножении ее природных богатств. Ведь окружающая среда – один из факторов, который оказывает влияние на здоровье человека.

        Предлагаю несколько  задач, которые можно использовать в процессе изучения математики:

Задача №1.

Уровень загрязнения атмосферы в РФ остается высоким. В городах с высоким и очень высоким уровнем загрязнения воздуха проживают 55,1 млн человек, что составляет 53%  городского населения России. Сколько человек проживает в городах со  сравнительно  чистым воздухом?

Задача №2.

По данным Росгидромета, в Российской Федерации в 2011г. забор воды из природных водных объектов составил 77 млрд 640 млн куб. м. Структура водопотребления характеризуется следующими показателями: производственные нужды – 60,2%, хозяйственно-питьевые нужды – 15,8%, орошение – 13,2%, сельскохозяйственное водоснабжение – 0,5%, прочие нужды – 10,3%. Сколько млн куб. м. воды пошло на хозяйственно-питьевые нужды?

 Задача №3.

В 2011г. объем образования отходов производства и потребления в России составил, по данным Росприроднадзора, 4,3 млрд т, что на 16,2% больше объема отходов, образовавшихся в 2010г. Каким был объем образования отходов производства и потребления в России в 2010 году?

Задача № 4.

Тяжёлые машины и автобусы за каждый километр пробега выделяют 23 грамма азота. Сколько газа выделяет автобус маршрута № 17, если он сделал 5 ходок? Расстояние от вокзала до деревни равно 15 км.

Задача №5.

На территории Смоленской области протекает 1150 рек. Что будет, если из этих рек 122 реки будут пересыхать из-за вырубки деревьев? Сколько рек останется?

Задача №6.

Сотни тысяч птиц прилетают в нашу область. Все знают, какую роль они играют в охране леса от вредных насекомых. Подсчитано, что одна пара поползней приносит птенцам за день около 300 гусениц; дятлы в 3 раза больше, чем поползни, а скворцы в 5 раз больше поползней. Насколько больше гусениц приносят своим птенцам скворцы, чем дятлы? Что будет с лесом, если погибнет большая часть птиц?

Задача №7.

Один десятилетний тополь выделяет в среднем столько кислорода, сколько 25 молодых тополей. Сколько надо посадить молодых тополей на место 15 вырубленных взрослых?

Задача №8.

Носороги-млекопитающие, находящиеся под большой угрозой вымирания; рог носорога весит 2,8 кг. Браконьеры убили 500 носорогов. Милиция их поймала, но обнаружила у них только 1000 кг рогов. Сколько кг рогов браконьеры все же успели продать?

Задача №9.

Зимой Маша подкармливала птиц. В кормушки в саду Маша ежедневно насыпала 250 г пшеницы. Сколько граммов пшеничного зерна птицы съедали за неделю? А сколько за 30 дней? Переведите граммы в килограммы.

Задача №10.

Для изготовления пяти одинаковых скворечников потребовалось изготовить 20 прямоугольных и 10 квадратных дощечек. Сколько дощечек потребуется для одного скворечника?

Задача №11.

Высокий уровень шума, воздействующий на органы слуха в течении нескольких часов, может привести к снижению остроты слуха. Выясните, какой шум опасен для вашего здоровья, если он составляет 367%  от нормального уровня шума в 30 дб.

Задача №12.

Одно большое дерево выделяет в сутки  столько кислорода, сколько его необходимо для одного человека. В условиях города под влиянием загазованности выделение кислорода снижается в 10 раз. Сколько должно быть деревьев, чтобы обеспечить кислородом  класс, состоящий из 25 человека? Как вы думаете, отражается ли это на здоровье человека?

2.2.  Математика и знание своего тела

Человеческое тело можно сравнить с огромным зданием, состоящим из миллиардов «кирпичиков» - клеток. Клетки образуют ткани. Ткани объединяются в органы. Слаженная работа всех органов – счастье для человека.

Задача №1. 

Статистика по состоянию здоровья школьников нашей страны неутешительна – только около 3% выпускников абсолютно здоровы. Сколько здоровых  выпускников покинут школу в текущем году, если всего их 80?

Задача №2. 

Одна таблетка лекарства весит 30 мг и содержит 8% активного вещества. Ребёнку в возрасте до 6 месяцев врач прописыват 1,2 мг активного вещества на каждый кг веса в сутки. Сколько таблеток этого лекарства следует дать ребёнку весом 6 кг в течение суток? (сборник ЕГЭ)

Задача №3. 

У младенцев насчитывается более 300 костей, впоследствии многие из них срастаются. Скелет взрослого человека состоит из 206 костей. Сколько костей срослось в процессе взросления?

Задача №4. 

Нормальный вес человека условно равен его росту в сантиметрах минус 100. Можно ли считать нормальным вес в 90 кг, если рост мужчины составляет 168 сантиметров? Каким должен быть его нормальный вес?

Задача №5. 

В нашем кабинете стоят 8 столов: 2 с красной маркировкой, 2 с зелёной маркировкой, 4 с голубой маркировкой. Столы с красной маркировкой соответствуют росту ребёнка 145-160 см, с зелёной – 160-175, с голубой -175 и выше.  В этом кабинете занимаются 4 класса. В 5 классе 11 учеников ростом от145 до 160см, в 7 классе 3 ученика ростом от 145 до 160 см и 3 ученика ростом от 160 до 175 см,  в 8 классе 4 ученика ростом от 160 до 175 см, в 9 классе 3 ученика ростом от 145 до 160 см, 5 учеников ростом от 160 до 175 см, и 3 ученика выше 175 см, в 11 классе   3 ученика ростом от 160 до 175 см и 3 ученика от 175 см. Правильно ли подобраны столы в кабинете? Нужно ли заменить или поставить ещё столы и каких маркировок, если площадь кабинета допускает постановку ещё двух столов? (СанПиН)

Задача №6. 

Моя одноклассница болела дважды в 3-ей четверти. Первый раз она проболела 2 недели, второй раз – 1 неделю. Какую часть  занятий в третьей четверти пропустила моя одноклассница, если мы проучились 58 дней  при шестидневной рабочей неделе?

Задача №7. 

Средняя продолжительность жизни женщины 75 лет, что составляет 5/4 продолжительности жизни мужчины. На сколько лет дольше в среднем живут в России женщины, чем мужчины?

Задача №8. 

Собака улавливает шорох травы под ногами идущего человека за 50 м, а сам человек на 45 м ближе. Во сколько раз лучше слышит шорох травы собака?

Задача №9. 

Одна клетка кожи живет 1 месяц (30 дней), потом отпадает и ее заменяет новая. Сколько клеток сменится одна за другой на одном и том же месте за всю жизнь мужчины, если продолжительность его жизни составляет 60 лет?

Задача №10. 

Сердце здорового человека делает 75 ударов в минуту. Сколько ударов делает сердце за 11 минут? Можно ли считать человека здоровым, если за 15 секунд его сердце делало 19 ударов?

Задача №11. 

Средняя продолжительность капилляров в теле человека – 30 км. Запишите эту длину в сантиметрах, миллиметрах.

Задача №12. 

Когда человек улыбается, у него работают 6 разных мышц. Это в 100 раз меньше, чем все мышцы человека. Сколько всего мышц у человека?

Задача №13. 

Рост Джона 5 футов 11 дюймов. Выразите рост ждона в см, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,5 см. Результат округлите до целого числа см. (Сборник ЕГЭ)

Задача №14. 

Все мы знаем, для того чтобы жить, надо дышать. 15-летний ребенок вдыхает 20 раз в минуту, слон - на 10 раз меньше, чем подросток, а собака - на 15 больше, чем слон. Сколько раз за минуту вдыхает собака?

Задача №15. 

Просмотр статистических изображений на учебных досках и экранах отраженного свечения для учащихся 8-11 классов может составлять до  25 минут от урока. Сколько процентов учебного времени на уроке может быть занято просмотром этих изображений?

 Обычный человек может удержать в кратковременной памяти от 5 до 9 единиц запоминаемого материала, тренированный же до 20 единиц произвольно полученной информации. При этом способности произвольной памяти просто огромны.

Задача №16. 

Способность среднего человека запоминать произвольную информацию составляют 40% от способности тренированного человека. Сколько произвольно названных слов они запомнят вместе, если обычный человек запомнил на 12 слов меньше тренированного.

2.3 Математика и здоровый образ жизни

Полноценный сон – важный источник наших сил. Полноценный сон играет наиболее важную роль в восстановлении жизненных сил. Если человек крепко и глубоко спит, то он может днем решать сложные задачи, напряженно работать, а если он не выспится он чувствует себя вялым, мозг плохо работает.

        Задача №1.

Средний человек проводит во сне 1/3 своей жизни, еще 50 лет он бодрствует. Какова средняя продолжительность жизни человека?

Задача №2. 

Взрослый человек спит 8 ч в сутки. Кукую часть суток спит взрослый человек? Сколько часов проспит взрослый человек за неделю?

Задача №3. 

Взрослый человек спит 8 ч в сутки. Ребёнок должен спать  11 ч в сутки. На сколько процентов сон ребёнка должен быть больше сна взрослого человека?

Задача №4. 

Составь режим дня школьника по решению задачи.

Занятия в школе длятся 5 часов. Сон в 2 раза больше, чем занятия в школе. Прогулка на 3 часа меньше, чем занятия в школе и на 30 минут больше, чем подготовка уроков на следующий день. Досуг и дополнительные занятия на 30 минут больше, чем занятия в школе. Зачем нужно соблюдать режим дня?

Отсутствие двигательной активности или ее ограничение отрицательно влияют на организм. Физиолог Сеченов доказал, что утомление быстрее снимается не полным покоем, а активным отдыхом.

Бесцельны долгий отдых и покой:
В излишествах нет пользы никакой,
Коль человек недвижим, вредный сок
Заполнит тело, и еда не впрок.
Ибн Сина

Задача №5. 

Для удовлетворения биологической потребности в движении независимо от возраста обучающихся рекомендуется проводить не менее 3 уроков физической культуры в неделю, предусмотренных в объеме максимально допустимой недельной нагрузки. Какова вероятность, что в среду у пятиклассников будет урок физкультуры, если у них пятидневная рабочая неделя и  в расписании на день физкультура не повторяется.

Задача №6.

Бегун пробежал 450 м за 50 секунд. Найдите среднюю скорость бегуна. Ответ дайте в км,ч.(Сборгик ЕГЭ)

Задача №7.

Несколько учеников соревновались в плавании, в беге на 6 учеников больше, чем в плавании, а в гимнастике в 2 раза больше,  чем в беге. Сколько учеников соревновалось в гимнастике, если всего в соревнованиях приняли участие 42 ученика, и ни один из них не принял участия в двух видах соревнований?

Задача №8.

За всю историю олимпийских игр в России проходили только две олимпиады – в июне 1980 года (летние олимпийские игры)  и в феврале 2014 года (зимние олимпийские игры). Сколько месяцев прошло от окончания летней олимпиады до начала зимней?

Задача №9.

Первые Олимпийские игры прошли в Древней Греции более 1000 лет назад. Жители Древней Греции устраивали игры 1 раз в 4 года. Сколько месяцев проходило между двумя Олимпийскими играми?

Задача №10.

Спортсмен, рост которого 1 м 85 см, прыгая с шестом, преодолел планку на высоте, которая в 3 раза превышает его рост. На какой высоте стояла планка? На сколько сантиметров высота планки больше роста спортсмена?

Задача №11.

Один спортсмен пробежал расстояние 800 м за 1 мин 41 с, а другой за 104 с. Чей результат лучше?

Задача №12.

Для спортивной школы купили 14 мячей, гантелей на 34 штуки больше, чем мячей, а гимнастических матов в 6 раз меньше, чем гантелей. Сколько гимнастических матов купили?

Задача №13.

В течение четырёх дней врач принимал каждый день по 11 больных, а на пятый день он принял 19 больных. Сколько больных принял за 5 дней? Часто ли вы болеете?

Задача №14.

Площадка для игры в бадминтон представляет собой прямоугольник длиной 13 м 40 см и шириной 5 м 20 см при игре двух игроков, а шириной 6 м 10 см при игре пара на пару. На сколько меньше периметр площадки для двух игроков? Найдите площади обеих площадок.

Задача №15.

В соревнованиях по бегу приняли участие 81 ученик, а в шахматном турнире в 3 раза меньше. В математической олимпиаде приняли участие на 15 учеников больше, чем в шахматном турнире, а в лыжных гонках в 3 раза больше, чем в математической олимпиаде. Сколько учеников приняли участие в лыжных гонках?

Задача №16.

В школе 11 классов, в каждом классе в среднем по 15 учеников. 68 учеников сейчас больны и не ходят на занятия. Сколько учеников присутствует на занятиях в школе? Закроют ли школу на карантин? (На карантин закрывают в том случае, если отсутствуют 50% и учащихся и более).

Задача №17.

Подсчитано, что в классе в начале занятий находится примерно 452400 микробов, а к концу занятий их количество увеличивается в 5 раз. Сколько микробов заселяет класс к концу занятий? Как можно уменьшить количество микробов в течение рабочего времени?

Задача №18.

Учёные подсчитали, что в 1 г грязи из-под ногтей содержится 38000000 микробов. Чтобы заболеть достаточно проглотить в 1000 раз меньше микробов. Сколько микробов достаточно проглотить, чтобы заболеть? Что необходимо делать, чтобы было меньше микробов?

Задача №19.

Детям рекомендуется находиться за компьютером не больше 1 часа в день. Ваня утром играл в компьютерную игру в течение 45 минут, вечером еще 1,5 ч. На сколько больше Ваня находился за компьютером, чем рекомендуется?

2.4.  Математика и здоровое питание

Пища – топливо, без которого организм не может функционировать. Но питание должно быть рациональным, включать в себя все необходимые пищевые вещества. Например, девятиклассник должен ежедневно получать около 2500кк. Если в организм поступает больше, то организм складывает излишки в виде жира.

Задача №1. 

Вечерний приём пищи должен состояться не позднее 2 часов 30 минут до сна. Во сколько нужно поужинать школьнику, если он, соблюдая режим дня,  должен утром встать в 7 часов в школу и при этом ночной сон должен длиться 10 часов?

Задача №2. 

Чтобы приготовить полезный для здоровья коктейль, надо смешать 200г молока, 120г малины, 60г клубники, 150г черники и 30г меда. Сколько всего граммов ягод нужно положить в коктейль? На сколько процентов в коктейле больше ягод, чем молока?

Запомните этот рецепт и приготовьте.

Задача №3. 

Соль играет важную роль в жизнедеятельности организма. В теле человека, весящего 70 кг, содержится 140 г соли. Сколько соли содержится у человека весом 40 кг?

Задача №4. 

Осенью 100 г картофельного пюре содержится 25 мг витамина С, а зимой его содержание в 10 раз меньше. Сколько витамина С можно получить из 200 г картофельного пюре зимой?

В какое время года от картофеля больше пользы?

Задача №5. 

Миша ходил в лес за грибами. Папа внимательно проверил содержимое корзины и  обнаружил 8 белых грибов, 10 подберёзовиков, 8 мухоморов. Ложных опят в 2 раза меньше, чем мухоморов. Сколько процентов от всех собранных грибов составляют ядовитые?

Что могло бы случиться, если бы папа не проверил Мишину корзину с грибами?

Задача №6. 

В упаковке 100 таблеток поливитаминов. Они содержат 8 г витамина С. Мама дала сыну 2 таблетки поливитамина. Сколько граммов витамина С получил ребёнок?    Почему мама убирает баночки с витаминами и лекарствами в недоступное для детей место?

Задача №7. 

В июле ребята заготавливают для школьной столовой 5 кг липы. Сколько стаканов чая можно будет заварить, если на один стакан идёт 2 г цветов? На сколько дней хватит липы, если в школе питаются 70 человек?

Задача №8. 

Чтобы быть здоровым, человек должен каждый день употреблять 3 г белка на каждые 4 кг веса. Вычисли количество белков, необходимое для ребенка массой 40 кг на один день.

Задача №9. 

Таня, Вова и Саша помогали бабушке собирать в саду яблоки. После этого Таня съела 7 яблок, Вова – на 3 яблока меньше, а Саша съел столько же, сколько Вова. Сколько всего яблок съели дети? Вскоре у детей  разболелись животы. Почему?

Задача №10. 

Чеснок – очень полезное растение. Учёные говорят, что если пожевать дольку чеснока 3 минуты, то во рту не останется микробов. Сколько секунд составляет это время?

Задача №11. 

В среднем человек за 70 лет съедает 40 тонн продуктов, а воды выпивает на 5 тонн больше. Сколько приблизительно воды выпьет человек за 14 лет жизни?

А вот эти задачи я встретила в сборнике для подготовки к ЕГЭ

Задача №12. 

Магазин делает пенсионерам скидку на определенное количество процентов от цены покупки. Пакет кефира стоит в магазине 40 рублей. Пенсионер заплатил за пакет кефира 38 рублей. Сколько процентов составляет скидка для пенсионеров?

Задача №13. 

В летнем лагере на каждого участника полагается 40 г сахара в день. В лагере 164 человека. Сколько килограммовых пачек сахара понадобится на весь лагерь на 9 дней?

Задача №14. 

Больному прописано лекарство, которое нужно пить по 0,5 г 3 раза в день в течение 21 дня. В одной упаковке 10 таблеток лекарства по 0,5 г. Какого наименьшего количества упаковок хватит на весь курс лечения?

Задача №15. 

Для приготовления маринада для огурцов на 1 литр воды требуется 12 г лимонной кислоты. Лимонная кислота продается в пакетиках по 10 г. Какое наименьшее число пачек нужно купить хозяйке для приготовления 6 литров маринада?

Задача №16. 

Для приготовления вишневого варенья на 1 кг вишни нужно кг сахара. Сколько килограммовых упаковок сахара нужно купить, чтобы сварить варенье из 27 кг вишни?

Задача №17. 

В книге Елены Молоховец «Подарок моодым хозяйкам» имеется рецепт пирога с черносливом. Для пирога на 10 человек следует взять 0,3 фунта чернослива. Сколько граммов чернослива следует взять для пирога, рассчитанного на 6 человек? Считайте, что 1 фунт равен 0,4 кг.

Задача №18. 

Дети и молодые женщины должны съедать ежедневно 300 г хлеба; дамы среднего возраста – 250 г, молодые мужчины – 400 г, более зрелые – 350г, норма для пожилого человека старше 65 лет – 200 г. В семье моего одноклассника 6 человек: трое детей, мама, папа, бабушка. Сколько батонов хлеба необходимо купить этой семье на день, если вес одного батона 400 граммов?

Решение:

1) 300.3+250+350+200=1700(г) хлеба необходимо семье.

2)1700:400=4, 25(батона)≈5 батонов.

Ответ: 5 батонов.

Усложню задачу: в семье употребляют белый  и чёрный хлеб приблизительно поровну. В Батоне белого хлеба 400 граммов, в буханке чёрного хлеба 700 граммов. Вопрос тот же.

2) 1700:2=850(г) хлеба каждого вида нужно семье на день.

3)850:400=2,125(батона) белого хлеба

4) 850: 700≈1, 2(буханки) чёрного хлеба.

Т.к. по правилам округления получаем 2 батона и 1 буханку, но этого количества хлеба недостаточно данной семье, а 3 батонов и 2 буханок будет слишком много, поэтому можно чередовать покупки:  2 батона, 2 буханки- день и 3 батона-1 буханку во второй день. Приблизительно так и поступают в этой семье.

2.5. Математика и вредные привычки

75% тех, кто начал курить, становятся зависимыми от курения людьми.

90% рака легких наблюдается у курильщиков

до 95% заболевших раком умирают в течение 5 лет.

Каждая выкуренная сигарета уносит 6 мин жизни.

Задача №1.

Одна выкуренная сигарета разрушает 25 мг витамина С, дневная норма приема витамина С 500 мг. Сколько витамина С ворует у себя тот, кто выкуривает 10 сигарет в день?

Задача №2.

В нашей школе было проведено анонимное анкетирование, которое установило, что 25% старшеклассников пробовали курить. Определите, сколько старшеклассников пробовали курить,  если всего опросили  20 учащихся.

Задача №3.

Японские врачи провели исследование и выяснили, что из каждых 45 студентов, имеющих расстройства слуха, 30 человек регулярно слушают музыку через наушники. Выясните, какой процентов потерявших слух активно стремились к этому? 

Задача №4.

Некоторые фирмы за одну и ту же работу курящим работникам устанавливают заработную плату на 5 тысяч меньше, чем некурящим. На сколько процентов меньше получит курящий человек по сравнению с некурящим, если заработная плата составляет 25000 рублей.

Задача №5.

30 больных перенесли инфаркт. Известно, что среди них 6 человек некурящих, остальные курящие. Сколько % человек могли бы быть здоровыми?

Задача №6.

Сегодня ученые утверждают, что от последствий курения на планете каждые 13 секунд умирает человек. Сколько человек от последствий курения умирает за один урок? Какой вред наносит курение человеку? Как можно оградить себя от этой беды?

Задача №7.

C каждой выкуренной сигаретой курильщик получает 2 мг никотина. Сколько никотина получит человек, выкуривший пачку сигарет (в пачке 20 сигарет)?

Задача №8.

Каждая выкуренная сигарета уменьшает продолжительность жизни на 5 минут 30 секунд. На сколько уменьшится жизнь после выкуривания пачки сигарет (в пачке 20 сигарет)?

Задача №9.

Средний вес новорожденного ребенка 3 кг 400 г. Если у ребенка курит отец, то его вес будет меньше среднего на 119 г, если курит мать – меньше на 255 г. Определите, сколько будет весить новорожденный, если: курит папа; курит мама;  курят оба.

Задача №10.

В результате курения получили различные заболевания 60 человек. Подростков среди них в 2 раза больше, чем взрослых. Сколько подростков могли остаться здоровыми?

Задача №11.

В России ежегодно умирает 500 000 мужчин среднего возраста. 42% из них умирают из-за болезней, связанных с курением. Сколько человек могли бы продолжать жить, если бы своевременно бросили курить?

Задача №12.

Сердце здорового человека бьется 70 ударов в минуту. Сердце курящего человека вынуждено делать на 5 ударов в минуту больше. Сколько дополнительных ударов приходится делать сердцу курящего человека за сутки?

По данным ФСКН РФ каждый год от наркотических веществ в России погибает 70 тысяч человек, наркоманами становится 86 тысяч россиян или 235 человек ежедневно, подсаживается на наркотики, но общее число наркоманов не растёт так как смертность от наркотиков самая высокая.

Задача №13.

По данным зарубежных экспертов в нашей стране оседает от 75 до 80 тонн героина – самого страшного и опасного наркотика. Это количество в 3,5 раза больше чем в США и Канаде вместе взятые и в 2 раза больше чем в Китае, и это не смотря, что в Китае миллиардное население.Сколько тонн героина (приблизительно) оседает в США, Канаде и Китае вместе. Что произойдёт с нашей страной, если ничего не изменить?

Статистика среди подростков в России выглядит так же угрожающе. Среди подростков в возрасте от 14 до 18 лет спиртные напитки потребляют 88% мальчиков и 93% девочек. Употребляли наркотические и токсические вещества, хотя бы один раз в жизни 56% мальчиков и 20% девочек. Потребляют наркотики в настоящее время 45% мальчиков и 18% девочек. 

Средний срок жизни наркомана не превышает пяти – дести лет, если не считать случаи смертей от передозировки. За последние годы смертность от употребления наркотиков выросла в 10 раз, а детская смертность, по этой же причине, в 42 раза. Каждый год в РФ от наркотиков умирает около ста тысяч человек.

Что будет с нашей страной, если это безумие не остановить?

Заключение

Здоровье-это самое ценное, что есть у человека. В одной из пословиц говорится «было бы здоровье, а остальное приложится». В период обучения в школе многие дисциплины знакомят школьников с основами здорового образа жизни.  А математика? Каким же  образом математика может стать источником знаний учащихся о здоровье человека? Я подумала, так как в математике много текстовых задач, то именно через содержание задач можно знакомить учащихся с фактами из реальной жизни о   здоровье человека.

Решение задач с таким содержанием не только способствует сохранению здоровья, но и пропагандирует здоровый образ жизни, вызывает негативное отношение к вредным привычкам, в ненавязчивой форме обучает правилам безопасного поведения в различных жизненных ситуациях. Представление проблемы здорового образа жизни в виде задач способно оказывать большее влияние на учеников, чем просто слова. Включение в уроки математики таких задач  делает уроки математики более познавательными и интересными. Выбрав пять основных направлений здоровъесбережения, я составила сборник задач. Он включает вопросы охраны окружающей среды, знание организма человека, освещает некоторые вопросы рационального питания, пропагандирует здоровый образ жизни, осуществляет профилактику вредных привычек, обучает правилам поведения в нестандартных ситуациях. А где же взять эти факты? Для составления задач я использовала различные информационные источники. Читая информацию об экологии, изучая статистические данные об уровне наркомании, алкоголизма в России,  о вреде курения для всего нашего общества, я пришла к выводу, что наша страна находится в ужасной ситуации. С этим нужно что-то делать. Я пришла к выводу, что математика так же, как и другие школьные дисциплины может помочь сохранить и укрепить здоровье. Мой сборник пока очень мал, но, думаю, будет полезен. Моя идея может заинтересовать и других учеников. Я надеюсь, что она станет  хотя бы маленьким кирпичиком задания под названием  «Здоровье нации».

Берегите себя, свое здоровье и тогда жизнь станет прекрасной и удивительной.

Литература

1. Здоровьесберегающий урок "Математика и здоровье". Решение текстовых...

festival.1september.ru›Решение текстовых задач

2. Математика здоровья Сборник задач по математике о здоровье...

nsportal.ru›ap…drugoe/matematika…sbornik…zdorove… 

3. Культура здоровья на уроках математики и во внеурочной работе в рамках...

uchportal.ru›Статьи›23-1-0-3886 

4. Экологическая статистика

unstats.un.org›unsd/environment/envpdf/…

5. Статистика алкоголизма в России

nodrink.me›articles/statistika-alkogolizma…rossii/ копия 

6. Наркомания: статистика в России

narkoinfo.ru›statistika…346-narkomaniya…v-rossii

7. Статистика курения в России٭ | МИР БЕЗ НИКОТИНА

nosmoking18.ru›statistika-kureniya-v-rossii/ 

8. Яндекс.Картинки: найдено 36 тыс. картинок                                                              images.yandex.ru›курение статистика в россии 2013

9. Яндекс.Картинки: найдено 51 тыс. картинок                                                                                 images.yandex.ru›Наркомания картинка статистика в россии 2013

10. Яндекс.Картинки: найдено 55 тыс. картинок                                                                             mages.yandex.ru›Алкоголизм картинка статистика в россии 2013