Площади многоугольников на клетчатой бумаге в заданиях ОГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по геометрии (8, 9 класс)

«ПАНОРАМА  МЕТОДИЧЕСКИХ  НАХОДОК»

Открытое занятие внеурочной деятельности

«Наглядная геометрия» в 9 классе МБОУ «ООШ №12»

Тема : Площади многоугольников на клетчатой бумаге  в заданиях ОГЭ.

Цель: знакомство с  разными  способами  нахождения площади многоугольников на клетчатой бумаге.

Задачи:  познакомить учащихся и учителей с разными типами задач по данной теме;

 - научить выбирать удобный способ решения для каждой конкретной задачи;

 - познакомить с формулой Пика и для нахождения площадей фигур на клетчатой бумаге;

 - сплотить коллектив учителей и учащихся, развивать коммуникативные УУД.

Оформление доски: высказывание «В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу» ,  распечатанные задания, формулы.

Наглядность: раздаточный материал (прототипы заданий по теме), цветные карандаши

Ход проведения занятия:

Здравствуйте,  рада приветствовать всех собравшихся в нашем  кабинете.

Сегодня я проведу занятие внеурочной деятельности курса «Наглядная геометрия»…..

Напоминаю, одно мое  условие….Каждый  присутствующий  на  занятии  является активным  участником! Желаю  Вам и себе плодотворной работы.

Эпиграфом к нашему занятию я взяла слова  немецкого математика  Давида Гильберта « В огромном саду геометрии каждый найдет себе букет по вкусу».         Желаю  и Вам найти свой букет!

Ведь мир, в котором мы живём, наполнен геометрией и она окружает нас ежедневно.

Потребность измерения расстояний и площадей привела к появлению зачатков геометрических знаний в глубине тысячелетий.

Одна из главных величин в геометрии - площадь. 

Исходя  из  этого, как вы думаете, чем  мы займемся сегодня? (ответы  учащихся) Определим тему  нашего занятия.

Без знаний о площадях многоугольников невозможно представить развитие архитектуры и дизайнерского искусства. Благодаря точным расчётам площадей составляющих геометрических фигур нельзя создать шедевры с исторической точки зрения.

Итак, начнем!

1. Актуализация знаний .

 А что вы уже знаете по данной теме? Какие сведения ассоциируются у вас с данной  темой?

( ответы  учащихся)

 2. Кластер           А теперь я вам предлагаю ваши знания по данной теме представить в виде кластера, которую можно будет использовать в дальнейшем. Для этого у вас лежат на столе шаблоны, которые  вы  можете  использовать для  работы.

( составление кластера  в группах, проверка )

3. Способы  нахождения площадей многоугольников  

1. Способ нахождения площади фигур по специальным формулам.

Его применяют для треугольника, прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции, параллелограмма, если фигуры расположены ровно по клеткам.

Алгоритм решения:

1. Вспомнить название фигуры
2. Найти для нее формулу площади.
3. Выполнить необходимые измерения (посчитать клетки).
4. Подставить числа в формулу и посчитать.

Задание: Нахождение площадей  фигур  по формулам.

2.  Способ нахождения площади фигур – разбивание фигуры на части, площади  которых  мы  умеем  находить по формулам.

Его применяют для произвольных фигур, которые можно разрезать так, чтобы получился 1 способ.

Алгоритм решения:

1. Разрезать фигуру так, чтобы появились фигуры, для которых есть специальные формулы.
2. Найти нужные формулы.
3. Посчитать клетки и вычислить площади каждой части.
4. Сложить все полученные площади.

Задание: Найти площади фигур

3. Способ нахождения площади фигур – достраивание до прямоугольника.

Этот способ универсальный. При его использовании достаточно знать 2 формулы: S=ab, S=(ab)/2 – площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника.

Алгоритм решения:

1. Достроить прямоугольник, стороны которого проходят через вершины данного многоугольника,  и найти его площадь Sпо формуле S=ab.
2. Найти площади частей S1, S2, . . . по формуле S=(ab)/2.
3. Найти площадь фигуры по формуле S - S1 - S2 - . . .

Задание :  Найти площади  фигур данным способом.

Вывод: Данные  способы  имеют  право  быть, ими  мы  пользуемся, но для этого надо  знать много формул, иногда громоздкие  вычисления.

4.Верите ли Вы?  

Что можно вычислить площадь многоугольника на клетчатой бумаге, зная всего лишь  одну формулу?

5. Способ нахождения  площади  по  формуле Пика.

Каждая теорема имеет свою интересную и неповторимую историю.

Конечно хочется узнать, как можно больше. Всем известно, что история  начинается с создателя. Именно он создал и изучил свойства своего  открытия.

Теорема Пика не стала исключением. Поэтому познакомимся с её   сюжетом.

Итак, создатель теоремы Георг Александр Пик.

( поиск  информации  в  Интернете, кто он, чем  знаменит?)

Родился Георг Пик в еврейской семье. До одиннадцати лет Георг получал  образование дома (с ним занимался отец), затем он пошел в четвертый класс   гимназии. В 1875 г. он сдал выпускные экзамены и поступил университет. Пик   поступил в университет в Вене в 1875 году. И уже в следующем году он   опубликовал свою первую работу по математике, ему было всего лишь   семнадцать лет. Он изучал математику и физику.

Больше всего Пик известен, совей теоремой, которую так и называют  теорема Пика, которая появилась в его восьмистраничной работе 1899 года. Эта  теорема привлекла довольно большое внимание и начала вызывать восхищение  своей простотой и элегантностью.

6. Знакомство  с теоремой Пика.

В чем же красота и элегантность этой теоремы? Во-первых, в том, что она проста. Давайте вместе для себя откроем новую информацию из мира   математики.

Формула:               S=Г/2+В-1

Г – количество узлов на границе многоугольника (на сторонах и  вершинах)

В – количество узлов внутри многоугольника

Формула выполняется, если вершины многоугольника находятся в точках

целочисленной решётки.

Рассмотрим основные понятия: «решетка» и «узел».

Что такое решётка? Решёткой в этой теореме является клеточная

поверхность бумаги где располагается фигура . Именно на ней производятся  действия связанные с этой формулой.

Что такое узел? Узел – это пересечение горизонтальной и вертикальной

линии.

7. Можно ли доверять теореме Пика?

Задание:  Найти площади фигур  и сравнить  с результатом, который  был  получен по  формулам.

Вывод: Площади фигур, найденные  по  формулам  и по теореме Пика одинаковы!

Понятно, что находить площадь трапеции, параллелограмма,

треугольника проще и быстрее по соответствующим формулам площадей этих фигур. Но знайте, что можно это делать и таким образом.

А вот когда дан многоугольник, у которого пять и более углов эта

формула работает хорошо.

Формула Пика очень проста для запоминания.

Формула Пика очень удобна и проста в применении.

 Многоугольник, площадь которого необходимо вычислить, может быть любой , даже самой причудливой формы.

8. Самостоятельная  работа.Тест

9. Рефлексия. «Мишень»  

Оцените  себя  по 4 показателям ( отметьте  любым  знаком, смайликом,инициалами и т.д.)

Итог: Спасибо за  работу! Удачи на экзаменах! Желаю Вам вдохновения, ведь «Вдохновение нужно  в геометрии не меньше, чем  в поэзии» (А.С.Пушкин)

«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно  практикуясь»
                                                                                 Д.Пойя