Программа элективного курса «Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости»
элективный курс по геометрии (9 класс)

Программа элективного курса

 «Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости»

Пояснительная записка

   Предлагаемый курс содержит совершенно не проработанные в базовом курсе школьной математики вопросы и своим содержанием сможет привлечь внимание учащихся 8-9 классов, которым интересна математика.                            Аналитическая геометрия является разделом высшей математики, в котором геометрические образы (точки, линии, поверхности) изучаются с помощью алгебраических методов. Данный элективный курс поможет школьникам изучить основы аналитической геометрии на плоскости, а также научиться решать широкий класс задач, в которых используется метод координат. Курс характеризуется рациональным сочетанием логической строгости и геометрической наглядности. Теоретический материал сопровождается разбором типовых задач, приведены упражнения для самостоятельной работы, вопросы самопроверки, сводка основных формул. Учащиеся овладевают приёмами аналитико-синтетической деятельности при доказательстве теорем и решении задач. Его прикладная направленность обеспечивается постоянным обращением к наглядности, использованием чертежей и развитием на этой основе геометрической интуиции. Наряду с основной задачей обучения математике – обеспечением прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбор профиля дальнейшего обучения.

Цели курса:

• помочь повысить уровень понимания и практической подготовки в таких вопросах, как решение геометрических задач с помощью алгебры;
• создать в совокупности с основными разделами курса базы для развития способностей учащихся;
• помочь осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им с точки зрения дальнейшей перспективы.

Задачи курса:

• научить учащихся применять аппарат алгебры к решению геометрических задач;
• научить учащихся применять свойство геометрических преобразований к решению задач;
• помочь овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне свободного их использования;
• помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Данный курс рассчитан на  17 часов, предполагает компактное и чёткое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу. В программе приводится примерное распределение учебного времени, включающее план занятий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения.

Основные формы организации занятий: лекция, объяснение, практическая работа. Разнообразный дидактический материал даёт возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Программа может быть эффективно использована в 8-9 классах с любой степенью подготовленности, способствовать развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставит возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

Учебно-тематический план

Содержание программы

Занятие 1-2. Метод координат на плоскости. Расстояние между двумя точками на плоскости. Деление отрезка в данном отношении (2 ч)

Цели: рассмотреть понятие системы координат и координаты точки на плоскости;  вывести формулу для координаты точки, делящей отрезок в данном отношении.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 3-4. Площадь треугольника (2 ч).

Цели: вывести формулу площади треугольника, вершины которого заданы координатами; способствовать усвоению учащимися изученного материала в ходе решения задач; прививать навык самостоятельного решения задач.

Методы обучения: объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

Занятие 5-7. Прямая на плоскости и виды её уравнений. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой, проходящей через данную точку и имеющей данный угловой коэффициент. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки. Уравнение прямой в отрезках (3 ч).

Цели: познакомить учащихся с общим уравнением прямой; вывести уравнение прямой с угловым коэффициентом; вывести уравнение прямой, проходящей через две данные точки; вывести уравнение прямой в отрезках; закрепить изученный материал в ходе решения задач.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

Занятие 8. Угол между двумя прямыми (1 ч).

Цели: вывести формулу для нахождения угла между двумя прямыми; способствовать усвоению учащимися изученного материала в ходе решения задач; прививать навык самостоятельного решения задач.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 9-10. Условия параллельности и перпендикулярности прямых (2ч).

Цели: рассмотреть возможные случаи расположения прямых на плоскости; закрепить изученный материал в ходе решения задач; развивать логическое мышление учащихся.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 11. Расстояние от точки до прямой (1ч).

Цели: вывести формулу для определения расстояния от точки до прямой; способствовать развитию навыка решения задач.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: проверка задач самостоятельного решения.

Занятие 12. Расстояние между параллельными прямыми (1ч).

Цели: рассмотреть понятие расстояния между параллельными прямыми; развивать логическое мышление учащихся.

Методы обучения: лекция, объяснение, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: самостоятельная работа.

Занятие 13-16. Решение задач по всему курсу (4 ч).

Цели: повторить изученный материал; систематизировать знания учащихся; закрепить навыки в решении задач.

Методы обучения: объяснение, беседа, выполнение тренировочных упражнений.

Формы контроля: практическая работа.

 Занятие 17. Проверочная работа (1 ч).

Цель: проверка степени усвоения учащимися изученного материала и умения применять его при решении задач.

Формы контроля: тест.

Методические рекомендации

    Элективный курс «Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости» задаёт примерный объём знаний, умений и навыков, которыми и должны овладеть школьники. В результате изучения курса учащиеся должны научиться решать задачи более высокой по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования.

     В каждой теме курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний и способов деятельности, что способствует эффективному освоению предлагаемого курса.  На уроках можно использовать фронтальный опрос, который охватывает большую часть учащихся курса. Эта форма работы развивает точную, лаконичную речь, способствует работать в скором темпе, быстро собираться с мыслями и принимать решения.

     Можно рекомендовать комментированные упражнения, когда один из учеников объясняет вслух ход выполнения задания. Эта форма помогает учителю «опережать» возможные ошибки. При этом нет механического списывания с доски, а имеет место процесс повторения. Сильному ученику комментирование не мешает, среднему – придаёт уверенность, а слабому помогает. Ученики приучаются к вниманию, сосредоточенности в работе, к быстрой ориентации в материале.

     Домашние задания являются обязательными для всех. Активным учащимся можно давать задания из дополнительной части или предлагать творческие задания. Проверка заданий для самостоятельного решения осуществляется на занятии путём определения способа действия и называния ответа. Данный курс содержит дидактический материал, как для учителя, так и для учащихся, а также приводятся возможные варианты организации деятельности учащихся.

   Проверочные работы рассчитаны на часть урока, целиком проверочная работа или самостоятельная работа может быть предложена на заключительном этапе обучения с целью выявления степени овладения данным курсом. Задания выбираются по усмотрению учителя, в зависимости от состава слушателей курса и их подготовленности.

   В результате изучения курса учащиеся должны уметь:

• точно и грамотно формулировать теоретические положения и излагать собственные рассуждения в ходе решения заданий;
• уверенно решать задачи на вычисление, доказательство и построение;
• применять аппарат алгебры и тригонометрии к решению геометрических задач;
• применять свойства геометрических преобразований к решению задач.

Возможные критерии оценок

Критерии при выставлении оценок могут быть следующие:

Оценка «отлично» - учащийся демонстрирует сознательное и ответственное отношение, сопровождающееся ярко выраженным интересом к учению; учащийся освоил теоретический материал курса, получил навыки в его применении при решении конкретных задач; в работе над индивидуальными и домашними заданиями учащийся продемонстрировал  умение  работать  самостоятельно, творчески.

Как правило, для получения высокой оценки учащийся должен показать не только знание теории и владение набором стандартных методов, но и известную сообразительность, математическую культуру;

Оценка «хорошо» - учащийся освоил идеи и методы данного курса в такой степени, что может справиться со стандартными заданиями; выполняет домашние задания прилежно (без проявления явных творческих способностей); наблюдаются определённые положительные результаты, свидетельствующие об интеллектуальном росте и о возрастании общих умений учащихся;

Оценка «удовлетворительно» - учащийся освоил наиболее простые идеи и методы курса, что позволило ему достаточно успешно выполнять простые задания.

Литература для учителя

1. Алтынов П.И. Геометрия. Тесты. 7-9 класс.: учебно-методическое пособие.-М.: Дрофа, 1998. – 112с.
2. Арутюнян Е.Б. Математические диктанты для 5-9 классов. – М., 1991.
3. Богомолов Н.В.Практические занятия по математике: учеб. Пособие для техникумов. – 2-е изд., перераб. – М.: Высш. Школа, 1983.- 399 с.
4. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Курс геометрии 8 класса в задачах. – М., 1996.
5. Звавич Л. И. и др. Геометрия 8-11 класс. Пособие для школьников и классов с углублённым изучением математики. – М.: Дрофа,2000. – 288 с.
6. Звавич Л. И., Аверьянов Д. И. О работе в X классе с углублённым изучением математики. / Математика в школе, №5. – с. 22-34.
7. Киселёв А. П. Элементарная геометрия: книга для учителей. – М.: Просвещение, 1980.
8. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. Ч. 1, 2. – М.: Просвещение, 1986.
9. Фектистов И. Е. Материалы по теме «Декартовы координаты на плоскости». / Математика в школе, №2, 1992. – с. 17-26.
10.  Шипачев В. С. Аналитическая геометрия. Метод координат. Решение геометрических задач с помощью алгебры. / Учебное пособие. – М.: Аквариум, 1997. – 256 с.

Литература для учащихся

1. Александров А.Д., Вернер А.Л., Рыжик В.И. Геометрия 8 – 9. – М.: Просвещение, 1991. – 415 с.
2. Атанасян Л.С. и др.Геометрия 7 – 9. – М.: Просвещение, 1996.
3. Бардушкин В.В., Кожухов И.Б. Геометрия 8. Рабочая тетрадь. – М.: Открытый мир, 1998. – 128 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия: учебник для 7-11 классов средней школы. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.
5. Шарыгин И. Ф. Геометрия 9-11 кл.: учеб. пособие. – М.: Дрофа, 1997. – 400 с.
6. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1989.

Приложение 1

Контрольные вопросы

1. Что называется координатой точки на оси?
2. В чём состоит взаимно однозначное соответствие между числом и точкой координатной прямой?
3. Чему равна величина направленного отрезка?
4. Чему равно расстояние между двумя точками?
5. Записать формулу площади треугольника. В каком случае правая часть формулы меняет знак на противоположный?
6. В каком случае координаты точек деления равны полусумме соответствующих координат?
7. Что называется углом наклона прямой к оси ОХ?
8. Что называется угловым коэффициентом прямой?
9. В чём состоит геометрический смысл параметров k и b уравнения прямой с угловым коэффициентом?
10.  Что называется общим уравнением прямой?
11.  Как записывается уравнение прямой, параллельной осям ОХ и ОУ, а также уравнения самих осей координат?
12. Что такое уравнение прямой в отрезках?
13.  Сформулировать условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.
14.  Как определяется расстояние от точки до прямой?
15.  Как найти точку пересечения двух прямых?
16.  В каких случаях две прямые на плоскости либо совпадают, либо параллельны?

Приложение 2

Тест

Вариант 1

1.  Точки А и В имеют координаты А( -3; -1), В(2; -4). Найдите отрезок АВ.

а)  ;            б) 5;            в)  ;          г) 8.

     2. АВСD – параллелограмм. Координаты его вершин  А(-3; -1), В(-2; 4), С(6; -1)

         Найдите координаты (х; у)  вершины D. В ответе запишите х + у.

         а) 3;                       б) -3;                     в) -1;                 г) 1.

    3. Дан треугольник MPK,  M(-5; -3), P(-3; 5), K(5; -1). Найдите длину медианы

       PC.

        а) 7;               б)  ;              в) ;                     г) 4.

    4. Запишите уравнение прямой АВ, если А(-3; 4) и В(-1; -2).

        а) у = 3х – 2;    б) у = -2х + 3;      в) у = 2х + 3;      г)  у = -3х – 5.

    5. Даны уравнения двух прямых:  -2х – 7у + 1 = 0 и 3х + 4у + 5 = 0.

        Найдите координаты (х0; у0) точки пересечения этих прямых. В ответе

        запишите сумму х0 + у0.

        а) -2;                   б) 2;                  в) -1;                    г) 1.

Вариант 2

1. Точки M и N имеют координаты M( 3; -2), N(-1; 3). Найдите отрезок MN.

а) 6;            б) ;            в) 9;          г) .

     2. АВСD – параллелограмм. Координаты его вершин  В(-3; 2), С(7; -1), D(6; -5)

         Найдите координаты (х; у)  вершины А. В ответе запишите х + у.

         а) 5;                       б) -2;                     в) -6;                 г) 3.

    3. Дан треугольник CDE,  C(-5; 2), D(4; 3), E(1; -4). Найдите длину медианы

       DK.

        а) 6;               б)  ;              в) ;                     г) 8.

    4. Запишите уравнение прямой CD, если C(-3; 1) и D(-5; 9).

        а) у = 4х + 5;    б) у = -4х - 11;      в) у = 3х + 5;      г)  у = -3х + 8.

    5. Даны уравнения двух прямых:  -3х – у + 1 = 0 и 4х + 3у + 7 = 0.

        Найдите координаты (х0; у0) точки пересечения этих прямых. В ответе

        запишите сумму х0 + у0.

        а) 5;                   б) 3;                  в) -3;                    г) -5.

Ответы

Приложение 3

Проверочная работа

Вариант 1

Даны точки М(1; 2) и N(-3; 4)

1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:

а) с угловым коэффициентом;  б) в отрезках.

3. Напишите уравнение:

а) прямой KF, параллельной MN и проходядей через точку K(-2; -1), и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличной от К;

б) прямую OQ, проходящей через начало координат и перпендикулярной MN.

    4.   Вычислите:

          а) площадь треугольника MNF;

          б) расстояние между прямыми KF и MN.

Вариант 2

Даны точки М(1; 1) и N(2; -2)

1. Напишите общее уравнение прямой MN.
2. Напишите уравнение прямой MN:

а) с угловым коэффициентом;  б) в отрезках.

3. Напишите уравнение:

а) прямой KF, параллельной MN и проходядей через точку K(3; -3), и укажите какую-либо точку F этой прямой, отличной от К;

б) прямую OQ, проходящей через начало координат и перпендикулярной MN.

    4.   Вычислите:

          а) площадь треугольника MNF;

          б) расстояние между прямыми KF и MN.

Дидактический материал

1. На оси ОХ найдите точку, расстояние от которой до точки А(3; 4) равно 5.
2. Точка М является серединой отрезка ОА, соединяющего начало координат с точкой А(-5; 2). Найдите координаты точки М.
3. Точка М(2; 3) делит отрезок АВ в отношении 1:2. Найдите координаты точки В, если известно, что точка А имеет координаты х = 1, у = 2.
4. Вершинами  треугольника служат точки А(-2; 1), В(2; 2), С (4; у). Площадь треугольника равна 15. Определите ординату вершины С.
5. Найдите координаты центра тяжести однородной пластинки, имеющей форму треугольника с вершинами А(-2; 1), В(2; -1), С (4; 3).
6. Площадь треугольника равна 3, две его вершины – точки А(3; 1) и  В(1; -3). Найдите координаты третьей вершины, если известно, что она лежит на оси ординат.
7. Площадь параллелограмма равна 12, две его вершины – точки А(-1; 3) и  

В(-2; 4). Найдите две другие вершины параллелограмма, если известно, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси абсцисс.

8. Вершины треугольника – точки А(3; 6), В(-1; 3) и С (2; -1). Найдите длину его высоты, проведённой из вершины С.
9. Три вершины параллелограмма – точки  А(3; 7), В(2; -3), С (-1; 4). Найдите длину его высоты, опущенной из вершины В на сторону АС.
10.  Отрезок, ограниченный точками   А(1; -3) и В(4; 3), разделён на три равные части. Определите координаты точек деления.
11.  Определите координаты концов  А и В отрезка, который точками М1(2; 2) и М2(1; 5) разделён на три равные части.
12.  Три вершины параллелограмма – точки  А(3; -5), В(5; -3), С (-1; 3). Определите четвёртую вершину D, противоположную  В.
13.  Найдите площадь пятиугольника с вершинами в точках  А(0; 0), В(3; -2),

С (5; -1), D(8; 4), E(4; 5).

14.  Найдите координаты точки М, делящей отрезок АВ в данном отношении, и сделайте рисунок, если:

15.  Даны точки  А(3; 5) и В(11; -11). Найдите координаты точки М, делящей отрезок АВ в отношении: а) 0,6; б) -3.
16.  В каком отношении точка А(1; -6) делит отрезок ВС, где  В(0; -16) и

 С(-5; -66), считая от точки  В?

17.  В каком отношении точка А(1; 1) делит отрезок ВС, где В(4; -1) и С(7; -3), считая от точки В?
18.  Вычислите площадь треугольника, вершинами которого являются точки:

а) А(2; -3), В(3; 2) и  С (-2; 5);

б) М1(-3; 2), М2(5; -2) и М3(1; 3);

в) М(3; -4), N(-2; 3) и P(4; 5).

     19. Даны точки  А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3), D(х4; у4), не лежащие на одной

          прямой. Докажите, что если АВСD – параллелограмм, то верно условие:

20.  Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси ОУ отрезок  b = 3 и образующий с осью ОХ угол α =  .
21.  Постройте прямую, заданную уравнением у = х + 2.
22.  Составьте уравнение прямой, проходящей через точку М(2; 1) и образующей с осью ОХ угол α =  .
23.  Составьте уравнение прямой, проходящей через точки М1(3; 1) и М2(5; 4).
24.  Составьте уравнение прямой, отсекающей на оси ОУ отрезок  b = 3 и образующий с осью ОХ,  угол: а) 450; б) 1350. Постройте эту прямую.
25.  Определите параметры k и b для каждой из прямых:

а) 2х – 3у = 6;  б) 2х + 3у = 0;  в) у = -3;  г)  + = 1.

      26. Определите параметры k и b прямой, проходящей через точку А(2; 3) и

            составляющей с осью ОХ угол 450. Составьте уравнение этой прямой.

27.  Составьте уравнение прямой в отрезках: а) 2х – 3у = 6;  б) 3х – 2у + 4 = 0.
28.  Составьте уравнение прямой, проходящей через точки  А(-1; 3) и В(4; -2).
29.  Составьте уравнения прямых, заданных параметрами: а) b = -2; α = 600;

б) b = -2; α = 1200 . Постройте эти прямые.

      30. Определите точки пересечения прямой 3х – 3у – 12 = 0 с осями координат

             и постройте эту прямую.

31.  Прямая задана общим уравнением 12х – 5у – 65 = 0. Напишите её уравнение с угловым коэффициентом.
32.  Лежат ли на одной прямой точки: а) А(-3; 1), В(0; 11), С(8; 17); б)  А(1; -4), В(2; -1), С(-5; 0) ?
33.  При каком значении t точки А, В, С лежат на одной прямой А(3; 8), В(9; t ), С(-5; 0) ?
34. Прямая задана уравнением 3х – 5у + 15 = 0. Составьте её уравнение в отрезках и постройте эту прямую.
35.   Чему равны коэффициенты a и b в уравнении  ax + by – 1 = 0,  если известно, что прямая проходит через точки    А(1; 2), В(2; 1)?
36.  Прямая задана уравнением 5х – 6у + 3 = 0. Принадлежат ли точки А(-3; -2), В(3; 2), С(0; ), D(1; 0) этой прямой?
37. Прямая задана уравнением -4х + у + 2 = 0. Найдите две какие-либо точки, принадлежащие этой прямой.
38.  Составьте уравнения прямых, проходящих на расстоянии: а) 2 от оси ОУ; б) 3 от оси ОХ.
39. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М с угловым коэффициентом k: а) М(0; -1), k = -3; б) М(-3; 5), k = 7.
40. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку М(2; -7) под углом 450 к:  а) положительному направлению оси абсцисс; б) отрицательному направлению оси абсцисс.
41.  Запишите уравнение прямой, содержащей начало координат и точку:

а) А(2; 5); б) А(-1; 3).

      42. Найдите точки пересечения прямых 3х – у + 5 = 0 и х + 2у – 1 = 0.

      43. Найдите точки пересечения прямых: а) 3х – у + 5 = 0 и 5х + у + 3 = 0;  

            б) х + 2у – 1 = 0 и 5х + у + 3 = 0.

       44. Докажите, что прямые 5х + 4у – 13 = 0, х – у + 1 = 0 и  х + 3у – 7 = 0

             пересекаются в одной точке и найдите эту точку.

       45. Покажите, что прямые 4х – 6у + 7 = 0 и 20х - 30у – 11 = 0 параллельны.

       46. Покажите, что прямые 3х – 5у + 7 = 0 и 10х + 6у – 3 = 0 перпендикулярны.

       47. Прямые заданы уравнением у = 2х + 3 и у = -3х + 2. Найдите угол между

             этими прямыми.

        48.  Пусть прямая L  задана уравнением 3х – 4у + 10 = 0 и дана точка М(4; 3).

               Найдите расстояние d от точки М до прямой L.

        49. Докажите, что прямые ax + by + c = 0 и  bx – ay + d = 0 перпендикулярны.

        50. Запишите уравнение прямой, перпендикулярной  данной и проходящей

              через данную точку: а) 3х – 4у + 5 = 0; М(-7; 8); б) 5х + 3у – 1 = 0; М(1; 1).

        51. Найдите расстояние между прямыми: а) у = 3х + 7 и у = 5х – 8;

              б) 3х – 4у + 11 = 0 и 3х – 4у – 5 = 0.

        52. Найдите точку пересечения прямых 3х – 4у – 29 = 0 и 2х + 5у + 19 = 0.

        53. Стороны АВ, ВС и АС треугольника АВС заданы соответственно

              уравнениями 4х + 3у – 5 = 0, х – 3у + 10 = 0, х – 2 = 0. Определите

              координаты его вершин.

        54. Составьте уравнения двух прямых, проходящих через точку А(4; 5) так,

              чтобы одна была параллельна оси ОХ, а другая – оси ОУ.

        55. Определите угол между прямыми:

              а) у = 2х – 3 и у =  + 1;

              б) 5х – у + 7 = 0 и 2х – 3у + 1 = 0;

              в) 2х + у = 0 и у = 3х – 44;

              г) 3х – 4у = 6 и 8х + 6у = 11.

       56. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку А( -1; 1) под углом

             450 к прямой 2х + 3у = 6.

      57. Составьте уравнение перпендикуляра, опущенного из точки А(6; 2) на    

            прямую   х – 4у – 7 = 0.

      58. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

            2х – 3у – 1 = 0 и 3х – у – 2 = 0 перпендикулярно прямой у = х + 1.

      59. Дан треугольник с вершинами  А(-2; 0), В(2; 4) и С(4; 0). Составьте

            уравнения  сторон треугольника, медианы АE, высоты АD и найдите длину

            медианы АE.

     60. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(-4; 3) и

           параллельной прямой х + 2у + 3 = 0.  

     61. Найдите расстояние от точек  А(4; 3), В(2; 1), С(1; 0) и О(0; 0) до прямой

           3х + 4у – 10 = 0. Постройте точки и прямую.

     62. Покажите, что прямые 2х – 3у – 6 = 0 и 4х – 6у – 25 = 0 параллельны, и

           найдите расстояние  между ними.

     63. Найдите k из условия, что прямая у = kх + 5 удалена от начала координат на

           расстояние  d =   .

     64. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку А(2; 4) и удалённой

           от начала  координат на расстояние  d = 2.

     65. Через начало координат проведена прямая на одинаковом расстоянии от

           точек А(2; 2) и В(4; 0). Найдите это расстояние.

     66. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых

           4х + 3у = 7 и 3х + 2у = 5 и составляющей тот же угол с осью ОХ, что и

           прямая 2х + у = 5.

     67. Дан треугольник с вершинами А(2; 3), В(4; 8) и С(3; -8). Составьте

           уравнения  его сторон, медиан и высот.  

     68. Дан треугольник АВС, где   А(2; 6), В(5; 2),  С(-7; -2). Составьте уравнение

           прямой, содержащей:

           а) медиану, проведённую из вершины А;

          б) среднюю линию треугольника, параллельную ВС;

          в) высоту, опущенную из вершины С.    

    69. Дано уравнение прямой 3х – 4у = 12, пересекающей оси ОХ и ОУ. Найдите

          периметр  треугольника АВО  и расстояние от точки О до АВ.

    70. Дано уравнение прямой -3х + 4у = 12, пересекающей ось ОХ и ОУ.

          Найдите периметр треугольника АВО и расстояние от начала координат до

          прямой АВ.  

     71.    Дан треугольник АВС, где   А(5; 6), В(8; 2),  С(-4; -2). Составьте                   уравнение прямой, содержащей:

           а) медиану, проведённую из вершины А;

          б) среднюю линию треугольника, параллельную ВС;

          в) высоту, опущенную из вершины С.