Геометрия.Теорема Морлея.
презентация к уроку по геометрии (9 класс)

Слайд 1

Слайд 3

Фрэнк Морли (1860–1937) — английский математик, известный своими работами по алгебре и геометрии. Морли любил придумывать задачи, и за более чем 50 лет своей работы со времени окончания Кембриджского университета он опубликовал более 60 задач в Educational Times. Большинство этих задач — геометрические. Морли очень хорошо играл в шахматы. Одни раз он даже выиграл у чемпиона мира по шахматам Эмануэля Ласкера (примеч. Интересно, что Ласкер тоже занимался математикой, и одна из теорем названа его именем — теорема Ласкера — Нётер). Морли внес огромный вклад в развитие математики в США. В течение 30 лет он был редактором журнала American Journal of Mathematics, работал и в журнале Bulletin of the American Mathematical Society, в 1919–20 годах был президентом Американского математического общества. Самым известным результатом Фрэнка Морли является теорема о трисектрисах треугольника, носящая его имя.

Слайд 4

Определение. Трисектрисой угла называется каждый из двух лучей, делящих этот угол на три равные части .

Слайд 5

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника Дано: Δ ABC Доказать: Δ ZYX – равносторонний A С B X Y Z         

Слайд 6

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          Пусть  А=3  ,  B =3  ,  C =3  , тогда 3  +3  +3  =180  . Тогда  +  +  =60  . В треугольнике ABC сторона AC =2 RsinB , поэтому в треугольнике AZC AC =2 Rsin ³  ,  ZAC =  ,  ZCA =  . Применим к этому треугольнику теорему синусов: Т.к  Z =180  -  -  и α+  +  =60  , то sin С= sin (180-  -  )= sin (  +  )= sin (60-  ), следовательно, согласно формуле, Доказательство :

Слайд 7

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          s in3  =4sin  sin(60+  )sin(60-  ), поэтому AZ =8 Rsin  sin  sin (60+  ) Аналогично из треугольника ABY находим: AY =8 Rsin  sin  sin (60+  ) Теперь по теореме косинусов из треугольника AZY можно найти ZY ²: Доказательство :

Слайд 8

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          Преобразуем выражение в квадратных скобках. Для этого рассмотрим какой-нибудь треугольник, два угла которого равны (60+  ) и (60+  ). Такой треугольник существует, поскольку сумма этих углов меньше 180  . Третий угол этого треугольника равен  . Пусть r – радиус описанной около него окружности. Тогда его стороны равны: 2 rsin (60+  ), 2 rsin (60+  ) и 2 rsin  . Применим к нему теорему косинусов: Доказательство :

Слайд 9

Теорема : Точки пересечения трисектрис углов произвольного треугольника являются вершинами равностороннего треугольника A С B X Y Z          С окращ аем на 4 r ² , делаем вывод, что выражение в квадратных скобках равно sin ²  . Следовательно, для стороны ZY окончательно получаем ZY=8R sin  sin  sin  . В это выражение углы  ,  и  входят симметрично. Поэтому для выражений для XY и XZ будут такими же. Это означает, что треугольник XYZ – равносторонний. Доказательство :

Слайд 11

Задача 1. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Доказать, что угол СОВ на 90 º больше, чем половина угла А.

Слайд 12

Теорема доказана. Спасибо за внимание!