Исследовательский проект "Симметрия и асимметрия: два слагаемых одного целого?"
творческая работа учащихся по геометрии (9, 10 класс)

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Нижнеспасская средняя общеобразовательная школа Рассказовского района

Исследовательский проект

Симметрия и асимметрия:

два слагаемых одного целого?

Выполнила

обучающаяся 10 класса

Кожевникова Алена

Руководитель

учитель математики

Комиссарова И. Н.

с. Нижнеспасское

2011 г.

Содержание

Введение ………………………………………………………………………………….стр. 3
1. Человек как пример симметричного существа……………………………………..стр. 6
2. Определение симметрии ……………………………………………………………..стр. 8
2.1. Зеркальная симметрия ……………………………………………………………...стр. 9
2.2. Зеркальное отражение………………………………………………………………стр.  13
3. Асимметрия …………………………………………………………………………...стр. 15
   3.1. Асимметрия внутри симметрии ………………………………………………….стр. 15
   3.2. Асимметрия вокруг нас…………………………………………………………….стр. 16
Заключение ………………………………………………………………………………..стр. 24
Информационные источники……………………………………………………………..стр. 25

«Симметрия является той идеей,

 посредством которой человек на протяжении веков

пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство». 

Г. Вейль.

Введение

Первоначальный смысл симметрии - это соразмерность, сходство, подобие, порядок, ритм, согласование частей в целостной структуре. Симметрия и структура неразрывно связаны. Если некоторая система имеет структуру, то она обязательно имеет и некоторую симметрию. Идея симметрии имеет исключительное значение и как ведущее начало в осмыслении структуры естественнонаучного знания. Едва ли можно оспаривать эвристическую ценность и методологическое значение принципа симметрии. Известно, что при решении конкретных научных проблем этот принцип играет роль критерия истинности.

Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки.

Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? Асимметрия - это искажение, это неправильно, некрасиво? Ответы на эти вопросы я попытаюсь найти в ходе работы над проектом.

Цель проекта:

доказательство того, что симметрия и асимметрия два слагаемых одного целого -  красоты.

Задачи проекта:

• сформировать понятия симметрии и асимметрии в целом;
• показать, какой глубокий смысл заложен в этих понятиях;
• выяснить, почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир;  
• показать, что не только симметрия, но и асимметрия – это слагаемое красоты.

Существуют, в принципе, две группы симметрий.

К первой группе относится симметрия положений, форм, структур. Это та симметрия, которую можно непосредственно видеть. Она может быть названа геометрической симметрией.

Вторая группа характеризует симметрию физических явлений и законов природы. Эта симметрия лежит в самой основе естественнонаучной картины мира: ее можно назвать физической симметрией.

На протяжении тысячелетий в ходе общественной практики и познания законов объективной действительности человечество накопило многочисленные данные, свидетельствующие о наличии в окружающем мире двух тенденций: с одной стороны, к строгой упорядоченности, гармонии, а с другой - к их нарушению. Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.

Понятие симметрии играет ведущую, хотя и не всегда осознанную, роль в современной науке, искусстве, технике и окружающей нас жизни. Она пронизывает буквально все вокруг, захватывая, казалось бы, совершенно неожиданные области и объекты. Дж. Ньюмен особенно удачно подчеркнул всеохватывающие и вездесущие проявления симметрии: «Симметрия устанавливает забавное и удивительное сродство между предметами, явлениями и теориями, внешне, казалось бы, ничем не связанными: земным магнетизмом, женской вуалью, поляризованным светом, естественным отбором, теорией групп, инвариантами и преобразованиями, рабочими привычками пчел в улье, строением пространства, рисунками ваз, квантовой физикой, скарабеями, лепестками цветов, интерференционной картиной рентгеновских лучей, делением клеток морских ежей, равновесными конфигурациями кристаллов, романскими соборами, снежинками, музыкой, теорией относительности...»

Особое внимание следует заострить на зеркальной симметрии. Такой подход вполне правомерен. Достаточно взглянуть на окружающий нас реальный мир, чтобы убедиться в первостепенном значении именно зеркальной симметрии с соответствующим симметричным элементом — плоскостью симметрии. В самом деле, форма всех объектов, которые двигаются по земной поверхности или возле нее — шагают, плывут, летят, катятся, — обладает, как правило, одной более или менее хорошо выраженной плоскостью симметрии. Все то, что развивается или движется лишь в вертикальном направлении, характеризуется симметрией конуса, то есть имеет множество плоскостей симметрии, пересекающихся вдоль вертикальной оси. И то и другое объясняется действием силы земного тяготения, симметрия которого моделируется конусом.

Асимметрия присутствует уже на уровне элементарных частиц и проявляется в абсолютном преобладании в нашей Вселенной частиц над античастицами. Известный физик Ф. Дайсон писал: "Открытия последних десятилетий в области физики элементарных частиц заставляют нас обратить особое внимание на концепцию нарушения симметрии. Развитие Вселенной с момента ее зарождения выглядит как непрерывная последовательность нарушений симметрии.

В момент своего возникновения при грандиозном взрыве Вселенная была симметрична и однородна. По мере остывания в ней нарушается одна симметрия за другой, что создает возможности для существования все большего и большего разнообразия структур. Феномен жизни естественно вписывается в эту картину. Жизнь - это тоже нарушение симметрии".

1. Человек как пример симметричного существа

Абсолютно симметричного человека, скорее всего, не существует. У каждого, разумеется, обнаружится родинка, прядь волос или какая-нибудь другая деталь, нарушающая внешнюю симметрию. Левый глаз никогда не бывает в точности таким, как правый, да и уголки рта находятся на разной высоте, во всяком случае, у большинства людей.

Но это лишь мелкие несоответствия.  Никто не усомнится, что внешне человек построен симметрично: левой руке всегда соответствует правая, и обе руки совершенно одинаковы.

Но, если бы наши руки и в самом деле были совершенно одинаковы, мы могли бы в любой момент поменять их. Было бы возможно, скажем, путем трансплантации пересадить левую ладонь на правую руку, или, проще, левая перчатка подходила бы тогда к правой руке, но на самом деле это не так (Рис.1).

Всем известно, что сходство между нашими руками, ушами, глазами и другими частями тела такое же, как между предметом и его отражением в зеркале.

Многие художники обращали пристальное внимание на симметрию и пропорции человеческого тела, во всяком случае, до тех пор, пока ими руководило желание в своих произведениях как можно точнее следовать природе. Известны каноны пропорций, составленные Альбрехтом Дюрером (автопортрет рис. 2)  и Леонардо да Винчи (автопортрет рис. 3).  Согласно этим канонам, человеческое тело не только симметрично, но и пропорционально. Леонардо открыл, что тело вписывается в круг и в квадрат. Дюрер занимался поисками единой меры, которая находилась бы в определенном соотношении с длиной туловища или ноги (такой мерой он считал длину руки до локтя).

В современных школах живописи в качестве единой меры чаще всего принимается размер головы по вертикали. С известным допущением можно считать, что длина туловища превосходит размер головы в восемь раз. На первый взгляд это кажется странным. Но нельзя забывать, что большинство высоких людей отличаются удлиненным черепом и, наоборот, редко можно встретить низкорослого толстяка с головой удлиненной формы.

Размеру головы пропорциональна не только длина туловища, но и размеры других частей тела. По этому принципу построены все люди, оттого-то мы в общем похожи друг на друга. Однако наши пропорции согласуются лишь приблизительно, а потому люди лишь похожи, но не одинаковы. Во всяком случае, все мы симметричны! К тому же некоторые художники в своих произведениях особенно подчеркивают эту симметрию.

И в одежде человек тоже, как правило, старается поддерживать впечатление симметричности: правый рукав соответствует левому, правая штанина — левой.

Пуговицы на куртке и на рубашке сидят ровно посередине, а если и отступают от нее, то на симметричные расстояния.

Но на фоне этой общей симметрии в мелких деталях мы умышленно допускаем асимметрию, например, расчесывая волосы на косой пробор — слева или справа. Или, скажем, помещая на костюме асимметричный кармашек на груди. Или надев кольцо на безымянный палец только одной руки. Лишь на одной стороне груди носятся ордена и значки (чаще на левой).

Полная безукоризненная симметрия выглядела бы нестерпимо скучно. Именно небольшие отклонения от нее и придают характерные, индивидуальные черты.

И вместе с тем порой человек старается подчеркнуть, усилить различие между левым и правым. В средние века мужчины одно время щеголяли в панталонах со штанинами разных цветов (например, одной красной, а другой черной или белой). В не столь отдалённые дни были популярны джинсы с яркими заплатами или цветными разводами. Но подобная мода всегда недолговечна. Лишь тактичные, скромные отклонения от симметрии остаются на долгие времена.

2. Определение симметрии

В начале работы человек назвался существом симметричным.  И во всех случаях, когда отрезки прямой, плоские фигуры или пространственные тела подобными, но без дополнительных действий совместить их нельзя, «практически» нельзя, мы встречаемся с явлением симметрии. Эти элементы соответствовали друг другу, как картина и ее зеркальное отражение. Как левая и правая рука. Если мы возьмем на себя труд заглянуть в «Современный словарь иностранных слов», то обнаружим, что под симметрией понимается «соразмерность, полное соответствие в расположении частей целого относительно средней линии, центра... такое расположение точек относительно точки (центра симметрии), прямой (оси симметрии) или плоскости (плоскости симметрии), при котором каждые две соответствующие точки, лежащие на одной прямой, проходящей через центр симметрии, на одном перпендикуляре к оси или плоскости симметрии, находятся от них на одинаковом расстоянии...».

И это еще не все, как часто бывает с иностранными словами, значений у слова «симметрия» существует множество. В том-то и состоит преимущество подобных выражений, что их можно использовать в случае, когда не хотят дать однозначное определение или просто не знают четкого различия между двумя предметами.

Термин «соразмерный» мы применяем по отношению к человеку, картине или какому-либо предмету, когда мелкие несоответствия не позволяют употребить слово «симметричный».

Давайте также заглянем в Энциклопедический словарь. Мы обнаружим здесь шесть статей, начинающихся со слова «симметрия». Кроме того, это слово встречается во множестве других статей.

В математике слово «симметрия» имеет не меньше семи значений (среди них симметричные полиномы, симметрические матрицы). В логике существуют симметричные отношения. Важную роль играет симметрия в кристаллографии. Интересно интерпретируется понятие симметрии в биологии. Там описывается шесть различных видов симметрии. Мы узнаем, например, что гребневики  дисимметричны (рис.4), а цветки львиного зева отличаются билатеральной симметрией (рис.5).  Мы обнаружим, что симметрия существует в музыке и хореографии (в танце). Она зависит здесь от чередования тактов. Оказывается, многие народные песни и танцы построены симметрично.

Основной интерес для меня представляет зеркальная симметрия — симметрия левого и правого. Можно увидеть, что это кажущееся ограничение уведет далеко в мир науки и техники и позволит время от времени подвергать испытанию способности мозга (так как именно он запрограммирован на симметрию).

2.1.  Зеркальная симметрия

Порассуждаем о зеркальной симметрии. Легко установить, что каждая симметричная плоская фигура может быть с помощью зеркала совмещена сама с собой. Достойно удивления, что такие сложные фигуры, как пятиконечная звезда (рис. 6)  или равносторонний пятиугольник, тоже симметричны. Как это вытекает из числа осей, они отличаются именно высокой симметрией. И наоборот: не так просто понять, почему такая, казалось бы, правильная фигура, как косоугольный  параллелограмм (рис. 7), несимметрична. Сначала представляется, что параллельно одной из его сторон могла бы проходить ось симметрии. Но стоит мысленно попробовать воспользоваться ею, как сразу убеждаешься, что это не так. Несимметрична и спираль (рис. 8).

В то время как симметричные фигуры полностью соответствуют своему отражению, несимметричные отличны от него: из спирали, закручивающейся справа налево, в зеркале получится спираль, закручивающаяся слева направо.

Но то, что здесь выглядит шуткой, в практической жизни доставляет массу сложностей не только детям, но и взрослым. Нередко дети пишут некоторые буквы «навыворот». Латинское N выглядит у них как И, а S и Z получаются наоборот. Если мы внимательно посмотрим на буквы латинского алфавита (а это ведь тоже, в сущности, плоские фигуры!), то увидим среди них симметричные и несимметричные. У таких букв, как N , S , Z , нет ни одной оси симметрии (равно как и у F , G , J , L , Р, О и R ). Но N,S и Z особенно легко пишутся «наоборот», так-так имеют центр симметрии. У остальных прописных букв есть как минимум по одной оси симметрии. Буквы А, М, Т, U , V, W и Y можно разделить пополам продольной осью симметрии. Буквы В, С, D , Е, I, К — поперечной осью симметрии. У букв Н, О и Х имеется по две взаимно перпендикулярные оси симметрии (тот же эксперимент можно провести с любым алфавитом европейской группы).

Если вы поместите буквы перед зеркалом, расположив его параллельно строке, то заметите, что те из них, у которых ось симметрии проходит горизонтально, можно прочесть и в зеркале. А вот те, у которых ось расположена вертикально или отсутствует вовсе, становятся «нечитабельными».

Встречаются дети, которые пишут левой рукой, и все буквы получаются у них в зеркальном, отраженном, виде. «Зеркальным шрифтом» написаны дневники Леонардо да Винчи. Вероятно, не существует веского основания, заставляющего нас писать буквы именно так, как это делаем мы. Вряд ли зеркальным шрифтом труднее овладеть, чем обычным.

Правописание от этого не стало бы проще, а некоторые слова, как, например, ОТТО, вообще не изменились бы. Существуют языки, в которых начертание знаков опирается на наличие симметрии. Так, в китайской письменности иероглиф означает именно истинную середину.

В архитектуре оси симметрии используются как средства выражения архитектурного замысла. В технике оси симметрии наиболее четко обозначаются там, где требуется оценить отклонение от нулевого положения, например, на руле грузовика или на штурвале корабля.

В трехмерном мире пространственных тел, где мы с вами живем, существуют плоскости симметрии. «Зеркало» всегда имеет на одно измерение меньше, чем мир, который оно отражает. При взгляде на круглые тела сразу видно, что они имеют плоскости симметрии, но вот сколько именно — решить не всегда просто.

Поставим перед зеркалом шар и начнем его медленно вращать: изображение в зеркале никак не будет отличаться от оригинала, конечно, в том случае, если шар не имеет каких-либо отличительных признаков на своей поверхности. Шарик для пинг-понга обнаруживает бессчетное множество плоскостей симметрии. Возьмем нож, отрежем половину шара и поместим ее перед зеркалом. Зеркальное отражение вновь дополнит эту половинку до целого шарика.

Но если мы возьмем глобус и рассмотрим его симметрию, учитывая нанесенные на нем географические контуры, то мы не отыщем ни одной плоскости симметрии.

На плоскости фигурой с бесчисленным множеством осей симметрии был круг.

Поэтому нас не должно удивлять, что в пространстве аналогичные свойства присущи шару. Но если круг является единственным в своем роде, то в трехмерном мире имеется целый ряд тел, обладающих бесконечным множеством плоскостей симметрии: прямой цилиндр с кругом в основании, конус с круговым или полусферическим основанием, шар или сегмент шара. Или возьмем примеры из жизни: стакан, конусообразный фунтик с мороженым, кусочек проволоки, труба…(рис. 9).

Если мы повнимательней присмотримся к этим телам, то заметим, что все они так или иначе состоят из круга, через бесконечное множество осей симметрии которого проходит бесчисленное множество плоскостей симметрии. Большинство таких тел (их называют телами вращения) имеют, конечно, и центр симметрии (центр круга), через который проходит, по меньшей мере, одна ось симметрии.

Отчетливо видна, например, ось у конуса фунтика с мороженым. Она проходит от середины круга (торчит из мороженого!) до острого конца конуса-фунтика. Совокупность элементов симметрии какого-либо тела мы воспринимаем как своего рода меру симметрии. Шар, без сомнения, в отношении симметрии является непревзойденным воплощением совершенства, идеалом. Древние греки воспринимали его как наиболее совершенное тело, а круг, естественно, как наиболее совершенную плоскую фигуру.

В целом эти представления вполне приемлемы и по сей день. Далее греческие философы делали вывод о том, что Вселенная, несомненно, должна быть построена по образцу математического идеала. Ясно, что у древних греков еще не было фунтиков с мороженым! Иначе бы такой прозаический предмет, имеющий бесчисленное множество плоскостей симметрии, мог бы нарушить их стройную систему.

Если для сравнения мы рассмотрим куб (рис.10), то увидим, что он имеет девять плоскостей симметрии. Три из них делят его грани пополам, а шесть проходят через вершины. По сравнению с шаром это, конечно, маловато.

А имеются ли тела, занимающие по числу плоскостей промежуточное положение между шаром и кубом? Без сомнения — да. Стоит только вспомнить, что круг, в сущности, как бы состоит из многоугольников. Мы проходили это в школе при вычислении числа π . Если над каждым n - угольником мы воздвигнем n - угольную пирамиду, то сможем провести через нее n плоскостей симметрии.

Можно было бы придумать 32-гранную фигуру, которая имела бы соответствующую симметрию!

Но если мы, тем не менее, воспринимаем куб как более симметричный предмет, чем пресловутый фунтик с мороженым, то это связано со строением поверхности. У шара поверхность всего одна. У куба их шесть — по числу граней, и каждая грань представлена квадратом. Фунтик с мороженым состоит из двух поверхностей: круга и конусообразной оболочки.

Более двух тысячелетий (вероятно, благодаря непосредственному восприятию) традиционно отдается предпочтение «соразмерным» геометрическим телам. Греческий философ Платон (427—347 до н. э.) открыл, что из правильных плоских фигур можно построить только пять объемных тел (рис. 11).

Из четырех правильных (равносторонних) треугольников получается тетраэдр (четырехгранник). Из восьми правильных треугольников можно построить октаэдр (восьмигранник) и, наконец, из двадцати правильных треугольников — икосаэдр. И только из четырех, восьми или двадцати одинаковых треугольников можно получить объемное геометрическое тело. Из квадратов можно составить только одну объемную фигуру — гексаэдр (шестигранник), а из равносторонних пятиугольников — додекаэдр (двенадцатигранник).

А что в нашем трехмерном мире полностью лишено зеркальной симметрии?

Если на плоскости это была плоская спираль, то в нашем мире таковыми, безусловно, будут спиральный бур (рис. 12) или винтовая лестница (рис. 13).  Кром е того, существуют еще тысячи асимметричных вещей и предметов в окружающей нас жизни и технике. Как правило, винт имеет правую резьбу. Но иногда встречается и левая. Так, для большей безопасности баллоны с пропаном снабжены левой резьбой, чтобы к ним нельзя было привинтить вентиль-редуктор, предназначенный, например, для баллона с другим газом.

Между шаром и кубом, с одной стороны, и винтовой лестницей, с другой, существует еще масса степеней симметрии. От куба можно постепенно отнимать плоскости симметрии, оси и центр, пока мы не придем к состоянию полной асимметрии.

Почти у конца этого ряда симметрии стоим, мы, люди, с всего единственной плоскостью симметрии, разделяющей наше тело на левую и правую половины. Степень симметрии у нас такая же, как, например, у обычного полевого шпата (минерала, образующего вместе со слюдой и кварцем гнейс или гранит).

2.2. Зеркальное отражение

Конечно, все мы знаем, как отражает зеркало, но, если только потребуется описать это точно, несомненно, возникнут трудности. Как правило, мы довольны собой, если что-то представляем себе хотя бы «в принципе». А подробности, которые учителя физики объясняли нам на доске с помощью мела и линейки, всякий нормальный школьник  старается забыть, и, чем скорее, тем лучше.

Каждый ребенок, исполненный удивления перед окружающим миром, непременно заинтересуется, каким образом зеркало отражает его. Но взрослые обычно отвечают в подобных случаях: «Не задавай глупых вопросов!» Человек сникает, начинает стесняться, удивление его постепенно затухает, и он старается больше не проявлять его до конца жизни (а жаль!).

Но вспомним о словах Бертольда Брехта: «Глупых вопросов не бывает, бывают только глупые ответы».

Конечно, людей можно разделить на дураков и умных, на больших и маленьких, они разнятся по языку, вероисповеданию, мировоззрению. Можно представить себе и такой способ подразделения:

1) люди, которые никогда не удивляются;

2) люди, которые удивляются, но не задумываются над удивившим их явлением;

3) люди, которые, удивившись, спрашивают «а почему?»;

4) люди, которые, удивившись, обращаются к числу и мере.

В зависимости от условий жизни, традиций, степени образованности встречаются и все возможные «промежуточные» ступени. Мыслители античности и средневековья изумлялись миру и думали о его тайнах. Но им лишь изредка выпадал случай измерить какое-либо явление.

Только в эпоху Возрождения, то есть в XVI в., люди пришли к убеждению, что измерение лучше слепой веры или схоластических рассуждений. Этому способствовали экономические интересы, удовлетворить которые можно было только путем развития естественных наук, путем количественных измерений. (Мы видим, что, по существу, меновая стоимость «измерялась» с помощью денег.) Для XVI в. оптика была ультрасовременной наукой. Из стеклянного шара, наполненного водой, которым пользовались как фокусирующей линзой, возникло увеличительное стекло, а из него микроскоп и подзорная труба. Крупнейшей в те времена морской державе Нидерландам требовались для флота хорошие подзорные трубы, чтобы загодя рассмотреть опасный берег или вовремя уйти от врага. Оптика обеспечивала успех и надежность навигации. Поэтому именно в Нидерландах многие ученые занимались ею. Голландец Виллеброрд, Снелль ван Ройен, именовавший себя Снеллиусом (1580 - 1626), наблюдал (что, впрочем, видели и многие до него), как тонкий луч света отражается в зеркале. Он просто измерил угол падения и угол отражения луча (чего до него не делал никто) и установил закон: угол падения равен углу отражения.

Теперь, задним числом, этот закон кажется нам чем-то само собой разумеющимся. Но в те времена он имел огромное, можно сказать, мировоззренческое значение, которое будило философскую мысль вплоть до XIX века.

Закон отражения Снеллиуса объясняет явление зеркального отражения.

Каждой точке предмета соответствует её отражение в зеркале, и потому в нём наш правый глаз перемещается на левую сторону. Вследствие этого переноса точек предметы, расположенные дальше, в зеркале тоже кажутся уменьшенными в соответствии с законами перспективы. Технически мы можем реконструировать зеркальное изображение так, словно оно расположено за поверхностью стекла. Но это только кажущееся восприятие. Не случайно животные и маленькие дети часто заглядывают за зеркало; они верят, что изображение таится сзади, словно картина, видимая за окном. Факт перестановки левого и правого правильно осознается только взрослыми.

3. Асимметрия

3.1. Асимметрия внутри симметрии

Собственно говоря, симметрия и асимметрия должны бы взаимно исключать одна другую — как черное и белое или как день и ночь. Так оно и происходит на самом деле, пока симметрия или ее антипод рассматриваются по отношению к одному и тому же телу.

В своих размышлениях над картиной мироздания человек с давних времен активно использовал идею симметрии. Древние греки полагали, что Вселенная симметрична просто потому, что симметрия прекрасна. Исходя из соображений симметрии, они высказали ряд догадок. Так, Пифагор (V век до н. э.), считая сферу наиболее симметричной и совершенной формой, делал вывод о сферичности Земли и о ее движении по сфере. Идея симметрии часто являлась отправным пунктом в гипотезах и теориях ученых прошлых веков, веривших в математическую гармонию мироздания и видевших в этой гармонии проявление божественного начала.

В настоящее время в науке преобладают определения  указанных  категорий  на  основе  перечисления   их   важнейших признаков. Например, симметрия определяется как совокупность свойств:   порядка,   однородности,    соразмерности,    пропорциональности,

гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется как  отсутствие  признаков  симметрии,  как   беспорядок,   несоразмерность, неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода ее определениях, естественно, рассматриваются как равноправные, одинаково существенные, и в отдельных конкретных случаях при установлении симметрии какого-либо явления можно пользоваться любым из них. Так, в одних случаях симметрия — это однородность, а в других — соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые  и  новые признаки. Поэтому определения симметрии такого рода всегда неполны. То же можно сказать и о существующих определениях  асимметрии.  Очевидно, что в определениях понятий, сформулированных по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых, отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов.

Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность,  друг из  друга  не  следуют.  Сказанное,  однако,   не   означает   бесполезности вышеуказанных определений  симметрии  и  асимметрии.  Наоборот,  они  весьма полезны и необходимы. Без них нельзя дать и более общее определение категорий симметрии и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений симметрии и асимметрии развиваются определения более общего характера, сущность которых — в соотнесении частных признаков симметрии  и  асимметрии  к  определенным  всеобщим   свойствам   движущейся материи.

 К общим определениям понятий симметрии и асимметрии можно подойти  исходя из следующих положений:

• во-первых, нужно признать, что эти понятия относятся  ко  всем  известным нам атрибутам материи, что они отражают взаимные связи между ними;
• во-вторых, эти понятия основываются на диалектике соотношения тождества и различия, существующей  как  между  атрибутами  материи,  так  и  между  их состояниями и признаками;
• в-третьих, нужно иметь в  виду,  что  единство  симметрии  и  асимметрии представляет   собой   одну   из   форм   проявления   закона   единства   и взаимоисключения противоположности.

Правильность  этих  отправных  положений может быть доказана как выводом их  из  многочисленных  частных  определений симметрии  и  асимметрии,  так  и  правильностью   их   следствий,   т.   е. необходимостью  и   всеобщностью   определений   симметрии   и   асимметрии, полученных на их основе.

3.2. Асимметрия вокруг нас

Симметрия в искусстве - это волнующая тема, которая заслуживает особого разговора. Поэтому мы ограничимся только замечанием о том, что следование принципу зеркальной симметрии в искусстве иногда приводило к парадоксальным результатам. Так, на мозаике Киевского собора св. Софии  под знаменитой Орантой (рис. 14) изображены два зеркально-симметричных Христа, обращенных лицом к ученикам. Правда, при ближайшем рассмотрении мы увидим, что симметрия здесь лишь приблизительная, так как один Христос преломляет хлеб, а другой разливает вино. Этот прием, позволяющий одновременно изобразить два важнейших момента тайного причастия, безусловно, является слишком "математичным" и со временем был вытеснен более реалистическим изображением тайной вечери.

Примером удивительного сочетания симметрии и асимметрии является Покровский собор (храм Василия Блаженного) на Красной площади в Москве (рис. 15).  Эта причудливая композиция из десяти храмов, каждый из которых обладает центральной симметрией, в целом не имеет ни зеркальной, ни поворотной симметрии. Симметричные архитектурные детали собора кружатся в своем асимметричном, беспорядочном танце вокруг его центрального шатра: они то поднимаются, то опускаются, то как бы набегают друг на друга, то отстают, создавая впечатление радости и праздника. Без своей удивительной асимметрии храм Василия Блаженного просто немыслим!

Художественное конструирование. В художественном  конструировании широко применяется как симметрия, так и асимметрия, т. е. сочетания и расположение элементов, при котором ось или плоскость симметрии отсутствует. В такой композиции особенно важна зрительная уравновешенность всех ее частей по массе, фактуре, цвету.

Асимметрия — принцип организации, который основывается на динамической уравновешенности элементов, на впечатлении движения их в пределах целого.

Если симметричная форма воспринимается легко и сразу, то асимметричная читается постепенно.

Симметрия и асимметрия помогают достигать художественной  выразительности статичных и динамичных композиций. В художественном конструировании постоянно приходится сталкиваться с самыми различными проявлениями симметрии и асимметрии, потому что при их помощи устанавливается определенный порядок размещения форм, связанный с назначением предмета, с той работой, которую он должен выполнять и красотой самого предмета (рис. 16, 17).

Для того чтобы провести анализ симметричной и асимметричной форм в природном и техническом аналогах, необходимо подобрать сходные не только по внешнему виду, но и по конструктивной обусловленности, ярко выраженные образцы. При помощи осевых и формообразующих линий можно убедиться в том, что асимметричная форма для одних изделий столь же объективный результат решения функциональной задачи, каким для других является форма симметричная. Абсолютной симметрии и асимметрии в природе практически не существует. Что же касается формы станков, машин, приборов, различного оборудования, как правило, она неизбежно имеет некоторые отступления от симметрии, вызванные условиями их функционирования и особенностями конструкции.

Главное условие целостности асимметричной формы — это ее композиционная уравновешенность. Поэтому в ходе анализа таких форм прежде необходимо проверить их на условных композициях из геометрических тел.

Мода и дизайн одежды. Асимметрия - один из самых популярных на сегодняшний день элементов в дизайне модной одежды. Это как бы срезанные наискось плечи, одна бретель вместо обычных двух, неровные края платья или юбки. Всем явно "приелась" гармоничная и такая правильная симметрия, а началось все благодаря таким бунтарям от моды как англичане Александр МакКуин и Джон Гальяно. Теперь перекошенные вещи стали незаменимы для тех, кто следит за последними тенденциями. Причем это относится и к аксессуарам - "неровные" сумки, ремни, пояса, асимметричная набивка, украшения и отделка. Мода - как маятник, который, качнувшись в одну сторону (изобилие золотых пуговиц, отделки и ярких тканей в 80-е), пошел затем в совсем другую (минимализм и сдержанность во всем в 90-е). Сегодня настало время чего-то отличного от всего, что мы видели ранее, и асимметрия как нельзя лучше это демонстрирует (рис.18-23).

Стрижки и прически. Важным средством достижения единства и художественной выразительности композиции прически также является симметрия.  В прическе симметричными являются тождественные элементы, одинаково расположенные по отношению к какой-либо точке или оси. Наличие симметрии в композиции моделей причесок создает впечатление уравновешенности (рис.24). Что мы понимаем, произнося слово симметрия? Симметрия – это абсолютное равенство двух частей единого целого относительно мнимой проведенной осевой плоскости. Говоря о симметрии частей, мы подразумеваем полное равенство и соответствие величины и расположения всех без исключения элементов, которые входят в прическу. При этом мнимой осевой плоскостью в парикмахерском деле принято считать визуальную вертикальную плоскость, проходящую через центр затылка и лица.

Симметрия – это один из способов достижения гармонии в композиции, что позволяет посредством прически передать спокойное и уравновешенное состояние отдельно взятых частей и элементов единой формы, где ось симметрии является линией равновесия.
Практика моделирования причесок нередко использует принцип частичной симметрии или полной асимметрии (рис. 25-26). В этих двух случаях применяют необходимое условие – уравновешенность ассиметричных составляющих по отношению к линии равновесия или к оси симметрии. Соблюдение этого условия достигается путем введения в форму прически отдельных декоративных и конструктивных деталей, а также украшающих элементов, которые позволяют зрительно уравновесить асимметрию прически.

Для придания динамичности моделям причесок применяется асимметрия, которая может быть заложена как в технологии стрижки или окраски, так и при моделировании объемной формы прически. Асимметрия в прическах имеет ряд преимуществ: вносит в модель новизну и не традиционность решения, придает нарядность и помогает тонко скрывать многие дефекты в строении головы и лица. Главное условие целостности асимметричной формы прически — это ее композиционная уравновешенность.

Дизайн интерьера. Независимо от того, какой вы выбрали стиль интерьера для своего жилища, ему можно задать свой характерный тон и настроение. И все это благодаря лишь двум законам дизайна – симметрии и асимметрии, которые, кстати говоря, можно совмещать.

Симметричная связь между элементами обстановки вносит некоторую размеренность и спокойствие в восприятие всего интерьера в целом, уравновешивает пространство и располагает к упорядоченному образу жизни (рис. 27-28). Для организации симметрии в пространстве необходимо лишь наличие одной или нескольких осей, относительно которых и будет выстраиваться картина. Дизайнерским ходом, усиливающим симметрию интерьера, является расположение зеркала напротив окна.

Если же Вам больше импонирует динамизм, разнообразность и свобода движения, то Вам следует остановиться на более сложном построении интерьера в асимметрии (рис. 29-30). Не стоит думать, что это так просто, ведь построить гармонично не расчерченный под линейку интерьер гораздо сложнее. Эта сложность и вносит в пространство определенный шарм.

Если симметричное построение в какой-то мере строго и парадно, то асимметрия вносит в интерьер свободу, движение, динамизм. Уже незначительные отклонения, внесенные в симметричную схему, делают элемент интерьера или интерьер в целом более сложным и интересным. Например, когда изменены отметки нескольких горизонтальных полок при сохранении общей симметричной сетки стеллажа либо в композицию добавлен элемент, разбивающий симметрию (рис. 31).

В основе асимметричного построения жилого интерьера чаще всего лежит функциональная потребность, т.е. необходимость обеспечить площади для самых разных рабочих операций. При этом свобода и гибкость асимметричного построения особенно хорошо различима при сопоставлении с включеннными в его состав симметричными группами, если симметричная группа невелика по размеру и играет второстепенную роль. Часто оба приема сочетаются в композициях на равных.

         Трудно найти человека, который не имел бы какого-либо представления о симметрии, которая объясняет наличие определенного  порядка, закономерность в расположении частей чего-либо.

 Симметрия в живописи. Картина – это отнюдь не цветная фотография. Взаимное расположение фигур, сочетание поз и жестов, выражения лиц, чередование цвета, комбинация тонов – все это тщательно обдумывается художником, заботящемся об определенном эмоциональном воздействии картины на зрителя. Используя асимметричные элементы, художник должен создать нечто, обладающее в целом скрытой симметрией. О своей работе над картинами В.И. Суриков писал так: «А какое время надо, чтобы картина утряслась так, чтобы переменить ничего нельзя было. Действительные размеры каждого предмета найти нужно. Важно найти замок, чтобы все части соединить. Это - математика».

Для анализа симметрии изображения можно обратиться к хранящейся в Эрмитаже картине гениального итальянского художника и ученого Леонардо да Винчи «Мадонна Литта» (рис. 32).

Можно обратить внимание: фигуры мадонны и ребенка вписываются в правильный треугольник, который вследствие своей симметричности особенно ясно воспринимается глазом зрителя. Благодаря этому мать и ребенок сразу же оказываются в центре внимания, как бы выдвигаются на передний план. Голова мадонны совершенно точно, но в то же время естественно помещается между двумя симметричными окнами на заднем плане картины. В окнах просматриваются спокойные горизонтальные линии пологих холмов и облаков. Все это создает ощущение покоя и умиротворенности, усиливаемое за счет гармоничного сочетания голубого цвета с желтоватыми и красноватыми тонами.

Внутренняя симметрия картины хорошо ощущается. А что можно сказать об асимметрии? Асимметрия хорошо проявляется, например, в тельце ребенка, которое неправильно разрезает упомянутый выше треугольник. И, кроме того, есть одна в высшей степени выразительная деталь. Благодаря взаимной замкнутости, завершенности линий фигуры мадонны создается впечатление полного безразличия мадонны к окружающему миру, и в частности к зрителю. Мадонна вся сосредоточена на младенце; она нежно держит его, нежно глядит на него. Все ее мысли сосредоточены только на нем. И вдруг вся эта замкнутость картины в себе исчезает, как только мы встречаемся со взглядом ребенка. Именно здесь внутренняя уравновешенность композиции нарушается: спокойный и внимательный взгляд обращен прямо на зрителя, через него картина раскрывается во внешний мир.

Получается, что всякий раз, когда мы, восхищаемся тем или иным произведением искусства, говорим о гармонии, красоте, эмоциональности воздействия, мы тем самым касаемся одной и той же неисчерпаемой проблемы – проблемы соотношения между симметрией и асимметрией.

Как правило, находясь в музее или в концертном зале, мы не задумываемся над этой проблемой. Ведь нельзя одновременно и ощущать, и анализировать ощущение.

Пример с картиной Леонардо да Винчи убеждает в том, что анализ симметрии – асимметрии все же очень полезен: картина начинает восприниматься острее.

Заключение

На первый взгляд, формулировка симметрии пространства довольно проста, однако, в сочетании с современными теориями физики, химии и других естественных наук, а также новыми открытиями (например, нейтрино) в этих областях становится всё более запутанной. Но несомненно одно: мир симметричен. В нём найдены в принципе зеркальное соответствие каждому изображению.

Но как и в любом деле, абсолютизация одной идеи не могла привести ни к чему хорошему. Симметрия в искусстве не составила исключения. "Красота неправильная", асимметрия, стала пробивать себе дорогу в искусстве, ибо сведение красоты только к симметрии ограничивало богатство ее внутреннего содержания, лишало красоту жизни. Истинную красоту можно постичь только в единстве противоположностей. Вот почему именно единство симметрии и асимметрии определяет сегодня внутреннее содержание прекрасного в искусстве. Симметрия воспринимается нами как покой, скованность, закономерность, тогда как асимметрия означает движение, свободу, случайность. Итак, "сфера влияния" симметрии (а значит, ее антипода - асимметрии), поистине безгранична. Природа - наука - искусство. Всюду мы видим противоборство, а часто и единство двух великих начал - симметрии и асимметрии, которые во многом и определяют гармонию природы, мудрость науки и красоту искусства.

Симметрия и асимметрия буквально пронизывают весь окружающий нас мир.

Симметрия и асимметрия: два слагаемых одного целого – красоты.

Действительно, знание геометрических законов природы имеет огромное практическое значение. Мы должны не только научиться понимать эти законы, но и заставлять их служить нам на пользу.

Информационные источники

1. Гильде В.   Зеркальный мир. — М.: Мир, 1982г
2. Современный словарь иностранных слов. — М.: Русский язык, 19 93г
3. Советский энциклопедический словарь — М.: Советская энциклопедия, 1980 г
4. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии — М.: Мысль, 1974г
5. asdam.livejournal.com
6. club.itdrom.com
7. http://allprezentation.ru/news/98http://ngkir2007.narod.ru/0708/4_form/27_02_08/27_02_08.htm
8. http://images.yandex.ru/yandsearch?rpt=simage&img_url
9. http://letopisi.ru/index.php/
10. http://vip4you.ucoz.ru/publ/dizajn/zolotoe_sechenie/9-1-0-15
11. http://www.butik.com.ua
12. http://www.manwb.ru/articles/arte/painting/petrov_vodkin/
13. reshivse.ru
14. www.celticforest.ru
15. www.detsad.ru
16. www.ktp.ru
17. www.loveorigami.info
18. www.molsib.info
19. www.nemiga.info
20. www.vsetsaritsa.ru
21. www.vitusltd.ru