Технологическая карта уроков 8го класса по геометрии. Автор Атанасян
календарно-тематическое планирование по геометрии (8 класс)

Цель деятельности учителя

Создать условия для рассмотрения свойства вписанного четырехугольника и показать его применение при решении задач

Термины и понятия

Описанная около четырехугольника окружность, вписанный четырехугольник

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Владеют базовым понятийным аппаратом по основным разделам содержания

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий; умеют применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач.

Регулятивные: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности.

Коммуникативные: формулируют, аргументируют и отстаивают свое мнение.

Личностные: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении геометрических задач

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); парная (П); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные

ресурсы

• Учебник

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить домашнее задание

(Ф) К доске вызвать двоих учеников и проверить выполнение домашнего задания.

№ 707.

Решение:

В ∆АВС ∠A = ∠C = (180° - 120°) : 2 = 30°. Тогда ∪BC = 60° => ∠BOC = 60° => ∆ОВС - равносторонний => ОВ = ОС = r = 8 см => диаметр равен 16 см.

Ответ: 16 см.

№ 711.

Решение:

Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров, а радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до любой из вершин треугольника.

В прямоугольном треугольнике центр описанной около него окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен половине гипотенузы

II этап. Решение задач по готовым чертежам

Цель деятельности

Совместная деятельность

Повторить изученный материал и подготовить учащихся к восприятию новой темы

(Ф)

Найти: ∠B.

Дано: АВ : ВС = 1 : 2; АС = 5√5.

Доказать: ABCD - прямоугольник.

Найти: АВ, ВС.

Дано: MN = NK = 4.

Найти: OK.

Дано: ∆АВС - равносторонний. OK = 3

Найти: АВ.

Дано: ∆АВС – равносторонний.

Найти: АВ.

Найти: DC.

Найти: углы четырехугольника ABCD.

Найти: ∠C, ∠D.

Найти: ∠A + ∠C.

Ответы: 

III этап. Изучение нового материала

Цель деятельности

Совместная деятельность

Рассмотреть свойство вписанного четырехугольника

(Ф). 1. Объяснить, что около четырехугольника не всегда можно описать окружность, на примерах ромба, параллелограмма, не являющихся квадратом и прямоугольником соответственно.

2. Для доказательства теоремы о свойстве вписанного четырехугольника учащимся можно предложить самостоятельно решить задачу с последующим обсуждением.

Задача: Докажите, что в любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

3. Для доказательства утверждения, обратного свойству вписанного четырехугольника, предложить задание:

Сформулируйте утверждение, обратное свойству вписанного четырехугольника, и выясните его истинность (можно по учебнику).

Теорема. Если сумма противолежащих углов четырехугольника равна 180°, то около него можно описать окружность

IV этап. Закрепление изученного материала

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Совершенствовать навыки решения задач

(Ф) 1. Решить № 708 (а), 710.

(И) 2. Выполнить самостоятельную работу.

Вариант I

Центр описанной окружности лежит на высоте равнобедренного треугольника и делит высоту на отрезки 5 см и 13 см. Найдите площадь этого треугольника.

Вариант II

Меньший из отрезков, на которые центр описанной окружности равнобедренного треугольника делит его высоту, равен 8 см, а основание треугольника равно 12 см. Найдите площадь этого треугольника

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Оцените свою работу на уроке.

- Какой этап урока оказался для вас наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: № 708 (б), 709; № 729 (по желанию)

Цель деятельности учителя

Создать условия для систематизации теоретического материала главы; совершенствовать навыки решения задач по теме «Окружность»

Термины и понятия

Описанная окружность, вписанная окружность, описанный четырехугольник, вписанный четырехугольник

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия, результаты и методы для решения задач

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.

Личностные: проявляют познавательный интерес к предмету

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); парная (П)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной, парной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить выполнение домашнего задания

(Ф) 1. Анализ самостоятельной работы.

2. Теоретический тест (см. Ресурсный материал). Тест проводится с целью систематизации теоретического материала. После завершения выполнения работы проводится взаимопроверка. Учитель выводит на экран правильные ответы

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

(Ф)

1. На доске и в тетрадях решить № 719 и 732.

(П). 2. Решить в парах задачу.

Найдите периметр прямоугольника, вписанного в окружность радиуса 7,5 см, если стороны прямоугольника относятся как 3 : 4

№ 719

∠ADC + ∠ADE = 180°, так как они смежные => ∠ADC = 180° - ∠ADE.

∠ADE - вписанный => ∠ADE = ∪AE : 2.

∠BAD - вписанный ∠BAD = ∪BD : 2.

В треугольнике ACD сумма углов равна 180° => ∠ACD = 180° - (∠CAD + ∠АDC) = 180° -(∠BAD + 180° - ∠ADE) = ∠ADE - ∠BAD = ∪AE : 2 - ∪ВD : 2 = (∪AE - ∪BD) : 2.

№ 732.

В четырехугольнике BCMH ∠C = 90°, ∠BHM= 90°. Сумма углов выпуклого (ыВ четырехугольника равна 360° => ∠C + ∠BHM= ∠B + ∠HMC = 180°, то есть около данного четырехугольника можно описать окружность, данные углы МНС и МВС опираются на одну и ту же дугу МС, поэтому ∠MHC = ∠MBC.

Решение:

Так как прямоугольник ABCD вписан в окружность, то его диагональ является 1 диаметром данной окружности, то есть АС = 2 ∙ 7,5 = 15 см.

∆АВС - прямоугольный, АВ : ВС = 3 : 4 по условию задачи (АВ = 3х, ВС = 4х), АС = 15 см.

По теореме Пифагора АС2 = АВ2+ ВС2, то есть (3х)2+ (4х)2 = 152, откуда х = 3, АВ = 9 см , ВС = 12 см, тогда PABCD = 2 ∙ (9 + 12) = 42 см.

Ответ: 42 см

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Оцените себя на каждом этапе урока.

- Какой этап оказался для вас наиболее сложным?

(И) Домашнее задание: домашняя самостоятельная работа (см. Ресурсный материал)

Цель деятельности учителя

Создать условия для систематизации теоретического материала главы, подготовки к контрольной работе; совершенствовать навыки решения задач по теме «Окружность»

Термины и понятия

Описанная окружность, вписанная окружность, описанный четырехугольник, вписанный четырехугольник, вписанные углы, центральные углы, дуги

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия и методы для решения задач

Познавательные: осознанно владеют логическими действиями определения понятий, обобщения, установления аналогий.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение, работать в группе.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для групповой работы

I этап. Решение задач

Цель деятельности

Совместная деятельность

Способствовать подготовке к контрольной работе путем решения задач разного уровня сложности

1. Собрать домашние самостоятельные работы.

(Г) 2. Каждой группе даются одинаковые задачи. Учащиеся решают их, затем проводится обсуждение и презентация решений.

Задача 1.

Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и AD так, что хорда АВ равна радиусу окружности, точка D делит полуокружность АС на две равные дуги. Найдите углы четырехугольника ABCD, если точки С и D лежат по разные стороны от диаметра АС.

Решение:

1) ∠ABC = ∠ADC = 90°, как вписанные углы, опирающиеся на диаметр.

2) ∆АОВ - равносторонний, так как АО = ВО как радиусы, а хорда АВ равна радиусу, тогда ∠BAO = 60°, ∠BCO = 30°.

3) Точка D делит полуокружность АС на две равные дуги AD и DC, поэтому хорды AD и DC равны, то есть ∆ADC - равнобедренный прямоугольный, поэтому ∠DAC =∠DCA = 45°.

4) ∠BAD = ∠BAC + ∠DAC = 60° + 45° = 105°.

5) ∠BCD = ∠BCO + ∠DCA = 30° + 45° = 75°.

Задача 2.

Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а высота, проведенная к нему, равна 12 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Решение:

∆AO2D - прямоугольный, по теореме Пифагора АО22 = AD2 + DO22. Точка O2 - центр описанной окружности - лежит на биссектрисе, медиане, высоте, а значит, на серединном перпендикуляре, проведенном к основанию.

Центр вписанной окружности также лежит на BD. АО1 - биссектриса ∠BAC, следовательно АВ : ВО1 = AD : DO1. По теореме Пифагора в ∆ABD: АВ2 = AD2 + BD2 = 81 + 144 = 225, значит, АВ = 15 см. Так как ВO2 = R, то:

Так как O1O2 < 0 => О1 лежит между точками В и O2, тогда DO1 - O1O2= 2,625 + 1,875 = 4,5 см

II этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И).

- Проанализируйте свою работу в группе, выражая это словами: «помощь», «вместе», «совет», «один», «помогли», «все», «посоветовал», «рассказывал», «подружились», «друг» и т. п.

(И) Домашнее задание: решить № 732, 725, 726; подготовиться к контрольной работе

Цель деятельности учителя

Создать условия для проверки знаний, умений и навыков учащихся по усвоению и применению изученного материала

Термины и понятия

Окружность, дуга окружности, радиус, вписанная окружность, описанная окружность

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют демонстрировать знание основных понятий, применять полученные знания для решения основных и качественных задач, контролировать процесс и результат учебной математической деятельности

Познавательные: умеют проводить сравнение, сериацию и классификацию по заданным критериям.

Регулятивные: вносят необходимые коррективы в действие после его завершения на основе учета характера сделанных ошибок; осуществляют самоанализ и самоконтроль.

Коммуникативные: учитывают разные мнения и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению предмета

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И); групповая (Г)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Выполнение контрольной работы

Цель деятельности

Задания для контрольной работы

Проверить знания, умения и навыки решения задач

Вариант I

1. Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и AD, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырехугольника ABCD и градусные меры дуг АВ, ВС, CD, AD.

2. Основание равнобедренного треугольника равно 18 см, а боковая сторона равна 15 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Вариант II

1. Отрезок BD - диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна ему. Найдите углы четырехугольника ABCD и градусные меры лут АВ, ВС, CD, AD.

2. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 9 см, а само основание равно 24 см. Найдите радиусы вписанной в треугольник и описанной около треугольника окружностей.

Вариант III (для более подготовленных учащихся)

1. МА и МВ - секущие, АС и BD - хорды окружности с центром О. Докажите, что ∠AOB = ∠AKB + ∠AMB.

2. Площадь равнобедренной трапеции ABCD с основаниями ВС и AD, описанной около окружности с центром О и радиусом 3 см, равна 60 см2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника OCD.

II этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(И). Домашнее задание: повторить главу V «Четырехугольники»

Цель деятельности учителя

Создать условия для организации повторения основных теоретических фактов по заданной теме

Термины и понятия

Выпуклые многоугольники, сумма углов выпуклого многоугольника, формулы площадей, параллелограмм, прямоугольник, трапеция, квадрат, ромб

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия, результаты и методы для решения задач

Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение, контролировать себя.

Личностные: проявляют ответственное отношение к учению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору дальнейшего образования

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Систематизировать ошибки, допущенные в контрольной работе

(Ф/И)

1. Разбор задач, с которыми не справились большинство учеников.

2. Работа над ошибками с использованием ответов и указаний к задачам контрольной работы по необходимости. Индивидуальная помощь учителя менее подготовленным учащимся

II этап. Тест на повторение

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень сформированности теоретических знаний

(Ф/И) Задания теста выполняются самостоятельно с последующей самопроверкой и обсуждением заданий, в которых допущены ошибки (см. Ресурсный материал)

III этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И)

- Оцените свою работу на уроке.

- Какие трудности возникли у вас и почему?

(И) Домашнее задание: повторить признаки подобия треугольников; решить задачи:

1) На стороне ВС прямоугольника взята точка М так, что AM = 13 см, АВ = 12 см, В = 20 см. Найдите: а) МС; б) площадь четырехугольника AMCD.

2) В треугольнике АВС АВ = АС. Высота ВМ равна 9 см и делит боковую сторону на два отрезка так, что АМ = 12 см. Найдите площадь и периметр треугольника

11

22

33

44

55

66

77

88

99

10

11

12

13

14

15

Вв

Аа

Бб

Бб

Вв

Аа

Вв

Бб

Бб

б

а

в

а

б

а

Цель деятельности учителя

Создать условия для организации повторения основных теоретических фактов по заданной теме

Термины и понятия

Подобные треугольники, сходственные стороны, пропорциональные отрезки

Планируемые результаты

Предметные умения

Универсальные учебные действия

Умеют применять изученные понятия и методы для решения задач

Познавательные: умеют видеть математическую задачу в контексте проблемной ситуации.

Регулятивные: умеют адекватно оценивать правильность или ошибочность выполнения учебной задачи, ее объективную трудность.

Коммуникативные: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение, контролировать себя.

Личностные: проявляют ответственное отношение к учению, готовность и способность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию, выбору дальнейшего образования

Организация пространства

Формы работы

Фронтальная (Ф); индивидуальная (И)

Образовательные

ресурсы

• Учебник.

• Задания для парной, индивидуальной работы

I этап. Актуализация опорных знаний учащихся

Цель деятельности

Совместная деятельность

Проверить правильность выполнения домашнего задания

(Ф/И) Двое желающих учащихся у доски показывают решение домашнего задания. Остальные решают устно задачи.

На рис. 1 точка О - центр окружности, СА - касательная к окружности, ∠ВАО = 20°.

Найдите: ∠BAC.

На рис. 2 точка О - центр окружности, АС и ВС - касательные к окружности, ∠АОВ = 140°.

Найдите: ∠С.

На рис. 3 ∪AС = 68°.

Найдите: угол х.

Ответ: 1) 70°; 2) 40°; 3) 34°

II этап. Решение задач

Цель деятельности

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Совершенствовать навыки решения задач

(П)

1. Найти: ∠АВС.

2. Найти: ∠ACE.

3. Найти: ∠MEP.

4. CD в 2 раза меньше DD.

Найти: CD.

5. МК : РК = 2 : 3.

Найти: РМ.

6. Найти: ∠BAD, ∠BCD.

7. Найти: CH, BC, AС.

8. MK = 8.

Найти: РК.

9. ABCD - трапеция, AB + CD = 15.

Найти: AD, АВ, CD.

Ответы:

1) ∠АВС = 70°.

2) ∠АСЕ = 30°.

3) ∠МЕР = 70°.

4) CD = 18.

5) РМ = 10√10.

6) ∠BAD = 105°, ∠BCD = 75°.

7) CH = 36, BC = 12√13, AС= 18√13.

8) РК = 6.

9) AD = 9, CD = 9, AB = 6

III этап. Тест

Цель деятельности

Задания для самостоятельной работы

Проверить уровень теоретических знаний по теме

(И) Тест (см. Ресурсный материал)

IV этап. Итоги урока. Рефлексия

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

(Ф/И).

- Оцените свою работу на уроке, работу в паре

(И) Домашнее задание: вторую часть теста учащиеся выполняют дома.

1. Высота, проведенная из прямого угла вершины прямоугольного треугольника АВС к гипотенузе АС, делит ее на отрезки, равные 25 см и 4 см. Эта высота равна:

а) 7 см; б) 10 см; в) √29 см.

2. Диагонали ромба равны 4 см и 4√3 см. Его углы равны:

а) 30°, 150°, 30°, 150°;

б) 45°, 135°, 45°, 135°;

в) 60°, 120°, 60°, 120°.

Величина дуги ВmС равна:

а) 120°; б) 240°; в) 60°.

По данным рисунка, величина угла DAC равна:

а) 140°; б) 35°; в) 70°.

По данным рисунка, величина угла BED равна:

а) 50°; б) 20°; в) 40°.

По данным рисунка, величина угла САЕ равна:

а) 20°; б) 40°; в) 30°.

По данным рисунка, углы четырехугольника равны:

а) 90°, 90°, 100°, 120°;

б) 90°, 90°, 80°, 100°;

в) 90°, 90°, 100°, 110°.

По данным рисунка, длина стороны AD равна:

а) 7; б) 5; в) 6.

9. Квадрат вписан в окружность диаметра 8 см. Периметр квадрата равен:

а) 32 см; 6) 16√2 см; в) 16 см