7 кл. геометрия
план-конспект урока по геометрии (7 класс)

Урок № 1

Тема. Вступление. Точка и прямая. Свойства точек и прямых

 Цель: ознакомить учащихся с предметом изучения геометрии, планиметрии и с понятием простейших фигур в геометрии, добиваться от учащихся сознательного усвоения терминологии, описывает взаимное расположение точек и прямых на плоскости, формулирование основных свойства расположения точек и прямых; выработать первичные умения обозначать точки и прямые на рисунке, описывать ситуацию, изображенную на рисунке и, наоборот, по описанию ситуации выполнять соответствующие рисунки, пользуясь самым простым чертежным прибором.

Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.

Форма проведения: беседа.

Наглядность и оборудование: демонстрационные чертежные инструменты.

ХОД УРОКА

1.. Организационный момент

Учитель сообщает учащихся об организации учебного процесса по изучению геометрии, знакомит с требованиями программы по знаний и умений (в адаптированной форме), объясняет структуру учебника, его особенности.

 II. Формулировка цели и задач урока

Исходя из темы урока и согласование ее с учениками, учитель формулирует основную дидактическую цель урока (см. выше).

 III. Усвоение новых знаний

План изучение нового материала

1°. Вступительная беседа.

Во вступительной беседе использовать геометрические знания, которые учащиеся приобрели в 1-6 классах, и обратиться к их жизненного опыта.

2°. Во время изложение этого вопроса следует напомнить учащимся, как изображается прямая и точки, их обозначения (следует указать на то, что для различения теперь обычно прямую будем обозначать одной маленькой латинской буквой, а точки - большими латинскими буквами).

3°. Новые термины «лежит», «не положено», «проходит через точку», «пересекаются», «лежит между» и т.п., следует вводить одновременно с выполнением рисунка.

При этом, введя понятия, учитель формулирует аксиому проведения прямой и аксиому размещение точек на прямой. Во время объяснения можно использовать рисунок 1.

IV. Первичное осознание новых знаний

Для усвоение введенной терминологии и аксиом можно выполнить устные упражнения.

Выполнение устных упражнений

1. На прямой AB обозначено точку C. лежит Ли точка A на прямой BC? Лежит ли точка B на прямой AC?

2. Точка A лежит на прямой c, а точка B не лежит на прямой c. Пересекаются ли прямые c и AB? Если да, то назовите точку их пересечения.

3. Через точку A проведены две прямые. Могут ли эти прямые иметь общую точку B, отличную от точки A?

4. Точка B лежит на прямой между точками A и C. Как размещены точки B и C относительно точки A?

5. На прямой отмечены точки K, L, M, N (рис. 2).

Назовите:

а) точку, что лежит между точками L и N;

б) точки, что лежат между точками K и N;

в) две точки, лежащие по одну сторону от точки L;

г) точку, по разные стороны от которой лежат точки Kиi M.

6. Рассмотрите рисунок 1 и ответьте на вопрос.

а) На которых прямых лежит точка A? точка B? точка C? точка D?

б) прямые проходят через точки: A; B; C; D?

в) В которой точке пересекаются прямые a и b; b и c; c и m; b и m?

г) В которой точке пересекаются три прямые? Назовите эти прямые.

д) точка на рисунке лежит между двумя другими? Можно сказать, что точка A лежит между точками B и D?

Выполнение графических упражнений

Проведите прямую.

а) Отметьте точки A и B,лежащие на этой прямой, и точки C и D не лежат на ней. Как можно назвать эту прямую?

б) Проведите еще одну прямую через точки A и C. Сколько общих точек имеют построены прямые?

Выполнение письменных упражнений

Уровень А

1. Отметьте точки B и C. Проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую так, чтобы она проходила через точку B, но не проходила через точку C. Сколько общих точек имеют эти прямые?

2. На прямой точки E и F лежат по разные стороны от точки D. Как размещены точки D и F относительно точки E? Может ли точка F лежать между точками D и E?

Уровень Б

1. Дано четыре точки, причем никакие три из них не лежат на одной прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая. Сколько всего прямых проведено?

2. На прямой точка B лежит между точками A и C. Отметьте на этой прямой точку D,лежащую между точками B и C. Назовите точку, которая лежит между точками A и D. Какие из обозначенных точек лежат по одну сторону от точки C?

Уровень В

Сколько прямых могут определить четыре точки? Рассмотрите все возможные случаи. Сделайте рисунки.

Методический комментарий

Необходимо с первых уроков во время решения упражнений разного уровня сложности приучать учащихся к предыдущему осуществления определенных последовательных рассуждений, основанных на содержании рассматриваемых понятий и на аксиомах.

Например

Отметьте точки B и C. Проведите через них прямую. Проведите еще одну прямую так, чтобы она проходила через точку B, но не проходила через точку C. Сколько общих точек имеют эти прямые?

Решения. Обозначим точки B и C. За аксиомой проведения прямой, через эти две точки можно провести прямую и только одну (рис. 3).

 Возьмем точка A не лежит на прямой BC. Тогда через точки A и B, по аксиомой проведение прямой, можно провести прямую AB, до того только одну.

Следовательно, прямые AB i BC имеют одну общую точку B.

 V. Итоги урока. рефлексия

 VI. Домашнее задача

1. Отметьте две точки и от руки проведите через них прямую. Проверьте правильность построения с помощью линейки. Какой аксиомой вы воспользовались?

2. Точки M и N лежат на прямой по одну сторону от точки K. из этих трех точек не может лежать между двумя другими? Ответ обоснуйте.

3. Точки A, B, C лежат на одной прямой, а точка D не лежит на этой прямой. Через каждые две из данных точек проведена прямая. Сколько всего прямых проведено?

4. На прямой обозначены точки X ,Y, Z, причем точки X и Y лежат по одну сторону от точки Z, а точки X и Z-по одну сторону от точки Y . Какая из трех точек лежит между двумя другими?

Дополнительная задача

Сколько различных прямых могут задавать точки:

а) A, B, C;

б) A, B, C, D;

в) A, B, C, D, O?

Ответ поясните, проиллюстрировав ее рисунками.

Источники:

1. Уроки геометрии. 7 класс./ С. П. Бабенко - Х.: Изд. группа «Основа», 2007.- 208 с.

Урок № 2

Тема. Луч  и угол

Цель: добиться усвоения учениками определение луча, дополнительных лучей и понятие «определение некоторого объекта»; добиться овладения учащимися умением обозначать и различать на рисунке лучи, дополнительные лучи, выполнять рисунок по описанию ситуации с использованием изученной терминологии.

Тип урока: усвоение знаний, умений и навыков.

Форма проведения: фронтальная беседа.

ХОД УРОКА

1.. Организационный момент

Учитель проверяет готовность учащихся к уроку,

 II. Проверка домашнего задания

Математический диктант

1. Назовите какую-нибудь геометрическую фигуру.

2. Выполните изображение точки и обозначьте ее.

3. Начертите прямую и отметьте ее.

4. Сколько совместных точек имеют две прямые, которые не пересекаются?

5. Начертите прямую a и отметьте на ней точки A, B и C так, чтобы точка C лежала между точками A и B 

III. Формулировка цели и задач урока

Учитель формулирует в адаптированном варианте основную дидактическую цель урока и после согласования с учениками формулирует задачи урока.

IV. Актуализация опорных знаний

Выполнение устных упражнений

1. На рисунке 1 изображен три линии: прямую, кривую и ломаную. Назовите точки, в которых пересекаются:

а) прямая и кривая;

б) прямая и ломаная;

в) кривая и ломаная;

г) все три линии.

2. Назовите на рисунке 2:

а) прямые, которые не проходят через точку C;

б) прямые, на которых точка O лежит, а точка D не лежит;

в) прямые, пересекаются в точке B, но не проходят через точку D;

г) произвольные три точки, которые не лежат на одной прямой.

3. На рисунке 3 назовите:

а) точки, лежащие между точками B и D;

б) точки, между которыми лежит точка M;

в) точки, о которых нельзя сказать,что они лежат между двумя другими;

г) пара точек, лежат по одну сторону от точки P; по разные стороны от нее.

V. Усвоение новых знаний

План изучения нового материала

1°. Представление о разделении прямой на части любой ее точкой.

2°. Определение луча; его элементы.

3°. Дополнительные лучи.

Методический комментарий

1°-3°. На уровне интуитивного восприятия учащимся из курса математики 5 класса известны понятия луча и дополнительных лучей. В этом пункте вводятся эти понятия с использованием основного свойства расположения точек на прямой.

Как итог обращаемся к таблице.

Таблица

IV. Первичное осознание новых знаний

Выполнение устных упражнений

1. Или правильное утверждение?

«Через две различные точки всегда можно провести луч, причем только один».

Ответ объясните.

2. По рисунку 4 укажите:

а) все лучи, изображенные на рисунке;

б) лучи с начальной точкой F;

в) лучи с начальной точкой A;

г) пары дополнительных лучей;

д) лучи, совпадающие.

V. Итоги урока

VI. Домашнее задание. № 8-10

Урок №6. Тема: "Смежные углы"

Цель урока:

• Образовательные задачи: содействовать развитию у учащихся навыков построения смежных углов, находить их на чертеже, умения решать задачи с использованием свойств смежных углов.
• Развивающие задачи: развивать творческую сторону мыслительной деятельности; создавать условия для проявления познавательной деятельности учащихся; содействовать развитию математического кругозора, мышления, речи, памяти, внимания.
• Воспитательные: способствовать выявлению и раскрытию способностей учащихся; воспитывать познавательную активность учащихся; прививать самостоятельность и любознательность.

                                                        Ход  урока

1.Организационный момент.

Сообщить  тему  урока, сформулировать  цели  урока.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний.

Фронтальный опрос:

• Что такое луч?
• Как обозначается луч?
• Какие лучи называются дополнительными?
• Какая фигура называется углом?
• Как обозначаются углы?
• В каких единицах измеряются углы?
• Какой угол называется острым?
• Какой угол называется прямым?
• Какой угол называется тупым?
• Какой угол называется развернутым?
• Сформулируйте основное свойство измерения углов.
• Что такое биссектриса угла?
•  Какие углы называются равными?

1.Дано: ∠ АОВ = 122 О,  ∠ AOD=  19 O, ∠ COB =  23 O.  

Найти: ∠ COD

Ответ :   а) 90  О,       б)  80  О,     в)  164  О 

2.Луч   ОС  проходит  между  сторонами  угла  АОВ, равного  120 О.  Найдите  ∠ АОС,  если  ∠ АОС  меньше  ∠ СОВ  в 2  раза.  

Ответ :   а) 80  О,       б)  60  О,     в)  40  О 

4. Изучение  нового  материала.

1.Ввести  понятие  смежных  углов.

Учитель:  построим  прямую АD и  отметим  точку С,  лежащую  между  точками  А и D.

                                                              D

Проведем  луч  СВ. Получились два угла: ACB  и  BCD.

Два угла, у которых  одна  сторона  общая,  а  две  другие  являются  продолжениями  одна  другой,  называются смежными.

1.Устно.  Работа  по  готовым  чертежам. Назовите пары смежных углов.      

2. Построение смежных углов.

Дан  ∠ АОВ.

- Для  построения  смежного  с  ним  угла  луч, являющийся одной  из его  сторон, дополняется  до  прямой. Вывод.

3.Вывести  свойство  смежных  углов  в  ходе  выполнения  следующих  упражнений:

- Сколько  углов изображено  на  рисунке?  Какие  это  углы? ( 3  угла,  ∠ АОВ и ∠ ВОС -  смежные,  а  ∠ АОС – развернутый.)

- Существует  ли  какая  либо взаимосвязь между этими  углами?

(Да, ∠ АОВ  +∠ ВОС = ∠ АОС)

- Как  по –другому можно  записать  данное  равенство ? Почему?

(∠ АОВ  +∠ ВОС = 180  О, т.к.  ∠ АОС  -  развернутый  и  его  градусная  мера  равна 180  О )

-  Для  всякой  ли  пары смежных углов выполняется  это  равенство? (Да)

-  Данные  равенства -  математическая  запись свойства  смежных  углов. Сформулируйте  само  свойство  смежных  углов. (Сумма  смежных  углов  равна  180  О)

5. Закрепление нового материала.

Устная работа: №58, 59, 60,63

Решить письменно №55.61,62.

6. Самостоятельная работа.

Задача по рисунку 41, упр 64,66.

7. Итоги урока. Д/з.

Что нового вы узнали на данном уроке?

Где в жизни нам эти знания пригодятся? (На уроках алгебры (система координат) и геометрии, в строительстве, в архитектуре)

Приведите пример смежных углов из окружающей обстановки.

П.4. Вопросы 1,2 с.33.

решить №65,67,68.

Тема: Треугольник и его элементы.

ЦЕЛИ:

1. Изучить понятие треугольника и его элементов в ходе практической работы;

2. Развитие логического мышления учащихся. Формирование устойчивого познавательного интереса к изучению геометрии.

3. Воспитание отношений взаимопомощи и сотрудничества между учащимися в процессе познавательной деятельности; развитие их самостоятельности и творчества.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Кто из вас не слышал о загадочном Бермудском треугольнике, в котором бесследно исчезают корабли и самолёты? (Он находится в Атлантическом океане между Бермудскими островами, государством Пуэрто-Рико и полуостровом Флорида).

А ведь знакомый всем нам треугольник также таит в себе немало интересного и загадочного.

Зовётся он треугольник,

И с ним хлопот не оберётся школьник!

3. Актуализация опорных знаний.

Среди множества различных геометрических фигур на плоскости выделяется большое семейство МНОГОУГОЛЬНИКОВ.

Названия геометрических фигур имеют вполне определенный смысл. Присмотритесь внимательно к слову “многоугольник”, и скажите из каких частей оно состоит. Слово “многоугольник” указывает на то, что у всех фигур этого семейства “много углов”.

Подставьте в слово “многоугольник” вместо части “много” конкретное число, например 5. Вы получите ПЯТИУГОЛЬНИК. Или 6. Тогда – ШЕСТИУГОЛЬНИК. Заметьте, сколько углов, столько и сторон, поэтому эти фигуры вполне можно было бы назвать и многосторонниками.

На рисунке геометрические фигуры. Используя рисунок, назовите эти фигуры.

Каким наименьшим числом можно заменить “много” в многоугольнике? (Ответ: 3)

4. Изучение нового материала.

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник,

А уж вам-то, как не знать…

Но совсем другое дело —

Очень быстро и умело

Треугольники считать!

Например, в фигуре этой

Сколько разных? Рассмотри!

Все внимательно исследуй

И “по краю” и “внутри”.

Треугольник – простейшая фигура: три стороны, три вершины, три угла. Математики называют его двумерным “симплексом” - по латыни означает простейший. Именно в силу своей простоты треугольник явился основой многих измерений.

Через площадь треугольника выражается площадь любого многоугольника, достаточно разбить этот многоугольник на треугольники, вычислить их площади и сложить результаты.

Еще 4000 лет назад в одном египетском папирусе говорилось о площади треугольника.

Через 2000 лет в Древней Греции очень активно велось изучение свойств треугольника. Пифагор открыл свою знаменитую формулу.

Особенно плодотворно свойства треугольника исследовались в XV-XVI веках. Большой вклад в эту теорию внес знаменитый математик Леонард Эйлер.

Император Франции Наполеон свободное время посвящал занятием математики и, в частности, изучению свойства треугольников.

ТРЕУГОЛЬНИК – геометрическая фигура, состоящая из трех точек (вершин) и трех попарно соединяющих их отрезков (стороны).

Задача

Земельный участок имеет треугольную форму. Сколько потребуется метров проволоки, чтобы обнести этот участок забором?

(Ответ: измерить стороны и сложить их длины.)

Как мы называем сумму длин всех сторон треугольника?

(Ответ: периметр.)

Р = АВ + ВС + СА (ед.)

Практическая работа.

Медиана.

Начертите треугольник АВС и найдите середину стороны ВС – точку М.

Что называется серединой отрезка? (Серединой отрезка называется точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка).

Запись на доске: АМ=МС.

Соедините точку М с вершиной В. Отрезок ВМ называется медианой треугольника.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Сколько вершин у треугольника? (3).

Сколько у него сторон? (3).

Сколько медиан можно провести в треугольнике?(3).

“Проведите” три медианы на моделях треугольников.

Какое свойство медиан вы заметили?

В любом треугольнике все медианы пересекаются в одной точке.

Эта точка называется центром тяжести треугольника.

Высота.

Запись на доске: ВН  АС.

С помощью чертёжного угольника из вершины В треугольника АВС проведём перпендикуляр ВН к прямой АС. Он называется высотой треугольника.

Высотой треугольника называется перпендикуляр, проведённый из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Сколько высот имеет треугольник? (3).

“Постройте” все три высоты на модели вашего треугольника. Обладают ли высоты аналогичным свойством, что и медианы? (Да). Высоты или их продолжения пересекаются в одной точке.

Биссектриса.

Вспомните определение биссектрисы угла.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Запись на доске:  АВК =  СВК

Постройте биссектрису ВК угла В с помощью транспортира. Она пересечёт отрезок АС в точке К. Отрезок ВК называется биссектрисой угла В треугольника АВС.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину угла треугольника с точкой противоположной стороны треугольника.

Покажите все три биссектрисы на вашей модели треугольника.

Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

В любом треугольнике биссектрисы пересекаются в одной точке.

Классификация треугольников.

По величине углов

1). Остроугольные.

2). Прямоугольные.

3). Тупоугольные.        

По длине сторон:

• Разносторонние.
• Равнобедренные.
• Равносторонние.

“Перпендикуляр” -  от  латинского  слова   “PERPENDICULARIS” - “отвесный”. Термин был образован в  средние века.

 “Биссектриса” -   от   латинских слов (дважды, надвое) и “SECTRIX” - “секущая”.

 “Медиана” - от латинского слова “MEDIANA” - “средняя” (линия).   

5. Закрепление нового материала.

Решить № 260, 261, 269(а).

6. Итоги урока. Рефлексия.

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

Что удивило?

Что понравились больше всего?

Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Домашнее задание: выучить п.9, вопросы с.77, решить № 263, 269(б), 262.

 (творческое):

• Сочинить рассказ, сказку или стихотворение о стране треугольников.
• Составить картинку из различных видов треугольников.

Тема: Сумма углов треугольника. Внешний угол треугольника.

Цели урока:

Образовательные:

1) Практическим путем выяснить чему равна сумма углов треугольника, познакомиться с формулировкой теоремы о сумме углов треугольника, доказать теорему, доказать следствия из теоремы, научиться применять изученную теорему при решении задач;

Развивающие:

1) совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух;

2) стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением;

Воспитательные:

1) воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;

2) воспитывать интерес к предмету.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний.

1. Вспомните, какая фигура называется треугольником.
2. Какими могут быть треугольники в зависимости от величины углов?
3. Какой треугольник называется прямоугольным?

Как называются стороны прямоугольного треугольника?

4. Какой треугольник называется тупоугольным?
5. Может ли в треугольнике быть два тупых угла? Объяснить ответ.

      6. Параллельны ли прямые  т  и  п?

Решить № 266, 268.

4. Изучение нового материала.

Практическое задание.

Измерить с помощью транспортира углы треугольников (остальным учащимся модели треугольников заранее раздать) и найти их сумму.(каждый ученик говорит свой результат)

Что получилось? Сумма углов треугольника равна 180°?

Выскажите гипотезу. «Сумма углов любого треугольника равна 180°»

Гипотеза сформулирована. Чтобы она стала истиной – требуется доказать.

Итак, теорема

Формулировка: Сумма углов треугольника равна 180°

Дано:

Доказать:

Доказательство:

1)Проведём DE ׀׀ AC.

3)

4) ■

Впервые доказал теорему Пифагор, затем Евклид.

Закрепление теоремы в ходе устных упражнений по готовым чертежам.

Введение понятия внешнего угла треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с внутренним углом треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника: внешний угол треугольника равен

сумме  двух внутренних углов, не смежных с ним.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 296, 297 (а), 306 (а, в).

6. Физкультминутка.

Одолела вас дремота,

(Зеваем.)

Шевельнуться неохота?

Ну-ка, делайте со мною

Упражнение такое:

Вверх, вниз потянись,

(Руки вверх, потянулись.)

Окончательно проснись.

Руки вытянуть пошире.

(Руки в стороны.)

Раз, два, три, четыре.

Наклониться — три, четыре

(Наклоны туловища.)

И на месте поскакать.

(Прыжки на месте.)

На носок, потом на пятку.

Все мы делаем зарядку.

7. Самостоятельная работа.

Тренировочный тест по готовым чертежам.

1.Найдите =…

2.Найдите =….., =….

3.Найдите =…, = .., =…

4.Найдите

8. Итоги урока. Д/з.

Выучить п.10. Решить № 297 (б), 298, 300.

Вот и подошел к концу наш урок. Давайте подведем итоги.

Мы выучили - ….

Мы умеем - …

Сделаем выводы - ….

Тема: Равные треугольники.

Цели урока:

• образовательная: дальнейшее изучение геометрических фигур, ввести понятие равенства геометрических фигур; умение правильно дать определение треугольника и определение равных треугольников;
• развивающая: уметь сравнивать фигуру, находить равные элементы, анализировать и делать выводы;
• воспитательная: содействовать воспитанию интереса к предмету, активности и самостоятельности обучающихся; воспитывать внимательность, уверенность в своих силах; умение работать над проблемой, преодолевать трудности.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний.

Что называется треугольником?

Постройте треугольник АВС. Назовите:

Стороны, вершины, углы треугольника;

Сторону, противоположную углу АВС;

Углы, прилежащие к стороне АВ, АС;

Угол, противоположный стороне ВС;

Между какими сторонами заключены углы СВА, ВАС;

Найдите периметр треугольника, если АВ = 7 см, ВС = 5 см, АС = 8 см.

Решить № 297 (в), 299.

4. Изучение нового материала.

-Как можно сравнить два прямоугольника? (Чтобы сравнить два прямоугольника, надо один прямоугольник наложить на другой, если из-за верхнего прямоугольника будет виден нижний, значит верхний прямоугольник меньше нижнего и наоборот. А если они совместятся, то данные прямоугольники равны.)

– Как сравнить два треугольника, изображенных на доске (внешне два треугольника должны быть почти равными)? (Скопировать один треугольник на прозрачный материал, например на кальку, и наложить на второй.)

– Какие две геометрические фигуры можно назвать равными? (Две геометрические фигуры называются равными, если при наложении они совмещаются)

Фигуры называются равными, если при наложении совпадают.

Справка из истории: Если мы обратимся к истории, то в самом первом учебнике по геометрии “Началах” Евклида можно найти следующее определение:

“…Совмещающиеся друг с другом равны между собой…”

Прошло столько лет, а определение практически не изменилось.

Эти определения о равенстве фигур можно отнести и к треугольникам, так как треугольник это фигура.

5. Закрепление нового материала

Решить № 317, 318, 321 устно, 323, 331, 340.

6. Историческая пауза.

Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная  фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков  используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и  в других древних документах.

    В древней Греции учения о треугольниках развивалось в ионийской школе, основанной в VII веке до н.э. Фалесом, в школе Пифагора число три определялось через треугольник.  Три - треугольник, образующий плоскость двух измерений,  и возврат к определенности. Числа пифагорийцы изображали в  виде точек, известны, так называемые, треугольные числа ( 1, 3, 6, 10...), которые образуют правильный треугольник. Учение о треугольниках было полностью изложено в первой книге “Начал” Евклида.  Среди  определений, которыми начинается эта книга, имеются и следующие: ”Из трехсторонних фигур равносторонний треугольник есть фигура, имеющая три равных  стороны, равнобедренный же - имеющая только две равные стороны, разносторонний  -  имеющая три неравные стороны”. Понятие о  треугольнике исторически развивалось, по-видимому, так: сначала рассматривались лишь правильные, затем равнобедренные и,  наконец,   разносторонние треугольники.

7. Самостоятельная работа.

Решить № 338.

8. Итоги урока. Д/з.

Выучить п.11, вопросы с.89. Решить № 329. 332, 301.

Тема: Первый и второй признаки равенства треугольников

Цель:

• Доказать первый и второй признаки равенства треугольников; обеспечить закрепление  изучаемого материала, умений и навыков применения признаков равенства треугольников;
• развивать логическое мышление, речь, память, реакцию, фантазию;
• воспитывать общую культуру, активность, самостоятельность, умение общаться.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Три   пути    ведут   к знаниям: путь размышления -  это путь самый   благородный,      путь

 подражания - это  путь самый легкий   и  путь   опыта  -  это путь самый горький.

  Какой путь выберите вы?                                                                                                                                                                       3. Актуализация опорных знаний.

Теоретический опрос по вопросам:

• объясните, какая фигура называется треугольником;
• начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы;
• что такое периметр треугольника?
• какие треугольники называются равными?

Назовите углы:

 а) Углы ∆DEK, прилежащие к стороне ЕК;

 б) углы ∆MNP, прилежащие к стороне MN.

  Назовите угол:

    а) ∆DEK, заключенный между сторонами DE и DК;

 б) ∆MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.

 Между какими сторонами:

    а) ∆DEK заключен угол К;

    б) ∆MNP заключен угол N?

∆АВС= ∆КМР. Назовите равные стороны и равные углы этих треугольников.

4. Изучение нового материала.

Какие треугольники равны?- Но всегда ли нам удаётся реально совместить треугольники? (Нет)

- Действительно, иногда совместить треугольники нет возможности. Что же делать? Достаточно сравнить лишь три элемента одного треугольника с тремя элементами другого треугольника.  Вот тут нам на помощь придут признаки равенства треугольников, они нам расскажут, какие именно элементы нужно сравнивать. Что  такое признак равенства треугольников и сколько существует признаков? Некоторые условия, при которых два данных треугольника оказываются равными, называются признаками равенства треугольников.  Можно сказать, что признак – это примета, по которой можно узнать те или иные свойства фигур.

- Сегодня на уроке мы познакомимся с первым и вторым признаками равенства треугольников.

Первый признак равенства треугольников.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС, ∆ А1В1С1,  АВ = А1В1,

            АС = А1С1, А = А1.

Доказать: ∆ АВС =  ∆ А1В1С1.

Доказательство:

 - Вспомним определение равных треугольников.

[Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением.]

- Так и поступим: будем накладывать ∆ АВС на  ∆ А1В1С1. Теперь нужно решить, с чего начать: Накладывать сразу весь треугольник или сначала одну сторону?

[Конечно, сначала одну сторону.  Это легче.]

 - И еще вопрос: сразу накладывать сторону или сначала вершину?

[Сначала вершину треугольника.]

- Обязательно обратите внимание, в ходе доказательства необходимо четко различать, какие элементы треугольника совпадают благодаря наложению

(мы их занумеруем), а какие – по условию теоремы.                                                                 Будем накладывать ∆ АВС на  ∆ А1В1С1 так, чтобы

1) точка А совместилась с точкой А1;

2) луч АС прошел по лучу А1С1.

Что можно сказать про точку С?

[Так как  АС = А1С1, то точка С совпадает с точкой С1.]

- Правильно. Так как А = А1 по условию, то мы можем наложить

∆ АВС на  ∆ А1В1С1 Так, чтобы: 3) луч АВ прошел по лучу А1В1.

Что происходит дальше?

[Так как АВ = А1В1, то точка В совпадет с точкой В1. И сторона ВС совпадет со стороной В1С1..]

 - Почему? Точка В совпала сточкой В1, точка С совпала сточкой С1, а через две точки можно провести только одну прямую – есть такое утверждение. Треугольники  АВС и   А1В1С1 полностью совместились, значит они равны по определению равных треугольников. Теорема доказана.

Второй признак равенства треугольников.

Если сторона и прилежащие к ней углы одного треугольника равны соответственно стороне и прилежащим углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство рассмотреть дома самостоятельно.

Из 5 треугольников только 3 равных. Назовите их.

5. Физминутка

 Почти 90% всей информации человек воспринимает глазами. Если устают глаза, снижается наше внимание и активность. Давайте перед следующей задачей дадим отдых глазам и себе.

1. Закройте глаза на несколько секунд, сильно напрягая глазные мышцы, затем раскройте их, расслабив мышцы. Повторите 3-4 раза.
2. Посмотрите на переносицу и задержите взор. Затем посмотрите вдаль. Повторите 3-4 раза.
3. Медленно наклоняйте голову: вперед – влево – вправо - назад. Повторите 3-4 раза.
4. Поморгайте несколько раз глазами, не напрягая мышц. Сделайте глубокий вздох и медленный выдох.

6. Закрепление нового материала.

№1. Доказать: ∆   МЕF = ∆DЕС.             №2. Доказать: В = D.

Решить № 363, 360.

7. Итоги урока. Д/з.

- Что нового вы узнали сегодня на уроке? С чем познакомились? Сформулируйте первый и второй признаки равенства треугольников? Помогли ли они вам при решении задач?

Ребята, математика наука точная, поэтому  все определения и теоремы  воспроизводить своими словами нельзя?  Послушайте одну старинную историю.

Это произошло в те времена, когда на улицах городов еще не было освещения. Как-то ночью мэр столкнулся с горожанином. Это было неприятно и больно. Тогда мэр отдал приказ, чтобы никто не выходил ночью на улицу без фонаря. Следующей ночью мэр опять столкнулся с тем же горожанином.

 -  Вы не читали моего приказа? — спросил мэр сердито.

    - Читал, — ответил   горожанин. — Вот   мой   фонарь.

    - Но в фонаре у вас нет ничего.

    - В приказе об этом не упоминалось.

Наутро появился новый приказ, обязывающий вставлять свечу в фонарь при выходе ночью на улицу. Вечером  мэр опять налетел на того же горожанина,

     - Где фонарь?! — закричал мэр.

     - Вот он.

     - Но в нем нет свечи!

     - Нет, есть. Вот она.

     - Но она не зажжена!

  - В приказе ничего не сказано о том, что надо зажигать свечу.

И мэру пришлось издать еще один приказ, обязывающий граждан зажигать свечи в фонарях при выходе ночью на улицу.

Вот почему следует  формулировки определений, аксиом и теорем  учить наизусть. Если вы можете своими словами передать их точный смысл — пожалуйста! Если же нет, то, чтобы не уподобляться тому мэру, о котором только что услышали, следует учить наизусть.

Выучить п.12, решить № 355, 357, 364.

Тема: Первый и второй признаки равенства треугольников

Цель:

• закрепить первый и второй признаки равенства треугольников; обеспечить закрепление  умений и навыков применения признаков равенства треугольников;
• развивать логическое мышление, речь, память, реакцию, фантазию;
• воспитывать общую культуру, активность, самостоятельность, умение общаться.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

      Можно сказать, что почти вся геометрия со времен “Начал” Евклида покоится на “трех китах” - трех признаках равенства треугольников. Лишь на рубеже ХIХ - ХХ в.в. математики научились строить геометрию на основе более фундаментального и общего, чем равенство треугольников, понятия геометрического преобразования.

   За  несколько  тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о  “геометрии треугольника” как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. 

И сегодня мы продолжить работать над закреплением первого и второго признаков равенства треугольников.

3. Актуализация опорных знаний.

Решение задач (устно) по готовым чертежам  на доске (используются  цветные мелки для выделения  одним цветом равных элементов).

Задание:  Найдите пары равных треугольников (см. рис. 1-4) и докажите  их равенство.

Тестовые задания № 1-10 с.102.

4. Решение упражнений на первый и второй признаки равенства треугольников.

Решить № 1, 2, 4, 5, 6 с. 103.          

5. Физкультминутка

Что такое физкультура?

Тренировка и игра.

Что такое физкультура?

Физ и куль и ту и ра!

Руки вверх, руки вниз – это физ.

Крутим шею, словно руль – это куль.

Ловко прыгай в высоту – это ту.

Бегай пол часа с утра – это Ра.

Занимаясь этим делом,

Станешь сильным, ловким, смелым.

Плюс – хорошая фигура.

Вот что значит физкультура!

На четыре - руки шире,

Пять – руками помахать.

Шесть – за парту тихо сесть.

6. Самостоятельная работа.

Решить № 2, 3 (вариант 3). с.99.

7. Итоги урока. Д/з.

Решить вариант 1 (вариант 2) с.99.

Тема: Равнобедренный треугольник.

Цели урока:

Образовательные – знакомство со свойствами равнобедренного треугольника; выработка основных навыков;

Развивающие – развивать внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь;

Воспитательные – посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручку, самостоятельность.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Треугольник - самая простая замкнутая прямолинейная  фигура, одна из первых, свойства которой человек узнал еще в глубокой древности, так как эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни. В строительном искусстве испокон веков  используется свойство жесткости треугольника для укрепления различных строений и их деталей. Изображение треугольников и задачи на треугольники встречаются в папирусах, в старинных индийских книгах и  в других древних документах.

И сегодня нам предстоит познакомиться с одним из его представителей.

3. Актуализация опорных знаний. 

1. Определение медианы, высоты и биссектрисы треугольника.

2. Что такое треугольник? Его элементы?

3. Какие виды треугольников вы знаете?

4. Как их различаются?

5. Дайте определение каждого треугольника?

( остроугольного, тупоугольного, прямоугольного,

равностороннего, равнобедренного, разностороннего)

Зовусь я – треугольник.

Со мной хлопот не оберётся школьник.

По всякому я называюсь.

Когда углы или стороны даны.

С одним тупым тупоуголен я.

Бывают острых два, а третий прям – прямоуголен я.

Бываю я равносторонним,

Когда все стороны равны.

Когда все разные даны, то я зовусь разносторонним.

И если, наконец, равны две стороны,

 То я равнобедренным называюсь.

6. Чему равна сумма углов треугольника?

7. Какие углы называют внешними?

8. Чему равны внешние углы треугольника?

9.Сформулируйте 1 признак равенства треугольника.

10. Сформулируйте второй признак треугольника.

4. Изучение нового материала.

Учитель демонстрирует рисунки с изображениями треугольников (плакаты):

Какой особенностью обладают эти треугольники? Учащиеся замечают равные стороны (или углы). Учитель дает определение равнобедренного треугольника, показывает его основание и боковые стороны.

Вопрос: дать определение равнобедренного треугольника.

Практическое задание: построить равнобедренный треугольник ABC (BC – основание) на

                                        нелинованной бумаге (учитель выполняет построение на доске).

                                        Провести биссектрису AD (с помощью транспортира).

Вопрос: какие еще равные элементы вы замечаете в этом треугольнике?

Формулируется теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны

                                            (первое свойство равнобедренного треугольника).

Доказательство обсуждается по рисунку на доске.

Вопросы учителя: - Какие треугольники мы видим на рисунке?

                                - Какие равные элементы можно выделить в этих треугольниках?

                                - Что можно сказать об элементах равных треугольников?

Затем учитель предлагает учащимся записать доказательство в тетрадь.

В доказательстве этой теоремы скрыто еще одно свойство равнобедренного треугольника: мы доказали равенство треугольников ABD и ACD, но не назвали соответствующие равные элементы. Какие же элементы остались неназванными?

BD = DC и ﮮADB = ﮮ ADC.

Делаем вывод: AD – медиана и высота.

Учитель еще раз формулирует второе свойство равнобедренного треугольника и просит учащихся отметить, на какие слова в формулировке следует обратить внимание?

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой (биссектриса проводится к основанию, две другие биссектрисы таким свойством не обладают).

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним.

Людей с давних времен волновал вопрос, подчиняются ли такие неуловимые вещи как красота и гармония, каким- либо математическим расчетам. Можно ли «проверить алгеброй гармонию?»- как сказал А.С.Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Одним из символов прекрасного в геометрии, является равносторонний треугольник. У него все стороны и все углы равны, поэтому его еще и называют правильным треугольником.

Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны. Работа в парах.

Равнобедренный  треугольник в древности

    Равнобедренный  треугольник  обладает   рядом     геометрических свойств, которые привлекали к себе внимание еще в древности.  В задачах на треугольники, содержащихся в папирусе Ахмеса,  на первый план  выступают равнобедренный  и прямоугольный  треугольники.  На практике часто применялось  свойство медиан  равнобедренного треугольника, являющейся  одновременно и  высотой и биссектрисой. То, что углы при основании равнобедренного треугольника равны, было известно еще  древним вавилонянам 4000 лет назад. Сейчас это утверждение сформулировано в виде теоремы и изучается  в школьном курсе геометрии в 7 классе.

5. Закрепление нового материала.

Задачи на готовых чертежах (рисунки на плакатах)

а)                                     б)                                                      в)

г)                                                                 д)

Решить № 386, 388, 390 (1), 394 (1).

6. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

• На уроке я работал                          активно / пассивно
• Своей работой на уроке я               доволен / не доволен
• Урок для меня показался               коротким / длинным
• За урок я                                          не устал / устал
• Мое настроение                              стало лучше / стало хуже
• Материал урока мне был               полезен / бесполезен

    интересен / скучен

• Домашнее задание мне кажется    легким / трудным

                                                                      интересно / не интересно

Выучить п.13.

Вопросы с. 106.

Решить № 387. 389, 394 (2).

Тема: Третий признак равенства треугольников.

Цели урока:

Образовательные – доказать теорему о третьем признаке равенства двух треугольников. Показать применение признака при решении простейших задач на готовых чертежах. Развивающие – развивать внимание учащихся, усидчивость, настойчивость, логическое мышление, математическую речь;

Воспитательные – посредством урока воспитывать внимательное отношение друг к другу, прививать умение слушать товарищей, взаимовыручку, самостоятельность.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Девизом нашего урока является высказывание: “Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг”, так как на уроках геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. Даю “установку”: Развивать и тренировать свое геометрическое зрение.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

3. Актуализация опорных знаний. 

• Какой треугольник называется равнобедренным?
• Какой треугольник называется равносторонним?
• Является ли равносторонний треугольник равнобедренным?
• Каким свойством обладают углы равнобедренного треугольника?
• Каким свойством обладает биссектриса равнобедренного треугольника?
• Любая ли биссектриса обладает этим свойством? Какая?
• Любая ли биссектриса равностороннего треугольника обладает этим свойством?

Повторить I и II признаки равенства треугольников.

А теперь прочитаем чертеж на доске. Выделить данные и доказать, что треугольники будут равны.

Данные: ∆АВС - равнобедренный, ВД - высота.

По какому признаку можно доказать, что   ∆АВД=  ∆ВДС?

Решить № 383, 385 устно.

4. Изучение нового материала.

Работа с учебником.

• Записать формулировку теоремы в тетрадь.
• Разобрать условие теоремы и записать данные.
• Разобрать заключение теоремы и записать, что нужно доказать.
• Далее показать, как накладываются треугольники (наложение отличается от наложения при доказательстве I и II признаков равенства треугольников).
• Работа по рисункам:

5. Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

5. Закрепление нового материала.

Решить №1 с. 112 устно, 423, 424 (а), 428 (а).

6. Итоги урока. Д/з.

1. С каким признаком вы сегодня познакомились? Сформулируйте его.

2. Какие трудности возникли при решении задач?

Выучить п. 14. Вопросы с. 112. Решить № 424 (б), 428 (б), 437.

Тема: Прямоугольный треугольник.

Цели урока:

• Познакомиться с понятием прямоугольного треугольника. Изучить свойства углов прямоугольного треугольника, познакомиться с признаками равенства прямоугольных треугольников.
• развивать логическое мышление, пространственное    воображение, умение выделять главное в задачах, видеть по   рисункам   элементы признаков равенства треугольников;
• воспитывать интерес к геометрии, культуру устной речи, правильное и аккуратное оформление   геометрических задач

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Сегодня мы продолжим путешествие по прекрасной стране Геометрия. Лучше разглядим ее красоту и совершенство. Девизом нашего урока будет: «С любовью к ее величеству - науке геометрии». Пройдемся по ее памятным местам - определениям и теоремам. В геометрии очень много разных тропинок, но главная из них та, которая начинается за школьной партой и учебной книгой.

Мы с вами уже побывали на тропинке решения задач и доказательства теорем. Сегодня вновь вернемся к тропинке решения задач и побываем на тропинке красоты чисел. Шагая по тропинкам, погрузимся в мир треугольников. В геометрию тропинки одолеем без запинки. При этом наши суждения должны отличаться строгостью, обоснованностью, краткостью и полнотой, последовательностью и завершенностью, так же не будем пренебрегать интуицией, догадкой, фантазией. Итак, в добрый путь!

3. Актуализация опорных знаний. 

• Что такое треугольник?
• Сформулируйте свойства равнобедренного треугольника.
• Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
• Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
• Сформулируйте третий признак равенства треугольников.
• По какому из признаков равны данные треугольники?

Работа по готовым чертежам.

4. Изучение нового материала

Мы все знаем, что стороны у прямоугольных треугольников имеют свои названия. Начертите любой прямоугольный треугольник в тетрадь и подпишите стороны. Дайте определение сторон треугольника … - гипотенуза – … (напротив прямого угла, перевод с греческого – стягивающая), катет - …(образуют угол …)

Работа с учебником по группам. Изучить и продемонстрировать признаки равенства прямоугольных треугольников.

Решить № 442, 443, 444 устно.

5. Историческая пауза.

Треугольник – самая простая замкнутая прямолинейная фигура, одна из первых, свойства которых человек узнал еще в глубокой древности, т. к.  эта фигура всегда имела широкое применение в практической жизни.

Изображения треугольников и задачи на треугольники встречаются во многих папирусах Древней Греции и Древнего Египта. Еще в древности стали вводить некоторые знаки обозначения для геометрических фигур.

Древнегреческий ученый Герон (I век)  впервые применил знак   вместо слова треугольник.

Прямоугольный треугольник занимал почетное место в Вавилонской геометрии. Стороны прямоугольного треугольника: гипотенуза и катеты.

Термин  «гипотенуза» происходит от греческого слова «ипонейноуза», обозначающее «тянущаяся над чем-либо», «стягивающая». Слово берет  начало от образа древнегреческих арф, на которых струны натягиваются на концах двух взаимно-перпендикулярных подставок. Термин «катет» происходит от греческого слова «катетос», которое означает начало «отвес», «перпендикуляр».

Евклид говорил: «Катеты – это стороны, заключающие прямой угол».

В Древней Греции уже был известен способ построения прямоугольного треугольника на местности. Для этого использовали веревку, на которой были завязаны 13 узелков, на одинаковом расстоянии друг от друга. При строительстве пирамид в Египте именно так изготавливали прямоугольные треугольники. Наверно поэтому прямоугольный треугольник со сторонами 3,4,5 и назвали египетским треугольником.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 447, 459.

6. Самостоятельная работа.

Доказать, что против угла 30°в прямоугольном треугольнике лежит катет, равный половине гипотенузы.

Работа в парах по учебнику.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

Что удивило?

Что понравились больше всего?

Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Выучить п. 15, вопросы с..118.

решить № 446, 448 – на 8 баллов, 460 –на 11баллов.

Подготовить сообщение по теме «Египетский треугольник».

Тема: Неравенство треугольника.

Цели урока:

• рассмотреть теорему о неравенстве треугольника и показать ее применение при решении задач; совершенствовать навыки учащихся при решении задач на применение теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.
• развивать логическое мышление, пространственное    воображение, умение выделять главное в задачах;
• воспитывать интерес к геометрии, культуру устной речи, правильное и аккуратное оформление   геометрических задач.

Мудр не тот, кто знает много, а тот, чьи знания полезны.

Эсхил

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. 

Теоретический опрос можно провести письменно. Математический диктант (учитель зачитывает начало задания, дети записывают только продолжение – ответы)

1) Периметр треугольника - это…

2) Против меньшей стороны лежит …

3) Сумма углов треугольника …

4) Против большего угла лежит …

5) В прямоугольном треугольнике гипотенуза …

6) Если два угла треугольника равны, то он …

7) Найти все внутренние углы и внешний угол треугольника.

                           В

                                                 < B = 350

                     1

А               С

Проверка. Учитель зачитывает задания, один ученик – ответы.

4. Изучение нового материала.

Решить задачу.

 Построить треугольник АВС со сторонами 4см, 5см,6см.

 Учащиеся говорят учителю, что нужно делать, учитель строит.

-Как можно с помощью циркуля и линейки построить треугольник?

-Может кто-то вспомнит, как мы это делали в 6 классе.

                     4             5

                            6

А теперь сами в тетрадях постройте треугольник со сторонами 5см, 3см, 2см.

В ходе решения этой задачи учащиеся должны прийти к тому ,что не всегда можно построить треугольник.

Возникает вопрос:

-А всегда ли существует треугольник?

Оказывается, что треугольник существует не всегда.

-А когда же он существует?

Сегодня мы и решим эту проблему.

Итак, сейчас мы докажем теорему о существовании треугольника. Она называется теоремой о неравенстве треугольника.

Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

-Что нам дано?   (строим треугольник АВС)

-Что нам нужно доказать?

На доске и в тетрадях.

                      B                                                                           Дано:   АВС

                                                                                                   Доказать: АВ<АС+СВ

        A                          C

  Доказательство.

Для доказательства теоремы предлагаю сделать дополнительные построения: 1) продолжить сторону АС,

                     2)  на продолжении отложить отрезок СД, равный стороне СВ.  

-Как вы думаете, что напрашивается?

-Что вы видите на рисунке?

-Какие выводы можно сделать?

-Давайте, сравним <2 и  <АВД.

-Какая из сторон меньше? Почему?

-Из каких отрезков состоит отрезок АД?

Значит, АВ<АС+СД

АВ<АС+ВС

Значит, мы доказали теорему о существовании треугольника.

-Может кто-то сам попробует доказать эту теорему?

-А какие еще неравенства можно записать для треугольника АВС.

Работа с учебником.  Рассмотреть следствия из теоремы.

-Итак, опять вернемся  к  нашим  первым  задачам  и  проверим,  существует ли треугольник.

а) Треугольник АВС со сторонами 4см, 5см, 6см.

4 < 5+6, 5 < 4+6, 6 < 4+5  (да)

б)  Треугольник АВС со сторонами 5см,3см,2см.

5 < 3+2 (нет)

2. А теперь проверьте можно ли построить треугольник со сторонами

5см, 6см, 7см   (да);

8см, 4см, 3см   (нет).

5. Закрепление изученного материала.

-Известна ли длина треугольника?

-А длина боковой стороны?

-Какие значения может принимать длина основания?

- Существует ли равнобедренный треугольник с боковой стороной 2см и основанием 8см? Почему?

 - Существует ли равнобедренный треугольник с боковой стороной 8см и основанием 2см? Объяснить.

Решение.

Возможны два случая:

1) АВ=ВС=2см, АС=8см. АС <АВ+ВС ,8<2+2, нет.

2) АВ=ВС=8см,АС=2см. 8<8+2, да.

Ответ: 8см, 8см, 2см.

Решение задач на готовых чертежах.

Решить № 474 (1, 5) устно, 478 (2).

Решить вариант 2(№2, 3, 4) с.127.

6. Физкультминутка

Что такое физкультура?

Тренировка и игра.

Что такое физкультура?

Физ и куль и ту и ра!

Руки вверх, руки вниз – это физ.

Крутим шею, словно руль – это куль.

Ловко прыгай в высоту – это ту.

Бегай пол часа с утра – это Ра.

Занимаясь этим делом,

Станешь сильным, ловким, смелым.

Плюс – хорошая фигура.

Вот что значит физкультура!

На четыре - руки шире,

Пять – руками помахать.

Шесть – за парту тихо сесть.

7. Самостоятельная работа.

Работа в парах. Решить № 477(1, 2),  

8. Итоги урока. Д/з.

Итак, мы сегодня с вами познакомились с теоремой существования треугольника – «неравенством треугольника». Научились применять её при решении задач.

Выучить п. 16, вопросы с.124, решить № 477(3), 478(1) – на 7 баллов, № 2, 4 варианта 4 с. 127 – на 11 баллов.

Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме «Треугольники».

Цели:

• Обучающая: обобщить, систематизировать, расширить и углубить знания учащихся о треугольнике, закрепить навыки и умения при решения задач, используя определения и теоремы по данной теме.
• Развивающая: развивать математическую речь учащихся, их память, внимание, наблюдательность, умение сравнивать, обобщать, обосновано делать выводы, развивать умение преодолевать трудности при решении задач, а также познавательный интерес учащихся.
• Воспитывающая: воспитание навыков контроля и самоконтроля, воспитание правильной самооценки, аккуратности, внимательности, положительное отношение к обучению.

Ход урока:

1.Организация класса.

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. 

Геометрия возникла на основе практической деятельности людей и в начале развития служила преимущественно практическим целям. Исходя из этого, в первую очередь мы с вами ребята должны уметь строить и применять полученные знания на практике.

Мы закончили  знакомство с треугольниками и сегодня окажемся в удивительной стране треугольников.      

Часто знает и дошкольник,

Что такое треугольник.

А уж вам-то как не знать.

Но совсем другое дело –

Очень быстро и умею

Треугольники «решать».

 Из трех точек состоит из века в век

Потому, что так придумал человек.

Не лежат при этом точки на прямой,

Хоть и хочется друг к другу им домой.

Три отрезка их всю жизнь объединяют

И друг с другом их всегда соединяют.

И вершинами те точки называют,

И отрезки тех сторон не забывают.

В стране Геометрии очень важно уметь смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. Даю «установку»: развивать и тренировать своё геометрическое зрение.

3. Актуализация опорных знаний. 

«Лови ошибку».

Работает с карточками в парах, на которых написаны утверждения, среди них есть ложные. Их нужно определить.

1. Если в треугольнике две стороны равны, то треугольник называется равнобедренным.
2. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с противоположной стороной, называется медианой треугольника (ложное утверждение).
3. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
4. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.
5. В треугольнике против большего угла лежит меньшая сторона (ложное утверждение).
6. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.
7. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.
8. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то треугольники равны. (И)
9. Если три стороны треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. (Л) (Пропущено слово: соответственно)
10. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны. (И)
11. В треугольнике углы при основании равны. (Л) (Пропущено слово: равностороннем или равнобедренном)
12. Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, называется высотой и биссектрисой. (И)

Проверка с верными ответами.

4. Решение упражнений на обобщение и систематизацию знаний по теме «Треугольники».

Аукцион – распродажа геометрических фигур. (устная работа)

Продается пара равных треугольников.

Этот лот купит тот, кто скажет, по какому признаку треугольники равны и при произношении равенства треугольников правильно укажет соответствие вершин.

Ответ: треугольник … = треугольнику … по двум сторонам и углу между ними.

Продается пара равных треугольников.

Задание аналогично предыдущему. Назвать равные треугольники и признак, по которому они равны.

Ответ: треугольник … = треугольнику … по трем сторонам.

Продается пара равных треугольников.

Задание усложняется. Назвать равные треугольники и доказать их равенство.

Ответ: треугольник … = треугольнику … по двум сторонам и углу между ними.

Выполнение тестовых заданий с.129.

Решить № 6 с.130, № 3 варианта 4 с.127, № 2а с.100.

Логическая задача.      

Сколько всего равнобедренных треугольников можно найти на рисунке?

А) 10         Б)  6       В)8        Г)4

5. Самостоятельная работа.

Решить вариант 1, 2 (№ 2, 3, 4) с.127.

6. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п.9-16, решить № 3, 6 с.130 – на 8 баллов, № 7, 8 с. 103 – 11 баллов.

Ребята, чем мы сегодня занимались на уроке?

- Какие знания по теме «Треугольники» вы сегодня применяли при решении задач?

- Почему так важно знать признаки равенства треугольников? (С помощью  признаков равенства треугольников решаются также алгебраические, географические, физические задачи.)

Простая это фигура треугольник: три вершины, три стороны, три угла. А задумаешься…, нет, вовсе не простая, мы ещё многое о ней не знаем. Не умеем вычислять площади треугольников, применять теорему косинусов, синусов, не знаем о подобии треугольников, о признаках равенства прямоугольных треугольников и многое ещё осталось загадочным для вас.

Но заметьте, один треугольник таит в себе столько загадочного, а если соединить друг с другом несколько треугольников?! Чувствуете красоту полета мыслей, объем для работы мозга? Желаю вам успехов в учении, дорогие мои ученики!

Тема: Контрольная работа по теме «Треугольники».

Цели:

        1.    Проверить знания, умения и навыки учащихся  по теме «Треугольники».

        2.    Развивать внимание, логическое мышление, письменную математическую речь;

        3.    Воспитывать  самостоятельность, трудолюбие.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Контрольная работа

4. Итоги урока.

Повторить п. 9-16.

Тема: «Параллельные прямые»

Цель:

• обучающая – формирование знаний о параллельных прямых, научить строить параллельные прямые;
• развивающая – развитие речи,  внимания, логического мышления;
• воспитывающая – воспитание аккуратности в построении чертежей, трудолюбия.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

В Древней Греции всех ораторов учили геометрии. На дверях школы было написано: «Не знающий геометрии да не войдет сюда». Геометрия учит доказывать, а речь человека убедительна только тогда, когда он доказывает свои выводы. И этому мы будем с вами сегодня учиться на уроке.

3. Актуализация знаний.

Проверка д/з.

Устный опрос:

• Какие прямые называются перпендикулярными?
• Какие отрезки называются перпендикулярными?
• С помощью какого инструмента можно провести прямую, перпендикулярную к данной прямой? как это делается?
• какое обозначение используется для перпендикулярных прямых?

Экспресс – задачи:

1)  Острым, тупым или прямым будет угол, смежный с углом в 30°, 130°?

2)Сумма двух углов равна 200°.  Смежные ли это углы?

3)Сумма двух углов равна 180° Обязательно ли эти углы смежные?

4)Чему равен угол, если вертикальный с ним угол равен 34°?

5)Один   из   четырех   углов,   получившихся   при пересечении двух прямых, равен 140°.   Чему равны остальные углы?

6) Два угла с общей вершиной равны. Обязательно ли они вертикальные?

Решить № 132 (а), 133(а, б)

4. Изучение нового материала.

Постройте две пересекающие прямые а и в.

Сколько они имеют общих точек?

Могут ли две прямые а и в проходить через две точки? вывод.

 А могут две прямые вообще не иметь общих точек?

Постройте их.

Как называются такие прямые?

Вывод: Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b.

Назвать параллельные прямые №132(б).

Приведите примеры параллельных прямых в реальной жизни.

 А теперь научимся строить прямую, параллельную данной и проходящую через данную точку.

Какие нам понадобятся инструменты? Линейка и угольник.

Можно ли построить еще одну такую прямую?

Вывод: Только одну.

Слово параллельные происходит от греческого parallelos - параллельный и gramme – линия, что в переводе означает «идущие рядом».

Параллельные прямые

Всё не встретятся никак…

…Окна на зиму промыли,

Разобрали весь бардак,

Звёзды рассортировали,

Подрумянили огни…

Где нам взять такие дали,

Чтобы встретились они?

Эти линии, что вечно

Мчатся рядом день и ночь,

Цвета вымученной речи

И похожие точь-в-точь.

5. Практическое применение новых знаний.

Решить № 140, 134, 144, 146.

Физкультминутка

Раз – потянуться

Два – нагнуться

Три – оглянуться

Четыре – присесть

Пять – руки вверх

Шесть – вперед

Семь – опустили

Восемь – сели

Девять – встали

Десять – снова сели

6. Самостоятельная работа.

Решить №142.

7. Подведение итогов урока.

Рефлексия:

Наше занятие подходит концу. Пожалуйста, поделитесь с нами  своими мыслями о сегодняшнем занятии (хотите одним предложением).

Вам для этого помогут слова:

-Я узнал…

-Я почувствовал…

-Я увидел…

-Я сначала испугался, а потом…

-Я заметил, что …

-Я сейчас слушаю и думаю…

-Мне интересно следить за…

- Домашнее задание: п.5. Вопросы 1-7 с.41.

Решить №136, 133 (2), 148.  

Творческое задание: создать методическое пособие учащимся 7 классов по темы «Параллельные и перпендикулярные прямые»        

             К геометрии способность проявляй,

             Не ленись, а ежедневно развивай,

             Повторяй, учи, трудись, соображай

            С геометрией дружить не забывай.

Контрольная работа по теме «Взаимное расположение прямых на плоскости»

Вариант 1

№1.(1 балл) Один из углов, который образовался при пересечении двух прямых, равен 46. Найти остальные углы.

А) 46, 46, 134.              Б) 46,134,  134.  

В) 100, 100, 114 .          Г) 46, 44,  44.  

№2. (1 балл) На данном рисунке найдите пары перпендикулярных лучей.

А) MA, MB,            Б) MK, MA,         В) BM, BK,         Г) KA, KM.

№ 3. (1 балл) Какие из углов, изображенные на данном рисунке, являются внутренними односторонними?

А) 2 и 7;

Б) 3 и 7;

В) 8 и 7;

Г) 1 и 5.

№ 4. (2 балла) Сумма двух углов, которые образуются при пересечении двух прямых, равна 120. Найдите величины всех образовавшихся углов.

№ 5 (3 балла) Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 40. Может ли один из остальных углов равняться 70. Ответ объясните.

№ 6 (4 балла) Углы АВС и CBD – смежные, луч BM –биссектриса угла АВС, угол АВМ на 35 больше угла CBD. НайдитеАВС и CBD.

Вариант 2

№1.(1 балл) Один из углов, который образовался при пересечении двух прямых, равен 162. Найти остальные углы.

А) 162, 18, 18.              Б) 66,66,  66.  

В) 28, 28, 162 .             Г) 162, 162, 18.    

 №2. (1 балл) На данном рисунке найдите пары перпендикулярных отрезков.

А) MA, MB,            Б) MK, MВ,         В) BM, BK,         Г) KA, KM.

№ 3. (1 балл) Какие из углов, изображенные на данном рисунке, являются внутренними накрест лежащими?

А) 2 и 7;

Б) 3 и 7;

В) 8 и 7;

Г) 1 и 5.

   № 4. (2 балла) Сумма двух углов, которые образуются при пересечении двух прямых, равна 140. Найдите величины всех образовавшихся углов.

№ 5 (3 балла) Один из углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 30. Может ли один из остальных углов равняться 150. Ответ объясните.

№ 6 (4 балла) Углы DEF и MEF – смежные, луч TK –биссектриса угла DEF, угол KEF на 75 меньше угла MEF. НайдитеDEF и MEF. 

Тема: Окружность. Круг.

Цели урока:

• Образовательная: формировать у учащихся понятие об окружности и круге, как геометрических фигурах, познакомить с историей возникновения этих фигур, историей создания циркуля;
• Развивающая: развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;
• Воспитательная: продолжать формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

“Из всех фигур прекраснейшая – круг” (Пифагор)

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

В Древней Греции круг и окружность считали венцом совершенства. В каждой своей точке окружность устроена одинаковым образом, что позволяет ей двигаться самой по себе. Это свойство окружности стало толчком к возникновению колеса, так как ось и втулка колеса должны всё время быть в соприкосновении. К сожалению, неизвестен изобретатель колеса. Колесо – это чудо! Что же в нём особенного? – подумаете вы. Но это только на первый взгляд. Представьте себе на секунду, что вдруг случилась беда: на Земле исчезли все колёса!

Самые первые колеса были сделаны в Месопотамии (ныне Ирак) в 3500-3000 гг. до н. э. и представляли собой гончарный круг и тележное колесо.

Не только в процессе работы люди знакомились с различными фигурами. Издавна они любили украшать себя, свою одежду, свое жилище. И многие, созданные давным-давно украшения, имели ту или иную форму.

Бусинки были шарообразными, браслеты и кольца имели форму окружности. Древние мастера научились придавать красивую форму бронзе, золоту, серебру, драгоценным камням. Художники, расписывавшие дворцы, тоже использовали окружность.

Со времени изобретения гончарного круга люди научились делать круглую посуду – горшки, вазы, амфоры. Круглыми были и колонны, подпирающие здания. Самым важным среди круглых тел был шар.

А теперь давайте поближе познакомимся с окружностью и кругом.

3. Актуализация опорных знаний.

На этом этапе урока ребятам сообщается о продолжении изучения геометрических фигур. Вспоминаются геометрические фигуры, изучаемые ранее (отрезок, прямая, угол, прямоугольник, квадрат и др.) и сообщается о том, что сегодня мы познакомимся с еще двумя. Приводятся  и показываются примеры из жизни предметов, которые имеют форму круга (циферблат часов, чашка и т.д.). Обычно ребята называют эти фигуры, кто окружность, кто круг. Кто же из них прав? Чтобы выяснить эти вопросы мы обращаемся к геометрии. Что же в геометрии понимается под окружностью, а что под кругом.

4. Изучение нового материала.

1)Окружность – это множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки.

Окружность разбивает плоскость на 2 части.

Часть плоскости, находящаяся не внутри окружности вместе с этой окружностью, называется кругом.

У круга есть одна подруга

Известна всем ее наружность.

Она идет по краю круга

И называется…. Окружность.

2)Дается  представление и определение окружности, центра, радиуса и диаметра, хорды окружности. Рассматривается формула связи радиуса и диаметра одной окружности. Сообщение исторических сведений 

“радиус” (в переводе с латинского – луч) впервые встречается в “геометрии” французского ученого Рамуса, изданной в 1569 г, затем у Ф.Виета; термин “радиус” становится общепринятым лишь в конце XVII века.

“хорда” (от греческого “хорде” – струна) был введен в современном смысле европейскими учеными в XII-XIII веках.

Содержит ли диаметр в себе радиусы? Сколько?

D = 2r; r = d/2

3)Показывается, как строится окружность с помощью циркуля.

Конечно, опытные, тренированные люди весьма ловко одним росчерком изображают окружность. Рассказывают, что великий немецкий художник Альбрехт Дюрер одним движением руки мог столь точно нарисовать окружность, что последующая проверка при помощи циркуля не показывала никаких отклонений. Как же ему это удавалось? Я хочу познакомить вас с правилом, позволяющим сделать нужное изображение от руки.

Историческая справка.

Самый старый железный циркуль обнаружен во Франции при раскопках древнего кургана. Он пролежал в земле более 2-х тысяч лет. В пепле, засыпавшем греческий город Помпеи, археологи обнаружили очень много бронзовых циркулей. Циркуль всегда был незаменимым помощником архитекторов и строителей. Неслучайно на фасаде одного из самых древних и красивых храмов Грузии изображена рука архитектора, а позади неё циркуль.

В Древней Руси любили узор из мелких кружков. Стальной циркуль-резец для нанесения такого рисунка археологи нашли при раскопках в Новгороде. Есть в этом инструменте нечто такое, что заставляет относится к нему с уважением. Вот как описал знакомство с ним в детстве Ю. Олеина, автор знаменитой сказки “Три толстяка”: “В бархатном ложе лежит плотно сжав ноги, холодный сверкающий циркуль. У него тяжелая голова. Я намереваюсь поднять его. Он неожиданно раскрывается и производит укол в руку”.

 4)Рассматривается взаимное расположение прямой и окружности.

Вводится понятие и свойство касательной к окружности.

5)Рассматривается взаимное расположение двух окружностей.

Понятие концентрической окружности.

6) Далее вводятся формулы для нахождения площади круга, зная радиус или диаметр круга.

5. Закрепление нового материала.

Решить № 506, 508(2), 509.

6. Самостоятельная работа.

Работа в парах с учебником.

Задача с.137.

7. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.17, вопросы с. 137, решить на 7 баллов №505, на 9 баллов №508(1), на 11 баллов №514.

Творческое задание: составить узор из окружностей. Оценивается отдельно.

А теперь продолжите предложения, которые вы видите на доске:

Сегодня я узнал…

Было интересно…

Я понял, что…

Теперь я могу…

Я научился…

У меня получилось…

Сегодня на уроке мы узнали, что такое окружность, круг, чем они отличаются. Познакомились с инструментом, - циркулем. Научились строить окружность с его помощью. Узнали что такое радиус, диаметр. В школе свойства окружности и круга изучаются до 11 класса, но первые представления у учащихся должны быть уже в 6 классе.

Окончен урок, и выполнен план.

Спасибо, ребята, огромное вам.

За то, что упорно и дружно трудились,

И знания точно уж вам пригодились.

Урок по теме «Касательная к окружности. Геометрическое место точек»

Цели урока.

• Познакомить учащихся с понятием геометрического места точек и закрепить его при решении задач,
• развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;
• продолжать формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Хочется ещё раз повторить народную мудрость "Ум без догадки - гроша не стоит", т.к. при решении геометрических задач нужна смекалка, умение рассуждать, анализировать, а это невозможно без знаний и вдохновения. К. Вейерштрасс сказал по этому поводу "Математик, который не является в известной мере поэтом, никогда не будет настоящим математиком". Вдохновения вам на протяжении всего урока.

Решите ребус, разгадав его, вы узнаете тему урока. В этом ребусе зашифровано название фигуры, у которой нет ни начала, ни конца, зато есть длина.

(окружность)

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос:

Окружность – геометрическая фигура                 …,все точки которой находятся на

                                                                                    заданном расстоянии от центра.

Круг- это часть плоскости                                   …, ограниченная окружностью.        

Радиус – это отрезок                                            ..., соединяющий центр окружности с        

                                                                                        любой точкой  окружности.

Диаметр- это отрезок, соединяющий                 … две точки окружности и проходящий

                                                                                     через центр.

Хорда- это отрезок, соединяющий                                …две точки окружности.

Диаметр – это хорда,                                           … проходящая через центр.

Повторить:

Касательная к окружности

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике “Элементы геометрии” французского математика Лежандра (1752-1833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его.

Определение: если прямая имеет единственную общую точку с
                       окружностью, то такая прямая называется касательной 
                       к окружности. Общая точка окружности и касательной
                       называется  точкой касания.

 Теорема.     Через любую точку окружности проходит единственная прямая, касающаяся окружности. Эта прямая перпендикулярна соответствующему радиусу в его конце.

Решить № 518, 515.

4. Изучение нового материала.

Одним из методов решения задач на построение является метод геометрических мест.

Геометрическим местом точек называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, обладающих определенным свойством.

Например, окружность можно определить как геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки.

Важное геометрическое место точек дает следующая теорема:

Теорема. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная к отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину.

Серединный  перпендикуляр к отрезку - это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов этого отрезка.

Биссектриса угла - геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от сторон угла.

Работа с учебником в парах.        

5. Закрепление нового материала.

Решить № 534, 535.

6. Гимнастика для глаз.

7. Самостоятельная работа.

Разобрать решение задачи с. 144.

8. Итоги урока. Д/з.

• Что больше всего тебе запомнилось на уроке?
• Что удивило?
• Что понравились больше всего?
• Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Домашнее задание: выучить п.18, вопросы с. 143, решить № 519, 536, 538.

Урок по теме «Окружность, описанная около треугольника»

Цели урока.

• Познакомить учащихся с понятием окружности, описанной около треугольника, и закрепить его при решении задач,
• развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;
• продолжать формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

“Ни 30 лет, ни 30 столетий не оказывают

 никакого влияния на ясность или на красоту геометрических истин”.

Кэрролл Л.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус.  В древности не было этого термина: Евклид и другие учёные говорили просто “прямая из центра”, Ф. Виет писал что “радиус” - это “элегантное слово”. Общепринятым термин “радиус” становится лишь в конце XVII в. Впервые термин “радиус” встречается в “Геометрии” французского ученого Рамса, изданной в 1569 году.

Математика - наука древняя, интересная и полезная. Слово “математика” пришло к нам из древнегреческого языка, что означает “учиться”, “приобретать знания”.  Математика помогает нам познавать и совершенствовать тот мир, в котором мы живем. Математика поможет нам научиться мыслить яснее и последовательнее.

Сегодня мы с вами в очередной раз убедимся в этом, и очень хочется, чтобы каждый из вас для себя  сделал хотя бы небольшое, но открытие.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

• Какая геометрическая фигура изображена на чертеже?
• Назовите центр окружности.
• Чем является отрезок АК?
• Есть ли на чертеже еще диаметры?
• Чем является отрезок ОВ?
• Есть ли на чертеже еще радиусы?
• Как называется отрезок ML?
• Есть ли на чертеже еще хорды?
• Какой отрезок называется хордой?
• Является ли хордой диаметр?
• Можно ли измерить длину хорды, радиуса?
• С помощью какого измерительного прибора это можно сделать? Какими единицами измерения будет выражен результат?
• Можно ли измерить длину окружности? С помощью какого измерительного прибора это можно сделать? Как это можно сделать? (Возможные ответы: с помощью нитки, веревки и т.п.)

Решить № 546, 549.

4. Изучение нового материала.

Окружность называется описанной около многоугольника, если все вершины многоугольника лежат в окружности.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный  треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам и проведём отрезки ОА, ОВ и ОС. Так как точка О равноудалена от вершин треугольника АВС, то ОА=ОВ=ОС. Поэтому окружность с центром О радиуса ОА проходит через О все три вершины треугольника и, значит, является описанной около треугольника АВС.

Вывод: Центр описанной около треугольника окружности лежит А С на пересечении серединных перпендикуляров и расположен:

а) в треугольнике, если он остроугольный;

б) на середине гипотенузы, если он прямоугольный;

в) вне треугольника, если он тупоугольный.

5. Историческая справка.

В русском языке слово “круглый” тоже стало означать высокую степень чего-либо: “круглый отличник”, “круглый сирота” и даже “круглый дурак”.

Если вы когда-либо пробовали получить информацию от бюрократической организации, вас, скорее всего “погоняли по кругу”. Фраза “ходить по кругу” обычно не ассоциируется с прогрессом. Но в период индустриальной революции, выражение “ходить по кругу” очень точно отражало прогресс. Шкивы и механизмы давали машинам возможность увеличить производительность и значит сократить рабочую неделю.

Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут, взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы изучаем циклы земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и когда мы должны вставать.

Представление об окружности даёт линия движения модели самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 562, 575.

7. Итоги урока. Д/з.

Выучить п.19, решить № 576, 574.

Составьте, пожалуйста «Сенкан»: 

1 строчка – окружность;

2 строчка – 2 прилагательных;

3 строчка – 3 глагола;

4 строчка – предложение, выражающее личное отношение.

А, вот мой сенкан:

1 строчка – окружность;

2 строчка – совершенная, гармоничная;

3 строчка – завораживает, удивляет, вдохновляет;

4 строчка – она открыла для меня красоту математики. 

Урок по теме «Окружность, вписанная в треугольник»

Цели урока.

• Познакомить учащихся с понятием окружности, вписанной в треугольник, и закрепить его при решении задач,
• развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;
• продолжать формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

(настроение в начале урока)

2. Мотивация урока.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

             - Что есть больше всего на свете? – Пространство.

             - Что быстрее всего? – Ум.

             - Что мудрее всего? – Время.

             - Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Фронтальный опрос.

4. Изучение нового материала.

Окружность называется вписанной в многоугольник, если все стороны многоугольника касаются окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность.

Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник АВС и обозначим М буквой О точку пересечения его биссектрис. Проведём из точки О перпендикуляры А К В ОК, ОL и ОМ соответственно к сторонам АВ, ВС и СА.

Так как точка О равноудалена A k B от сторон треугольника АВС то ОК = ОL=ОМ. Поэтому окружность с центром О радиуса ОК проходит через точки К, L и М.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L и М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL и ОМ.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в треугольник АВС.

Выводы. Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника. Касательная к окружности (стороны треугольника) перпендикулярна к радиусу, проведённому в точку касания.

5. Физкультминутка.

  Время тратить мы не будем, поднимаем кверху руки,

  Опускаем их на плечи, продолжаем дальше вместе.

  Поднимаем, опускаем, от урока отдыхаем.

  Руки вверх над головой, смотрим все перед собой,

  Позвоночник выпрямляем, локти сводим, распрямляем,

  Организм оздоровляем, кислородом наполняем.

  Чтобы ноги поразмять, будем дружно приседать,

  Встали, кверху потянулись, повторили, улыбнулись.

  Заряд бодрости поможет нам опять урок продолжить.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 563, 578(1), 581.

7. Самостоятельная работа.

Работа в парах № 819.

8. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.

Выучить п.19, решить № 578 (2), 586, 584.

“Волшебная лестница знаний”

Попробуйте определить, насколько хорошо вы усвоили новое знание по “Волшебной лестнице знаний”:

Вы выбираете:

- красный цвет, если испытываете затруднение;

- жёлтый цвет, если усвоили новое знание, но затрудняетесь применить его на практике;

- зелёный цвет, если усвоили новое знание и научились применять его на практике.

Тема урока: «Взаимное расположение двух окружностей».

Цели урока:

Обучающие:

1)рассмотреть различные случаи взаимного расположения  двух окружностей; совершенствовать навыки решения задач.

Развивающие:

1) совершенствовать умения логически мыслить и выражать свои мысли вслух;

2) стимулировать познавательную деятельность учащихся постановкой проблемного задания, оценкой и поощрением;

Воспитательные:

1) воспитывать у учащихся стремление к совершенствованию своих знаний;

2) воспитывать интерес к предмету.

Ход урока.

1. Организационный момент.

2. Мотивация урока.

Как сказал древнегреческий философ Саади: “Ученик, который учится без желания - это птица без крыльев”.

И мне бы хотелось, чтобы у вас было желание учиться, узнавать что-то новое, неопознанное не только на сегодняшнем уроке, а всегда и только в этом случае своими “крыльями” будете “взлетать” все выше и выше.

А также мне очень хочется обратиться к словам известного российского математика А.И. Мордковича: “Кто с детских лет занимается математикой, этот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает в себе настойчивость и упорство в достижении цели”.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Найдите ошибку:

• Окружностью называется множество точек плоскости, равноудалённых от центра.
• Радиус – это отрезок.
• Отрезок, соединяющий две точки, окружности называется диаметром.
• Хорда – часть диаметра.
• Окружность называется описанной около треугольника, если она соединяет все его вершины.
• Центр окружности, описанной около треугольника, является точкой пересечения медиан к стороне треугольника.
• Прямая, проходящая через точку окружности перпендикулярно к диаметру, проведённому в эту точку, называется касательной.
• Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его отрезков.
• Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его перпендикуляров.

Решить № 1, 3, 5 с.170.

4. Изучение нового материала.

Перейдем к анализу возможных случаев расположения двух окружностей

а) Центры окружностей совпадают. Такие окружности называются концентрическими.

В случае равенства радиусов они совпадают. Если же радиусы этих окружностей не равны, то одна из них лежит внутри другой. Образуется фигура, которую называют кольцом.

б) Пусть теперь центры окружностей различны. Соединим их прямой, она называется линией центров данной пары окружностей.

Взаимное расположение окружностей будет зависеть только от соотношения между величиной отрезка d, соединяющего их центры, и величинами радиусов окружностей R,r.

1. Расстояние между центрами меньше разности радиусов: d>R-r (рис б).

2. Расстояние между центрами равно разности радиусов: d=R-r (рис в). Малая окружность лежит внутри большой, но имеет с ней общую точку на линии центров. Говорят, что имеет место внутреннее касание, а такие окружности называют внутренне касающимися.

Определение 16. Внутренне касающимися называют окружности, имеющие одну общую точку, причем центр меньшей из них расположен внутри большей.

Точка касания внутренне касающихся окружностей лежит на линии центров.

3. Расстояние между центрами больше разности радиусов, но меньше их суммы: R-r

Пересекающимися называют окружности, имеющие две общие точки.

4. Расстояние между центрами равно сумме радиусов: d=R+r (рис д)

Внешне касающимися называют окружности, имеющие одну общую точку, причем центр одной из них расположен за пределами второй.

Точка касания внешне касающихся окружностей лежит на линии центров.

5. Расстояние между центрами больше суммы радиусов: d>R+r

5. Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 792, 793, 794.

7. Итоги урока. Д/з. Рефлексия.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

• На уроке я работал                          активно / пассивно
• Своей работой на уроке я               доволен / не доволен
• Урок для меня показался               коротким / длинным
• За урок я                                          не устал / устал
• Мое настроение                              стало лучше / стало хуже
• Материал урока мне был               полезен / бесполезен
• интересен / скучен
• Домашнее задание мне кажется    легким / трудным

• интересно / не интересно.

Вопросы с. 137

Решить № 795, № 2а, 3а с.166.

Вопросы к зачету:

Вариант 1:

1. Окружность -…

2. Радиус окружности-…

3. Диаметр окружности -…

4. Построить прямую, пересекающую окружность.

5. Построить окружность и точку А на окружности. Провести касательную к окружности через точку А.

6. Свойство касательной к окружности. Изобразить на рисунке.

7. Привести примеры предметов, имеющих форму круга.

8. Формула длины окружности.

9. Построить две окружности, с внешним касанием.

10. Найдите расстояния между центрами этих окружностей.

11. Постройте отрезок, длиной 6 см. Проведите серединный перпендикуляр.

12. Начертите произвольный треугольник и опишите около него треугольник. Где расположен центр данной окружности?

Вариант 2:

1. Круг -…

2. Хорда окружности-…

3. Соотношение между радиусом и диаметром окружности.

4. Построить прямую, не пересекающую окружность.

5. Построить окружность и точку В на окружности. Провести касательную к окружности через точку В.

6. Свойство касательной к окружности. Изобразить на рисунке.

7. Привести примеры предметов, имеющих форму окружности.

8. Формула площади круга.

9. Построить две окружности, с внутренним касанием.

10. Найдите расстояния между центрами этих окружностей.

11. Постройте биссектрису угла 70 градусов.

12. Начертите произвольный треугольник и впишите в него треугольник. Где расположен центр данной окружности?

Кроссворд:

По горизонтали: 1. Множество точек плоскости, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. 2.Часть окружности. 3.Отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой. 4. Что в переводе с латинского означает слово диаметр.

По вертикали: 2.Отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через ее центр. 5.Точка, находящаяся на одинаковом расстоянии от всех точек окружности. 6.Часть плоскости, ограниченная окружностью. 7.Часть круга, ограниченная двумя радиусами. 8.Отрезок, соединяющий две точки окружности. 9. Как переводится на русский язык латинское слово радиус.