Контрольная работа по теме "Перпендикулярность прямых и плоскостей". Геометрия. 10 класс
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему

Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей». Геометрия. 10 класс

Вариант 1.

1. Какое из следующих утверждений верно?

а) Две прямые перпендикулярные третьей перпендикулярны между собой;

б) прямая называется перпендикулярной  плоскости, если она перпендикулярна хотя бы одной прямой, лежащей в этой плоскости;

в)  две прямые, перпендикулярные к плоскости, перпендикулярны между собой;

г) прямая называется перпендикулярной  плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

Ответ обосновать.

2.  Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4см (рис. 2). Найдите расстояние от точки M до плоскости ABC, если AB = 6см.

             Рис.2                           М

                            А                                               В

                                                О

                                             С

3.  Плоскости    и    пересекаются  по прямой с. Точка, лежащая в плоскости ,  удалена от плоскости   на  см, а от прямой с – на 4см.  Найти угол  между    и  .

4.  АВСДА1В1С1Д1   прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение        ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а) )  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350.         

Ответ обосновать.

Вариант 2.

1.  Две скрещивающиеся прямые взаимно перпендикулярны. Чему равен угол между ними?

            а) 900;  б)  00;  в)  1800;  г)  450. 

Ответ обосновать.

2. Отрезок КА – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого  36 см 2 (рис. 3). Найти расстояние между прямыми КА и ВС.

а)  6см;  б)  12 см;  в)  определить нельзя, не хватает данных;  г)  6 см.

                                   К                                                              Рис. 3

                               А                                 В

                     Д                                   С

3. Прямая ДА перпендикулярна сторонам АВ и АС треугольника АВС и не лежит в его плоскости (рис. 1). Перпендикулярными являются плоскости  

 а)  ДАС и АВС;  б)  ДАВ и ДВС;  в)  ДАС и ДВС;   г)  ДВС и АВС.

                                                               Д           Рис. 1

                        С                                     А

                                  В

Ответ обосновать.

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см. 

     а) arccos2/3;     б) arcsin2/3;     в) arcsin3/2;    г) arctg2/3.

Вариант 3.

1.  Через вершину квадрата  ABCD проведена прямая  ВM, перпендикулярная его плоскости (рис.1). Какое из следующих утверждений неверно?

а)  MD CD;   б)  MBBC;  в)  MААД;  г)   MВAC .                                               

                                М                                                            Рис. 1

                                 В                                         С

                     А                                         Д

Ответ обосновать.

2.  Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка O – центр треугольника,  OM – перпендикуляр к его плоскости (рис.2), OM = 1. Найдите расстояния от точки M до вершин треугольника.                                                         

                                   М                                        Рис. 2

                   А                                                 В

                                        О

                                         С

3.  Равнобедренные треугольники АВС и АДС имеют общее основание АС, причем ВД  АВС. ВМ – медиана треугольника АВС  (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла ДАСВ   является угол   а)  ДАВ;  б)  ДСВ;  в)  ДМС; г)  ДАС.

                                                                  Д             Рис.2

               А                                                   В

                        М    

                                   С

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 4.

1.  Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости α, но m не перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых a и b.

а) параллельны;   б) пересекаются;   в) скрещиваются;   г) определить нельзя.

Ответ обосновать.

2.  Отрезок AB, равный 5см, не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые  AC и  BD, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках C и  D соответственно. Найдите BD, если CD = 3см,  AC = 17см,   BD< AC .

3.  Через вершину А параллелограмма АВСД проведён к его плоскости перпендикуляр АМ (рис. 4). Линейным углом между плоскостями МАД и МАВ является угол    а)  МДА;  б)  ДАВ;  в)  МВА;  г)  МАД.

                          М                    Рис. 4

                         А                                               В

                                          Д                                     С

4. АВСДА1В1С1Д1  - куб.  Тангенс угла  образованного основанием АВСД и плоскостью АВ1С (рис. 7) равен 

   а)  ;   б)  ;  в)  ;  г)  .

                                      Рис. 7

                             В1                                      С1

                                         А1                              Д1

                                          В                                   С

                                             О

                     А                               Д

Вариант 5.

1.  В тетраэдре DABC   AD  AC, AD  AB, DC  BC. Тогда прямая BC и плоскость ADC: а) параллельны;   б) прямая ВС  лежит в плоскости;    в) прямая ВС пересекает плоскость, но не перпендикулярна к плоскости;     г) перпендикулярны.  

Ответ обосновать.

2.  Прямая CD перпендикулярна к плоскости остроугольного треугольника ABC, у которого CK – высота  (рис. 5). Найдите расстояние от точки A до плоскости CDK, если DA = 8 см, а DAK = 450.

                       Д              Рис. 5

                 С                                                   А

                               В              К

3.  Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его вершин – 6см. Найдите диагональ квадрата.

4.  КАВС –  пирамида , КС  АВС. Основание АВС – равнобедренный треугольник, АС = ВС.  СМ – медиана  этого треугольника ( рис. 9).  Линейным углом для двугранного  КАВС является угол

а)  КАС;  б)  КМС;  в)  МКС;  г)  КВС.

                                                                      К               Рис. 9

                          А                                                      С

                               М

                                                В

Ответ обосновать.

Вариант 6.

1. В треугольнике АВС . Точка Д не лежит в плоскости АВС, причем ДСАС (рис. 3).   Плоскости  ДСВ  перпендикулярна прямая а)  АВ;   б)  АС;  в)  АД;  г)определить нельзя. Ответ обосновать.

                               Д                                 Рис. 3  

                       С                                                  В

                                   А

 2.  Отрезок НВ перпендикулярен плоскости квадрата АВСД  (рис. 4). Угол между прямой НД и плоскостью квадрата АВСД это угол   а) НВД;  б) НДС;  в) НДВ; г) НДА.  Ответ обосновать.

                         Н             Рис. 4

                         В                                           С

                 А                                               Д

3.  Катет АВ прямоугольного треугольника АВС  у  которого  А = 900  лежит в плоскости  .  СН (рис.6) .  Линейным  углом  двугранного, образованного плоскостью  и  плоскостью АВС, является угол                                                                                                      

   а)  САН;  б)  СВН;  в)  САВ;  г)  СВА.                  С                                        Рис. 6

                                     А                                                 Н

                                                           В                    

Ответ обосновать.

4.  АВСДА1В1С1Д1  - куб .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение   ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а)  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350. 

Ответ обосновать.

 Вариант 7.

1  Точка К не лежит в плоскости ромба АВСД. Известно, что  КВАВ КВВД (рис. 4). Плоскости КВД перпендикулярна прямая      а)   АВ;  б)  АД;   в)  АС;  г)  АК. Ответ обосновать.

                                               К                                                Рис. 4

                                           В                                       С

                          А                                 Д

2. Из точки М к плоскости α проведены две наклонные, длины которых 20см и 15см. Их проекции на эту плоскость относятся как 16 : 9 (рис. 1). Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

                                                                                     Рис. 1

                                                                                    М

                                                                                         О                             А

                                                            С                                                

3.  Через вершину В  треугольника АВС  проведён к его плоскости перпендикуляр ВК (рис. 4). Линейным углом между плоскостями СКВ и АКВ является угол            а)КСА;  б)  КАС ;  в)  СВА;  г)  ВСА.  Ответ обосновать.

                                                                            К            Рис. 4

                            С                                                В

                                                А

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 8.

1.  Какое из следующих утверждений неверно?

а) Если прямая перпендикулярна к двум прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости;

б)  если прямая перпендикулярна к плоскости, то она ее пересекает;

в)  если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны;

г)  если две прямые перпендикулярны к плоскости ,то они параллельны; 

2.Из точки М к плоскости α проведены две наклонные (рис. 1), длины которых  относятся как 13 : 15 . Их проекции на эту плоскость равны  10 см и 18 см . Найдите расстояние от точки М до плоскости α.

                                                                   М                             Рис. 1

                                                                     О                        К

                                               Д                            

3. ДАВС – треугольная пирамида, АЕ  ДС и ВЕ  ДС (рис. 8). Линейным углом для двугранного ВДСА является угол а)  АДВ;  б)  АСВ;  в)  ЕАВ;  г)  АЕС. Ответ обосновать.

                                                         Д                 Рис. 8

                                                                    Е

                             А                                               С

                                           В

4.  АВСДА1В1С1Д1   прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение        ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а) )  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350.         

Ответ обосновать.

Вариант 9.

1.  Если одна из двух скрещивающихся прямых перпендикулярна к плоскости, то будет ли  перпендикулярна к этой плоскости вторая прямая?  а) Да; б) да, но при определенных условиях; в) определить нельзя;  г) нет. Ответ обосновать.

2.  ABCD – квадрат со стороной, равной  , O – точка пересечения его диагоналей, OE – перпендикуляр к плоскости ABC, OE =. Найдите расстояние от точки  E до вершин квадрата.                                                                

                                        Е                                               Рис. 1

                             В                                    С

                                        О  

                   А                               Д

3.  Равнобедренные треугольники АВС и АВД имеют общее основание АВ, причем СД  АВС. СК – медиана треугольника АВС  (рис. 2). Линейным углом для двугранного угла САВД   является угол   а)  ДАВ;  б)  ДВС;  в)  ДАС; г)  СКД.

   Ответ обосновать.                               С

                    А                                                  Д

                            К

                                              В

4. АВСДА1В1С1Д1  - куб.  Тангенс угла  образованного основанием АВСД и плоскостью ВС1Д (рис. 7) равен     а)  ;   б)  ;  в)  ;  г)  . Ответ обосновать.

                                      Рис. 7

                              В1                                      С1

                                  А1                                                    Д1

                              В                                       С

                                              О

                      А                                    Д

Вариант 10.

1.  Через вершину квадрата  ABCD проведена прямая  ВК, перпендикулярная его плоскости (рис.2). Какое из следующих утверждений неверно? а)  КD CD;  

б)  КBBC;  в)  КААД;  г)   КВAC ..                                     К               Рис. 2

Ответ обосновать

                                                                                                       В                                   С

                                                                                         А                                           Д

2.  Расстояние от точки К до каждой из вершин квадрата ABCD равно 5см  (рис.2) Найдите расстояние от точки K до плоскости ABC, если  AB =3см.

                                     К               Рис. 2

                         А                                     В

                                       Н

                 С                                     Д

3.В треугольнике АВС С = 900 ,  МО // ВС.  ДО – перпендикуляр к плоскости АВС  (рис. 5).  Линейным углом между плоскостями АВС и ДАС является угол       а)  ДАО;  б)  ДМО;  в)  ДСО;  г)  ДАС. Ответ обосновать.

                                                       Д                Рис.5

                               А                            О                      В

                                     М            

                                              С     

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 11.

1.  Прямая а перпендикулярна к прямым  с и  b, лежащим в плоскости α, прямая а перпендикулярна к плоскости α. Выясните взаимное расположение прямых с и  b.

а) только параллельны; б) только пересекаются; в) параллельны или пересекаются;   г)  определить нельзя.

Ответ обосновать.

2.  Отрезок MH не имеет общих точек с плоскостью α. Прямые  MK и  HT, перпендикулярные к этой плоскости, пересекают ее в точках K и  T соответственно. Найдите MH, если KT = 3см,  MK = 2см,   HT = 6см.

3.  Катет АС прямоугольного треугольника АВС  у  которого  С = 900  лежит в плоскости  .  ВД  (рис.6) .  Линейным  углом  двугранного, образованного плоскостью  и  плоскостью АВС, является угол                                                                                                      

а)  АСД;  б)  АСВ;  в)  АВД;  г)  АВС. Ответ обосновать.

                                                               В          Рис. 6

                                           С                                          Д

                                               А 

4.   Плоскости    и    пересекаются  по прямой с. Точка, лежащая в плоскости,  удалена от плоскости   на  3 см, а от прямой с – на 6 см.  Угол  между    и  равен      а)  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1500. Ответ обосновать.

Вариант 12.

1. Точка E не принадлежит плоскости прямоугольника ABCD.   BE AB, BEBC.   Тогда прямая CD и плоскость BCE:  а) параллельны;  б) перпендикулярны;  в)определить их взаимное расположение нельзя ;  г) прямая лежит в плоскости.

Ответ обосновать.

2. Расстояние от некоторой точки до плоскости квадрата равно 4см, а до каждой из его сторон – 6см. Найдите диагональ квадрата.

3.МАВС –  тетраэдр , МА  АВС. Основание АВС – равнобедренный треугольник, АС = АВ.  АК – медиана  этого треугольника ( рис. 9).  Линейным углом для двугранного ВДСА является угол а)  МКА;  б)  КМА;  в)  МВА;  г)  МСА. Ответ обосновать.   

                                              М            Рис. 9

                                       А                                                          В

                                                                                   К

                                                        С

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 4см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В. Найдите угол между прямой АВ и плоскостью α, если длина отрезка АВ равна 6см. 

     а) arccos2/3;     б) arcsin2/3;     в) arcsin3/2;    г) arctg2/3.

Вариант 13.

1.  АВСД – квадрат. Вне его плоскости выбрана точка К, причем  КААВ (рис. 3).   Плоскости АКД перпендикулярна прямая   а)  ДС;  б) КС;  в)  ВК;  г)  ВС.  Ответ обосновать.                                           

                                    К                                                               Рис. 3

                               А                                   В

               Д                                С

2.  Отрезок МВ – перпендикуляр к плоскости квадрата АВСД, площадь которого   64 см 2 (рис. 3). Расстояние между прямыми МВ и СД равно а)  8см;  б)  16 см;  в)определить нельзя, не хватает данных;  г)  8 см. Ответ обосновать.

                                  М           Рис. 3

                                 В                                         С

                          А                                        Д

3. МАВС – треугольная пирамида, ВК  МА и  СК  МА (рис. 8). Линейным углом для двугранного  САМВ  является угол а)  САВ;  б)  СКМ;  в)  ВКА;  г)  СКВ.

Ответ обосновать.

                                          М              Рис. 8

                               К

                   А                                                В

                            С

4.  Через точку А, удаленную от плоскости α на 3см, проходит прямая, пересекающая плоскость α в точке В.  Угол между прямой АВ и плоскостью α равен  30 0. Найдите длину отрезка АВ. 

Вариант 14.

1.  В треугольнике АВС , АН – высота треугольника.  Вне плоскости АВС выбрана точка Д,  причем  ДВВС,  ДВАВ (рис. 4).  Плоскости ДВС перпендикулярна прямая   а)  АД;  б)  АВ;  в)  АН;  г)  АС. Ответ обосновать.

                          Д               Рис. 4

                         В                          Н                    С

                                    А

2.  Отрезок ВМ – перпендикуляр к плоскости равнобедренного  треугольника  АВС, АВ = ВС = 5 см и ВК = 4см. ВК – медиана треугольника АВС (рис. 5).  Найдите  расстояние от точки С до плоскости  МВК    

                     М        Рис.5

                        В                                                  С

                                                                К

                                           А

3.АВСД – прямоугольная трапеция у которой   АВС = 900. ДК – перпендикуляр к плоскости трапеции  ( рис. 5). Линейным углом между плоскостью трапеции АВСД и плоскостью КАВ является угол а)  КАВ;  б)  КВД;  в)  КАД;  г)  АКД.

                                           К              Рис. 5           Ответ обосновать.

                                                                Д

                              А                    

                           В                                      С

4.  АВСДА1В1С1Д1   прямоугольный параллелепипед в основании которого лежит квадрат АВСД .  Боковая грань АА1В1В  и диагональное сечение        ВВ1 Д 1Д  образуют угол равный   а) )  300;  б)  450;  в)  600;  г)  1350.         

Ответ обосновать.