10-ГЕОМЕТРИЯ Параллельность плоскостей
учебно-методический материал по геометрии (10 класс) на тему
материал предназначен для организации дистанционного ваимодействия с обучающимися
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 104.93 КБ |
Предварительный просмотр:
Тема: Параллельность прямых и плоскостей
Урок: Параллельные прямые в пространстве. Параллельность трех прямых
Мы уже изучали параллельные прямые в планиметрии. Теперь нужно дать определение параллельных прямых в пространстве и доказать соответствующие теоремы.
2. Определение параллельных прямых в пространстве
Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (Рис. 1.).
Обозначение параллельных прямых: a || b.
Рис. 1.
3. Теорема 1 и ее доказательство
Теорема 1.
Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Дано: прямая а, (Рис. 2.)
Доказать: существует единственная прямая b || a,
Рис. 2.
Доказательство:
Через прямую а и точку , не лежащую на ней, можно провести единственную плоскость α (Рис. 3.). В плоскости α можно провести единственную прямую b, параллельную а, проходящую через точку M (из аксиомы планиметрии о параллельных прямых). Существование такой прямой доказано.
Рис. 3.
Докажем единственность такой прямой. Предположим, что существует другая прямая с, проходящая через точку M и параллельная прямой а. Пусть параллельные прямые а и с лежат в плоскости β. Тогда плоскость β проходит через точку M и прямую а. Но через точку M и прямую а проходит единственная плоскость (в силу теоремы 2). Значит, плоскости β и α совпадают. Из аксиомы параллельных прямых, следует, что прямые b и с совпадают, так как в плоскости существует единственная прямая, проходящая через данную точку и параллельная заданной прямой. Единственность доказана.
4. Лемма (о двух параллельных прямых, пересекающих плоскость) и ее доказательство
Лемма
Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Дано: а || b,
Доказать:
Рис. 4.
Доказательство: (Рис. 4.)
Существует некоторая плоскость β, в которой лежат параллельные прямые а и b. Точка М принадлежит и плоскости α, и прямой а, которая лежит в плоскости β. Значит, М – общая точка плоскостей α и β. А по третьей аксиоме, существует прямая MN, по которой пересекаются эти две плоскости.
Прямая MN пересекается с прямой b.(так как в противном случае, получается, что прямые MN и b параллельные, то есть a = MN, что невозможно, так как прямая а пересекается с плоскостью α в точке М по условию). То есть точка N – это точка пересечения прямой b и плоскости α..
Докажем, что N - это единственная общая точка прямой b и плоскости α. Допустим, что есть другая точка, но тогда прямая bпринадлежит плоскости α (по второй аксиоме). То есть MN = b, что невозможно, так как прямые а и bпараллельны, а прямая а должна пересекаться с прямой MN. Лемма доказана.
5. Теорема 2 и ее доказательство
Теорема 2.
Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны.
Дано:
Доказать: .
Рис. 5.
Доказательство: (Рис. 5.)
Выберем произвольную точку К на прямой b. Тогда существует единственная плоскость α, проходящая черезточку К и прямую а. Докажем, что прямая bлежит в плоскости α.
Предположим противное. Пусть прямая bне лежит в плоскости α. Тогда прямая bпересекает плоскость α в точке К. Так как прямые bи с параллельны, то, согласно лемме, прямая с также пересекает плоскость α. Прямые а и с также параллельны, значит, по лемме, прямая а также пересекает плоскость α, но это невозможно, так как прямая а лежит в плоскости α. Получили противоречие. То есть, предположение было неверным, а значит, прямая bлежит в плоскости α.
Докажем, что прямые а и b не пересекаются. Предположим противное. Пусть прямые а и bпересекаются в некоторой точке М. Но тогда получается, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что невозможно в силу теоремы 1. Получили противоречие. Значит, прямые а и b не пересекаются.
Мы доказали, что прямые а и b не пересекаются и что существует плоскость α, в которой лежат прямые а и b. Значит, прямые а и bпараллельны (по определению), что и требовалось доказать.
Итак, мы дали определение параллельных прямых и доказали теорему о параллельных прямых в пространстве. Также мы доказали важную лемму о пересечении параллельными прямыми плоскости и с помощью этой леммы доказали теорему: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны. Эта теория будет использоваться дальше и для доказательства других теорем, и для решения задач.
Список рекомендованной литературы
1. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
2. Геометрия. 10-11 класс: Учебник для общеобразовательных учебных заведений / Шарыгин И. Ф. – М.: Дрофа, 1999. – 208 с.: ил.
3. Геометрия. 10 класс: Учебник для общеобразовательных учреждений с углубленным и профильным изучением математики /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. – 6-е издание, стереотип. – М. : Дрофа, 008. – 233 с. :ил.
Рекомендованные ссылки на ресурсы интернет
1. Якласс (Источник).
2. Scholo.ru (Источник).
3. Шпаргалки (Источник).
Рекомендованное домашнее задание
1. Какие прямые называются параллельными?
2. Докажите, что все прямые, пересекающие две данные параллельные прямые, лежат в одной плоскости.
3. Прямая пересекает прямые AB и BC под прямыми углами. Параллельны ли прямые AB и BC?
4. Геометрия. 10-11 класс : учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый и профильный уровни) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. – 5-е издание, исправленное и дополненное – М. : Мнемозина, 2008. – 288 с. : ил.
Задания 1, 2 стр. 21
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/08/16/picture-269114-1376631335.jpg)
Презентация к уроку геометрии "Параллельность прямых и плоскостей"
Презентация содержит материал для повторения (способы задания плоскости, взаимное расположение прямых, прямой и плоскости), доказательство признака параллельности плоскостей, подборку задач...
Контрольная работа по геометрии для 10 класса по теме "Параллельность плоскостей"
В работу включены задачи на свойства параллельных плоскостей....
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/25/picture-347627-1385359739.jpg)
Презентация к уроку геометрии "Параллельность плоскостей" 10 класс
Данная презентация иллюстрирует учащимся параллельность плоскостей....
презентация к уроку по геометрии 10 кл. Признак параллельности плоскостей
Определение параллельных плоскостей. Признак параллельности плоскостей. А.В. Погорелов...
![](/sites/default/files/pictures/2015/03/07/picture-604890-1425756839.jpg)
Открытый урок по геометрии в 10 классе "Параллельность плоскостей".
Методическая разработка с презентацией....
Технологическая карта урока геометрии "Параллельность плоскостей"10 класс
план - конспект урока с применением интерактивной доски...